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相似三角形的判定与性质


学案:相似三角形的判定和性质
教学目标:
1.掌握两个三角形相似的判定条件(三个角对应相等,三条边的比对应相等,则两个三角形相似)——相似三角形的 定义,和三角形相似的预备定理(平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似) . 2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题. 3.掌握两个直角三角形相似的

判定条件,并能解决简单的问题. 4.掌握相似三角形的性质定理,并能解决简单的问题.

知识要点:
一.圆的方程: (1)相似三角形的判定 定义: 对应角________, 对应边_________的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比值叫做_________. 预备定理:_____于三角形一边的直线和_________(或两边的_________)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所的的线段 ______________ 那么这条直线平行于 __________. 判定定理 1:如果一个三角形的__________与另一个三角形的两个角__________,那么这两个三角形相似. (简叙为:______________________________) . 判定定理 2:如果一个三角形的__________与另一个三角形的两边__________,并且__________,那么这两个三角 形相似. (简叙为:___________________________________) . 判定定理 3:如果一个三角形的__________与另一个三角形的三条边__________,那么这两个三角形相似. (简叙为:______________________________) . 直角三角形相似的判定 定理 1:①如果两个直角三角形_____________________,那么它们相似. ②如果两个直角三角形_____________________,那么它们相似. 定理 2: ①如果一个直角三角形的________________与另一个直角三角形的斜边和一条直角边__________, 那么这 两个直角三角形相似. (2)相似三角形的性质 ①相似三角形的对应 线的比,对应 线的比和对应 线的比都等于相似比; ②相似三角形的 的比等于相似比; ③相似三角形的 的比等于相似比的 . ④相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 ,外接圆的面积比等于 . (3)直角三角形相似的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的 , 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比 例中项.

基础过关:
1.如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. 2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.

3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=3 5 ,则BM=______. 4.ΔABC的三边长为 2 , 10 ,2,ΔA'B'C'的两边为1和 5 ,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________. 5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____. 6.如图4,RtΔABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________. 7.如图,已知在△ABC 中,CD⊥AB 于 D 点,BC2=BD· AB,则∠ACB=______. 8.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,AC=6,DB=5,则 AD 的长 为 ________.

典型例题:
1.如图,已知: DE // AB , EF // BC .求证:△ DEF ∽ △ ABC 。

2.如图,△ ABC 是钝角三角形, AD 、 BE 、 CF 分别是△ ABC 的三条高。 求证: AD ? BC ? BE ? AC 。

3.已知:如图 10,在 Rt△ABC 中∠ACB=90°,CD⊥AB,E 为 AC 的中点,ED、CB 延长线交于一点 F。 求证:AC·DF=BC·CF

4.已知:AD 是 Rt△ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°, EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M,EF、BC 的延长线交于一点 N。 求证:(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC·NB

5.已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D, E 是 AC 上一点,CF⊥BE 于 F。 求证:EB·DF=AE·DB

规律小结 相似三角形的基本图形 Ⅰ.平行线型:即 A 型和 型、双 A 型.

Ⅱ.相交线型: A.具有一个公共角, 在△ABC 与△ADE 中∠A 是它们的公共 角,且 BC⊥AC,DE⊥AB. B.具有一条公共边和一个公共角 在△ABC 与△DBA 中 AB 是它们的公共边, 且∠BAD=∠C,B 是它们的公共角. C.具有对顶角 在△ABC 中 AD⊥BC,BE⊥AC 则使△AME 与△BMD 中∠1 与∠2 是对顶角.

巩固提高:
1.如图,已知在梯形 ABCD 中,上底长为 2,下底长为 6,高为 4,对角线 AC 和 BD 相交于 点 P, (1)若 AP 长为 4,则 PC=________; (2)△ABP 和△CDP 的高的比为______. a 2.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分别为线段 2 AB,AD 的中点,则 EF=________. 3.如图,在直角梯形 ABCD 中,上底 AD= 3,下底 BC=3 3,与两底垂直的腰 AB=6,在 AB 上 选取一点 P,使△PAD 和△PBC 相似,这样的点 P 有________个. 4. 如图, 平行四边形 ABCD 中, AE∶EB=1∶2, △AEF 的面积为 6, 则△ADF 的面积为________. 5.如下图所示,在△ABC 内任取一点 D,连接 AD 和 BD,点 E 在△ABC 外,∠EBC=∠ABD, ∠ECB=∠DAB. 求证:△DBE∽△ABC

6. 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,底 边 BC 上的高 AD=10 cm,腰 AC 上的高 BE=12 cm. (1)求证: AB 5 = ; BD 3

(2)求△ABC 的周长.


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