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2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件:专题5 解析几何 第1讲


第1讲

圆与圆锥曲线的基本问题

高考定位

1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲

内容考查的重点,涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关

系的判断、弦长问题及切线问题等;2.圆锥曲线中的基本问
题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性 质等作为考查的重点,多为选择题或填空题.

真题感悟
k 1.(2016· 全国Ⅱ卷)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,曲线 y=x
2

(k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k=( 1 A. 2 B.1 3 C. 2 D.2

)

解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由 PF⊥x 轴知, k |PF|=2,所以 P 点的坐标为(1,2),代入曲线 y=x(k>0)得 k =2,故选 D.

答案 D

2.(2016· 山东卷)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x-1)2 +(y-1)2=1 的位置关系是( A.内切 C.外切 ) B.相交 D.相离

解析 ∵圆 M:x2+(y-a)2=a2,∴圆心坐标为 M(0,a), |a| 半径 r1 为 a,圆心 M 到直线 x+y=0 的距离 d= ,由几 2
? |a| ?2 何知识得? ? +( ? 2?

2)2=a2,解得 a=2.

∴M(0,2),r1=2.又圆 N 的圆心坐标 N(1,1),半径 r2=1, ∴|MN|= (1-0)2+(1-2)2= 2,r1+r2=3,r1-r2=1. ∴r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交,故选 B.

答案 B

3.(2016· 全国Ⅰ卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点, 若椭 1 圆中心到 l 的距离为其短轴长的4, 则该椭圆的离心率为( 1 A.3 2 C. 3 1 B.2 3 D. 4 )

解析

1 1 如图,由题意得,BF=a,OF=c,OB=b,OD= ×2b= b. 4 2

1 在 Rt△OFB 中,|OF|×|OB|=|BF|×|OD|,即 cb=a·b,故椭圆离心 2 c 1 率 e=a=2,故选 B.

答案 B

4.(2016· 全国Ⅰ卷)设直线 y=x+2a 与圆 C: x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,则圆 C 的面积为________.

解析 圆 C:x2+y2-2ay-2=0,即 C:x2+(y-a)2=a2+2, |0-a+2a| 圆心为 C(0,a),C 到直线 y=x+2a 的距离为 d= = 2
?2 3?2 ? |a| ?2 |a| ? +? ? =a2+2,解得 a2=2,所 .又由|AB|=2 3,得? 2 ? 2 ? ? 2?

以圆的面积为 π(a2+2)=4π.

答案 4π

考点整合
1.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b), 半径为 r. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
? D E? 圆心为?- 2 ,- 2 ?,半径为 ? ?

D2+E2-4F r= . 2

2.直线与圆相关问题的两个关键点 (1)三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理. |Ax0+By0+C| (2)两个公式:点到直线的距离公式 d= , 2 2 A +B 弦长公式|AB|=2 r2-d2(弦心距 d). 3.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|MF|=d(d 为 M 点到准线的距离).

4.圆锥曲线的标准方程 x2 y 2 y2 x2 (1)椭圆: a2+b2=1(a>b>0)(焦点在 x 轴上)或a2+b2=1(a> b>0)(焦点在 y 轴上); x2 y2 y2 x2 (2)双曲线: a2-b2=1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或a2-b2= 1(a>0,b>0)(焦点在 y 轴上); (3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).

5.圆锥曲线的几何性质 c (1)椭圆:e=a= b2 1-a2; b2 1+ 2; a

c (2)双曲线:①e=a=

b a ②渐近线方程:y=± ax 或 y=± bx;

(3)抛物线:设 y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2)为抛 物线上的点,F 为其焦点. p ①焦半径|CF|=x1+2; ②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p; p2 ③x1x2= ,y1y2=-p2. 4

热点一 直线与圆有关问题

[微题型1] 求圆的方程
【例 1-1】 (1)若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相 切,则圆 C 的方程为( A.(x-2)2+(y± 2)2=3 C.(x-2)2+(y± 2)2=4 ) B.(x-2)2+(y± 3)2=3 D.(x-2)2+(y± 3)2=4

(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上,且圆心在直线 l1:x=-2 的右 侧,若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3,且与直线 l2:2x- 5y-4=0 相切,则圆 M 的方程为( A.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 )

B.(x+1)2+y2=4 D.x2+(y+1)2=4

解析 (1)因为圆 C 经过(1,0),(3,0)两点, 所以圆心在直线 x=2 上,又圆与 y 轴相切, 所以半径为 2,设圆心坐标为(2,b),则(2-1)2+b2=4, ∴b2=3,b=± 3.∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y± 3)2=4.

(2)由已知,可设圆 M 的圆心坐标为(a,0),a>-2, ?(a+2)2+( 3)2=r2, ? 半径为 r,得?|2a-4| ? 4+5 =r, ?
? ?a=-1, 解得满足条件的一组解为? ? ?r=2,

所以圆 M 的方程为(x+1)2+y2=4.故选 B.

答案 (1)D (2)B

探究提高

求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定

圆的两个几何要素,即圆心和半径,待定系数法也是经常使用 的方法,在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化

计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点连线
的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用.

[微题型2] 圆的切线问题
【例 1-2】 (1)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后 与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切, 则反射光线所在直线的斜率 为( ) 3 2 B.-2或-3 4 3 D.-3或-4

5 3 A.-3或-5 5 4 C.-4或-5

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx -y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中, 半径最大的圆的标准 方程为________.

解析

(1)圆(x+3)2+(y-2)2=1 的圆心为(-3,2),

半径 r=1.点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3). 如图所示, 反射光线一定过点(2, -3)且斜率 k 存在, ∴反射光线所在直线方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y -2k-3=0.
|-3k-2-2k-3| 2 ∵反射光线与已知圆相切,∴ = 1 ,整理得 12 k + 2 2 k +(-1) 3 4 25k+12=0,解得 k=-4或 k=-3.

(2)直线 mx-y-2m-1=0 恒过定点(2,-1),由题意,得半径 最大的圆的半径 r= (1-2)2+(0+1)2= 2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.

答案 (1)D (2)(x-1)2+y2=2 探究提高 (1) 直线与圆相切时利用 “ 切线与过切点的半径

垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式,

所以求切线方程时主要选择点斜式.
(2) 过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离,利用 勾股定理处理.

[微题型3] 与圆有关的弦长问题
【例 1-3】 (2016· 郑州模拟)若圆上一点 A(2,3)关于直线 x+ 2y=0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x-y+1=0 相交的弦 长为 2 2,则圆的方程是________.

解析 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,说明圆心在直线 x+2y=0 上, 即有 a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线 x-y+1 =0 相交的弦长为 2 2,故 r
2

?a-b+1?2 ? -? =2, ? 2 ? ? ?

?a=6, ?a=14, ? ? 依据上述方程,解得?b=-3,或?b=-7,所以,所求圆 ?r2=52 ?r2=244. ? ? 的方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244.

答案 (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
探究提高 涉及直线被圆截得的弦长问题, 一般有两种求解方 法:一是利用半径 r,弦心距 d,弦长 l 的一半构成直角三角 形,结合勾股定理 d
2

? l ?2 +?2? =r2 求解;二是若斜率为 ? ?

k 的直线

l 与圆 C 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= 1+k2|x1-x2|.

【训练 1】 (1)(2016· 全国Ⅲ卷)已知直线 l:x- 3y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 l 的垂 线与 x 轴交于 C、D 两点,则|CD|=________.
(2)(2016· 四川卷)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3, 平面 ABC → |=1,PM → =MC → ,则|BM → |2 的最大值是 内的动点 P,M 满足|AP ( 43 A. 4 37+6 3 C. 4 ) 49 B. 4 37+2 33 D. 4

解析 (1)设

? ?x- 3y+6=0, A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 2 得 y2-3 ? ?x +y =12,

3y

+6=0,则 y1+y2=3 3,又 y2=2 3,∴y1= 3,∴A(-3, 3), B(0,2 3).过 A,B 作 l 的垂线方程分别为 y- 3=- 3(x+3),y-2 3=- 3x,令 y=0,则 xC=-2, xD=2,∴|CD|=2-(-2)=4.
(2)建系如图,则易知 B(- 3,0),C( 3,0), → =MC →, A(0,3).设 M(x,y),P(a,b),∵PM
? ?x-a= 3-x, ? ?a=2x- ∴? ?? ? ? ?y-b=0-y ?b=2y,

3,

→ |=1.∴P 点在圆①a2+(b-3)2=1 上, 即 P(2x- 3,2y),又∵|AP 即(2x- 3)2+(2y-3)2=1,
? 整理得,?x- ?

3?2 ? 3?2 1 ? +?y- ? = (记为圆②), 2? 4 2? ?

→ |的最大值转化为 B 点到该圆②上的一点 即 M 点在该圆上,求|BM 的最大距离,即 B 到圆心的距离再加上该圆的半径:
? → 2 |BM| =? ? ? ? ? ? ?2 ?3?2 1? 3 ?2 49 ? +? ? + ? = . + 3 4 2? 2 ?2? ?

答案 (1)4 (2)B

热点二 圆锥曲线的概念与性质 [微题型1] 定义与标准方程
2 y 【例 2-1】 (1)(2015· 全国Ⅰ卷)已知 F 是双曲线 C:x2- 8 =1 的

右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6).当△APF 周长最小 时,该三角形的面积为________.
x2 y2 (2)已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的 2 倍,若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的 距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= 3 y 16 3 B.x2= 3 y ) C.x2=8y D.x2=16y

解析

(1)设左焦点为 F1,|PF|-|PF1|=2a=2,

∴|PF|=2+|PF1|, △APF 的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP| +2+|PF1|,△APF 周长最小即为|AP|+|PF1|最小,当 A、P、 x y F1 在一条直线时最小,过 AF1 的直线方程为 + =1.与 x2 -3 6 6 y2 - 8 =1 联立,解得 P 点坐标为(-2,2 6),此时 S=S△AF1F- S△F1PF=12 6.

(2)∵2c=4a,∴c=2a,又 a2+b2=c2,∴b= 3a,∴渐近线 p 2 p y=± 3x,抛物线焦点(0,2),d=2=2,∴p=8,∴抛物线方 程为 x2=16y.

答案 (1)12 6 (2)D

探究提高

(1) 准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简

单几何性质,注意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、

抛物线方程的不同表示形式 .(2)求圆锥曲线方程的基本方法
就是待定系数法,可结合草图确定.

[微题型2] 几何性质与标准方程的应用
x2 y2 【例 2-2】 (1)(2016· 山东卷)已知双曲线 E: a2-b2=1(a>0, b>0).若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点 为 E 的两个焦点,且 2|AB| = 3|BC| ,则 E 的离心率是 ________.

x2 y2 (2)(2016· 成都期末)椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F, 若 F 关于直线 3x+y=0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点,则椭 圆 C 的离心率为( 1 A. 2 3-1 B. 2 ) 3 C. 2 D. 3-1

解析

2b2 2b2 (1)由已知得|AB|= a ,|BC|=2c,∴2× a =3×2c.

又∵b2=c2-a2,整理得 2c2-3ac-2a2=0,两边同除以 a2 得
?c ?2 c 2?a? -3a-2=0,即 ? ?

2e2-3e-2=0,解得 e=2.

(2)设左焦点 F(-c,0),A 点坐标为(x0,y0), ? y0 ?x0+c×(- 3)=-1, 3 c ? 则 解得:x0= ,y0= c, 2 2 x - c ? 3× 0 +y0=0, 2 2 ?

3 ?2 c? 2 ? 又点 A 在椭圆 C 上.∴ a2 + b2 =1,又 b2=a2-c2,
? c ?2 ? ? ?2?

? ? ?

整理得:c4-8a2c2+4a4=0,∴e4-8e2+4=0, 解得:e2=4± 2 3,∴e= 3-1(e= 3+1 舍去).

答案 (1)2 (2)D

探究提高

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键

就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关 系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式, 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

x2 y2 【训练 2】 (1)(2016· 安阳二模)过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0) 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的 横坐标为 2a,则 C 的离心率为________.

x2 y2 (2)(2016· 全国Ⅲ卷)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:a2+b2= 1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点, 且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M, 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 3 D. 4 )

x2 y2 解析 (1)把 x=2a 代入 2- 2 =1, a b 得 y=± 3b. 不妨取 P(2a,- 3b). 又∵双曲线右焦点 F2 的坐标为(c,0), 3b 3b b ∴kF2P= .由题意,得 = . c-2a c-2a a c ∴(2+ 3)a=c.∴双曲线 C 的离心率为 e=a=2+ 3.

(2)设 M(-c,m),则 则

? am ? ? E?0,a-c? ?,OE ? ?

的中点为 D,

? ? am ? D?0,2(a-c)? ?,又 ? ?

B,D,M 三点共线,

1 m m 所以 = ,a=3c,e= . 3 2(a-c) a+c

答案 (1)2+ 3 (2)A

1.确定圆的方程时,常用到圆的几个性质: (1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长, 弦心距,圆半径); (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;

(3)圆心在任一弦的中垂线上;
(4)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线; (5)圆的对称性:圆关于圆心成中心对称,关于任意一条 过圆心的直线成轴对称.

2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中 A, B 是不等的常数,A>B>0 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆;B >A>0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;AB<0 时表示双曲线. 3.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定 义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方程的基础. 4.在椭圆焦点三角形 PF1F2 中,∠F1PF2=α,则 S△PF1F2=c|y0| α =b · tan . 2
2

5.求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a,c, c 计算 e=a; 方法二: 根据已知条件确定 a, b, c 的等量关系, c 然后把 b 用 a,c 代换,求a.
6.通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称 2b2 为通径,双曲线、椭圆的通径长为 a ,过椭圆焦点的弦中通 径最短; 抛物线通径长是 2p, 过抛物线焦点的弦中通径最短. 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c.


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