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2013-2014学年度第一学期扬州市高一数学调研试卷


2013—2014 学年度第一学期期末调研测试

高 一 数 学
2014.1 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70

分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6?, A ? ?3,4,5? ,则 CU A ? ▲ .

2.函数 y ? tan(2 x ?

?
3

) 的最小正周期为



.

3.幂函数 f ? x ? ? x 4 的定义域为

1



.

? 4. 平面直角坐标系 xOy 中, 60 角的终边上有一点 P (m, 3) , 则实数 m 的值为



.

5.已知 a ? ?

2 , b ? log 2 3, c ? sin1600 ,把 a, b, c 按从 小到大 的顺序用“ ? ”连接起来: . ... 2
. ▲



6.半径为 3 cm ,圆心角为 120? 的扇形面积为

cm2 .

7. 函数 f ( x) ? log a ( x ?1)( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象必经过定点 P, 则点 P 的坐标为



.

8.已知 | a |? 2 , | b |? 1 ,若 a, b 的夹角为 60 ? ,则 | a ? 2b |?



.

2 2 9.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? 1 x ? a ? 2 的一个零点大于 1,另一个零点小于 1,则实数 a 的取

?

?

值范围为



.
高一期末调研测试数学试卷 第 1 页(共 8 页)

10. 如右图, 平行四边形 ABCD 中,E 是边 BC 上一点,G 为 AC 与 DE 的交点,且 AG ? 3GC ,若 AB ? a ,

D

G E B

C

AD ? b ,则用 a, b 表示 BG ?



.

A

11.若 x ? (??, ?1] ,不等式 (m ? m2 ) ? 2x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围为



.

12. 将函数 y ? 2sin x 的图象先向右平移

? 1 个单位, 再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 2 6 ? 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? f ( x) 的图象,若 x ? [0, ] ,则函数 y ? f ( x) 的值域为 2
▲ .

13.已知 ?ABC 中, BC 边上的中线 AO 长为 2,若动点 P 满足 BP ?

1 cos 2 ? BC ? sin 2 ? BA 2

(? ? R) ,则 ( PB ? PC) ? PA 的最小值是



.

14.已知定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 为单调函数,且 f ( x) ? f ( f ( x) ? ) ? 2 ,则 f (1) ? ▲ .

2 x

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知 sin ? ?

5 ,且 ? 是第一象限角. 5

(1)求 cos ? 的值;

3? ??) 2 (2)求 tan(? ? ? ) ? 的值. cos(? ? ? ) sin(

高一期末调研测试数学试卷 第 2 页(共 8 页)

16. (本题满分 14 分) 已知 a ? ?1,1? , b ? ? 2,3? ,当 k 为何值时, (1) ka ? 2b 与 2a ? 4b 垂直? (2) ka ? 2b 与 2a ? 4b 平行?平行时它们是同向还是反向?

17.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3)求方程 f ( x) ? 0 的解集.
O -1 π 3 7π 12 x

?
2

)的部分图象如图所示.
y

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? log a

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ?

1? x 4 (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 P(? , 2) . 1? x 5

1? x ,用函数单调性的定义证明:函数 y ? g ( x) 在区间 (?1,1) 上单调递减; 1? x 2 (3)解不等式: f (t ? 2t ? 2) ? 0 .

高一期末调研测试数学试卷 第 3 页(共 8 页)

19. (本题满分 16 分) 我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量 P 的关系允许近似的满 足: y ? P( x) ? 2(1? kt )( x ?b) (其中 t 为关税的税率,且 t ? [0, ) , x 为市场价格, b 、 k 为正
2

1 2

1 时的市场供应量曲线如图: 8 (1)根据图象求 b 、 k 的值;
常数) ,当 t ? (2)若市场需求量为 Q ,它近似满足 Q( x) ? 2
11? x 2

.当 P ? Q 时的市场价格称为市场平衡价

格.为使市场平衡价格控制在不低于 9 元,求税率 t 的最小值.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x | 2a ? x | ?2 x , a ? R . (1)若 a ? 0 ,判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f ( x ) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a ???2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 有三个不相等的实数根,求 实数 t 的取值范围.

扬州市 2013—2014 学年度第一学期期末调研测试试题

高 一 数 学 参 考 答 案
1. ?1, 2,6? 7. (2,0) 12. [?1, 2] 2.

2014.1 6. 3? 11. ?1 ? m ? 2

? 2

3. [0, ??) 9. (?2,1) 14. 1 ? 5

4.1 10. ?

5. a ? c ? b

8. 2 3 13. ?2

1 3 a? b 4 4

高一期末调研测试数学试卷 第 4 页(共 8 页)

14.解析:设 f (1) ? m ,令 x ? 1 ,则由题意得: f (1) ? f ( f (1) ? 2) ? 2 ,即 mf (m ? 2) ? 2

? f ( m ? 2) ?

2 2 ) ? 2 ,即 ;再令 x ? m ? 2 ,则由题意得: f (m ? 2) ? f ( f (m ? 2) ? m m?2 2 2 2 2 2 f( ? ) ? 2 ,? f ( ? ) ? m ? f (1) ,∵函数 f ( x) 为 (0, ??) 上的单调 m m m ?2 m m?2 2 2 ? ? 1,解得: m ? 1 ? 5 ,即 f (1) ? 1 ? 5 函数? m m?2
5 2 5 ∴cosα= 1-sin2α= …………5 分 5 5

15.解: (1)∵ α 是第一象限角∴ cos ? ? 0 ∵ sin ? ? (2)∵ tan ? ?

sin ? 1 ? cos ? 2
sin(

………………7 分

3? ??) ? cos ? 3 2 ? tan ? ? 1 ? ∴ tan(? ? ? ) ? =tanα+ cos(? ? ? ) 2 ? cos ?

………………14 分

16.解: ka ? 2b ? k (1,1) ? 2(2,3) ? (k ? 4, k ? 6) , 2a ? 4b ? 2(1,1) ? 4(2,3) ? (?6, ?10) …4 分 (1)由 (ka ? 2b ) ? (2a ? 4b) ,得:

(ka ? 2b ) (2a ? 4b) ? ?6(k ? 4) ?10(k ? 6) ? ?16k ? 84 ? 0 ,解得: k ? ?

21 .……………8 分 4

(2)由 (ka ? 2b ) (2a ? 4b) ,得 ?6(k ? 6) ? 10(k ? 4) ? 4k ? 4 ? 0 ,解得: k ? ?1 ,…12 分 此时 k a ? 2b ? (3,5) ? ?

1 1 (?6, ?10) ? ? (2a ? 4b) ,所以它们方向相反.…………14 分 2 2
………………1 分 ………………3 分

17.解: (1)由图知, A ? 1 ,

2? ? 7? ? ? ?2 ? ? ? ? ,?? ? 周期 T ? 4 ? ? ? 12 3 ?
? f ( x) ? sin(2 x ? ? )


7? 3? ? 7? ? ? 7? ? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) ? ? ? ? ?1 , ? f? ? ? ?1 , ? sin ? 6 2 ? 6 ? ? 12 ?

?? ? 2k? ?
(2) ?

?
3

,k?Z

| ? |?
?

?
2

,?? ?

?

? f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3 3

?

……………… 6 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?
2

? 2k? , k ? Z

………………8 分

??

5? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 12 12

∴函数 y ? f ( x) 的单调增区间为: [?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z 12 12

………………11 分

高一期末调研测试数学试卷 第 5 页(共 8 页)

(3)∵ f ( x) ? 0 ∴ 2 x ? ∴ x??

?
3

? k? , k ? Z ,

………………13 分

?

1 ? 1 ? k? (k ? Z ) ,∴方程 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ? ? k? , k ? Z} .…………15 分 6 2 6 2

或观察图象并结合三角函数的周期性写出解集为: {x | x ? 分.结果不以集合形式表达扣 1 分.

?
3

? k? 或

5? ? k? , k ? Z } ,也得 6

4 1 ? (? ) 4 5 ? 2 ,解得: a 2 ? 9 ∵ a ? 0 且 a ? 1 ∴ a ? 3 ;………3 分 18. (1) f (? ) ? log a 4 5 1 ? (? ) 5
(2)设 x1 、 x2 为 (?1,1) 上的任意两个值,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

1 ? x1 1 ? x2 2( x2 ? x1 ) ? ? ?0 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

……………6 分

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x) ?
(3)方法(一) :

1? x 在区间 (?1,1) 上单调递减.……8分 1? x

1? x ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 1 ,即函数 y ? f ( x) 的定义域为 (?1,1) ; ……10 分 1? x 1? x 先研究函数 f ( x) ? log 3 在 (?1,1) 上的单调性. 1? x 1? x 可运用函数单调性的定义证明函数 f ( x) ? log 3 在区间 (?1,1) 上单调递减,证明过程略. 1? x
由 或设 x1 、 x2 为 (?1,1) 上的任意两个值,且 x1 ? x2 , 由(2)得: g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? log3 g ( x1 ) ? log3 g ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在区间 (?1,1) 上单调递减.
再利用函数 f ( x) ? log 3

……………12分

1? x 的单调性解不等式: 1? x

? t 2 ? 2t ? 2 ? 0 f (0) ? 0 且 y ? f ( x) 在 (?1,1) 上为单调减函数.? ? , ………13 分 2 ??1 ? t ? 2t ? 2 ? 1
?1 ? t ? 3 ? ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1 即? 2 ,解得:? ? ?t ? 1 ? 3或t ? 1 ? 3 ?t ? 2t ? 2 ? 0

? ?1 ? t ? 1 ? 3或1 ? 3 ? t ? 3 .

………………15 分

高一期末调研测试数学试卷 第 6 页(共 8 页)

方法(二) :

log3

1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 0 ? 0 ? ?1 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2)

………………10 分



1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 2 2 t ? 2 t ? 2 ? 0 t ? 2 t ? 2 ? ? 1 得 : 或 ; 由 ? 1 ?0 得 : 1 ? (t 2 ? 2t ? 2) 1 ? (t 2 ? 2t ? 2)
………………13 分 ………………15 分

?1 ? t 2 ? 2 t? 2 ? , 1 ? 0 ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1

? ?1 ? t ? 1 ? 3或1 ? 3 ? t ? 3 .

)(5 ? b )2 ? (1? k 8 2 ?1 ? 19.解: (1)由图象知函数图象过: (5,1) , (7, 2) ,? ? ,………2 分 k (1? )(7 ? b )2 ?2 8 ?2 ?

?(1 ? ? ? 得? ? ? (1 ? ? ?

k )(5 ? b) 2 ? 0 8 , k 2 )(7 ? b) ? 1 8
(1? 6 t )( x ? 5) 2

……… 4 分 解得: ?

?k ? 6 ; ……………… 6 分 ?b ? 5

(2)当 P ? Q 时, 2

?2

11?

x 2

,即 (1 ? 6t )( x ? 5) ? 11 ?
2

x ,……………… 8 分 2

x 1 2 ? 1 ? 22 ? x ? 1 ? [ 17 ? ] ……………… 10 分 化简得: 1 ? 6t ? 2 2 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) x?5 11 ?
1 1 ( x ? 9) ,? m ? (0, ] , x?5 4 1 1 2 设 f (m) ? 17m ? m, m ? (0, ] ,对称轴为 m ? 4 34 1 13 1 1 13 1 13 ? f ( x) max ? f ( ) ? , 所以, 当 m ? 时,1 ? 6t 取到最大值: ? , 即 1 ? 6t ? ? , 4 16 4 2 16 2 16 19 19 解得: t ? ,即税率的最小值为 . ……………… 15 分 192 192 19 答:税率 t 的最小值为 . ……………… 16分 192
令m ? 20.解: (1)函数 y ? f ( x) 为奇函数. 当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ?2 x , x ? R ,∴ f (? x) ? ? x | ? x | ?2 x ? ? x | x | ?2 x ? ? f ( x) ∴函数 y ? f ( x) 为奇函数; ………………3 分
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(2) f ( x) ? ?

? x 2 ? (2 ? 2a) x

( x ? 2a )

2 ?? x ? (2 ? 2a) x ( x ? 2a)

,当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ;

当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ;∴当 a ? 1 ? 2a ? a ? 1 时, y ? f ( x) 在 R 上是 增函数,即 ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数; (3)方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 的解即为方程 f ( x) ? tf (2a) 的解. ①当 ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数,∴关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 不可能有三个 不相等的实数根; ………………9 分 ………………7 分

②当 a ? 1 时,即 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ,∴ y ? f ( x) 在 (??, a ? 1) 上单调增,在 (a ? 1, 2a) 上单调减, 在 (2a, ??) 上单调增,∴当 f (2a) ? tf (2a) ? f (a ? 1) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不 相等的实数根;即 4a ? t ? 4a ? (a ? 1)2 ,∵ a ? 1 ∴ 1 ? t ? 设 h( a ) ?

1 1 (a ? ? 2) . 4 a

1 1 (a ? ? 2) ,∵存在 a ???2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实 4 a 1 1 数根, ∴ 1 ? t ? h(a)max ,又可证 h( a ) ? ( a ? ? 2) 在 (1, 2] 上单调增 4 a 9 9 ∴ h( a ) max ? ∴ 1 ? t ? ;………………12 分 8 8
③当 a ? ?1 时,即 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ,∴ y ? f ( x) 在 (??, 2a) 上单调增,在 (2a, a ? 1) 上单调减, 在 (a ? 1, ??) 上单调增, ∴当 f (a ? 1) ? tf (2a) ? f (2a) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根;
2 即 ?(a ?1) ? t ? 4a ? 4a ,∵ a ? ?1 ∴ 1 ? t ? ?

1 1 1 1 (a ? ? 2) ,设 g (a) ? ? (a ? ? 2) 4 a 4 a

∵存在 a ???2,2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根, ∴ 1 ? t ? g (a)max ,又可证 g (a) ? ?

1 1 9 (a ? ? 2) 在 [?2, ?1) 上单调减∴ g (a ) max ? 4 a 8
………………15 分 ………………16 分

9 ; 8 9 综上: 1 ? t ? . 8
∴1 ? t ?

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