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全国通用2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第6节二次函数与幂函数习题理


第6节

二次函数与幂函数

【选题明细表】 知识点、方法 幂函数图象与性质 二次函数图象与性质 二次函数、幂函数综合 基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2016·河南南阳模拟)已知幂函数 f(x)=k·x 的图象过点( , ),则 k+α 等于(
α

题号 1,5,6,7,9 2,3,4,8,10,12,13,14,15,16 11

C )

(A) (B)1

(C) (D)2
α

解析:因为 f(x)=k·x 是幂函数, 所以 k=1. 又 f(x)的图象过点( , ),

所以( ) = ,

α

所以α = ,

所以 k+α =1+ = .故选 C. 2.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是( D
2

)

解析:对于选项 A,C 都有

所以 abc<0,故排除 A,C;对于选项 B,D,都有- >0,
1

即 ab<0,则当 c<0 时,abc>0.选 D. 2 3.函数 f(x)=ax -(a-1)x-3 在区间[-1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( (A)(-∞, ] (B)(-∞,0]

D )

(C)(0, ]

(D)[0, ]
2

解析:由于函数 f(x)=ax -(a-1)x-3 在区间[-1,+∞)上是增函数, 所以实数 a 应满足 或 a=0.

由此得 0≤a≤ .故选 D. 4.(2016·湖北宜昌二模)函数 f(x)=-2x +6x(-2≤x≤2)的值域是( C ) (A)[-20,4] (B)(-20,4) (C)[-20, ] (D)(-20, )
2

解析:由函数 f(x)=-2x +6x 可知,二次函数 f(x)的图象开口向下,对称轴为 x= ,当-2≤x< 时,

2

函数 f(x)单调递增,当 ≤x≤2 时,函数 f(x)单调递减,

函数的最大值为 f( )= , 又 f(-2)=-20, f(2)=4.故选 C. α 5.(2016·湖北荆州高三上学期期末)幂函数 y=x ,当α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它 们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点 A(1, a b 0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=x ,y=x 的图象三等分,即有 BM=MN=NA,那么 a- 等于( A )

(A)0

(B)1

(C) (D)2

2

解析:因为 BM=MN=NA, 点 A(1,0),B(0,1), 所以 M( , ),N( , ),

分别代入 y=x ,y=x ,得 a=lo

a

b

,b=lo

,

所以 a- =lo

-

=0.故选 A.
2-m 2

6.(2016·四川绵阳市高考诊断)已知函数 f(x)=x 是定义在区间[-3-m,m -m]上的奇函数, 则下列成立的是( A ) (A)f(m)<f(0) (B)f(m)=f(0) (C)f(m)>f(0) (D)f(m)与 f(0)大小不确定 解析:因为函数 f(x)是奇函数, 2 所以-3-m+m -m=0, 解得 m=3 或-1. -1 当 m=3 时,函数 f(x)=x , 定义域不是[-6,6],不合题意; 3 当 m=-1 时,函数 f(x)=x 在定义域[-2,2]上单调递增, 又 m<0,所以 f(m)<f(0).故选 A. 2 7.已知二次函数 f(x)=ax +2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 a+c 的最小值是( A ) (A)2 (B)4 (C)4 (D)2
2

解析:由题二次函数 f(x)=ax +2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞), 所以 a>0,Δ =4-4ac≤0, 所以 a>0,c>0,ac≥1, 所以 a+c≥2 ≥2,

当且仅当 a=c=1 时取等号.故选 A. 2 8.(2015·合肥模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,则 f(x)= . 解析:由题意知 所以 f(x)=x +2x+1. 2 答案:x +2x+1 9.若 y= 是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,则整数 a 的值是
2

解得

. 解析:因为函数在(0,+∞)内是减函数, 2 所以 a -4a-5<0. 所以-1<a<5,则整数 a=0,1,2,3,4.

3

又函数是偶函数, 2 所以 a -4a-5 是偶数, 所以整数 a 的值可以是 1,3. 答案:1 或 3 2 10.已知关于 x 的方程 x -2mx+m-3=0 的两个实数根 x1,x2 满足 x1∈(-1,0),x2∈(3,+∞),则实 数 m 的取值范围是 . 解析:由题意可知

所以



所以 <m<3.

答案:( ,3) 能力提升练(时间:15 分钟) 11.函数 y=x- 的图象大致为( A )

解析:函数 y=x- 为奇函数.排除 C,D;当 x>0 时,由 x- >0,即 x >x 可得 x >1,即 x>1,结合选 项.故选 A. 2 12. 导学号 18702066 已知函数 f(x)=ax +bx+c,且 a>b>c,a+b+c=0,则( (A)? x∈(0,1),都有 f(x)>0 (B)? x∈(0,1),都有 f(x)<0 (C)? x0∈(0,1),都有 f(x0)=0

3

2

B )

4

(D)? x0∈(0,1),都有 f(x0)>0 解析:由 a>b>c,a+b+c=0 可知 a>0,c<0, 抛物线开口向上,因为 f(0)=c<0,f(1)=a+b+c=0, 2 即 1 是方程 ax +bx+c=0 的一个根, 所以? x∈(0,1),都有 f(x)<0. 故选 B. 13. 导学号 18702067 函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且 f(x+1)为奇函数,当 x>1 2 时,f(x)=2x -12x+16,则直线 y=2 与函数 f(x)图象的所有交点的横坐标之和是( D ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 解析:f(x+1)为奇函数,函数图象关于(0,0)对称, 函数 f(x)的图象关于(1,0)对称. 2 当 x>1 时,f(x)=2x -12x+16. 2 当 x<1 时,由 f(x)=-f(2-x)知 2-x>1,从而可求 f(x)=-2x -4x. 2 令 2x -12x+16=2 可得 x1+x2=6, 2 令-2x -4x=2 可得 x3=-1.横坐标之和为 5.故选 D. 14.(2016·衡水中学高二上第二次调研)已知正实数 x,y 满足 xy+2x+y=4,则 x+y 的最小值 为 . 解析:因为 x,y 为正实数,且 xy+2x+y=4,设 x+y=k>0,则 y=k-x 代入已知式子得 2 x(k-x)+2x+k-x-4=0,整理得 x -(k+1)x-k+4=0,关于 x 的方程有解,所以Δ =[-(k+1)] -4×(4-k)≥0,解之得 k≤-3-2 所以 k≥2 答案:2 -3
2 2

或 k≥2

-3,又因为 k>0,

-3,即 x+y 的最小值为 2

-3.

15. 导学号 18702068 已知函数 f(x)=ax +2ax+4(0<a<3),若 x1<x2, x1+x2=1-a,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是 . 解析:法一 由题意知,函数 f(x)的图象开口向上,对称轴为 x=-1, 则当 0<a<3 时, = ,-1< < .

又 x1<x2,故 x1 比 x2 离对称轴近, 所以 f(x1)<f(x2). 法二 f(x1)-f(x2)=a +2ax1-(a +2ax2) =a(x1+x2)(x1-x2)+2a(x1-x2) =(x1-x2)[a(x1+x2)+2a] 2 =(x1-x2)(3a-a )<0. 答案:f(x1)<f(x2) 16. 导学号 18702070 若 x∈[1,16],则 y=log2 ·log2 的值域是 .

5

解析:y=log2 ·log2 =(log2x-1)(log2x-4) 2 =(log2x) -5log2x+4. 设 t=log2x. 因为 1≤x≤16,所以 0≤t≤4. 所以 y=t -5t+4=(t- ) - .
2 2

所以当 t= 时,y 有最小值- .

此时由 log2x= 知 x=4

.

当 t=0 时,y 有最大值 4, 此时由 log2x=0 知 x=1. 故 f(x)的最大值是 4,最小值是- .

答案:[- ,4] 好题天天练 1. 导学号 18702071 若函数 f(x)= ( A ) (A) (B)[- ,+∞) ,其定义域为(-∞,1],则 a 的取值范围是

(C)(-∞,- ] (D)[- ,0) 解题关键:换元转化法. x x 解析:由题意得 1+3 +a·9 ≥0 的解集为(-∞,1], 即[( ) ] +( ) +a≥0 的解集为(-∞,1].
x 2 x

令 t=( ) ,则 t≥ ,

x

即方程 t +t+a≥0 的解集为[ ,+∞),

2

6

所以( ) + +a=0,

2

所以 a=- . 故选 A. 2.函数 f(x)=x +|x-a|,若 f( )和 f(- )都不是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围是(
2

C )

(A)(-∞, )

(B)[- , ]

(C)(- , )

(D)[ ,+∞)

解题关键:分类讨论、特值法. 解析:f(x)=

当 a= 时,f(x)在 x= 处取最小值.

当 a=- 时,f(x)在 x=- 处取最小值.故选 C.

7


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