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数系的扩充和复数的概念导学案


数系的扩充和复数的概念
一、教学目标 1.在问题的情境中了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾 (数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数 与现实世界的联系. 2.理解复数的基本概念和代数表示,能利用复数的有关概念对复数进行分类. 3.掌握两个复数相等的充要条件. 二、教学重点 (1)数系的扩充过程. (2)复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件,明白各数系的关系. 三、教学难点 (1)虚数单位 i 的理解. (2)复数的大小比较。 四、教学过程 (一) 、课题导入 问题 1:已知 x2=-1,求 x. 问题 2:考虑下列问题,你能否得到新的思路: 方程 x2-2=0 在已知数系中的解集探究: (1)在有理数集中。 (2)在实数集中。 探究一:复数的引入 问题 3:现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题? 怎么解决?你能具 体说一说吗?

探究点三:两个复数相等 问题 6:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数,我们把它们叫做复数:复数能比较大小吗?问题 7: 一个复数是由两部分组成的,如果两个复数的实部和虚部分别相等,他们相等吗?反之 亦然吗?

例题 例 1. 已 知 下 列 命 题 :①复 数 a+bi 一 定 不 是 实 数 ;②两 个 复 数 不 能 比 较 大 小 ;③若 (x2-4)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,其中 x∈ R,则 x=± 2;④ 若复数 z=a+bi,则当且仅当 b≠0 时,z 为 虚数;⑤ 若 a+bi=c+di,则 a=c 且 b=d.其中真命题的个数是( ).A.0 B.1 C.3 D.4 例 2 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数. 1 ①2+3i;②-3+2i;③ 2+i;④π;⑤- 3i;⑥0.

变式 1 由.

符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理 (2)虚部为- 2的虚数; (4)实部为- 2的纯虚数.

(1)实部为- 2的虚数; (3)虚部为- 2的纯虚数;

例3 探究二:复数的概念 问题 4:不仅仅 15i,11i 是虚数吧,你还能说出其他形式的虚数吗?那么通过运算,虚 数可以用 i 表示成什么形式呢?

m2 ? m ? 6 当实数 m 为何值时,复数 z= +(m2-2m)i 为 m

(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.

问题 5:实数与虚数组成了复数,那么 a ? bi(a, b ? R) 这种形式,什么时候表示实数, 什么时候表示虚数呢?

变式 2

m(m+2) 实数 m 为何值时,复数 z= +(m2+2m-3)i 是 m-1

⑥i 是方程 x4-1=0 的一个根;⑦ 2i 是一个无理数. 其中正确命题的个数为 A.3 个 B.4 个 C.5 个 2 6.复数 z=log2(x -3x-3)+ilog2(x-3),当 x 为何实数时: (1)z ? R; (2)z 为虚数; (3)z 为纯虚数? ( D.6 个 )

(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 例4 已知 x,y 均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求 x 与 y.

变式 3

求使不等式 m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10 成立的实数 m 的取值范围 7.关于 a 的方程是 a2-atanA-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角 A 和实数根。

(三) 、当堂检测 1.设集合 C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集 S=C,则下列结论中正确的是( ). A.A∪ B=C B.? SA=B C.A∩(? SB)=? D.B∩(? SA)=B 2.已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值分别是 ( )A. 2,1 B. 2,5
2

C.± 2,5

D.± 2,1 ( )

3.下列复数中,满足方程 x +2=0 的是 A.± 1 B.± i C.± 2i D.± 2i

(四) 、课堂小结(学生回答) 师总结:

4.如果 z=m(m+1)+(m2-1)i 为纯虚数,则实数 m 的值为( A.1 B.0 C.-1 D.-1 或 1 5.下列几个命题: ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等; ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等; ③1-ai(a∈R)是一个复数;④虚数的平方不小于 0; ⑤-1 的平方根只有一个,即为-i;

)


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