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lesson02



三个概念:



1. 参考系—— 为描述物体的运动而选择的标准物 2. 坐标系—— 定量确定物体相对于参考系的位置 3. 质点 —— 把物体当做只有质量没有形状和大小的点

描述质点运动的四个物理量: 1、位置矢量 2、位移 3、速度
? ? ? ? r = xi + yj ? zk

? ? ? ? r ? r2 ? r1
? v ? ? dr dt

4、加速度
? a ? ? dv dt ? ? d r
2

dt

2

§1-2 圆周运动和一般曲线运动
圆周运动是曲线运动的一个重要特例,可以把 圆周运动的研究推广到一般曲线运动中。对于一般 的曲线运动只要把圆周运动中的半径R 用曲率半径 ? 代替即可。圆周运动也是研究定轴转动的基础。 曲线运动
R R为半径

对于圆周运动,质点速度的大小和方向都在改变,即 存在加速度。采用自然坐标系,可以更好地理解加速 度的物理意义。
1

一、切向加速度和法向加速度

1.自然坐标系
自然坐标系:在轨道曲线上任取一点为坐标原点, 以“弯曲轨道”作为坐标轴。 自 t ?s Q 然 P t s 坐 ? 标 n n O 系 P处的坐标即为轨道的长度s (自然坐标) 运动方程 s ? s(t ) ? ? 方向描述:作相互垂直的单位矢量 t n ? ? 沿质点运动方向 t 其切向单位矢量为 e 方向都 t ? ? 其法向单位矢量为 en 指向轨道的凹侧 变化 n

2

2.自然坐标系描述下的圆周运动加速度
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向,因 此,自然坐标系中可将速度表示为:
? v ? ? dr dt

? ? ds e ? ve ? t t dt

由加速度的定义有 ? ? dv a? dt ? ? det dv e ? t ?v dt dt

3

以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义:

如图,质点在dt 时间内经历弧长ds,对应于角 位移d? ,切线的方向改变d?角度。 ? 作出dt始末时刻的切向单位矢, et? 由矢量三角形法则可求出极限 o ? e n d? 情况( dt→0 )下切向单位矢 ? d? et ds ? ? 的增量为:

? 即 d et 与P点的切向正交。因此
? det
4

det ? d? en

v ? ? d? ? ? en ? ?en ? en R dt dt

? ? et? d et d? ? et
P

P

于是前面的加速度表达式可写为: ? ? ? v2 ? ? ? det dv e dv e et? ? ? en a ? ?v t t ? dt dt R dt o a ? 即圆周运动的加速度可分解为两 en ? 个正交分量: et an ? 2 at v dv an ? P at ? R dt at称切向加速度,其大小表示质点速率变化的快慢; an称法向加速度,其大小反映质点速度方向变化的 快慢。法向加速度也叫向心加速度。

? a 的大小为 a ?

at ? an
2

2

? ? dv ? ? ? v ? ? ? ? ? ? dt ? ? R ?

2

2 2

5

? ? ? tan ?1 at a 的方向由它与法线方向的夹角给出为 a

n

推广:对于一般的曲线运动
? ? ? a ? at t ? an n
? v2 ? dv ? t ? n dt ?
a? ? at ? an
2 2 2

? a

? v2 ? ? dv ? ? ? ?? ? ? ? ? dt ? ? ? ?

2

? an

?

? at

利用自然坐标,一切运动都可用 切向、法向加速度表示:

? ? a 与 t 的夹角

a n= 0 a n= 0 an ? 0
6

at = 0 at ? 0 at = 0 at ? 0

匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动

? ? tg

?1

an at

an ? 0

二、圆周运动的角量描述

y
B:t+?t ?? A:t

前述用位矢、速度、加速度 描写圆周运动的方法 ,称线量 描述法;由于做圆周运动的质 点与圆心的距离不变,因此可 用一个角度来确定其位置 ,称 为角量描述法。

?

o

x

设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作 圆周运动,如图。以ox轴为参考方向,则定义质点的

角位置为
角位移为 平均角速度为
7

?
规定反时针为正 ? ? ?? ?t ??

角速度为

? ? lim
?t ?0

?? ?t

?
2

d? dt

角加速度为

??

d? dt

?

d? dt
2

角 速 度 的 单位: 弧度/秒(rad?s-1) ; 角加速度的单位: 弧度/平方秒(rad ?s-2) 。

讨论:
(1) 角加速度?对运动的影响: ?等于零,质点作匀速圆周运动; ?不等于零但为常数,质点作匀变速圆周运动; ?随时间变化,质点作一般的圆周运动。
8

(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 角位移与角加速度的关系式为 ? ? ? 0 ? ?t ? ? 2 ? ? ? 0 ? ? 0t ? ?t / 2 ? 2 2 ? ? ? 0 ? 2? (? ? ? 0 ) ? ? 与匀变速直线运动的几个关系式 v ? v0 ? at ? ? 2 x ? x0 ? v0t ? at / 2 ? ? 2 2 v ? v0 ? 2a ( x ? x0 ) ?
比较知:两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把 平面圆周运动转化为一维运动形式,从而简化问题。
9

(3)线量与角量之间的关系 圆周运动既可以用速度、加速度描述,也可以用 角速度、角加速度描述,二者应有一定的对应关系。 如图所示,一质点作圆周运动:

在?t 时间内,质点的角位移 为??,则A、B间的有向线段 与弧长将满足下面的关系

B
R O

t+?t ?0+?? A ?0 t x

lim AB ? lim AB
?t ? 0 ?t ? 0

?

?

? +??

两边同除以?t,得到速度与角速度之间的关系:

v ? R?
10

将上式两端对时间求导,得到切向加速度与角加速 度之间的关系:

at ? R?
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式, 得到法向加速度与角速度之间的关系:

an ?
P18 例1-2
11

v

2

R

? R?

2

例1-3

例1-4

三、抛体运动的矢量描述

抛体运动: 从地面上某点向空中抛出的物体
在空中所做的运动称抛体运动。
以抛射点为坐标原点建立坐标系,水平方向为x 轴,竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0,抛 射角为? , 则初速度分量分别为: y ? v 0 x ? v 0 cos ? , v 0 y ? v 0 sin ? v0 ? ? ? ? v 而加速度恒定 a ? g ? ? g j v0 y ? x 故任意时刻的速度为: ? g O ? ? v0 x ?
v ? ( v 0 cos ? ) i ? ( v 0 sin ? ? gt ) j
12

将上式积分,得到运动方程的矢量形式为
? r ?

?

t

0

? ? ( v 0 cos ? ) i d t ? ( v 0 sin ? ? gt ) j d t

? ? 1 2 ? ( v 0 t cos ? ) i ? ( v 0 t sin ? ? gt ) j 2

消去此方程中的时间参数t,得到抛体运动的轨迹 方程为

y ? x tg ? ?

1
2

gx

2 2

2 v 0 cos ?

此为一抛物线方程,故抛体运动也叫抛物线运动。
13

令y = 0 ,得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标H , 它就是射程:

H ?

v 0 sin 2?
2

g
根据轨迹方程的几何关系, 求得最大射高为: v0 y

y ? v0
?

h?

v 0 sin ?
2 2

2g

O v 0x

? g

? v
h H

x

14

由方程

? ? 1 ? 2 r ? ( v 0 t cos ? ) i ? ( v 0 t sin ? ? gt ) j 2

可知,抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运 动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分 析方法称为运动的分解。 运动的分解可有多种形式。例如,抛体运动也 可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向 的自由落体运动的叠加:
? ? 1 ? r ? ( v 0 cos ? i ? v 0 sin ? j ) t ? gt 2 ? 1 ? 2 ? v 0t ? gt j 2
15
2

? j

这种分解方法可用 下图说明 y
? v 0t 1 ?
2 gt

还可用子弹打猴子的古老演 示来证实: 猎人瞄准树上的猴
子射击,猴子一见火光就跳下自 由下落,能不能避开子弹?

? r
O
? 1 ? ? 2 r ? v 0 t ? gt j 2

x

打猴演示

16

§1-3 相对运动 常见力和基本力
一、相对运动 运动是绝对的,但是运动的描述具有相对性, 在不同参考系中研究同一物体的运动情况结果会完 全不同。

车上的人观察
17

地面上的人观察

研究的问题: 在两个参考系中考察同一物理事件

小船运动

飞机
18

1.伽利略坐标变换
不同参考系对同一个运动描述的结果不同,其 结果之间是否有某种联系呢? ? y y' 考虑两个参考系中的 v 坐 标 系 K 和 K'(Oxyz 和 O'x'y'z'),它们相对作匀速 直线运动。 在t=0时刻坐标原点重 合,对于同一个质点P, 在任意时刻两个坐标系中 的质点对应的位置矢量: o z z' P

? r
o'

? r?
x x'

? ? r 和 r ? 的关系?

19

K'系原点相对K系原点的位矢:
从图中很容易看出矢量关系: ? ? ? r ? r?? R 成立的条件:绝对时空观! 空间绝对性:空间两点距离的 测量与坐标系无关。在K系 和K'系都有: ? ? O ?P ? r ? 时间绝对性:时间的测量 z 与坐标系无关。

y

y'

? v
P

? r
o

? r?
o'

? R
z'

x x'

t ? t?
20

因此,满足经典时空观的条件时 ? ? ? ? ? r ? ? r ? R ? r ? vt

t? ? t P点在K系和K'系的空间坐标、 时间坐标的对应关系为: x? ? x ? vt y? ? y

y

y'

? v
P

? r
o z

? r?
o'

z? ? z
t? ? t
此为伽利略坐标变换式
21

? R
z'

x x'

2. 速度变换与加速度变换
(1) 速度变换 ? ? v K 、 v K ? 分别表示质点在两个坐标系中的速度 ? ? ? ? dr? d r ? d(r ? v t ) ? ? ? vK? ? ? ? ? vK ? v d t? dt dt ? ? ? 即 v ? v ? v 此为伽利略速度变换
K? K
相对速度 绝对速度

牵连速度

在直角坐标系中写成分量形式 vK? x ? vK x ? v vK? y ? vK y vK? z ? vK z
22

对于相对于地面竖直下落的物体A,可以作出A 在各个坐标系中的速度方向,如下图,满足矢量三角 形法则。 v tg ? ? vK 为了便于记忆,通常把速 y ? ' y v 度变换式写成下面的形式 ? ? vK? ? vK ? ? ? A v AK? ? v AK ? v K?K ? v 注意: 低速运动的物体满 o' o 足速度变换式,并且可通过实 x x' 验证实,对于高速运动的物体, 上面的变换式失效。 z z'
24

(2) 加速度变换


25

? 设K'系相对于K系作匀加速直线运动,加速度a 0 沿x方向。 ? ? t ? 0, v ? v 0 ? ? ? K'系相对于K系的速度 v ? v 0 ? a 0 t ? ? ? d vK d vK? d v ? ? (将速度变换对t求导) dt dt dt ? ? ? 可以得到: aK ? aK? ? a0 ? ? ? 当a0 ? 0时, aK ? aK ?
表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。

P26 例1-6

例1-7 例1-8

二、常见力和基本力 1、重力 1、定义
在地球表面的物体,受到地球的吸引 而使物体受到的力叫做重力。

北极
? ?? m? 2 r r P
? mg

o?

2、说明
?由于地球自转,重力并不是地球的引力, 而是引力沿竖直方向的一个分力,地球引

o

? G

力的另一个分力提供向心力。
?重力与重力加速度的方向都是竖直向下。

南极 ?

忽略地球自转: g ?
26

G0 M R
2

2、弹性力
物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力称为弹性力。 常见的弹性力有: ?弹簧被拉伸或压缩时产生的弹性力; ?绳索被拉紧时产生的张力; ?重物放在支承面上产生的正压力和支持力等。
胡克定律:在弹性限度内,弹性 力的大小与弹簧的伸长量成正比, 方向指向平衡位置

F ? ? kx

27

3、摩擦力 1、定义
两个物体相互接触,由于有相对运动或者相对运动的趋势, 在接触面处产生的一种阻碍物体运动的力,叫做摩擦力。

2、静摩擦力
物体没有相对运动,但有相对运动的趋势

最大静摩擦力
3、滑动摩擦力

f s ? ?s N

物体有相对运动,滑动摩擦力与正压力成正比

滑动摩擦力

f k ? ?k N

28

其中?s为静摩擦系数,?k为滑动摩擦系数。它们 与接触面的材料和表面粗糙程度有关;N为正压力。 ?k ? ? s ? 1

4、万有引力
存在于一切物体间的相互吸引力。在两个 相距为r,质量分别为m1,m2的质点间万 有引力的方向沿着它们的连线,其大小与 它们的质量的乘积成正比,与它们之间的 距离的平方成反比

F ? G?

m1m 2 r
2
?11

G ?= 6.67 ? 10

N ? m ? kg
2

?2

重力是地球表明附近物体所受的地球的引力,即物体与 地球之间的万有引力

G ? mg
29

g = 9 .8 m ? s

?2

5、电磁力
电磁力:存在于静止电荷之间的电性力以及存在于 运动电荷之间的磁性力,本质上相互联系,总称为电磁力。 分子或原子都是由电荷系统组成,它们之间的作用力 本质上是电磁力。例如:物体间的弹力、摩擦力,气体 的压力、浮力、粘滞阻力。

6、强力
强力:亚微观领域,存在于核子、介子和超子之间的、 把原子内的一些质子和中子紧紧束缚在一起的一种力。

作用范围: 10 ?
7、弱力
30

?15

?10 ~ 0.4 ? 10 m? ?15 ?? 0.4 ? 10 m

?15

?15

m引力 斥力

弱力:亚微观领域内的另一种短程力,导致?衰变放 出电子和中微子的重要作用力。

四种基本力的比较

31

★ 物理学家的目标:
?四种力可否从一种更基本、更简单的力导出? ?各种力是否能统一在一种一般的理论中?

★已做和待做的工作:
?20世纪20年代,爱因斯坦最早着手这一工作。 最初是想统一电磁力和引力, 但未成功。 ?弱、电统一:1967年温伯格等提出理论 1983年实验证实理论预言 ?大统一 :弱、电、强 统一已提出一些理论 因目前加速器能量不够而无法实验证实。 (需要1015GeV, 现103GeV) ?超大统一:四种力的统一
32

练习:判断下面说法是否正确: 质点作圆周运动时的加速度指向圆心
加速度有切向也有法向,只有匀速圆周运动是指向圆心的

匀速圆周运动的加速度为恒量
匀速圆周运动时加速度指向圆心,但方向一直在变

只有法向加速度的运动一定是圆周运动
只有法向加速度时可能是一般的曲线运动,仅当加速度方 向始终指向一点时为圆周运动

只有切向加速度的运动一定是直线运动

33


? ?曲线运动 ? ? ? ?



抛体运动 圆周运 动

? 匀速率圆周运动 ? ds ? Rd? ? ? 变速圆周运 ds ? Rd? ?

?运动的描述
2 ? v ? an ? ? R ? ? a ? dv t ? dt ?



线量

? ?? ? 关系 角量 ? ?? ? ?

?

?

ds d? v ? ds ? R d? v ? dt ? R dt dt dt 2 v ? 2 ? ? R? an ? R R a t ? R? a ? R?
t

?相对运动

?几种常见的力和四种基本力 重力、弹性力、摩擦力; 万有引力、电磁力、强力、弱力

v绝 ? v 相 ? v牵
----伽利略速度变换公式





P47—P49

1-7 1-21


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