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高中数学选修4-4 1.2极坐标系


从这向北 2000米。

请问:去?? 中学怎么走?

请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么? 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 !

出发点

方向

距离

在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。

一、极坐标系的建立:
在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向(通常取逆时针 O 方向)。

X

这样就建立了一个极坐标系。

二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M,用 ? 表示线段OM的 长度,用 ? 表示从OX到 OM 的角度,? 叫做点M 的极径, ?叫做点M的极 角,有序数对(?,?)就 O 叫做M的极坐标。

M ?

?
X

特别强调:?表示线段OM的长度,即点M到 极点O的距离;?表示从OX到OM的角度,即 以OX(极轴)为始边,OM 为终边的角。

题组一:说出下图中各点的极坐标
?
2
5? 6
C E D O B A X

?
4

?
4? 3

F

G

5? 3

特别规定: 当M在极点时,它的 极坐标?=0,?可以取任意值。
想一想?

①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的?

④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?

三、点的极坐标的表达式的研究
M ? ? 如图:OM的长度为4, ? 4 请说出点M的极坐标的其 ? 他表达式。 O X 思:这些极坐标之间有何异同? 极径相同,不同的是极角 思考:这些极角有何关系? 这些极角的始边相同,终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π? ? ? 2kπ+ 4 ? 本题点M的极坐标统一表达式:4, ? ?

?

题组二:在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4? D(5, ) 3 5? G (6, ) 3 B(6, 2? ) 5? E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, ? )

?

?
2
5? 6

?
4

?

E F O

C A B X

4? 3

D

G

5? 3

四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况
[1]给定(?,?),就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M O (ρ,θ)… X

[2]给定平面上一点M,但 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于:极角有无数个。

如果限定ρ>0,0≤θ<2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.

小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素

极点;极轴;长度单位;角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式? 无数,极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式?

有。(ρ,2kπ+θ)

极坐标和直角坐标的互化

平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )

这个点如何用极坐标表示?

在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位

y

M (1, 3)

θ
O
x

点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)

M ( 2, ∏ / 3)

?? 1 ? 3 ?2 ( )
2 2

3 tan? ? ? 3 1

极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)

y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x
2 2 2

x=ρcosθ, y=ρsinθ

互化公式的三个前提条件:
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半

轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.

例1. 将点M的极坐标

2? (5, ) 3

5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为(? , 2 2

化成直角坐标. 2? 5 ?? 解: x ? 5 cos 3 2 2? 5 3 y ? 5 sin ? 3 2

已知下列点的极坐标,求它们的直 角坐标。

A ( 3, ) 6 3 ? D ( , ) 2 4

?

B ( 2, ) 2

?

C (1,? ) 2

?

3? E ( 2, ) 4

例2. 将点M的直角坐标

(? 3, ?1)

化成极坐标.

( ) 解: ? ? ( ? 3 ) ? ? 1 ? 2
2 2

?1 3 tan? ? ? ? 3 3 7? 因为点在第三象限, 所以 ? ? 6 7? 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6

练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.

A ( 3,? 3 )

B (1, 3 )

C (5,0) E ( ?3,?3)

D (0,?2)

π),(3, ) π 例3 已知两点(2,
3 求两点间的距离. B

2

π 解:∠AOB =
6

A o

用余弦定理求 AB的长即可.

x


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