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江西省九江市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


九江一中 2015—2016 学年度下学期期中考试试卷 高二数学(文)
满分:150 分 时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1 已知复数 z ? A. 1

1? i ,则 | z | 是( i



B.

2

C. 2

D.

3
) D. 4031

2 已知等差数列 ?an ? 满足 a5 ? 9, a10 ? 19 ,则 a2016 ? ( A.4030 B.4033 C.4032 )

3 函数 y ? x2 cos x 的部分图象可以为(

4 已知集合 A ? x y ? A.

?

? x 2 ? 2 x ? 3 , B ? ? y y ? 3x ? 1,1 ? x ? 2? ,则 A ? B ? (

?



? x 2 ? x ? 3?

B.

? x ?1 ? x ? 5?

C. x 2 ? x ? 5

?

?

D. x 3 ? x ? 5

?

?
)

5 已知双曲线 A.

x2 y 2 a 2 ? e2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线斜率是 1 , 离心率是 , 则 的最小值是 ( e a 2 b2 b
B. 2 2 C.

2

3

D. 2 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 6 已知实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是( ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
A.6 B.7 C.8 ) D. 9



7.如图所示的程序框图输出的结果是(

1

A. C.

B. D.

8 对于数 89 ,进行如下计算: 82 ? 92 ? 145, 12 ? 42 ? 52 ? 42 , 42 ? 22 ? 20 ??? ,如此反复运算,则 第 2016 次运算的结果是( A.16 B.37 ) C.58 D.89

2 9 已知函数 f ( x ) 为定义在 [0,1] 上的单调递减函数,若 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,则 x 的取值范围是(

A. [1 ? 5,1 ? 5]

B. [1 ? 5, ?1]

C. [?2,1 ? 5]

1 2 D. [? 2, ?1]

)

x2 y 2 10 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 , (a ? b ? 0) , F1 , F2 分别为椭圆的左,右焦 a b
点,如图过 F2 且斜率为 1 的直线与椭圆相交于 P, Q 两点,且 则椭圆的离心率 e ? ( A. )

y

| PF2 | ? 2, | QF2 |

Q F1 P F2 x

2 2

B.

2 3

C.

1 2

D.

3 3

11 已知 A, B 是圆 C : x2 ? y 2 ? 1 上两点,且 OA ? OB ? ?1 ,点 P 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上一点,则 PA ? PB 的最小值是 ( A.3 B.2 ) C.1 D.0

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

12 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 则关于 x 的方程 f ( x) ? a, (0 ? a ? 1) 的所有根之和为( A. 2 ? 1
a

? ?log 2 ( x ? 1), x ? [0,1] , ? ?| x ? 3 | ?1, x ? (1, ??)


B. 2 ? 1
a

C. 1 ? 2

?a

D. 1 ? 2

?a

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为选考题, 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 已知关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x |? k 恒成立,则实数 k 的取值范围是 14 已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b cos C ? c cos B ? 4b ,则

a =________. b
2

15 “ 函数 f ( x) ? ?

?(a ? 1) x ? 2, x ? 2 ?a , x ? 2
x

在 R 上是单调递增函数” 是 “函数 g ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 1) 在 [1, ??)

上是单调递增函数”的 也不必要”);

条件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分

16 已知抛物线 y 2 ? 2 px , ( p ? 0) 上存在两点关于直线 y ? x ? 1 对称,则 p 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且

cos B ? cos A cos C ? 3 sin A cos C ? 0 .
(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 c ? 2 时,求 ?ABC 周长的最大值. 18.(本小题满分 12 分)某校为响应市委关于创建国家森林城市的号召,决定在校内招募 16 名男生和 14 名女生作为志愿者参与相关的活动,经调查发现,招募的男女生中分别有 10 人和 6 人担任校学生干部, 其余人未担任何职务. (1)根据以上数据完成 2 ? 2 列联表:

职务 性别 男 女 总计

担任学生干部

未担任学生干部

总计

10 6

16 14 30

(2) 根据 2 ? 2 列联表的独立性检验,能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与担任学生干部有 关? (3) 如果从担任学生干部的女志愿者中(其中恰好有 3 人会朗诵)任意选 2 人在晨会上发言,则选到的志 愿者中至少有一人会朗诵的概率是多少? 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

P( K 2 ? k0 )

0.40 0.708

0.25 1.323

0.10 2.706

0.010 6.635

k0

3

19.(本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 为单调递增数列,且满足 a3 ? a4 ? 12, a1 ? a6 ? 32 , (Ⅰ)若 bn ? log 2 an ,试求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和为 Sn 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 已知 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与椭圆 C 交于 M , N 两点,若 AM , AN 的斜率 k1 , k2 满 足 k1 ? k2 ? ?1 ,求直线 l 的方程 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f x = 2 ln x +

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且点 (1, ) 在椭圆上, 2 2 2 a b

( )

1 2 x - ( a +1) x , a ? R . 2

(1) 若函数 f x 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行,求实数 a 值;

() ()

(2,) 3 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (2) 若函数 f x 在区间
(3) 设

x = m 和 x = n 是 函 数 f ( x) 的 两 个 极 值 点 , 其 中 m ? n , 若 a ? 2e ?

2 ?1 , 求 证 : e

1 f (n) ? f ( m) ? 2 ? e ? .( e 是自然对数的底数) e
四 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 (1)已知在极坐标系中,直线 l 过点 (2, 0) 、倾斜角为

? ? ,求 M (2, ) 到直线 l 的距离; 6 3

1 ? x ? ?t ? ? ? ? x ? 2 cos ? 2 (t ? R, t为参数) , ? (? 为参数) ,判断 (2) 已知直线和椭圆的的参数方程分别是 ? ? ? y ? 3 sin ? ?y ? 1 ?t ? ? 2
直线与椭圆的位置关系,并说明理由,若相交求出相交弦长. (23)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 4 x ? (1) 求 m

1 , ( x ? 0) ,记 m ? f min ( x) ; x

(2) 解关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1|? m

4

答案(文科) B D C A B 13. C D D B B C A

k ? 1 14. 4

15. 既不充分也不必要 16. 0 ? p ?

2 3

17 (1) cos C ?

1 , (2) (l?ABC )max ? 6 2

18(1)

职务 性别 男 女 总计

担任学生干部

未担任学生干部

总计

10 6 16

6 8 14

16 14 30

(2) K 2 ? 1.157 ? 2.706 , 不能在犯错的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与担任学生干部有关 (3) p ?

4 5
(2) Sn ? n ? 2n ? 2

19 (1) bn ? n ? 1

20(1)

x2 y 2 ? ? 1 (2) y ? x ? 1 4 3
2 x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ( x ? 0) , ? x ? (a ? 1) ? x x

21(Ⅰ) ∵ f ?( x) ?

∴ f ?(1) ? 0 ? a ? 2 .?????????3 分

(2,) 3 上单调递减 ? f '( x) ? 0 在区间 (2,) 3 上恒成立. (Ⅱ) ∵ 函数 f x 在区间
x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 ? x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 上恒成立. ?5 分 x
2

()



设 g ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 2 ,则只需 ?

? g (2)=4 ? 2(a+1)+2 ? 0 8 ,解得 : a ? 3 ? g (3) ? 9 ? 3(a ? 1) ? 2 ? 0
5

(或: f ?( x) ?

2 2 ? x ? (a ? 1) ? 0恒成立 ? a ? 1 ? ( ? x) max ) x x
8 .???8 分 3
1 2 1 n ? (a ? 1)n ? 2 ln m ? m 2 ? (a ? 1)m 2 2

∴实数 a 的取值范围 a ?

(Ⅲ)证明: f (n) ? f (m) ? 2 ln n ?

? 2 ln

n 1 n 1 2 ? (n ? m 2 ) ? (m ? n)(n ? m) ? 2 ln ? (n 2 ? m 2 ) , m 2 m 2
2

由已知有 m,n 是方程 x -(a+1)x+2=0 的两个根,所以 mn ? 2 ?

m=

2 , n

于是, f (n) ? f (m) ? 2 ln

n2 1 2 4 ? n ? 2 . 2 2 n

?????????????10 分

由 0<m<n,可得 n >2,解得 n> 2 .∵ a≥ 2e ?
2

2 ?1, e



m+n=a+1≥ 2e ?

2 2 ,即 +n≥ 2e ? e n

2 , e

可解得 0<n≤

2 (舍去),或 n≥ 2e . e

??????????????11 分



1 n2 2 =t,则 n =2t,且 t≥e, f (n) ? f (m) ? 2 ln t ? t ? , t 2
=﹣ <0;

令 g(t)=2lnt﹣t+ ,则 g′(t)= ﹣1﹣

故 g(t)=2lnt﹣t+ 在[e,+∞)上单调递减,∴gmax(t)=2﹣e+ ; 故 f(n)﹣f(m)≤2﹣e+ .????14 分 22 (1) d ? 2 ,(2)相交,弦长是 23 (1) m ? 3 (2) x ? 0, 或 x ? 3

24 7

6


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