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黑龙江省哈六中10-11学年高二数学下学期期末考试


哈尔滨市第六中学 2010-2011 学年度下学期期末考试高二文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1. A ? x x ? a ? 1, x ? R ?, B ? x 1 ? x ? 5, x ? R 若A ? B ? ? , 则实数 a 的取值范围是( (A)

r />(A)

1 3

(B)

5 18

(C)

2 9
)

(D)

1 6

8.如果执行下面的框图,运行结果为( (A) 2 2 (B) 3 (C) 10
2

(D)4
2

?

?

?

)

9.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是 ( )

?a 0 ? a ? 6 ?

(B)

?a a ? 2, 或a ? 4 ?(C) ?a a ? 0, 或a ? 6 ?
) (C)第三象限
^

(D) ?a | 2 ? a ? 4?

2. 在复平面内,复数 (A)第一象限

(1 ? 3i ) 2 对应的点位于( i
(B)第二象限

? 2 ? ? , 0? ? 3 ? ? (A)
? 3 3? , ? ?? 3 3 ? ? (C)

3? ? ??, ? ? ? ? 0, ? ?? ? 4 ? ? (B)

(D)第四象限 )

3.已知变量 x, y 呈线性相关关系,回归方程为 y ? 0.5 ? 2 x ,则变量 x, y 是( (A)线性正相关关系 (C)线性负相关关系 (B)由回归方程无法判断其正负相关 (D)不存在线性相关关系

? 3 ? 0? ?? , (D) ? 4 ?

10.甲、乙两组数据分别为甲:28,31,39,45,42,55,58,57,66;乙:29,34,35,48,42,46,55,53,55,67 则甲、乙的 中位数分别是( ) (A) 45,44 (B)45,47 (C) 42,46 (D)42,47 11.若直线 ? ) (A)-3 )

4.点 P( x, y ) 在直线 4 x ? 3 y ? 0 上, 且满足 ?14 ? x ? y ? 7 , 则点 P 到坐标原点距离的取值范围是( (A) [0,5] (B) [0,10] (C) [5,10] (D) [5,15]

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k 为( ? y ? 2 ? 3t
(B) ?

)

5. 若圆 C 的半径为 1, 圆心在第一象限, 且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切, 则该圆的标准方程是(

1 6

(C) ?

1 3

(D) -6

7? ? (A) ( x ? 3) ? ? y ? ? ? 1 3? ?
2

2

(B) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

x2 y2 12. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线的右支上,直线 a b
且平分 ?F1 PF2 , 过 O 作与直线 l 平行的直线交 PF1 于 M 点, 则 MP ? a , l 为过 P 且切于双曲线的直线,

(C) ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

(D) ? x ?

6.如图给出的是计算

1 1 1 的值的一个程序框图,则图中判 ? ??? 2 4 100
)

? ?

3? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2?

2

利用类比推理:若椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上,直线 l 为 a2 b2

断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( (A) i ? 100, n ? n ? 1 (C) (D) i ? 50, n ? n ? 2

过 P 且切于椭圆的直线,且平分 ?F1 PF2 的外角,过 O 作与直线平行的直线交 PF1 于 M 点,则 | MP | 的 值为 ( ) (A) a (B) b (C) c (D)无法确定

(B) i ? 100, n ? n ? 2

i ? 50, n ? n ? 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

7.同时抛掷两个表面上标有数字的正方体,其中有两个面的数字 是 1,两个面的数字是 2,两个面上的数字是 4,则朝上的点数之 积为 4 的概率为( )
1

? x ? 2 y ? 10 ? 2x ? y ? 3 ? 13.设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P( x, y ) 到直线 x ? y ? 10 距离的最大值 ? 0? x?4 ? ? y ?1
是_______. 14 . 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 cos ? , 则 该 圆 的 圆 心 到 直 线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 的 距 离



.

受考官进行面试,求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?

15. 甲,乙两辆车在某公路行驶方向如图,为了安全,两辆车在拐入同一公路时,需要有一车等待 .已 知甲车拐入需要的时间为 2 分钟,乙车拐入需要的时间为 1 分钟,倘若甲、乙两车都在某 5 分钟内到达 转弯路口,则至少有一辆车转弯时需要等待的概率 16.某医疗机构研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较, 提出假设 H 0 : “这种血清不能起到预防 另外 500 感冒的

作用”,利用 2 ? 2 列联表计算得 k 2 ? 3.918 ,经查对临界值表知 P( K 2 ? 3.84) ? 0.05 .对此,四名同学 做出了以下判断: ①有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;②若某人使用该血清,那么他在一年中有 20. (本小题满分 12 分)以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ③这种血清预防感冒的有效率为 95% ;④这种血清预防感冒的有效率为 5% ;

95% 的可能性感冒;

则下列结论中,正确结论的序号是 ______ .(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题 17. (本小题满分10分)一个口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、 乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和为 偶数算甲赢, 否则算乙赢. (Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 18. (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯 形,AD∥BC,∠BCD=90° ,PA=PB,PC=PD (1)证明:平面 PAB ? 平面 ABCD; (2)如果 AD ? 1 , BC ? 3, CD ? 4 ,且侧面 PCD 的面积为 8, 求四棱锥 P ? ABCD 的体积。 19. (本小题满分 12 分)某高校在 2011 年的自主招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分 布表如下所示. (1)请先求出频率分布表中①,②位置相应的数据,再完成下 列频率分布直方图;并确定中位数。 (结果保留 2 位小数) (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3,4, 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的条件下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接
2

? x ? 2 ? 4 cos ? ? (? 是参数) 直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 ? 0 ,曲线 C1 的参数方程为 ? 1 4 y ? ? sin ? ? ? 2

?

(1)若把曲线 C1 上的横坐标缩短为原来的 求曲线 C2 在直角坐标系下的方程

1 ,纵坐标不变,得到曲线 C2 , 4

(2)在第(1)问的条件下,判断曲线 C2 与直线 l 的位置关系,并说明理由;

21. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b ( x ? R )的图象
2

与两个坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为 C . (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; 22. (本小题满分 12 分)
a ? b( x ? 0). ,其中 a, b ? R x (1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y=3x+1,求函数 f ( x ) 的解析式;

已知函数 f ( x ) ? x ?

(2)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

2012 届高二下学期——文科数学期末考试试题答案

满分 150 分
1-5 CBCBB 13.

时间 120 分钟

日期:2011.7.6
11-12 DA

(3)

6-10CABDB

3 5

4 2 14.

5 5

15.

1 2

20. (1)曲线 C 2 的轨迹是 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 --------------5 分 16. ① (2)直线为 x ? y ? 2 ? 0 圆心到直线的距离是 d ?
2

1 2

1 2

2 ?1

所以直线和圆相离----10

17.解: (I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.???2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5 = 25 ( 个 ) 等 可 能 的 结 果 , ???4分 所以 P( A) ?
5 1 ? . ?????????????????????????6分 25 5

21 .解: ( 1 )显然 b ? 0 .否则,二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 的图象与两个坐标轴只要有两个交点

(0,0),(?2,0) ,这于题设不符.
由 b ? 0 知,二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 的图象与 y 轴有一个非原点的交点 (0, b) ,
2

1 答:编号的和为6的概率为 .???????????????????7分 5 (Ⅱ)这种游戏规则不公平.???????????????????9分 设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, ??????????10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2) , (4, 4), (5, 1) , (5,3), (5,5).
13 13 12 ,从而乙胜的概率P(C)=1- = .14分 25 25 25 由于P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. ??????15分 18.(1)解:取 AB、CD 的中点 E、F。连结 PE、EF、PF, 由 PA=PB、PC=PD 得 PE⊥AB,PF⊥CD ?EF 为直角梯形的中位线,? EF ? CD 又 PF ? EF ? F ,?CD ? 平面 PEF

故它与 x 轴必有两个交点,从而方程 x ? 2 x ? b ? 0 有两个不相等的实数根,因此方程的判别式
2

4 ? 4b ? 0 ,即 b ? 1 .
所以, b 的取值范围是 (??,0) ? (0,1) .
2 2 (2)由方程 x ? 2 x ? b ? 0 ,得 x ? ?1 ? 1 ? b .于是,二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 的图象与坐标轴

所以甲胜的概率P(B)=

的交点是 (?1 ? 1 ? b , 0), (?1 ? 1 ? b , 0) . 设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .因圆 C 过上述三点,将它们的坐标分别代入圆 C 的方程,得
2
2

PF ? 平面 PEF ,得 CD ? PE 又 PE ? AB 且梯形两腰 AB、CD 必交 ? PE ? 平面ABCD
又PE ? 平面PAB ? 平面PAB ? 平面ABCD

?(? 1 ? 1b ?2 ) D ? (? 1 ? b1 ? F) ? ?0 , ? ? ? 2 ) ?D? ( ?1 ? b1 ? F) ? ? 0 , ?(? 1 ? 1b ?b 2 ? E b ? F 0 ?. ? ?
? D ? 2, ? 解上述方程组,得 ? E ? ? (b ? 1), ? F ? b. ?
所以,圆的方程为 x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

? ? ?由? ? ? PF ? CD, 则S?PCD ?
? PF ? 4
由已知, EF ?

1 1 CD ? PF ? ? 4 ? PF 2 2

1 ? AD ? BC ? ? 2 又在直角 ?PEF 中, 2

? 19. (1)①35②0.3 中位数为 171.67; (2)3,2,1

PE ? PF 2 ? EF 2 ? 42 ? 22 ? 2 3 即四棱锥 P ? ABCD 的高为 2 3 1 ? AD ? BC ? ? CD V? ? ? PE 3 2 四棱锥 P ? ABCD 的体积 1 16 3 ? ?8? 2 3 ? 3 3

22. 解: (1) f ' ( x ) ? 1 ?

a x2

,由导数的几何意义得 f '

(2)=3,于是 a=-8, 由切点 P(2,f(2) )在直线 y=3x+1 上可得-2+b=7,解得 b=9 所以函数 f(x)的解析式为 f ( x ) ? x ? (2) f ' ( x ) ? 1 ?
3

8 ?9 x

a x2

,当 a≤0 时,

显然 f ' ( x ) >0(x≠0),这时 f(x)在(-∞,0) , (0,+∞)内是增函数; 当 a>0 时,令 f ' ( x ) =0,解得 x= ? a , 当 x 变化时, f ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表: x
f ' ( x)

(-∞,- a ) +

- a 0 极大值

(- a ,0) -

(0, -

a)

a

( a ,+∞) +

0 极小值

f ( x)

所以 f ( x ) 在(-∞,- a ) , ( a ,+∞)内是增函数, 在(- a ,0) , (0,
a )内是减函数

4


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