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4.1圆的方程课件(1)(2)


第四章 4.1 4.1.1

圆与方程 圆的方程 圆的标准方程

问题提出 1.在平面直角坐标系中,两点确定一条 直线,一点和倾斜角也确定一条直线, 那么在什么条件下可以确定一个圆呢? 圆心和半径 2.直线可以用一个方程表示,圆也可 以用一个方程来表示,怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.

知识探究一:圆的标

准方程

思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线, 在平面几何中,圆是怎样定义的?如何 用集合语言描述以点A为圆心,r为半径 的圆? M
r

P={M||MA|=r}.

A

平面上到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹叫做圆.

思考2:确定一个圆最基本的要素是什么? 思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径 为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆 的定义x,y应满足什么关系?
y

(x-a)2+(y-b)2=r2
o

r A

M

x

思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半 径的圆,由上可知,若点M(x,y)在圆上, 则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ; 反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(xa)2+(y-b)2=r2 ,那么点M一定在这个圆 上吗? y
r
A o x M

思考5:我们把方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的 标准方程,那么确定圆的标准方程需要 几个独立条件?
2 2 2

思考6:以原点为圆心,1为半径的圆 称为单位圆,那么单位圆的方程是什 么? x2+y2=1

思考7:方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 2 2 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,( x ? a) ? ( y ? b) ? m 是圆方程吗?
2 2 2

思考8:方程 y ? 4 ? ( x ? 1) 与 y ? 4 ? ( x ? 1) 表示的曲线分别是什么?
2

2

知识探究二:点与圆的位置关系 思考1:在平面几何中,点与圆有哪几种 位置关系?

思考2:在平面几何中,如何确定点与圆 的位置关系?
A O OA<r O OA=r A O A

OA>r

思考3:在直角坐标系中,已知点M(x0, 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ?,如何判 b) ? r y0)和圆C: 断点M在圆外、圆上、圆内? (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

思考4:经过一个点、两个点、三个点分 别可以作多少个圆? 思考5:集合{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么?
y r A o x

理论迁移 例1 写出圆心为A(2,-3),半径 长等于5的圆的方程,并判断点M(5, -7),N( 5 ,-1)是否在这个圆上?

例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8), 求它的外接圆的方程. y A
o C B

x

例3 已知圆心为C的圆经过点 A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在 直线l :x-y+1=0上,求圆C的标准方程.
y
l A C x

o B

小结作业

(1)圆的标准方程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②代入法.

P120练习: 1,3.

作业:P124习题4.1A组:3.

4.1.2

圆的一般方程

问题提出

1.圆心为A(a,b),半径为r的圆 的标准方程是什么?

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

2.直线方程有多种形式,圆的方 程是否还可以表示成其他形式?这是 一个需要探讨的问题.

知识探究一:圆的一般方程

思考1:圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 展开可得到一个什么式子?
2 2
2 2 2 2 2

2

思考2:方程 x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0 的一般形式是什么?

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

思考3:方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 2 2 与 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0 表示的图形 都是圆吗?为什么?
2 2

思考4:方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 可化
2 2



D 2 E 2 D ? E ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4
2 2



它在什么条件下表示圆?

D ? E ? 4F ? 0 D ? E ? 4F ? 0 或 思考5:当 2 2 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示什么图形?
2 2
2 2

思考6:方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 ( D ? E ? 4F ? 0)叫做圆的一般方程,其 圆心坐标和半径分别是什么?
2 2

D E 圆心为 (? , ? ) 2 2

,半径为

1 2 2 D ? E ? 4F 2

思考7:当D=0,E=0或F=0时, 2 2 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的位置分别 有什么特点?
y C o y C x o x y C

o

x

D=0

E=0

F=0

理论迁移 例1 求过三点O(0,0),A(1,1), B(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.

例2 方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示的图形是一个圆,求a的取值范围.
2 2 2

例3 已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B

A
o

M x

小结作业
2 2

2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 1.任一圆的方程可写成

的形式,但方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0表示 的曲线不一定是圆,当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时, D E 方程表示圆心为 (? , ? ) ,半径为
2 2

1 2 2 D ? E ? 4F 2

的圆.

2.用待定系数法求圆方程的基本步骤: (1)设圆方程 ;(2)列方程组; (3)求系数; (4)小结.

3.求轨迹方程的基本思想: 求出动点坐标x,y所满足的关系.

P123练习:1,2,3.

作业: P124习题4.1B组:3.

知识探究二:圆的直径方程 思考1:已知点A(1,3)和B(-5,5),如 何求以线段AB为直径的圆方程? 思考2:一般地,已知点A(x1,y1), B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆方 y P 程如何?
B A o x

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0


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