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新课程基础训练题必修4第二章平面向量提高训练C组及答案


(数学 4 必修)第二章 [提高训练 C 组]
一、选择题

平面向量

1. 若三点 A (2, 3), B (3, a ), C (4, b ) 共线,则有( A.
a ? 3 ,b ? ? 5


2a ? b ? 3

B.

a ? b ?1 ? 0

C.

D.

a ? 2b ? 0

2. 设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos ? , sin ? ? ,
OP 2 ? ? 2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P1 P2 长度的最大值是(



A. B. 3 2 3. 下列命题正确的是( A. 单位向量都相等

C. )

3 2

D.

2 3

? ? C. | a ? b | ? | a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D. 若 a 0 与 b 0 是单位向量,则 a 0 ? b 0 ? 1 ? ? ? ? 4. 已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 6 0 0 ,那么 a ? 3 b ? (

B. 若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(





A.

7

B.
? ?

10

C.
?

13

D.

4

5. 已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.
?
6

?

? ?

?

?

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

6. 若平面向量 b 与向量 a ? ( 2 ,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A.
( 4,2 )

)

B.

( ? 4,? 2 )

C.

(6,? 3)

D.

( 4 ,2 ) 或 ( ? 4,? 2 )

二、填空题
1. 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 , ? 1) ,则 2 a ? b 的最大值是
?

?

?

?



2. 若 A (1, 2), B (2, 3), C ( ? 2, 5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3. 若 a ? (2, ? 2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________. 4. 若向量 | a |? 1, | b |? 2, | a ? b |? 2, 则 | a ? b |?
? ? ? ? ? ? ?
?

?


? ?

5. 平面向量 a , b 中,已知 a ? ( 4, ? 3) , b ? 1 ,且 a ?b ? 5 ,则向量 b ? ______. 三、解答题

?

1. 已知 a , b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.
? ? ? ?

? ? ?

(1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c
?

? ?

?

?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的一个向量.

?

?

?

?

?

?

2. 证明:对于任意的 a , b , c , d ? R ,恒有不等式 ( ac ? bd ) 2 ? ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 )

3. 平面向量 a ? ( 3 , ? 1), b ? ( ,
2

?

?

1

3 2

) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使

? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? a ? ( t ? 3) b , y ? ? ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f ( t ) .

4.

如图,在直角△ABC 中,已知 B C ? a ,若长为 2 a 的线段 P Q 以点 A 为中点,问
PQ 与 BC

的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

数学 4(必修) 第二章

平面向量 参考答案

[提高训练 C 组]

一、选择题 1. C
??? ? ???? ??? ???? ? A B ? (1, a ? 3), A C ? (2, b ? 3), A B // A C ? b ? 3 ? 2 a ? 6, 2 a ? b ? 3

2. C

???? ? P1 P2 ? (2 ? sin ? ? cos ? , 2 ? cos ? ? sin ? ),
2 ( 2 ? co s ? ) ? 2 sin ? ?
2 2

???? ? P1 P2 ?

1 0 ? 8 co s ? ?

18 ? 3 2

3. C

单位向量仅仅长度相等而已, 方向也许不同; b ? 0 时,a 与 c 可以为任意向量; 当
| a ? b | ? | a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角

?

?

4. C 5. C

? ? a ? 3b ?

? ?2 ? ? 2 a ? 6 a ?b ? 9 b ?

1 ? 6 co s 6 0 ? 9 ?
0

13

? ? a ?b 2 1 ? cos ? ? ? ? ? ? ,? ? 4 2 3 a b

6. D 设 b ? ka ? (2 k , k ), ,而 | b | ? 2 5 ,则 5 k 2 ? 2 5, k ? ?, b ? (4, 2), 或 4, 2) ( ? ? 二、填空题 1.
4
? ? 2 a ? b ? ( 2 c o s? ? 3 , 2? s i n ? ?
?

?

?

?

?

a? ) ,b?2 1

?

8?? 8 s ? n ( i 3

?

?

)

1 6

4

2. 直角三角形
2 2 2 2

? ? ?? ? ? ?? A B ? ( 1 , 1 ) A C? ? ( ,
2 2 2 2

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 3 , 3 ?B A C A) , ? 0? A ,B AC

3.

(

,

)或 ? ( ,

?,

)

设所求的向量为 ( x , y ), 2 x ? 2 y ? 0 , x ? y ? 1, x ? y ? ?
2 2

2 2

4.
? ? a?b
2

6

由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
2

? ? ? a ?b
,? 3 5 )

? ? 2 a
?

2

? ?2 b

2

? ? ? a?b

2

? ? 2 a
2 2

2

? ?2 b

2

? ? ? a ?b
,y ? ?

2

? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6

5.

(

4 5

设 b ? ( x , y ), 4 x ? 3 y ? 5 , x ? y ? 1, x ?

4 5

3 5

三、解答题

1. 解: (1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c ,这是一个假命题
? ? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

因为 a ? b ? a ? c , a ? ( b ? c ) ? 0 ,仅得 a ? ( b ? c )
? ? ?

? ? ?

?

?

?

(2)向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的一个向量. 这是一个假命题
?

?

?

?

?

因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量.

?

2. 证明:设 x ? ( a , b ), y ? ( c , d ) ,则 x ?y ? a c ? b d , x ? 而 x ?y ? x y cos ? , x ?y ? x y cos ? ? x y 即 x ?y ? x y ,得 ac ? bd ?
2 2 2 2 2

?

?

? ?

?

? 2 2 a ?b , y ?

c ?d
2

2

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

a ?b
2

2

c ?d
2

2

? ( ac ? bd ) ? ( a ? b )( c ? d )
? ? 1 3 2

3. 解:由 a ? ( 3 , ? 1), b ? ( ,
2

? ? ? ? ) 得 a ?b ? 0, a ? 2, b ? 1

? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 2 2 2 2 [ a ? ( t ? 3) b ]?( ? ka ? tb ) ? 0, ? ka ? ta ?b ? k ( t ? 3) a ?b ? t ( t ? 3) b ? 0
? 4 k ? t ? 3t ? 0 , k ?
3

1

( t ? 3 t ), f ( t ) ?
3

1 4

(t ? 3t )
3

4.

4 ??? ? ???? ??? ???? ? 解:? A B ? A C ,? A B ? A C ? 0 .

??? ? ???? ??? ? ??? ??? ???? ???? ???? ? ? ? AP ? ? AQ , BP ? AP ? AB,CQ ? AQ ? AC , ??? ???? ? ??? ??? ? ? ???? ???? ? BP ?CQ ? ( AP ? AB ) ? (AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ?a ? ?a ? ?a ? ?a ? ?a
2

? AP ? AC ? AB ? AP ? AP ? ( AB ? AC ) ? ? 1 2 PQ ? BC PQ ? BC
2

2

2

2

1 2

2

? a cos ? .

故当 cos ? ? 1, 即 ? ? 0 ( PQ 与 BC 方向相同 )时 , BP ? CQ 最大 .其最大值为

0.


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