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(精选 详解)2013届高三数学名校试题汇编(第2期)专题05 平面向量


一.基础题
1.【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】 若向量 u ? (3,?6), v ? (4,2), w ? (?12,?6) ,则下列结论中错误的是 A. u ? v C. w ? u ? 3v B. v // w D.对任一向量 AB ,存在实数 a, b ,使 AB ? au ? bv

2.【天津市新华中学 20

11-2012 学年度第一学期第二次月考】已知 a =(-3,2) b =(-1,0) , ,向 量 ?a + b 与 a -2 b 垂直,则实数 ? 的值为 A. -

1 7

B.

1 7

C. -

1 6

D.

1 6

己知平面向量 3. 【山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】 的夹角为 60°, 则“

满足

, 与

? ? ? m ? 1 ” 是 “ (a ? mb) ? a ”的
(B) 必要不充分条件
[来源:学科网]

(A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 【答案】C

(D) 既不充分也不必要条件

? 【解析】由 (a ? mb) ? a 得, (a ? mb)? a ? a ? ma b? 0 ,即 a ? m a? bcos 60 ? 0,所以 ?

?

?

?

?

? ?

?2

? ?

?2

? ?

1 ? m ? 0 ,所以 m ? 1 ,即“ m ? 1 ” 是 “ (a ? mb) ? a ”的充要条件,选 C.
4.【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】已知向量 a、 b ,其中 a ? 且 a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 ( A.

?

?

?

2 , b ? 2,

?
4

B.

?
2

C.

3? 4

D. ?

5.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三) 】已知 a ? (2, m) , b ? (?1, m) ,若

?

?

? ? ? ? (2a ? b ) ? b,则 | a | =
A.4 【答案】B B.3 C.2 D.1

? ? ? ? ? ? ? 【解析 】因为 (2a ? b) ? b ,所以 (2a ? b)? b ? 0 ,即 ?5 ? m 2 ? 0 ,即 m2 ? 5 ,所以 | a |? 4 ? m2 ? 3 ,
故选 B. 6. 【 天 津 市 新 华 中 学 2011-2012 学 年 度 第 一 学 期 第 二 次 月 考 】 若 向 量

a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? (?1,?2) ,则 c ?
A. ?

1 3 a? b 2 2

B. ?

1 3 a? b 2 2

C.

3 1 a? b 2 2

D. ?

3 1 a? b 2 2

7. 【 山 东 省 东 阿 县 第 一 中 学 2012-2013 学 年 度 上 学 期 考 试 】 已 知 向 量

?

a ? (2,1), a? b ? 10, a ? b ? 5 2 ,则 b ?
B. 10 C. 5

? ?

?

?

?





A.

5

D. 25

8.【天津市新华中学 2011-2012 学年度第一学期第二次月考】 若向量 a , b 满足| a |=1,| b |=2 且

a 与 b 的夹角为

? ,则| a + b |=________. 3

9. 【2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考】 把点 A(2, 1)按向量 a=(-2, 3)平移到 B, OB ? ?2 BC , 若 则 C 点坐标为_______.

??? ?

????

10.【北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学 期联考】 已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (a ? ?b) / / c ,则 ? 的值为

?

?

?



11.【北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中 】向量 , 满足 (a ? b)? a ? b) ? ?4 ,且 (2 , ,则 , 夹角的等于______.
[来源:学科网 ZXXK]

? ?

? ?

12. 【山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】已知 a ? (cosx,2) ,

?

? 2 ? ? b ? (2 sin x,3) , a // b ,则 sin 2 x ? 2 cos x ?

.

13.【天津一中 2012-2013 学年高三年级一月考】

? ? ? ? ? ? 已知向量 a ? ? 2, 1?,? ? ?1 m?,? ? ?1 2? ,若 a ? b ? c ,则 m ? ? b , c ,

?

?



二.能力题
14.【广东省华南师大附中 2012-2013 学年度高三第三次月考】定义:| a ? b |?| a || b | sin ? ,其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角,若 | a |? 2 , | b |? 5 , a ? b ? ?6 ,则 | a ? b | 等于( (A) ? 8 (B) 8 (C) ? 8 或 8 (D) 6

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?



15.【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】已知向量 a ? (cos? , sin ? ), 向量

b ? ( 3,?1), 则 | 2a ? b | 的最大值、最小值分别是
A. 4 2 ,0 B.4, 4 2 C.16,0 D.4,0

16.【天津一中 2012—2013 学年高三 数学一月考】已知向量 a, b, c 中任意两个都不共线,且 a ? b 与

? ??

? ?

? ? ? ? ? ? ? c 共线, b ? c 与 a 共线,则向量 a ? b ? c =
A.a B.b C.c D.0

17.【北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中 】 若 足 ( BO ? OC)? OC ? OA) ? 0 ,则 ( A. 等边三角形 【答案】C B. 等腰直角三角形



所在平面内的一点,且满

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

一定是(

) D. 斜三角形

C. 直角三角形

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ( BO ? OC)? OC ? OA) ? 0 得 BC ?AC ? 0 ,即 BC ? AC ,所以 ?C ? 90? , ( 【解析】由
以三角形为直角 三角形,选 C. 18.【河南中原名校 2012—2013 学年度第一学期期中联考】[设 P,Q 为△ ABC 内的两点,且

??? 5 ??? 1 ???? ???? 2 ??? 1 ???? ? ? ? AP ? AB ? AC , AQ ? AB ? AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 2 5 3 4
( A. )

5 8 ???? ?

B.

3 5

C.

5 4

D.

4 5

【答案】D 【解析】 AM ? 设

? ??? ???? ???? ? ? 2 ??? ???? 2 ???? AB ,AN ? AC , 则平行四边形法则得 AP ? AM ? AN ,于是 NP 平行于 AB, 5 5

???? S?ABQ 1 S 4 S?ABP | AN | 1 ? 所以 ? ,所以 ?ABP ? ,答案为 D ? ??? ? ,同理可得 S?ABQ 5 S?ABC 4 S?ABC | AC | 5
― → ― → ― → ― → 19. 【2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考】 已知| OP |=1, OQ |= 3,OP ⊥ OQ , R 在△POQ | 点 m ― → ― → ― → 内,且∠POR=30°, OR =m OP +n OQ (m,n∈R),则 n 等于( 1 A.3 B.3 3 C. 3 D. 3 )

20.【山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】向量 a ? (2,0) , b =(x, y)若 b 与

?

?

?

? ? ? π b - a 的夹角等于 ,则 b 的最大值为(
6
A.2 B. 2 3

)

C.4

D.

4 3 3

???? 1 ???? 21. 【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】如右图,在△ ABC 中, AN ? NC , P 是 BN 上的 3

一点,若 AP ? m AB ? A. 【答案】A

?? ?

?? ?

? 2 ?? AC ,则实数 m 的值为( 9

)

1 9

B

1 3

C.

1

D.

3

22.【天津一中 2012-2013 学年高三年级一月考】已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的 对边,向量 m ? ( 3,1) , n ? (cos A sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 , ?

?? ?

?

?? ?

B?



23. 天津市新华中学 2011-2012 学年度第一学期第二次月考】 【 已知 OA =1, OB = 3 , · =0, OA OB 点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设 OC =m OA +n OB (m,n∈R) ,则

m =________. n

[来源:学科网]

.

三.拔高题
24.【2013 年浙江省高考测试卷】如图,在四边形 ABCD 中, AB ? BC , AD ? DC ,若 | AB |? a ,

??? ?

??? ??? ? ? ???? | AD |? b ,则 AC ? BD ? ( )
A. b ? a
2 2

B. a ? b
2

2

C. a ? b
2

2

D. ab

25.【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点, 角 A , B , C 的 对边分别是 a , b , c ,若 cAC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为 A. 等边三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.

??? ?

??? ?

??? ?

?

π π ― → 26.【2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考】函数 y=tan( x- )的部分图像如图所示,则( OB - 4 2

― ― → → OA )· =( OB A.-4
y 1 o A B x

) B.2 C.-2 D.4

【答案】D 【解析】∵ y ? tan

?
4

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ( x ? 2) ∴A (2,0) ,B(3,1)故 (OB ? OA) ? OB ? AB ? OB ? 3 ? 1 ? 4

27. 2012 年秋湖北省部分重点中学期中联 考】 【 在平面内, A、 C 分别在直线 l1、2、3 上,1∥l2∥l3 点 B、 l l l
???? 2 ― ― → → (l2 在 l1 与 l3 之间) 1 与 l2 之间距离为 1,l2 与 l3 之间距离为 2,且 AB = AB ·AC ,则△ ,l ABC 的面积

最小值为( A.4

) 4 3 B. 3 C.2 2 3 D. 3

28. 【 天 津 一 中 2012-2013 学 年 高 三 年 级 一 月 考 】 在 四 边 形 ABCD 中 , AB ? DC? ?1 1 , ,?

??? ?

????

? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? ??? BA ? ??? BC ? ??? BD ,则四边形 ABCD 的面积为 ? ? ? BA BC BD



其边长为

2 , 且 对 角 线 BD 对 于 边 长 的

3 倍,

即 BD ? 3 ? 2 ? 6 , , 则

CE 2 ? ( 2)2 ? (

6 2 1 1 2 3 2 ,所以三角形 BCD 的面积为 ? 6 ? ,所以四 ) ? ,即 CE ? = 2 2 2 2 2 2 3 = 3. 2

边形 ABCD 的面积为 2 ?

29.【天津市新华中学 2011-2012 学年度第一学期第二次月考】平面上的向量 MA 与 MB 满足

???? 2 ???? 1 2 MA ? MB ? 4 , 且 MA ? MB ? 0 , 若 点 C 满 足 MC ? MA ? MB , 则 MC 的 最 小 值 为 3 3
__________.

30.【北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中数学测试】已知 A(

,

),B(

,

)是函数

的 图象上的任意两点(可以重合) ,点 M 在

直线

上,且

.

(1)求 (2)已知

+

的值及 ,当

+

的值 时, = , + 为数列{ + + ,求 ; ,

(3)在(2)的条件下,设

}的前 项和,若存在正整数 、

使得不等式

成立,求 和

的值.

(Ⅲ)

=

=



=1+

+

=

.

31.【山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】 (本题满分 12 分)在边长为 1 的等边三角 形 ABC 中, 设 BC ? 2 BD , CA ? 3 CE
? ?? ? ??
? ?? ? ?? ? ?? ? ??
[来源:学科网]

? ??

(1)用向量 AB, AC 作为基底表示向量 BE (2)求 AD ? BE
? ?? ? ??

32. 【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】 (本小题满分 12 分) 已知向量 m= 2 cos2 x, 3 ,n= 1, sin 2 x) ,函数 f ( x) =m ? n. ( ) ( (1)求函数 f ( x ) 的对称中心; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f (C ) ? 3, c ? 1 , ab ? 2 3 ,且 a ? b ,求

a, b 的值.
解: (1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x ,

??? ??? ?

? a ? b, ? a ? 2, b ? 3

???12 分

3 3.【山东省烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测】 (本小题满分 12 分) 已知向量 , a ? sin? , cos ? 2 sin?) b ? (1,2) , ( ? (1)若 a // b ,求 tan ? 的值; (2)若

| a |?| b |

, 0 ? ? ? ? ,求 ? 的值.

4 ? 5? ? 7? . 所以 2? ? ? 或 2? ? ? 4 4 4 4 ? 3? 因此 ? ? 或 ? ? ???12 分 4 2
34.【江西师大附中、临川一中 2013 届高三 12 月联考试卷】 (本小题满分 12 分)已知向量

又由 0 ? ? ? ? 知,

?
4

? 2? ?

?

?

9? , 4

?? ? x x 2 x m ? (2 sin , 2 sin ? 1), ? (cos ? n , 4 4 4
(2) 若 f (? ?

,函数 f ( x) ? m ? n . 3)
[来源:Zxxk.Com]

?? ?

(1) 求函数 f ( x ) 的最大值,并写出相应 x 的取值集合;

?
3

)?

10 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan ? 的值. 5

35.【四川省成都外国语学校 2013 届高三 12 月月考】 (本题满分 12 分) 已知向量

?? ? ?? ? 1 x x x m ? (cos , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n + 2 2 2 2
(1)若 x ? [0,

?
2

] ,f(x)=

3 ,求 cos x 的值; 3

[来源:Zxxk.Com]

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f(B)的取值范 围. 解: (1)依题意得 f ( x ) ? sin( x ? 由 x ? [0,

?
6

) ,????????????2 分

?
2

] 得: ? ?

6

? x?

?
6

?

? , sin( x ? ? ) ?
3

6

3 ? 0, 3

从而可得 cos( x ?

?
6

)?

6 ,????????????4 分 3

则 cos x ? cos[( x ?

?

? ? ? ? ? 2 3 ??6 分 ) ? ] ? cos cos( x ? ) ? sin sin( x ? ) ? ? 6 6 6 6 6 6 2 6

(2)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得: cos B ? 故 f(B)=sin( B ?

? 3 ,从而 0 ? B ? ,????????10 分 6 2

?
6

) ? (? , 0]

1 2

??????? ?????12 分

36.【湖北省武汉市部分学校 2013 届高三 12 月联考】在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、 b、c, q=( 2 a ,1) ,p=( 2b ? c , cos C )且 p // q .求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

37.【四川省 2012 年成都市高 2013 级(高三)一诊模拟考试】已知 O 为坐标原点,

OA ? (2 sin 2 x,1),OB ? (1,?2 3 sin x cos x ? 1) , f ( x) ? OA ? OB ? m .(1)求 y ? f (x) 的单调递增
区间; (2)若 f (x) 的定义域为 [

??? ??? ? ?

?
2

, ? ] ,值域为 ?2,5? ,求 m 的值.

解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m ……2 分 = 1 ? cos2x ? 3 sin x ? 1 ? m = ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?2?m

38.【广东省惠州市 2013 届高三第三次调研考试】

已知向量 p ? (an ,2n ), q ? (2n?1, ?an?1 ), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

? ?

?

??

?


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