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三角恒等变换的常用技巧


三角恒等变换的常用方法
肖新勇 解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗化。三 角恒等变换的公式很多,主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、 半角公式”等,这些公式间一般都存在三种差异,如角的差异、函数名的差异和运算种类的 差异, 只有灵活有序地整合使用这些公式, 消除差异、 化异为同, 才能得心应手地解决问题, 这

是三角问题的特点,也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读三角恒等 变换的常用技巧。 一、 角变换 角变换的基本思想是, 观察发现问题中出现的角之间的数量关系, 把“未知角”分解成“已 知角”的“和、差、倍、半角”,然后运用相应的公式求解。 例 1 已知 cos? x ?

? ?

??

sin 2 x ? 2 sin 2 x 3 3? 7? ,求 的值。 ?x? ?? , 4? 5 1 ? tan x 4 4

【分析】考虑到“已知角”是 x ?

?
4

,而“未知角”是 x 和 2 x ,注意到 x ? ? x ?

? ?

?? ?

?? , 4? 4

可直接运用相关公式求出 sin x 和 cos x 。 【解析】因为 ? ? x ? 又因为 cos? x ?

3 4

7 ? ? ,所以 ? ? x ? ? 2? , 4 4

? ?

??

3 ?? 4 3? ? ? ? x ? ? 2? , sin? x ? ? ? ? ? ? ? 0 ,所以 4? 5 4? 5 2 4 ?

?? ?? ?? ?? ? ?? ? 7 2 ? ? sin x ? sin ?? x ? ? ? ? ? sin? x ? ? cos ? cos? x ? ? sin ? ? , 4 ? 4? 4? 4 4? 4 10 ? ? ??
从而 cos x ? ?

2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 28 2 ?? . , tan x ? 7 . 原式= 10 1 ? tan x 75
2 ,则在计算 sin x 时,要注意符号的选取; (2) 10

【点评】 (1)若先计算出 cos x ? ?

本题的另一种自然的思路是,从已知出发,用和角公式展开,结合“平方关系”通过解二元二 次方程组求出 sin x 和 cos x . 但很繁琐,易出现计算错误。 二、名变换 名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换, 需要进行名变换的问题常常有明 显的特征,如已知条件中弦、切交互呈现时,最常见的做法是“切弦互化”,但实际上,诱导 公式、倍角公式和万能置换公式,平方关系也能进行名变换。 例 2 已知向量 a ? (1 ? tan x,1) , b ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x,0) ,求 f ( x) ? a ? b 的定义 域和值域; 【分析】易知 f ( x) ? (1 ? tan x)(1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ,这是一个“切弦共存”且“单、倍

1

角共在”的式子,因此既要通过“切化弦”减少函数名称,又要用倍角公式来统一角,使函数 式更简明。 【解析】 f ( x) ? (1 ? tan x)(1 ? sin 2 x ? cos 2 x)

? sin x ? 2 ? ?1 ? ? 1 ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? cos x ?

?

?

? 2?cos x ? sin x ??cos x ? sin x ?

? 2 cos2x
由 cos x ? 0 得, x ? k? ?

?
2

, k ? Z , 2 cos2x ? ?2
? ?

所以, f ( x) ? 2 cos 2 x .的定义域是 ? x x ? k? ?

?

? , k ? Z ? ,值域是 ?? 2,2? . 2 ?

【点评】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”,变形后再进行“切化弦”求解. 三、常数变换 在三角恒等变形过程中, 有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式, 以利于完善 式子结构,运用相关公式求解,如 1 ? sin x ? cos x , 1 ? tan 45 , 3 ? tan
2 2 ?

?
3

等.

例 3 (1)求证:

1 ? sin 6 x ? cos6 x 3 ? ; 1 ? sin 4 x ? cos4 x 2

(2)化简: sin 2 x ? 3 cos 2 x . 【分析】第(1)小题运用 1 ? sin x ? cos x 和 1 ? sin x ? cos x 把分子、分母
2 2 2 2

?

?

3

?

?

2

都变成齐次式后进行转化;第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟 悉的 y ? A sin??x ? ? ? 的形式,有利于系统研究函数的图象与性质.

【解析】 (1)左边=

(sin 2 x ? cos2 x) 3 ? sin 6 x ? cos6 x (sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 4 x ? cos4 x

?

3 sin 2 x cos2 x(sin 2 x ? cos2 x) 3 ? . 2 sin 2 x cos2 x 2

(2)原式= sin 2 x ? tan

?
3

cos 2 x
sin 2 x cos

? sin 2 x ?

sin cos

? ?
3 ? cos 2 x ? 3

?
3

? cos 2 x sin

?

cos

?
3

3 ? 2 sin? 2 x ? ? ? ? ? 3? ?

【 点 评 】 “1” 的 变 换 应 用 是 很 多 的 , 如 万 能 置 换 公 式 的 推 导 , 实 际 上 是 利 用 了

1 ? sin 2 x ? cos2 x 把整式化成分式后进行的,又如例 4 中,也是利用了 1 ? tan 45 ? ,把分
2

式变成了整式. 四、 边角互化 解三角形时,边角交互呈现,用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边,运用代数 运算方法求解,或统一成角,运用三角变换求解. 例 4 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC, (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ?1 ,证明 ?ABC 是等腰三角形. 【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身,看似复杂,但等式是关于三边长和三个 角的正弦的齐次式,所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。 【解析】 (1) (角化边)由正弦定理

a b c 得, ? ? sin A sin B sin C

2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c ,整理得, a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,
所以 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 2? . ? ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? 2bc 2 3

(2)解法一 (边化角)由已知和正弦定理得,

2 sin 2 A ? (2 sin B ? sin C ) sin B ? (2 sin C ? sin B) sin C
即 2 sin A ? 2(sin B ? sin C ) ? 2 sin B sin C ,从而 sin B sin C ?
2 2

1 , 4

又 sin B ? sin C ? 1 ,所以 sin B ? sin C ? 所以 B ? C , ?ABC 是等腰三角形. 解法二 由(1)知 B ? C ?

1 . 2

?

3

,C ?

?
3

? B ,代入 sin B ? sin C ? 1 得,

sin B ?
所以 B ?

3 1 ? ? ?? ? cos B ? sin B ? 1,所以 sin? ? B ? ? 1 , ? B ? , 2 2 3 2 ?3 ?

?
6

,C ?

?
6

, ?ABC 是等腰三角形.

【点评】第(1)小题“化角为边”后,把已知条件转化为边的二次齐次式,符合余弦定 理的结构,第(2)小题的解法一之所以“化边为角”,是因为不易把条件 sin B ? sin C ? 1 化 为边的关系,而把条件 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C 转化为边的关系却很容易; 解法二的基本思路是消元后统一角,再利用“化一公式”简化方程. 五、 升降幂变换 当所给条件出现根式时,常用升幂公式去根号,当所给条件出现正、余弦的平方时,常

x x? ? 2 x 用 “ 降 幂 ” 技 巧 , 常 见 的 公 式 有 : 1 ? sin x ? ? sin ? cos ? , 1 ? cos x ? 2 cos , 2 2? 2 ?

2

1 ? cos x ? 2 sin 2

x ,可以看出,从左至右是“幂升角变半”,而从右至左则是“幂降角变倍”. 2
3

例 5 化简: 1 ? sin 6 ? 1 ? sin 6 【分析】含有根号,需“升幂”去根号. 【解析】原式= sin 3 ? cos 3 ? 2 sin 3 cos3 ?
2 2

sin 2 3 ? cos2 3 ? 2 sin 3 cos 3

= sin 3 ? cos 3 ? sin 3 ? cos 3

因为

?? 3? ? ? 3 ? ? ,所以 sin 3 ? cos 3 ? 2 sin? 3 ? ? ? 0 , sin 3 ? cos3 ? 0 , 4? 4 ?

所以,原式 ? ?(sin 2 ? cos3) ? (sin 3 ? cos3) ? ?2 cos3 . 【点评】“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤,只有有效地整合各种技巧与 方法才能顺利地解题。如例 7 中用到了常数“变换技巧”。 六、公式变用 几 乎 所 有 公 式 都 能 变 形 用 或 逆 向 用 , 如 sin ? ?

sin 2? sin 2? , cos? ? , 2 cos? 2 sin ?

tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? 等,实际上,“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等
也是一种公式变用或逆用技巧. 例 6 求值: (1) cos20? cos40? cos60? cos80? ; (2) tan 70? ? tan10? ? 3 tan 70? tan10? 。 【分析】第(1)小题中,除 60? 是特殊角外,其他角成倍角,于是考虑使用倍角公式; 第(2)小题中两角差为 60? ,而 3 是两角差的正切值,所以与两角差的正切公式有关。 【解析】 (1)原式=

sin 40? sin 80? sin160 ? sin160 ? 1 cos 60? ? ? 。 2 sin 20? 2 sin 40? 2 sin 80? 16 sin 20? 16

(2)原式= tan(70? ? 10?)(1 ? tan 70? tan10?) ? 3 tan 70? tan10? = 3 。 【点评】 第 (1) 小题的一般性结论是: cos? cos 2? ? cos 2
n ?1

??

sin 2 n ? n? N* . n 2 sin ?

?

?

最后还要指出, 这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法, 每一 个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用, 所以, 只有准确理解三角公式的内在关系及 其基本功能,善于发现问题中角、名、结构的差异,准确地选择转换策略,化异为同,才能 准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题. (作者单位:江西省新余十六中)

4


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