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2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题(3)


2014 年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题(3)
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1、设 f ( x) ? cos2 x ?
2 1 3 2 sin x cos x ? 2 , x ? [?

? ?

, ] ,则 f ( x) 的值域为 6 4
<

br />2、若函数 f ? x ? ?

x 1 ? x2

,且 f ( n ) ? x ? ? ?? f [ f [ f ? f ( x)]] ,则 f (8) ?1? ? ?? ?
n个f

π 3.在△ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 sin(C- )=____________ 12 4、 设 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 36 上一动点, 点 A(20, 0), 当 P 在圆上运动时, 线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为_____________ ??? ? ???? 5、已知四边形 ABCD , AC 是 BD 的垂直平分线,垂足为 E , O 为直线 BD 外一点.设向量 OB ? 5 , OD ? 3 , ??? ? ???? ??? ? ???? 则 (OA ? OC )?(OB ? OD) 的值是__________ 6、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 和 CC1 的中点. 则四面体 O ? MNB1 的体积为 7、设等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则
S S1 S2 , ,?, 15 中最大的是 a1 a2 a15

8、实数 x, y 满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是__________ 9、{a}表示实数 a 的正的小数部分,如: ?1.2? ? 0.2, ??0.3? ? 0.7, 则方程 ?lg( x ? 2)? ? ?lg x? ? 1 在区间 ?10,60 ? 上的 根是 10、不定方程 ?
1 x 1 1 4 ? ? 满足 x≤y≤z 的所有正整数解为______________________. y z 5

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) π 11、已知单位圆与 x 轴正半轴交于点 A,P, Q 是单位圆上的两点,O 是坐标原点,∠AOP= ,∠AOQ=α, 6 3 4 π → → α∈[0, π). ⑴若 Q( , ), 求 cos(α- )的值;⑵设函数 f (α)=OP· OQ,求 f (α)的值域. 5 5 6

A

12、如图,在⊙O 中,弦 CD 垂直于直径 AB,M 是 OC 的中点, AM 的延长线交⊙O 于点 E,DE 与 BC 交于点 N. 求证:BN=CN.

O M C E N B D

CB CD 证明:连结 AC,BD.证△BCD∽△OCA? ? . CO CA
证△CDN∽△CAM?

CN CD CB CB 1 ? ? ? ? CN ? CB. ? BN ? CN. CM CA CO 2CM 2

x2 y2 y 13、已知点(x,y)在椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的第一象限上运动. ⑴求点( , xy)的轨迹 C1 的方程; a b x 3 ⑵若把轨迹 C1 的方程表达式记为 y=f (x),且在(0, )内 y=f (x)有最大值,试求椭圆 C 的离心率的取值范围. 3

14、设 m 是一个小于 2006 的四位数,已知存在正整数 n,使得 m-n 为质数,且 mn 是一个完全平方数, 求满足条件的所有四位数 m. 解答: 由题设条件知: m-n=p, p 是质数, 则 m=n+p, 设 mn=n(n+p)= x , 其中 x 是正整数, 那么 4n2 ? 4 pn ? 4 x 2 , 即 (2n ? p)2 ? p 2 ? (2 x)2 ,于是 (2n ? 2 x ? p)(2n ? 2 x ? p) ? p 2 ,
? 2n ? 2 x ? p ? 1, ? p ?1 ? ? p ?1? 注意到 p 为质数,所以 ? 把两式相加得 n ? ? ? ,进而 m ? ? ? ,结合 1000 ? m ? 2006 , 2 2 n ? 2 x ? p ? p , ? 2 ? ? 2 ? ?
2 2

2

可得 64 ? p ? 1 ? 89 ,于是,质数 p 只能是 67,71,73,79 或 83.从而,满足条件的 m 为 1156,1296,1369, 1600,1764.


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