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江苏省盐城中学2011-2012学年高一下学期期中考试 数学


江苏省盐城中学 2011—2012 学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题(2012.4)
命题人:盛冬山 徐明悦 审核人:刘海滨 试卷说明:本场考试时间 120 分钟,满分 150 分.请将答案填写到答题纸相应位置. 一、填空题(本大 题共 14 小题,每小题 5 分,总分 70 分) 1. 已知等差数列 ?an ? 的公差是 2 ,a1 ? 1, 则数列 ?an ? 的前 6 项和 S6 的值是 2.不等式 ▲ .

x?2 ? 0 的解集是 x ?1



.

3.若 tan ? ? 2 ,则 tan ? ? ?

? ?

??

?? 4?



.

4 .在 ?ABC 中,已知 a ? 2, b ? 2 , A ? 135? ,则 C 为 5.函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期为 ▲ .



.

6. 已知集合 A ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x | 2 x?1 ? 1 ,则 A 7. sin 17? cos 43? ? cos 17? cos 47? ? ▲ .

?

?

?

?

B=



.

8.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3: 2 : 4 ,则 ?ABC 的形状是 锐角、直角、钝角). 9.如 果 log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是 ▲ .



三角形(填

10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,

n?



.

11.在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5a6 ? 3 ,则 log 3 a log 3 a 1 ? 2 ? ▲ .

? log

3 10

a ?

12.若关于 x 的方程 3sin x ? cos x ? 2a ?1 有解,则实数 a 的取值范围为
2



.

13. 若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a 的取值范围是 ▲ .

14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 二、解答题(本大题共 6 小题,总分 80 分)

an 的最小值为 n



.

15 . (本小题满分 12 分) 若点 P(?3,4) 在角?的终边上,点 Q(?1,?2) 在角?的终边上. (Ⅰ)求 sin(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)求 cos(? ? ? ) 的值.

16.(本小题满分 13 分) 已知,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求 a1 , a2 及 a3 ; (Ⅱ)证明:数列 {an } 是等比数列,并求 an .

1 (a n ? 1) . 3

17. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? sin 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ) 设 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角, 若 cos B =

1 C 1 ,f ( ) ? ? , 且 C 为锐角, 求 sin A . 3 2 4

18.(本小题满分 13 分) 已知后勤保障队位于沙 漠考察队北偏东 30?处,两队相距 80km.上午 6 点,后勤队驾越野 车以 15km / h 的速度向沙漠考察队方向行进,但此时,沙漠考察队却以 3km / h 的速度徒步向正 东方向开始考察. 两支队伍均配备用于联络的步话机, 步话机的联络半径是 10km, 且两队都 打开步话机并随时呼叫对方. (Ⅰ)求两队出发 t 小时后它们之间的距离 f (t ) ; (Ⅱ)在两队行进过程中,是否可以通过步话机建立联络?请说明理由.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b . (Ⅰ)若对任意的实数 x ,都有 f ( x) ? 2 x ? a ,求 b 的最小值; (Ⅱ)若 a ? (0, ) ,且对于任意的 x ?[?1,1] ,有 | f ( x) |? 1 ,求证:

1 2

a2 ? 1 ? b ? ?a. 4

20. (本小题满分 15 分) 已知函数 y ? f ( x)( x ? R)满足 f ( x) ? f (1 ? x) ? (Ⅰ)求 f ( )和f ( ) ? f (

1 . 2

n ?1 )( n ? N *) 的值; n 1 2 n ?1 ) ? f (1) ,求列 数 {an } 的 (Ⅱ)若数列 {a n }满足 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n 1 2 1 n
通项公式; (Ⅲ)若 数列 ?bn ? 满足 a n bn ?

1 , S n ? b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? ? ? bn bn ?1 ,则实数 k 为何值 4

时,不等式 2kSn ? bn 恒成立.

盐城中学 2010-2011 高一第二学期期中考试 数学答题纸(2011.4
一、填空题(14×5=70 分) 1、

)

1 2

2、1 4、 [ ? 6、4 8、2021 世纪教育网 10、 ? 11 12、等腰三角形

3、 5、3

3 2

1 ,1] 2

7、 an ? 2n ? 1 9、 13 11、

13 9
2 3

13、 (0, )

186 14、 [130 ? ( ) ]

1 3

1 2

二、解答题(共 80 分) 15、(本小题 12 分) 解:(Ⅰ)因为 a ∥ b ,所以 2sin ? ? cos ? . 21 世纪教育网 1 则 tan ? ? .

2 17 17 , 所以 sin ? cos ? ? 2 ? (Ⅱ)因为 a ? b ? 8 8 1 即 sin 2? ? ??????????8 分 4 ? ?? ? ?? 因为 ? ? ? 0, ? ,所以 2? ? ? 0, ? , ? 2? ? 4? 15 21 世纪教育网 则 cos 2? ? . 4
?? 2 2 ? 所以 sin ? 2? ? ? ? sin 2? ? cos 2? 4? 2 2 ?

???????????6 分

?

2 1 2 15 2 ? 30 ? ? ? ? 2 4 2 4 8

????????12 分

21 世纪教育网

16、(本小题 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? 0 即 ? 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴ 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴?
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

?3 ? a(5 ? a) ? b ? 0 ?27 ? 3a(5 ? a) ? b ? 0

∴?

?a ? 2 ?a ? 3 或? ?b ? 9 ?b ? 9
???????6 分

(若用根与系数关系算对)

(Ⅱ)

f (2) ? 0 ,
即 ? 12 ? 2a(5 ? a) ? b ? 0 即 2a 2 ? 10a ? (12 ? b) ? 0 ∴ ? ? 0 恒成立 ∴b ? ? ???????8 分

1 2

??????12 分

21 世纪教育网

[来源:21 世纪教育网]

17、(本小题 14 分) 解: (Ⅰ)由 cos( B ? C ) ? 2 sin B sin C ? ? 得 cos B cos C ? sin B sin C ? ? 即 cos( B ? C ) ? ? ∴B ?C ?

1 , 2
?????3 分 ?????5 分 ?????7 分

1 , 2

2? ? ,故 A ? . 3 3

1 . 2

(Ⅱ)由 sin 21 世纪教育网

B 1 B 2 2 ? ,得 cos ? , 2 3 2 3

????9 分

∴ sin B ? 2 sin

B B 4 2 . cos ? 2 2 9

????11 分



b a b 3 ? ? ,∴ , sin B sin A 4 2 3 9 2
解得 b ?

8 6 . 9

????14 分

座位号

18、(本小题 14 分) (Ⅰ)依题意得 q ?
? a n ? a1 q n ?1

1 , 3
1 ? a n ? 312 ? ( ) n ?1 ? 313? n 3

??????4 分

(Ⅱ) bn ?| 13 ? n |

T30 ? 12 ? 11? ? ? ? ? 1 ? 0 ? 1 ? ? ? ? ? 17 ? 231 ;
??????8 分 (3) bn ?| 13 ? n | 记数列 {bn } 从第 k 项开始的连续 20 项和 为 Tk ? bk ? bk ?1 ? ?? ? bk ?19

若k ? 13则Tk ? 0 ? 1 ? 2 ? ?? ? 19 ? 190 ? 102,
??????10 分 所以 k ? 13

?Tk ? bk ? bk ?1 ? ?? ? b12 ? b13 ? b14 ? ?? ? bk ?19 ?Tk ? (13 ? k ) ? (12 ? k ) ? ?? ? 1 ? 0 ? 1 ? ?? ? (k ? 6)
1 1 ? [(13 ? k ) ? 1](13 ? k ) ? [1 ? (k ? 6)](k ? 6) 2 2 ? k 2 ? 7k ? 112

? k 2 ? 7k ? 112 ? 102解得k ? 2或k ? 5
??????14 分

19、(本小题 14 分) 解:(Ⅰ) ?ABC ? ?ADC ? 180? ,由余弦定理得:
AC 2 ? 42 ? 62 ? 2 ? 4 ? 6cos ?ABC ? 42 ? 22 ? 2 ? 2 ? 4cos ?ADC

21 世纪教育网 ∴ cos ?ABC ? 1 2 ∵ ?ABC ? ( 0, ? ) ∴ ?ABC ? 60? , ?ADC ? 120?
AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB BC cos ?ABC ? 28 ∴ AC ? 2 7 21 世纪教育网

??4 分

1 1 (Ⅱ)S 四边形 ABCD = ? 4 ? 6 ? sin 60? ? ? 2 ? 4 ? sin120? ? 8 3 (万平方米) 2 2
由正弦定理得: 2R ? AC ? 2 7 ? 4 21 (万米)
sin B

R?

2 21 (万米) 3

3 2

3

??????8 分

(??? ) S 四边形 APCD = S?ADC ? S?APC ,又 S?ADC ? AD CD sin120? ? 2 3
设 AP = x,CP = y,则 S ?APC ?
1 3 xy sin 60? ? xy 2 4

1 2

由余弦定理得: AC 2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos600 ? x2 ? y 2 ? xy ? 28
x2 ? y 2 ? xy ? 2xy ? xy ? xy

∴ xy ? 28 ,当且仅当 x = y 时取“=”

∴ S 四边形 APCD = 2 3 ?

3 3 xy ? 2 3 ? ? 28 ? 9 3 (万平方米) 4 4

∴ 作 AC 的垂直平分线与圆弧 ABC 的交点即为点 P, 最大面积为 9 3 万平方米. ??????14 分

0 另解:在 ?PAC 中, AC ? 2 7 , ?APC ? 60 , 设 ?PAC ? ? 且

? ? (00 ,1200 ),
得: S ?PAC ?















PA, PC



1 1 28 PA ? PC ? sin 60 0 ? ? ? sin ? ? sin(120 0 ? ? ) 2 2 sin 60 0

?

1 28 ? ? [sin ? ? (sin 120 0 cos ? ? cos 120 0 sin ? )] 2 sin 60 0

?

28 3

(

3 1 sin ? cos? ? sin 2 ? ) ? 28 [ 1 sin(2? ? 300 ) ? 1 ] , 2 2 4 3 2
0

当 ? ? 60 时,面积取最大值.

20、(本小题 14 分) 解: (Ⅰ) 由 S 4 , S12 , S8 成等差数列且 q ? 1 得:

2S12 ? S 4 ? S8 ? 2q 8 ? 1 ? q 4 ? 2q17 ? q 9 ? q13
? 2a18 ? a10 ? a14
(Ⅱ) 由 S m , S k , Sl 成等差数列且 q ? 1 得: [来源:21 世纪教育网] ??????4 分

2S m ? S k ? Sl ? 2q m ? q k ? q l ? 2a1q m ? a1q k ? a1q l
? 2am?1 ? ak ?1 ? al ?1

可以写出二组: am?1 , ak ?1 , al ?1 ; am?2 , ak ?2 , al ?2 ; 等; ??????9 分

(??? ) 假设存在两项 an , an?1 (n ? k ) 使 ak ? an ? an?1 ,
则有 a1q k ?1 ? a1 q n?1 ? a1q n 即 q k ?n ? 1 ? q 当为奇数时, q 当为偶数时, q
k ?n

??????11 分 为奇数, 1 ? q 为偶数,不成立; 为偶数, 1 ? q 为奇数,不成立.

k ?n

{an } 中不存在项 ak ,使得 ak 恰好可以表示为该数列中连续两项的
和. ??????14 分


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