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高中数学课件


4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系

1.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.了解空间直角坐标系的建系方法,会用空间直角坐标系刻画 点的位置,能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 3.感受类比思想在探索新知识过程中的作用.

1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的要求: 相交 ①三条轴两两_____; 垂直 ②三条轴两两_____; 相同 的单位长度. ③有_____

(2)空间直角坐标系的构成要素:

①原点:原点O; x 轴,__ y 轴,__ z 轴; ②坐标轴:__
xOy 平面,____ yOz 平面,____ xOz 平面. ③坐标平面:____ (3)右手直角坐标系的要求:

①右手拇指指向x轴的正方向;
②右手食指指向y轴的正方向;

③右手中指指向z轴的正方向.

2.空间一点的坐标 空间一点M
一一对应

有序实数组(x,y,z).

x 称为横坐标,__ y 称为纵坐标,__ z 称为竖坐标. 其中__

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打

“×”).
(1)平面直角坐标系中的两坐标轴把平面分成四部分,空间直

角坐标系中的三个坐标平面把空间分成六部分.(

)

(2)在平面上画空间直角坐标系时,∠xOy=135°,∠yOz=90°.

(

)

(3)给定空间直角坐标系,空间任意一点与有序实数组(x,y,z)
之间存在唯一的对应关系.( )

(4)右手直角坐标系是指x轴正半轴向右方向的坐标系.(

)

提示:(1)错误.空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分 成八部分. (2)正确.这是空间直角坐标系的常用画法. (3)正确.这是空间直角坐标系的作用. (4)错误.在空间直角坐标系中,对三条坐标轴的方向作如下约 定:伸出右手,拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向,中指

指向z轴正方向,即建立右手直角坐标系,故此说法是错误的.
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线 上). (1)点M(2,0,0)所在的位置是 . .

(2)已知A(2,0,3),B(-2,0,-1),则AB的中点坐标是 (3)z轴上的点的坐标的特点是 .

【解析】(1)由于点M的横坐标为2,纵坐标与竖坐标均为0, 因此点M位于x轴的正半轴上. 答案:x轴的正半轴上 (2)设AB的中点为P(x,y,z),则由中点坐标公式知
2?2 3 ?1 x? ? 0, y ? 0, z ? ? 1. 2 2

答案:(0,0,1) (3)z轴上的点的共同特点是横、纵坐标都为0. 答案:横、纵坐标都是0

空间直角坐标系及其点的坐标 根据空间直角坐标系的相关知识,探究下列问题: 探究1:空间直角坐标系的建系不同,点的坐标相同吗? 提示:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐 标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起 解题过程的难易程度不同,因此解题时要慎重建立空间直角坐 标系.

探究2:在给定空间直角坐标系下,如何确定空间一点P的坐标? 提示:过点P作平面xOy的垂线,垂 足为Q,在平面xOy内过点Q分别作x 轴,y轴的垂线确定点P的横坐标, 纵坐标,再过点P作平行于OQ的直 线PM交z轴于点M,确定点P的竖坐标.

探究3:设点M的坐标为(a,b,c),过点M分别作xOy平面,
yOz平面,xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐标分别如何?

提示:分别是(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c).

【探究提升】
1.对空间点的坐标的三点说明

(1)表示空间中点的坐标需要3个实数,即有序数组(x,y,z),且
点与有序数组是一一对应的.

(2)①若点的坐标有两个0,则该点在坐标轴上.
②若仅有一个为0,则该点必在坐标平面内. ③若均不为0,则该点既不在坐标轴上,也不在坐标平面内. (3)在空间建立的坐标系不同,同一个点的坐标的表达形式也 不相同.

2.空间一些特殊点的坐标 (1)原点坐标(0,0,0). (2)x轴上的点的坐标为(x,0,0),其中x为任意实数. (3)y轴上的点的坐标为(0,y,0),其中y为任意实数. (4)z轴上的点的坐标为(0,0,z),其中z为任意实数. (5)xOy平面上的点的坐标为(x,y,0),其中x,y为任意实数. (6)yOz平面上的点的坐标为(0,y,z),其中y,z为任意实数. (7)xOz平面上的点的坐标为(x,0,z),其中x,z为任意实数.

类型 一

求空间中点的坐标

尝试完成下列题目,归纳在空间直角坐标系中确定空间一
点P的坐标的步骤.

1.在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记为(
A.(0,b,0) B.(a,0,0)

)

C.(0,0,c)

D.(0,b,c)

2.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,|AD|=3,|AB|=5, |AA′|=3,设E为DB′的中点,F为BC′的中点,在给定的空间直 角坐标系Dxyz下,试写出A,B,C,D,A′,B′,C′,D′,E,F各点 的坐标.

【解题指南】1.根据z轴上的点的坐标特点:横、纵坐标均为 0,即可找出正确答案. 2.解答本题首先要明确坐标的定义,再根据定义通过找面内的 点的坐标得所求点的坐标.

【解析】1.选C.因为z轴上所有点的横、纵坐标均为零,所以 选C.

2.因为A,B,C,D这4个点都在坐标平面xDy内,它们的竖坐 标都是0,而它们的横坐标和纵坐标可利用|AD|=3,|AB|=5写 出,所以A(3,0,0),B(3,5,0),C(0,5,0),D(0,0, 0);因为平面A′B′C′D′与坐标平面xDy平行,且|AA′|=3, 所以A′,B′,C′,D′的竖坐标都是3,而它们的横坐标和 纵坐标分别与A,B,C,D的相同,所以A′(3,0,3), B′(3,5,3),C′(0,5,3),D′(0,0,3);

由于E是DB′的中点,所以它在坐标平面xDy上的射影为DB的 中点,从而E的横坐标和纵坐标分别是B′的 1 ,同理E的竖坐
5 3 由F为BC′的中点可 标也是B′的竖坐标的 1 ,所以 E( 3 , , ); 2 2 2 2 2

知,F在坐标平面xDy的射影为BC的中点,所以F的横坐标和纵 坐标分别为
3 和5,同理点F在z轴上的投影是DD′的中点,故 2 2 2 2

其竖坐标为 3 ,所以 F( 3 ,5, 3 ).

【互动探究】题2的条件不变,求点E关于x轴,平面xDz的对称

点.

【解析】设点E关于x轴对称的点为E0(x0,y0,z0), E ( 3 ,0,0) 1
3 ? ? 3 2 ? x0 , ? ? 3 ? 2 2 x ? , ? 0 ? 2 5 ? ? ? y0 5 ? ? 为E0E的中点,所以 ?0 ? 2 , 解之,得 ? y 0 ? ? , 2 2 ? ? 3 3 ? ? ? z z ? ? , 0 0 ? ? 2 2 ? , ?0 ? 2 ? ? 所以 E 0 ( 3 , ? 5 , ? 3 ). 2 2 2 同理可得:点E关于平面xDz的对称点为 ( 3 , ? 5 , 3 ). 2 2 2
2

【技法点拨】在空间直角坐标系中确定空间一点P的坐标的步 骤

【变式训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱 AA1⊥底面ABC,建立适当坐标系,写出各顶点的坐标.

【解题指南】根据底面为正三角形,可取AC中点为坐标原
点,AC的中垂线为x轴,AC为y轴,面ACC1A1中与AC垂直的直线为 z轴 .

【解析】取AC的中点O和A1C1的中点O1, 连接BO,OO1,可得BO⊥AC,分别以OB,OC, OO1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐 标系,如图.因为三棱柱各棱长均为2, 所以OA=OC=1,OB= 3 .可得A(0,-1,0),

B( 3 ,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1( 3 ,0,2),C1(0,1,2).

类型 二

由空间点的坐标确定点的位置

试着解答下列题目,总结求空间中点P(x,y,z)的位置的步 骤及方法. 1.点P(0,1,4)位于( A.y轴上 C.xOz平面内 ) B.x轴上 D.yOz平面内

2.在空间直角坐标系中,作出点M(4,2,5).

【解题指南】1.根据点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来

判断.
2.分别在x轴,y轴,z轴上取点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,5),过这 三点作轴的垂面,交点即所求.

【解析】1.选D.因为点P(0,1,4)的横坐标为0,所以点P位于 yOz平面内. 2.如图.在x轴上找到点M1(4,0,0),过M1 作与x轴垂直的平面α;在y轴上找到点 M2(0,2,0),过M2作与y轴垂直的平面β; 在z轴上找到点M3(0,0,5),过M3作与z轴 垂直的平面γ,则平面α,β,γ交于一点,此交点即为所求作 的点M(4,2,5).

【技法点拨】

1.求空间中点P(a,b,c)的位置的四个步骤

2.已知点P的坐标确定其位置的方法
(1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次平移得点P.

(2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的
位置.

(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定
点P.

提醒:(1)若点的坐标有两个为0,则该点在坐标轴上(如点
A(0,1,0),则该点在y轴上).

(2)若仅有一个为0,则该点必在坐标平面内(如点A(a,b,0)必
在xOy平面内).

【变式训练】在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6). 【解析】第一步从原点出发沿x轴正 方向移动5个单位,第二步沿与y轴平 行的方向向右移动4个单位,第三步 沿与z轴平行的方向向上移动6个单 位(如图),即作出点P(5,4,6).

类型 三

空间中点的对称问题

通过解答下列空间中点的对称问题,试总结空间中点关于 坐标平面、坐标轴对称的点的特点. 1.已知点P(-2,1,5),则点P关于原点对称的点的坐标为 2.已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点M1,M关于xOy平面对称 的点M2,M关于x轴、y轴对称的点M3,M4. .

【解题指南】1.点P关于原点对称的点的横坐标、纵坐标、竖
坐标均为点P相应坐标的相反数.

2.根据空间直角坐标系的点关于坐标轴,坐标平面对称的点的
坐标特点来写.

【解析】1.点P(-2,1,5)关于原点对称的点的坐标为 (2,-1,-5). 答案:(2,-1,-5) 2.由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于 xOy平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数, 所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则M3的横坐标不变,纵坐

标和竖坐标变为M的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3).

【技法点拨】空间中关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点

(1)关于哪个坐标平面对称的点,点在哪个平面上的坐标不变,
其余的坐标变为原来的相反数.

(2)关于哪条坐标轴对称,哪个坐标不变,其余的坐标分别变为
原来的相反数.

【拓展延伸】常见对称的一些结论

点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z);
点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z);

点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z);
点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z); 点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z); 点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z); 点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).

【变式训练】已知点P(2,-5,8),分别写出点P关于原点,x轴,
y轴,z轴和xOz平面的对称点.

【解析】点P(2,-5,8)关于原点的对称点为(-2,5,-8),
点P关于x轴,y轴,z轴的对称点分别为:(2,5,-8),

(-2,-5,-8),(-2,5,8).点P关于xOz平面的对称点为(2,5,8).

1.关于空间直角坐标系的叙述正确的是( A.P(x,y,z)中x,y,z的位置可以互换

)

B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对 应关系 C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同 【解析】选B.A,D易知错误,对于C应是坐标平面.

2.点(2,0,4)在空间直角坐标系中的位置是( A.在x轴上 C.在xOz平面上 B.在y轴上 D.在xOy平面上

)

【解析】选C.由于纵坐标为0,横、竖坐标不为0,故在xOz平 面内.

3.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关



对称.

【解析】因为点P与点Q的纵坐标相同,横坐标、竖坐标分别互 为相反数,所以点P与点Q关于y轴对称. 答案:y轴

4.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于x轴对称的点的坐标 是 ;关于xOy平面对称的点的坐标是 . ;关于点

A(1,0,2)对称的点的坐标是

【解析】点P关于x轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标、竖坐 标变为原来的相反数,所以点P关于x轴对称的点的坐标为 P1(-2,-1,-4);点P关于xOy平面对称后,它的横、纵坐标 均不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于xOy平面对称 的点的坐标为P2(-2,1,-4);设点P关于点A对称的点的坐标为

? ?2 ? x ? 2 ? 1, ? x ? 4, ? 1? y ? P3(x,y,z),由中点坐标公式可得 ? ? 0, 解得 ? ? y ? ?1, ? 2 ?z ? 0. ? ?4 ? z ? 2, ? ? 2

故点P关于点A(1,0,2)对称的点的坐标为P3(4,-1,0).
答案:(-2,-1,-4) (-2,1,-4) (4,-1,0)

5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DC的中点,取 如图所示的空间直角坐标系,写出A,B1,E,D1的坐标.

【解析】结合图形知:点A(2,2,0),B1(2,0,2),D1(0,2,2), D(0,2,0),C(0,0,0).则E(0,1,0).


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