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《复变函数论》试题库及答案


《复变函数论》试题库
《复变函数》考试试题(一)
一、 判断题(20 分) : 1.若 f(z)在 z0 的某个邻域内可导,则函数 f(z)在 z0 解析. 2.有界整函数必在整个复平面为常数. 3.若 ( ( ( (常数). ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) )

{zn}

收敛,则

{Re z n }



{Im z n }

都收敛.

4.若 f(z)在区域 D 内解析,且

f '(z) ? 0

,则

f (z) ? C

5.若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 6.若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点. 7.若 z ? z
lim f ( z )
0

存在且有限,则 z0 是函数 f(z)的可去奇点.

8.若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则 f ' ( z ) ? 0 ( ? z ? D ) . 9. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C ? f ( z ) dz ? 0 .
C

(
10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数.( 二.填空题(20 分) 1、

)


?

dz ( z ? z0 )
2
n

| z ? z 0 | ?1

? __________.( n 为自然数)

2. sin

2

z ? cos

z ? _________.

3.函数 sin z 的周期为___________.
f (z) ? 1 z ? 1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有__________.
2

4.设
?

5.幂级数 ? n z 的收敛半径为__________.
n n?0

6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.
lim z n ? ?

7.若 n ? ?

,则 n ? ?

lim

z 1 ? z 2 ? ... ? z n n

?

______________.

Re s (

e z

z n

,0 ) ?

8.

________,其中 n 为自然数. 的孤立奇点为________ .

9.

sin z z

lim f ( z ) ? ___ z 0 是 f ( z ) 的极点,则 z ? z 0 10.若
三.计算题(40 分) :

.

f (z) ?
1. 设

1 ( z ? 1)( z ? 2 )
dz .
3? ? 7 ? ? 1
2

D ,求 f ( z ) 在

? { z : 0 ? | z |? 1}

内的罗朗展式.

2.

?

1 cos z

| z | ?1

f (z) ?

3. 设
w ?

?

C

? ? z

d?

,其中 C ? { z :| z |? 3} ,试求 f ' (1 ? i ).

z ?1 z ? 1 的实部与虚部.

4. 求复数

四. 证明题.(20 分) 1. 函数 为常数. 2. 试证: f ( z ) ?
z (1 ? z ) 在割去线段 0 ? R e z ? 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,

f ( z ) 在区域 D 内解析.

证明:如果 |

f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D 内

并求出支割线 0 ? R e z ? 1 上岸取正值的那支在 z ? ? 1 的值.

《复变函数》考试试题(二) 一. 判断题.(20 分)
1. 若函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续. 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界. 3. 若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 连续. 4. 有界整函数必为常数. 5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在.
z ? z0

( ( ( ( ( (
C

) ) ) ) ) )

6. 若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析. 7. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C ? f ( z ) dz ? 0 .

( 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛. 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析. 10. 存 在 一 个 在 零 点 解 析 的 函 数 f(z) 使 f ( 二. 填空题. (20 分)
1 n ?1 )? 0 1 2n 1 2n

) ) ) .

( ( 且 f(
)?

, n ? 1, 2 ,...

(

)

1. 设 z ? ? i ,则 | z |? __, arg z ? __, z ? __
2.设
f ( z ) ? ( x ? 2 xy ) ? i (1 ? sin( x ? y ), ? z ? x ? iy ? C
2 2 2

,则 lim f ( z ) ? ________.
z ? 1? i

3.

?

dz ( z ? z0 )
?

| z ? z 0 | ?1

n

? _________.( n 为自然数)

4. 幂级数 ? n z n 的收敛半径为__________ .
n?0

5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 f ' ( z ) 的_____零点. 6. 函数 ez 的周期为__________. 7. 方程 2 z 5 ? z 3 ? 3 z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设 f ( z ) ?
1 1? z
2

,则 f ( z ) 的孤立奇点有_________.

9. 函数 f ( z ) ? | z | 的不解析点之集为________.

10.

Res (

z ?1 z
4

,1) ? ____ .

三. 计算题. (40 分)
3 1. 求函数 sin( 2 z ) 的幂级数展开式.

2.

在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z

在正实轴取正实值的一个解析分支, 并求它在上半虚轴左沿的点及右 沿的点 z ? i 处的值.
3.

计算积分: I ?

?

i

?i

| z | d z ,积分路径为(1)单位圆( | z |? 1 )

的右半圆.

?
4. 求

sin z
z ?2

(z ?

?
2

dz )
2
.

四. 证明题. (20 分) 1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z ) 在 D 内解析. 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题(三)
一. 判断题. (20 分). 1. cos z 与 sin z 的周期均为 2 k ? . ( ( ( ( ) ) ) )

2. 若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件, 则 f(z)在 z0 解析. 3. 若函数 f(z)在 z0 处解析,则 f(z)在 z0 连续. 4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛.

5. 若函数 f(z)是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f(z)在区 域 D 内为常数. ( ) 6. 若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数 f(z)在 D ? { z :| z |? 1} 上解析,且 | f ( z ) |? 1(| z |? 1) ,则
| f ( z ) |? 1(| z |? 1)

.





8.

若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) ( ( ) )

9. 若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点, 则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点. 10. 若 z 0 是 1. 设 f ( z ) ?

f ( z ) 的可去奇点,则 Res ( f ( z ), z 0 ) ? 0 .
1 z ?1
2

二. 填空题. (20 分) ,则 f(z)的定义域为___________.

2. 函数 ez 的周期为_________. 3. 若 z n ? 4.
sin
2

n?2 1? n
2

? i (1 ?

1 n

)

n

,则 lim z ? __________.
n? ?
n

z ? cos

z ?

___________.

5.

?

dz ( z ? z0 )
?

| z ? z 0 | ?1

n

? _________.( n 为自然数)

6. 幂级数 ? nx n 的收敛半径为__________.
n?0

7. 设 f ( z ) ? 8. 设 e
z

1 z ?1
2

,则 f(z)的孤立奇点有__________.

? ? 1 ,则 z ? ___ .

9. 若 z 0 是

f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

10.

Res (

e z

z n

, 0 ) ? ____ .
1

三. 计算题. (40 分) 1. 将函数 f ( z ) ? z 2 e z 在圆环域 0 ? z ? ? 内展为 Laurent 级数.

2. 试求幂级数

?
n?

??

n! n
n

z 的收敛半径.
z

n

3. 算下列积分:

?

e dz z ( z ? 9)
2 2
2

,其中 C 是 |

z |? 1 .

C

4. 求 z ? 2 z ? z ? 8 z ? 2 ? 0 在|z|<1 内根的个数.
9 6

四.

证明题. (20 分)

1. 函数

f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果 | f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它

在 D 内为常数. 2. 设 使得当 |

f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个正数 R 及 M, z |? R 时
| f ( z ) |? M | z | ,
n

证明

f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(四)
一. 判断题. (20 分) 1. 若 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件. 2. 若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析. 3. 函数 sin z 与 cos z 在整个复平面内有界. 4. 若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ( ) ( ) ( )

?

C

f ( z ) dz ? 0 .
( ) ) ) ) )

lim 5. 若 z ? z f ( z ) 存在且有限,则 z0 是函数的可去奇点.
0

( ( ( (

6. 若函数 f(z)在区域 D 内解析且 f ' ( z ) ? 0 ,则 f(z)在 D 内恒为常数.

lim 7. 如果 z0 是 f(z)的本性奇点,则 z ? z f ( z ) 一定不存在.
0

8. 若 9. 若

f ( z0 ) ? 0, f

(n)

( z 0 ) ? 0 ,则 z 0 为 f ( z ) 的 n 阶零点.

f (z) 与 g (z) 在 D 内 解 析 ,且 在 D 内 一 小 弧 段 上相 等 , 则
( )

f ( z ) ? g ( z ), z ? D .
10. 若

f ( z ) 在 0 ? | z |? ?? 内解析,则
( )

Res ( f ( z ), 0 ) ? ? Res ( f ( z ), ? ) .
二. 填空题. (20 分) 1. 设 z

?

1 1? i

,则 Re

z ? __, Im z ? ___ .
z 1 ? z 2 ? ... ? z n n ?

2. 若 lim z n ? ? ,则 lim
n? ?

n? ?

______________.

3. 函数 ez 的周期为__________. 4. 函数 f ( z ) ?
1 1? z
2

的幂级数展开式为__________

5. 若函数 f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________. 6. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的 _____________. 7. 设 C

:| z | ? 1 ,则 ? ( z ? 1) dz ? ___ .
C

8.

sin z z

的孤立奇点为________.

9. 若 z 0 是

f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0
z n

10. 三.

Res (

e z

, 0 ) ? _____________.

计算题. (40 分)
3

1. 解方程 z

?1? 0

.

2. 设 f ( z ) ?

e
2

z

z ?1

,求 Re s ( f ( z ), ? ).

3.

?

z ( 9 ? z )( z ? i )
2

|z|? 2

dz . .

1

4. 函数 f ( z ) ?

e ?1
z

?

1 z

有哪些奇点?各属何类型 (若是极点, 指明它的阶数) .

四. 证明题. (20 分) 1. 证明:若函数

f ( z ) 在上半平面解析,则函数 f ( z ) 在下半平面解析.

2. 证明 z 4 ? 6 z ? 3 ? 0 方程在 1 ? | z |? 2 内仅有 3 个根.

《复变函数》考试试题(五)
一. 判断题.(20 分)
1. 若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数, 则它在 D 内有任意阶导数. ( ) 2. 若函数 f(z)在区域 D 内的解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D 内 恒等于常数. ( ) 3. 若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析. ( ) 4. 若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析. ( ) 5. 若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f(z)在 z0 解析. ( ) 6. 若 lim f ( z ) 存在且有限, z0 是 f(z)的可去奇点. 则
z ? z0

( ( (

) ) )

7. 若函数 f(z)在 z0 可导,则它在该点解析. 8. 设函数 9. 若 z 0 是

f ( z ) 在复平面上解析,若它有界,则必 f ( z ) 为常数. f ( z ) 的一级极点,则

Res ( f ( z ), z 0 ) ? lim ( z ? z 0 ) f ( z ) .
z ? z0





10. 若

f (z) 与 g (z) 在 D 内解析,且在 D 内一小弧段上相等,则
( )

f ( z ) ? g ( z ), z ? D .
二. 填空题.(20 分) 1. 设 z 2. 当 z 3. 设 e 4.
z
z

?1?

3i ,则 | z |? __, arg z ? __, z ? __ .
z

? ___ 时, e 为实数.

? ? 1 ,则 z ? ___ .

e 的周期为___.
:| z | ? 1 ,则 ? ( z ? 1) dz ? ___ .
C

5. 设 C

6.

Res (

e ?1
z

, 0 ) ? ____ .

z
7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的 _____________。 8. 函数 f ( z ) ?
1 1? z
2

的幂级数展开式为_________.

9.

sin z z

的孤立奇点为________.

10. 设 C 是以为 a 心,r 为半径的圆周,则
然数)

?

1 (z ? a)
n

dz ? ___ .( n 为自

C

三. 计算题. (40 分)

z ?1
1. 求复数

z ?1

的实部与虚部.

2. 计算积分:

I ?

?

Re z d z ,

L

在这里 L 表示连接原点到 1 ? i 的直线段. 3. 4. 求积分: I ?

?

2?

d? 1 ? 2 a cos ? ? a
2

,其中 0<a<1.

0

应用儒歇定理求方程 z

? ? ( z ) ,在|z|<1 内根的个数,在这里 ? ( z ) 在

| z |? 1 上解析,并且 | ? ( z ) |? 1 .
四. 证明题. (20 分) 1. 证明函数 2. 设

f ( z ) ? | z | 除去在 z ? 0 外,处处不可微.
2

f ( z ) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个数 R 及 M, z |? R 时
| f ( z ) |? M | z | ,
n

使得当 |

证明:

f ( z ) 是一个至多 n 次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题(六)
一、判断题(30 分) : 1. 2. 3. 4. 5. 若函数 f ( z ) 在 z 0 解析,则 f ( z ) 在 z 0 连续. ( ) 若函数 f ( z ) 在 z 0 处满足 Caychy-Riemann 条件,则 f ( z ) 在 z 0 解析. ( 若函数 f ( z ) 在 z 0 解析,则 f ( z ) 在 z 0 处满足 Caychy-Riemann 条件. ( 若函数 f ( z ) 在是区域 D 内的单叶函数,则 f ? ( z ) ? 0( ? z ? D ) . ( ) ) )

若 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ? f ( z ) d z ? 0 .
C

( 6. 7.

) )
C

若 f ( z ) 在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ? f ( z ) d z ? 0 .( 若 f ? ( z ) ? 0( ? z ? D ) ,则函数 f ( z ) 在是 D 内的单叶函数.( )
1 f (z)

8.

若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是

的 m 阶极点.( )

9.

如果函数 f ( z ) 在 D ? ? z : z ? 1? 上解析,且 f ( z ) ? 1( z ? 1) ,则 f ( z ) ? 1( z ? 1) . ( ) )

10.

sin z ? 1( ? z ? C ) .(

二、填空题(20 分) 1. 2. 3. 4. 若 zn ?
n?2 1? n
2

? i (1 ? 1

1 n

) ,则 lim z n ? ___________.
n

设 f (z) ?

z ?1

,则 f ( z ) 的定义域为____________________________.

函数 sin z 的周期为_______________________.
sin z ? cos z ? _______________________.
2 2

5.

幂级数 ? n z 的收敛半径为________________.
n n?0

??

6. 7. 8. 9.

若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z 0 是 f ? ( z ) 的____________零点. 若函数 f ( z ) 在整个复平面处处解析,则称它是______________. 函数 f ( z ) ? z 的不解析点之集为__________. 方程 2 z ? z ? 3 z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
5 3

10. 公式 e ? co s x ? i sin x 称为_____________________.
ix

三、计算题(30 分)
?2?i? 1、 lim ? ? . n? ? ? 6 ?
n

2、设 f ( z ) ?

?

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z
e
z

d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ? (1 ? i ) .

3、设 f ( z ) ?

z ?1
2 3

,求 R e s ( f ( z ), i ) .

4、求函数

sin z z
6

在 0 ? z ? ? 内的罗朗展式.
z ?1 z ?1

5、求复数 w ?
?

的实部与虚部.

?
3

i

6、求 e

的值.

四、证明题(20 分) 1、 方程 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2、 若函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在区域 D 内解析,v ( x , y ) 等于常数, f ( z ) 在 D 恒等 则 于常数. 3、 若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是
1 f (z)

的 m 阶极点.

《复变函数》考试试题(七)
一、判断题(24 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 若函数 f ( z ) 在 z 0 解析,则 f ( z ) 在 z 0 的某个领域内可导.( ) 若函数 f ( z ) 在 z 0 处解析,则 f ( z ) 在 z 0 满足 Cauchy-Riemann 条件.( 如果 z 0 是 f ( z ) 的可去奇点,则 lim f ( z ) 一定存在且等于零.( )
z ? z0



若函数 f ( z ) 是区域 D 内的单叶函数,则 f ? ( z ) ? 0( ? z ? D ) .( ) 若函数 f ( z ) 是区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数.( ) 若函数 f ( z ) 在区域 D 内的解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D 内恒等于 常数.( )

7.

若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是

1 f (z)

的 m 阶极点.( )

二、填空题(20 分) 1. 2. 3. 4. 若 z n ? sin 设 f (z) ?
z

1 1? n z z ?1
2

? i (1 ?

1 n

) ,则 lim z n ? ___________.
n

,则 f ( z ) 的定义域为____________________________.

函数 e 的周期为______________.
sin z ? cos z ? _______________.
2 2

5.

幂级数 ? n z
2 n?0

??

n

2

的收敛半径为________________.

6. 7. 8. 9.

若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z 0 是 f ? ( z ) 的____________零点. 若函数 f ( z ) 在整个复平面处处解析,则称它是______________. 函数 f ( z ) ? z 的不解析点之集为__________. 方程 3 z ? z ? 3 z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
8 3

10. R e s (

e z

z n

, 0 ) ? _________________.

三、计算题(30 分)

1、 求 ?

?1? i ? ?1? i ? ? ?? ? . ? 2 ? ? 2 ?

2

2

2、 设 f ( z ) ?

?
e z

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z

d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ? (1 ? i ) .

z 2

3、设 f ( z ) ?

,求 R e s ( f ( z ), 0 ) .

4、求函数

z ( z ? 1)( z ? 1)

在 1 ? z ? 2 内的罗朗展式.

5、求复数 w ?

z ?1 z ?1

的实部与虚部.
2? 0

6、利用留数定理计算积分: ? 四、证明题(20 分)

dx a ? co s x

, ( a ? 1) .

1、方程 24 z ? 9 z ? 6 z ? z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7.
7 6 3 3

2、若函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在区域 D 内解析, f ( z ) 等于常数,则 f ( z ) 在 D 恒等 于常数. 3、 若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是 五、计算题(10 分) 求一个单叶函数, 去将 z 平面上的上半单位圆盘 ? z : z ? 1, Im z ? 0 ? 保形映射为 w 平面的单 位圆盘 ? w : w ? 1?
1 f (z)

的 m 阶极点.

《复变函数》考试试题(八)
一、判断题(20 分) 1、若函数 f ( z ) 在 z 0 解析,则 f ( z ) 在 z 0 连续.( ) 2、若函数 f ( z ) 在 z 0 满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f ( z ) 在 z 0 处解析.( ) 3、如果 z 0 是 f ( z ) 的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在.( )
z ? z0

4、若函数 f ( z ) 是区域 D 内解析,并且 f ? ( z ) ? 0( ? z ? D ) ,则 f ( z ) 是区域 D 的单叶函数. ( ) 5、若函数 f ( z ) 是区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数.( )

6、若函数 f ( z ) 是单连通区域 D 内的每一点均可导,则它在 D 内有任意阶导数.( ) 7、若函数 f ( z ) 在区域 D 内解析且 f ?( z ) ? 0 ,则 f ( z ) 在 D 内恒为常数.( ) 8. 9. 存在一个在零点解析的函数 f ( z ) 使 f (
1 n ?1 )?0且 f( 1 2n )? 1 2n , n ? 1, 2, ? .(



如果函数 f ( z ) 在 D ? ? z : z ? 1? 上解析,且 f ( z ) ? 1( z ? 1) ,则 f ( z ) ? 1( z ? 1) . (

) 10. sin z 是一个有界函数.( ) 二、填空题(20 分) 1、若 z n ?
n?2 1? n ? i (1 ? 1 n ) ,则 lim z n ? ___________.
n

2、设 f ( z ) ? ln z ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. 3、函数 sin z 的周期为______________. 4、若 lim z n ? ? ,则 lim
n? ?

z1 ? z 2 ? ? ? z n n

n? ?

? _______________.

5、幂级数 ? n z
n?0

??

n

5

的收敛半径为________________.
1

6、函数 f ( z ) ?

1? z

2

的幂级数展开式为______________________________.
1
C

7、若 C 是单位圆周, n 是自然数,则 ?

( z ? z0 )

n

d z ? ______________.

8、函数 f ( z ) ? z 的不解析点之集为__________. 9、方程 15 z ? z ? 4 z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
5 3 2

10、若 f ( z ) ?

1 1? z
2

,则 f ( z ) 的孤立奇点有_________________.

三、计算题(30 分) 1、求 ?
e
z ?1

z ?1

sin zd z ?

? 2? i

1

dz
z ?3

( z ? 1)( z ? 4 )

2、设 f ( z ) ?

?

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z
e
z

d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ? (1 ? i ) .

3、设 f ( z ) ?

z ?1
2

,求 R e s ( f ( z ), ? ) .

4、求函数

z ? 10 ( z ? 1)( z ? 2 )
2

在 2 ? z ? ? ? 内的罗朗展式.

5、求复数 w ?

z ?1 z ?1

的实部与虚部.

四、证明题(20 分) 1、方程 15 z ? 5 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7.
7 6 3

2、若函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在区域 D 内连续,则二元函数 u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 都在 D 内连续. 4、 若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是 五、计算题(10 分) 求一个单叶函数,去将 z 平面上的区域 ? z : 0 ? arg z ?
? ? 4 5

1 f (z)

的 m 阶极点.

? ? 保形映射为 w 平面的单位圆盘
?

?

?w :

w ? 1? .

《复变函数》考试试题(九)
一、判断题(20 分) 1、若函数 f ( z ) 在 z 0 可导,则 f ( z ) 在 z 0 解析.( ) 2、若函数 f ( z ) 在 z 0 满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f ( z ) 在 z 0 处解析.( ) 3、如果 z 0 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) 一定存在且等于无穷大.( )
z ? z0

4、若函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ? f ( z ) d z ? 0 .
C

( ) 5、若函数 f ( z ) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.( )

6、 若函数 f ( z ) 在区域 D 内的解析, 且在 D 内某一条曲线上恒为常数, f ( z ) 在区域 D 内 则 恒为常数.( ) 7、若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是
1 f (z)

的 m 阶极点.( )

( ) 8、 如果函数 f ( z ) 在 D ? ? z : z ? 1? 上解析, f ( z ) ? 1( z ? 1) , f ( ) ? z 1 ? 且 则 z 1

( ) .

9、 lim e ? ? .(
z z? ?

) )

10、如果函数 f ( z ) 在 z ? 1 内解析,则 m ax{ f ( z ) } ? m ax{ f ( z ) } . (
z ?1 z ?1

二、填空题(20 分) 1、若 z n ? sin 2、设 f ( z ) ?
1 1? n 1 sin z ? i (1 ? 2 n ) ,则 lim z n ? ___________.
n

,则 f ( z ) 的定义域为____________________________.

3、函数 sin z 的周期为______________. 4、 sin z ? cos z ? _______________.
2 2

5、幂级数 ? n z 的收敛半径为________________.
n n?0

??

6、若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z 0 是 f ? ( z ) 的____________零点. 7、若函数 f ( z ) 在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是______________. 8、函数 f ( z ) ? z 的不解析点之集为__________. 9、方程 2 0 z ? 1 1 z ? 3 z ? 5 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.
8 3

10、 R e s (

e
2

z

z ?1

,1) ? _________________.

三、计算题(30 分)
?2?i? 1、 lim ? ? n? ? ? 6 ?
n

2、设 f ( z ) ?

?

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z
e
z

d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ? (1 ? i ) .

3、设 f ( z ) ?

z ?1
2

,求 R e s ( f ( z ), ? i ) .

4、求函数

z ( z ? 1)( z ? 2 )

在 1 ? z ? 2 内的罗朗展式.

5、 求复数 w ?

z ?1 z ?1

的实部与虚部.
?? ??

6、 利用留数定理计算积分 ? 四、证明题(20 分)

x ?x?2
2

x ? 10 x ? 9
4 2

dx .

1、方程 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2、若函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在区域 D 内解析,u ( x , y ) 等于常数,则 f ( z ) 在 D 恒等 于常数. 7、 若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是 五、计算题(10 分) 求一个单叶函数,去将 z 平面上的带开区域 ? z :
? ?

1 f (z)

的 m 阶极点.

?

? ? Im z ? ? ? 保形映射为 w 平面的单位圆 2 ?

盘 ? w : w ? 1? .

《复变函数》考试试题(十)
一、判断题(40 分) : 1、若函数 f ( z ) 在 z 0 解析,则 f ( z ) 在 z 0 的某个邻域内可导.( ) 2、如果 z 0 是 f ( z ) 的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在.( )
z ? z0

3、若函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在 D 内连续,则 u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 都在 D 内连续.( ) 4、 co s z 与 sin z 在复平面内有界.( ) 5、若 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z 0 是 1 / f ( z ) 的 m 阶极点.( ) 6、若 f ( z ) 在 z 0 处满足柯西-黎曼条件,则 f ( z ) 在 z 0 解析.( ) 7、若 lim f ( z ) 存在且有限,则 z 0 是函数的可去奇点.( )
z ? z0

8、若 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ? f ( x ) d z ? 0 .(
C



9、若函数 f ( z ) 是单连通区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数.( ) 10、若函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D 内恒等于常 数.( ) 二、填空题(20 分) : 1、函数 e 的周期为_________________. 2、幂级数 ? n z 的和函数为_________________.
n n?0 ??

z

3、设 f ( z ) ?
??

1 z ?1
2

,则 f ( z ) 的定义域为_________________.

4、 ? n z 的收敛半径为_________________.
n n?0

5、 R e s (

e z

z n

, 0 ) =_________________.

三、计算题(40 分) : 1、 ?
z
z

(9 ? z )( z ? i )
2

dz.

2、求 R e s (

e

iz 2

1? z

, ? i ).

3、 ?

?1? i ? ?1? i ? ? ?? ? . ? 2 ? ? 2 ?
2 2

n

n

4、设 u ( x , y ) ? ln ( x ? y ). 求 v ( x , y ) ,使得 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 为解析函数,且满足
f (1 ? i ) ? ln 2 。其中 z ? D ( D 为复平面内的区域).
4 5、求 z ? 5 z ? 1 ? 0 ,在 z ? 1 内根的个数 .

《复变函数》考试试题(十一)
一、判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题 2 分) 1.当复数 z ? 0 时,其模为零,辐角也为零. ( ) 2.若 z 0 是多项式 P ( z ) ? a n z ? a n ?1 z
n n ?1

? ? ? a 0 ( a n ? 0 ) 的根,则 z 0 也 P ( z ) 是的根.(



3.如果函数 f ( z ) 为整函数,且存在实数 M ,使得 R e f ( z ) ? M ,则 f ( z ) 为一常数.( ) 4. 设函数 f 1 ( z ) 与 f 2 ( z ) 在区域内 D 解析, 且在 D 内的一小段弧上相等, 则对任意的 z ? D , 有 f1 ( z ) ? f 2 ( z ) . ( ) ( )

5.若 z ? ? 是函数 f ( z ) 的可去奇点,则 R e s f ( z ) ? 0 .
z??

二、填空题.(每题 2 分) 1. i ? i ? i ? i ? i ? _____________________.
2 3 4 5 6

z 2 . 设 z ? x ? i y ?0 , 且 ? ? ? a r g ? ?

,?

?

?

2 y a r g? a r c t a?n ________________. x 1 2 2 3.函数 w ? 将 z 平面上的曲线 ( x ? 1) ? y ? 1 变成 w 平面上的曲线______________. z

y ? a r c t a n , 当 x ? 0 ,y ? 0 时 , ? x 2

4.方程 z ? a ? 0 ( a ? 0 ) 的不同的根为________________.
4 4

5. (1 ? i ) ___________________.
i

6.级数 ? [ 2 ? ( ? 1) ] z 的收敛半径为____________________.
n 2 n?0

?

7. cos nz 在 z ? n ( n 为正整数)内零点的个数为_____________________. 8.函数 f ( z ) ? 6 sin z ? z ( z ? 6) 的零点 z ? 0 的阶数为_____________________.
3 3 6

9 . 设 a 为 函 数 f (z) ?

? (z) ? (z)

的 一 阶 极 点 , 且 ? ( a ) ? 0, ? ( a ) ? 0, ? ?( a ) ? 0 , 则

Re s
z?a

f ?( z ) f (z)

? _____________________.

10.设 a 为函数 f ( z ) 的 m 阶极点,则 R e s
z?a

f ?( z ) f (z)

? _____________________.

三、计算题(50 分)

1.设 u ( x , y ) ? 满足 f (1 ? i ) ?

1 2 1 2

ln ( x ? y ) 。求 v ( x , y ) ,使得 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 为解析函数,且
2 2

ln 2 .其中 z ? D ( D 为复平面内的区域).(15 分)

2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶).(10 分)
1

(1) tan z ; (5 分) 3.计算下列积分.(15 分) (1) ? (2) ?
z
z ?4 2 4 19 4 3

2

(2)

e z ?1 e ?1
z

. (5 分)

( z ? 1) ( z ? 2 )

dz

(8 分) ,

?
0

d? 1 ? co s ?
2

(7 分).

7 4 2 4.叙述儒歇定理并讨论方程 z ? 5 z ? z ? 2 ? 0 在 z ? 1 内根的个数.(10 分)

四、证明题(20 分)
( 1. f (z ) ?u (x , y ) iv?x ,y ) 设

是上半复平面内的解析函数, 证明 f ( z ) 是下半复平面内的解

析函数.(10 分) 2.设函数 f ( z ) 在 z ? R 内解析,令 M ( r ) ? m ax f ( z ) , (0 ? r ? R ) 。证明: M ( r ) 在区
z ?r

间 [0, R ) 上是一个上升函数,且若存在 r1 及 r2 ( 0 ? r1 ? r2 ? R ) ,使 M ( r1 ) ? M ( r2 ) ,则
f ( z ) ? 常数.(10 分)

《复变函数》考试试题(十二)
二、判断题。 (正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题 2 分) 1.设复数 z1 ? x1 ? iy1 及 z 2 ? x 2 ? iy 2 ,若 x1 ? x 2 或 y1 ? y 2 ,则称 z 1 与 z 2 是相等的复数。 ( ) ( ) ( )

2.函数 f ( z ) ? R e z 在复平面上处处可微。
2 2 3. sin z ? co s z ? 1 且 sin z ? 1,

co s z ? 1 。

4.设函数 f ( z ) 是有界区域 D 内的非常数的解析函数,且在闭域 D ? D ? ? D 上连续,则存 在 M ? 0 ,使得对任意的 z ? D ,有 f ( z ) ? M 。 ( ) 5.若函数 f ( z ) 是非常的整函数,则 f ( z ) 必是有界函数。 ) ( 二、填空题。 (每题 2 分) 1. i ? i ? i ? i ? i ? _____________________。
2 3 4 5 6

z 2 . 设 z ? x ? i y ?0 , 且 ? ? ? a r g ? ? a r g? y a r c t a?n ________________。 x
1 x ? y
2 2

,?

?
2

?

y ? a r c t a n , 当 x ? 0 ,y ? 0 时 , ? x 2

3. 若已知 f ( z ) ? x (1 ?

) ? iy (1 ?

1 x ? y
2 2

), 则其关于变量 z 的表达式为__________。

4. n z 以 z ? ________________为支点。 5.若 ln z ? 6. ?
dz
z ?1

?
2

i ,则 z ? _______________。

? ________________。

z
2 4 6

7.级数 1 ? z ? z ? z ? ? 的收敛半径为________________。 8. cos nz 在 z ? n ( n 为正整数)内零点的个数为_______________。 9.若 z ? a 为函数 f ( z ) 的一个本质奇点,且在点 a 的充分小的邻域内不为零,则 z ? a 是
1 f (z) f ?( z ) f (z)

的________________奇点。

10.设 a 为函数 f ( z ) 的 n 阶极点,则 R e s
z?a

? _____________________。

三、计算题(50 分) 1.设区域 D 是沿正实轴割开的 z 平面,求函数 w ?
5

z 在 D 内满足条件

5

? 1 ? ? 1 的单值

连续解析分支在 z ? 1 ? i 处之值。 (10 分) 2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶) ,并求它们留数。 (15 分) (1) f ( z ) ?
Lnz z ?1
2

的各解析分支在 z ? 1 各有怎样的孤立奇点, 并求这些点的留数 (10 分)

(2)求 R e s
z?0

e z

z

n ?1



(5 分)

3.计算下列积分。 (15 分) (1) ?
z
z ?2 2 3 7 2

( z ? 1) ( z ? 2 ) x dx (x ? a )
2 2 2 2

dz

(8 分) ,

(2) ?

?? ??

(a ? 0)

(7 分) 。

6 4.叙述儒歇定理并讨论方程 z ? 6 z ? 1 0 ? 0 在 z ? 1 内根的个数。 (10 分)

四、证明题(20 分) 1.讨论函数 f ( z ) ? e 在复平面上的解析性。
z

(10 分)

2.证明:
1 2? i

?

z e
C

n

z? n

n !?

?

d?

?

?(

z

n

) 。

2

n!

此处 C 是围绕原点的一条简单曲线。 (10 分)

《复变函数》考试试题(十三)
一、填空题. (每题2分) 1.设 z ? r (co s ? ? i sin ? ) ,则
1 z ? _____________________.

2.设函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) , A ? u 0 ? iv 0 , z 0 ? x 0 ? iy 0 ,则 lim f ( z ) ? A 的充
z ? z0

要条件是_______________________. 3.设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则 f ( z ) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分

?

f ( z ) d z ? _________________________.
C

4.设 z ? a 为 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ____________________.
z? a

5.设 f ( z ) ? z sin z ,则 z ? 0 是 f ( z ) 的________阶零点. 6.设 f ( z ) ?
1 1? z
2

,则 f ( z ) 在 z ? 0 的邻域内的泰勒展式为_________________.

7.设 z ? a ? z ? a ? b ,其中 a , b 为正常数,则点 z 的轨迹曲线是_________________. 8.设 z ? ? sin
?

?
6

? i co s

?
6

,则 z 的三角表示为_________________________.

9. ? 4 z co s zd z ? ___________________________.
0

10.设 f ( z ) ?

e

?z 2

,则 f ( z ) 在 z ? 0 处的留数为________________________.

z

二、计算题. 1.计算下列各题. (9分) (1) co s i ;
3

(2) ln ( ? 2 ? 3 i ) ;

(3) 3

3?i

2.求解方程 z ? 8 ? 0 . (7分) 3 . 设 u ? x ? y ? xy , 验 证 u 是 调 和 函 数 , 并 求 解 析 函 数 f ( z ) ? u ? iv , 使 之
2 2

f (i ) ? ? 1 ? i . (8分)

4.计算积分. (10 分) (1) (2)

?

( x ? iy ) d z ,其中 C 是沿 y ? x 由原点到点 z ? 1 ? i 的曲线.
2

2

C

?

1? i 0

[( x ? y ) ? ix ]d z ,积分路径为自原点沿虚线轴到 i ,再由 i 沿水平方向向右到 1 ? i .
2

5.试将函数 f ( z ) ?

1 ( z ? 1)( z ? 2 )

分别在圆环域 0 ? z ? 1 和 1 ? z ? 2 内展开为洛朗级

数. (8分) 6.计算下列积分. (8分) (1)

? ?

5z ? 2
z ?2

z ( z ? 1)

2

dz ;

(2)

? ?

sin z
z ?4

2

z ( z ? 1)
2

dz .

7.计算积分 ?

?? ??

x

2 4

1? x

dx . (8分)

8.求下列幂级数的收敛半径. (6分) (1)

?

?

nz

n ?1



(2)
2

n ?1

?

?

( ? 1) n!

n

z .

n

n ?1

9.讨论 f ( z ) ? z 的可导性和解析性. (6分) 三、证明题. 1.设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析, f ( z ) 为常数,证明 f ( z ) 必为常数. (5分) 2.试证明 az ? az ? b ? 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数. (5分)

《复变函数》考试试题(十四)
一、填空题. (每题2分) 1.设 z ? r (co s ? ? i sin ? ) ,则 z ? ___________________.
n

2.设函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) , A ? u 0 ? iv 0 , z 0 ? x 0 ? iy 0 ,则 lim f ( z ) ? A 的充
z ? z0

要条件______________________. 3.设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则 f ( z ) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分

?

f ( z ) d z ? _________________________.
C

4.设 z ? a 为 f ( z ) 的可去奇点, lim f ( z ) ? ____________________.
z? a

5.设 f ( z ) ? z ( e
2

z

2

? 1) ,则 z ? 0 是 f ( z ) 的________阶零点.

6.设 f ( z ) ?

1 1? z
2

,则 f ( z ) 在 z ? 0 的邻域内的泰勒展式为_________________.

7.设 z ? a ? z ? a ? b ,其中 a , b 为正常数,则点 z 的轨迹曲线是_________________. 8.设 z ? sin ? ? i cos ? ,则 z 的三角表示为_________________________. 9. ?
1? i 0
2

ze d z ? ___________________________.
z

10.设 f ( z ) ? z sin

1 z

,则 f ( z ) 在 z ? 0 处的留数为________________________.

二、计算题. 1.计算下列各题. (9分) (1) L n ( ? 3 ? 4 i ) ;
3

? 1?

?i
6

(2) e

;

(3) (1 ? i )

1? i

2.求解方程 z ? 2 ? 0 . (7分) 3. u ? 2 ( x ? 1) y , 设 验证 u 是调和函数, 并求解析函数 f ( z ) ? u ? iv , 使之 f ( 2 ) ? ? i . (8 分) 4.计算积分 ?
1? i 0

[( x ? y ) ? ix ]d z ,其中路径为(1)自原点到点 1 ? i 的直线段;
2

(2)自原点沿虚轴到 i ,再由 i 沿水平方向向右到 1 ? i . (10 分) 5.试将函数 f ( z ) ?
1 ( z ? 2)

在 z ? 1 的邻域内的泰勒展开式. (8分)

6.计算下列积分. (8分) (1)

? ?

sin z
z ?2

(z ?

?
2

dz ; )
2

(2)

? ?

z ?2
2 z ?4

z ( z ? 3)
2

dz .

7.计算积分 ?

2? 0

d? 5 ? 3 co s ?

. (6分)

8.求下列幂级数的收敛半径. (6分) (1)

?

?

(1 ? i ) z ;
n n

(2)

n ?1

?

?

( n !) n
n

2

z .

n

n ?1

9. f ( z ) ? m y ? nx y ? i ( x ? lxy ) 为复平面上的解析函数, 设 试确定 l ,m ,n 的值. (6
3 2 3 2

分) 三、证明题. 1.设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析, f ( z ) 在区域 D 内也解析,证明 f ( z ) 必为常数. (5分) 2.试证明 az ? az ? b ? 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数. (5分)

《复变函数》考试试题(三)参考答案
一. 判断题 1.× 2.×3.√ 4.√ 5.√6.√7. √ 8.√ 9.√ 10.√. 二.填空题. 1. ? z z ? ? i , 且 z ? C ? ; 6. 1; 三. 计算题.
1

2. 2 k ? i

(k ? z ) ;

3. ? 1 ? ei ;

4. 1; 9. ? ;

5. ?

? 2? i ? 0

n ?1 n ?1
1

; .

7. ? i ;

8. z ? (2 k ? 1)? i ;

10.

( n ? 1) !

1. 解 2. 解

z e z ? z (1 ?
2 2

1 z

?

1 2!z
2

? ? ? ?) ?
n ?1

?

?

z

?n?2

.
n!
1 n ? i m (? e . ) l 1 n

n?0

lim
n? ?

cn c n ?1

?

n ! (n ? 1 ) l i mn ? ? n? ? n (n ? 1 ) !
z

n? 1 n lim ( ? ) n? ? n? ? n
z

所以收敛半径为 e . 3. 解 令 f ( z ) ?
e
2

z ( z ? 9)
2

, 则 Re s f (z) ?
z?0

e
2

z ?9

? ?
z?0

1 9

.

故原式 ? 2 ? i R e s f ( z ) ? ?
z?0

2? i 9
2

.

4. 解 令 f ( z ) ? z ? 2 z ? z ? 2 , ? ( z ) ? ? 8 z .
9 6

则在 C :

z ? 1 上 f ( z ) 与 ? ( z ) 均解析, 且 f ( z ) ? 6 ? ? ( z ) ? 8 , 故由儒歇定理有
N( ?? f , C ) . 即在 z ? 1 内, 方程只有一个根. ? 1

N ( f ? ? , C )?

四. 证明题. 1. 证明 证明 设在 D 内 f ( z ) ? C .
则 f (z)
2

令 f ( z ) ? u ? iv ,

?u ?v ?c .
2 2 2

两边分别对 x , y 求偏导数, 得

? u u x ? vv x ? 0 ? ? u u y ? vv y ? 0

(1) (2)

因为函数在 D 内解析, 所以 u x ? v y , u y ? ? v x . 代入 (2) 则上述方程组变为
? u u x ? vv x ? 0 . ? ? vu x ? u v x ? 0
2 2

消去 u x 得, ( u ? v ) v x ? 0 .
2 2

1) u ? v ? 0 , 则 f ( z ) ? 0 为常数. 2) 若 v x ? 0 , 由方程 (1) (2) 及 C . ? R . 方程有 u x ? 0, u y ? 0 , v y ? 0 . 所以 u ? c1 , v ? c 2 . ( c1 , c 2 为常数). 所以 f ( z ) ? c1 ? ic 2 为常数.

2. 证明 取 r ? R , 则对一切正整数 k ? n 时, 于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f 故 f (z) ?
(k )

f

(k )

(0 ) ?

k! 2?

?

f (z)
z ?r

z

k ?1

dz ?

k !M r r
k

n

.

(0) ? 0 .

?c
k ?0

n

n

z n , 即 f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数.

《复变函数》考试试题(四)参考答案
一. 判断题. 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.× 6.√ 7.×8.× 9.√10.√ . 二. 填空题. 1.
1 2

,

1 2

;

2. ? ; 7. 0;

3. 2 k ? i 8. z ? 0 ;

(k ? z ) ;

4.

? ( ? 1)
n?0

?

n

z

2n

( z ? 1) ;

5. 整函数; .

6. 亚纯函数; 三. 计算题. 1.
解 :z
3

9. ? ;

10.

1 ( n ? 1) !

? ? 1 ? z ? cos

2 k? ? ? 3

? i sin

2 k? ? ? 3

k ? 0 ,1, 2

z 1 ? cos

?
3

? i sin

?
3

?

1 2

?

3 2

i

z 2 ? cos ? ? i sin ? ? ? 1 z 3 ? cos 5? 3
e
z

? i sin

5? 3

?
?

1 2
e 2

?

3 2

i
e
z

2. 解 R e s f ( z ) ?
z ?1

z ?1

, Re s f (z) ?
z ? ?1

z ?1

z ?1
?1

?
z ? ?1

e

?1

?2

.

故原式 ? 2? i ( R e s f ( z ) ? R e s f ( z )) ? ? i ( e ? e ) .
z ?1 z ? ?1

3. 解 原式 ? 2 ? i R e s f ( z ) ? 2 ? i
z??i

z 9?z
2 z??i

?

?
5

.

1

4. 解 e ? 1
z

?

1

z ? e ?1
z z

z z = z ( e ? 1) ,令 z ( e ? 1) ? 0 ,得 z ? 0 , z ? 2 k ? i , k ? ? 1, ? 2 , ?

lim (

1 e ?1
z



z? 0

?

1 z
z

) ? lim

z ? e ?1
z

z? 0

( e ? 1) z
z

? lim

1? e
z

z z

z? 0

e ? 1 ? ze

? lim

?e
z z

z? 0

e ? e ? ze

z

? ?

1 2
z

? z ? 0 为可去奇点

当 z ? 2 k ? i 时, ( k ? 0 ), z ? e ? 1 ? 0

?( e

z

? 1) z

??

而 四. 证明题.

z ? 2 k? i

? e ? 1 ? ze
z

z

z ? 2 k? i

? 0

? z ? 2 k ? i 为一阶极点.

1. 证明 设 F ( z ) ? f ( z ) , 在下半平面内任取一点 z 0 , z 是下半平面内异于 z 0 的点, 考虑
lim F ( z ) ? F ( z0 ) z ? z0 ? lim
z? z
0

f ( z ) ? f ( z0 ) z ? z0

z ? z0

? lim
z? z
0

f ( z ) ? f ( z0 ) z ? z0

.

而 z 0 , z 在 上 半 平 面 内 , 已 知 f ( z ) 在 上 半 平 面 解 析 , 因 此 F ?( z 0 ) ? f ?( z 0 ) , 从 而
F ( z ) ? f ( z )在下半平面内解析.

2. 证明 令 f ( z ) ? ? 6 z ? 3 , ? ( z ) ? z , 则 f ( z ) 与 ? ( z ) 在全平面解析,
4

且在 C 1 : z ? 2 上, 在 C 2 : z ? 1 上,

f ( z ) ? 15 ? ? ( z) ? 16 ,

故在 z ? 2 内 N ( f ? ? , C 1 ) ? N (? , C 1 ) ? 4 .
f (z) ? 3 ? ? (z) ? 1 ,

故在 z ? 1 内 N ( f ? ? , C 2 ) ? N ( f , C 2 ) ? 1 . 所以 f ? ? 在 1 ? z ? 2 内仅有三个零点, 即原方程在 1 ? z ? 2 内仅有三个根.

《复变函数》考试试题(五)参考答案
一. 判断题. 1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 10.√. 二. 填空题. ? ( k ? z , a为 任 意 实 数 ) ; 1.2, ? , 1 ? 3i ; 2. a ? 2 k ? i
3

3. (2 k ? 1)? i , 7. 亚纯函数;

(k ? z ) ;

4. 2 k ? i , ( k ? z ) ;
? n

5. 0; 9. 0; 10. ?

6. 0;
? 2? i ? 0 n ?1 n ?1

8.

? ( ? 1)
n?0

z

2n

( z ? 1) ;

.

三. 计算题. 1. 解 令 z ? a ? b i , 则
w ? z ?1 z ?1 ?1 ? 2 z ?1 ? 1 2a? 1 b i ) ( ? ? ? 1 2 2 (a ? 1 ) ? b ? 2a(?
2

1)
2

(a ? 1 ) ? b 2b

?

b2 a? (
2

1 )? b

.2

故 R e(

z ?1 z ?1

) ?1?

2 ( a ? 1) ( a ? 1) ? b
2 2

, Im (

z ?1 z ?1

)?

( a ? 1) ? b
2

2

.
0 ? t ?1,

2. 解 连接原点及 1 ? i 的直线段的参数方程为 z ? (1 ? i ) t 故 ? R e zd z ?
c
i?

? ? R e[(1 ? i ) t ]? (1 ? i ) d t ? (1 ? i ) ?
0

1

1 0

td t ?

1? i 2

.

3. 令 z ? e , 则 d ? ?
2

dz iz

. 当a ? 0 时
?1

1 ? 2 a co s ? ? a ? 1 ? a ( z ? z

)?a ?
2

( z ? a )(1 ? a z ) z

,
1

故I ?

1

? i

dz
z ?1

( z ? a )(1 ? a z )
z?a

, 且在圆 z ? 1 内 f ( z ) ?
1 1 ? az
z?a

( z ? a )(1 ? a z )

只以 z ? a 为一级极点,

在 z ? 1 上无奇点, 故 R e s f ( z ) ?
I ? 1 i 2? i R e s f ( z ) ?
z?a

?

1 1? a
2

, (0 ? a ? 1) , 由残数定理有

2? 1? a
2

, (0 ? a ? 1) .

4. 解 令 f ( z ) ? ? z , 则 f ( z ), ? ( z ) 在 z ? 1 内解析, 且在 C : z ? 1 上, ? ( z ) ? 1 ? f ( z ) , 所以在 z ? 1 内, N ( f ? ? , C ) ? N ( f , C ) ? 1 , 即原方程在 z ? 1 内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 因为 u ( x , y ) ? x ? y , v ( x , y ) ? 0 , 故 u x ? 2 x , u y ? 2 y , v x ? v y ? 0 .
2 2

这四个偏导数在 z 平面上处处连续, 但只在 z ? 0 处满足 C . ? R . 条件, 故 f ( z ) 只在除了

z ? 0 外处处不可微.

2. 证明 取 r ? R , 则对一切正整数 k ? n 时, 于是由 r 的任意性知对一切 k ? n 均有 f 故 f (z) ?
(k )

f

(k )

(0 ) ?

k! 2?

?

f (z)
z ?r

z

k ?1

dz ?

k !M r r
k

n

.

(0) ? 0 .

?c
k ?0

n

n

z n , 即 f ( z ) 是一个至多 n 次多项式或常数.

《复变函数》考试试题(六)参考答案
一、判断题:1.√ 2.× 二、填空题:1. ? 1 ? ei 6. m ? 1 阶 三、计算题: 1. 解:因为
2?i 6 ? 1 9 ?

3.√ 4.√ 2. z ? ? 1 7. 整函数

5.√ 6.√ 3. 2 ? 8. ?

7.× 4. 1 9. 0

8.√

9.√ 10.× 5. 1 10. 欧拉公式

1 36

?

5 6

? 1,

故 lim (
n? ?

2?i 6

) ? 0.
n

2. 解:? 1 ? i ?
? f (z) ?

2 ? 3,

? 2? i

1

f (? )
C

??z

d?

?

?

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z
2

d ?.

因此

f ( ? ) ? 2 i (?3 ? ? 7 ? ?
2

1)

故 f ( z ) ? 2 ? i (3 z ? 7 z ? 1)
f ? (1 ? i ) ? 2 ? i (6 z ? 7 ) 1 ? i ? 2 ? i (1 3 ? 6 i ) ? 2 ? ( ? 6 ? 1 3 i ) .

e

z

3.解: z 2 ? 1

?

e

z

?(

1 z?i

?

1 z?i

)

2

? R e s ( f ( z ), i ) ?

e

i

.

2

4.解: sin z ?
3

?

?

( ? 1) ( z )
n 3

2 n ?1

n?0

( 2 n ? 1) ! ( ? 1)
n

,

?

sin z z
6

3

?

?

?

n?0

( 2 n ? 1) !

z

6n?3

.

5.解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ?1 z ?1

?

x ? 1 ? iy z ? 1 ? iy

?

( x ? y ? 1) ? 2 yi
2 2

( x ? 1) ? y
2

2

.

? Re w ?

x ? y ?1
2 2

( x ? 1) ? y
2

2

,

Im w ?

2y ( x ? 1) ? y
2 2

.

?

?
3

i

6.解: e

? co s( ?

?
3

) ? i sin ( ?

?
3

)?

1 2
7

(1 ?

3 i ).

四、1. 证明:设 f ( z ) ? 9 z , ? ( z ) ? z ? 6 z ? 1,
6 3

则在 z ? 1 上, f ( z ) ? 9, ? ( z ) ? 1 ? 6 ? 1 ? 8, 即有 f ( z ) ? ? ( z ) . 根据儒歇定理, f ( z ) 与 f ( z ) ? ? ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而 f ( z ) 的零点个 数为 6,故 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2.证明:设 v ( x , y ) ? a ? b i ,则 v x ? v y ? 0 , 由于 f ( z ) ? u ? iv 在内 D 解析,因此
? ( x, y ) ? D 有

ux ? vy ? 0 ,

u y ? ?vx ? 0 .

于是 u ( x , y ) ? c ? di 故 f ( z ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ,即 f ( z ) 在内 D 恒为常数. 3.证明:由于 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设
f ( z ) ? ( z ? z0 ) g ( z ) ,
m

其中 g ( z ) 在 z 0 的某邻域内解析且 g ( z 0 ) ? 0 , 于是
1 f (z) ? 1 ( z ? z0 )
m

?

1 g (z)

由 g ( z 0 ) ? 0 可知存在 z 0 的某邻域 D 1 ,在 D 1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

1 g (z)

在内 D 1 解析,故

z0 为

1 f (z)

的 m 阶极点.

《复变函数》考试试题(七)参考答案
一、判断题:1.√ 2. √ 3. × 二、填空题:1. ei 2. z ? ? 1 4.√ 5.√ 3. 2 ? i 6.√ 7. √ 8. × 4. 1 5. 1

6. m ? 1 阶 7. 整函数 三、计算题: 1. 解: (
1? i 2 ) ?(
2

8. ?

9. 0

10.

1 ( n ? 1) !

1? i 2

) ? i ? i ? 0.
2

2. 解:? 1 ? i ?
? f (z) ?

2 ? 3,

? 2? i

1

f (? )
C

??z

d?

?

?

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z
2

d ?.

因此

f ( ? ) ? 2 i (?3 ? ? 7 ? ?
2

1)

故 f ( z ) ? 2 ? i (3 z ? 7 z ? 1)
f ? (1 ? i ) ? 2 ? i (6 z ? 7 ) 1 ? i ? 2 ? i (1 3 ? 6 i ) ? 2 ? ( ? 6 ? 1 3 i ) .

3. 解:

e z

z 2

?
?

?

z
2

n

n?0

n!

?

1 z
2

?

1 z

?

1 2

??,

z

因此 R e s ( f ( z ), 0) ? 1. 4. 解:
z ( z ? 1)( z ? 2 ) ? ?1 z ?1 ? 2 z ?2 ? ?1 z (1 ?
z 2

1 z

? )

1 1? z 2

由于 1 ? z ? 2 ,从而

1 z

? 1,

? 1.

因此在 1 ? z ? 2 内
z ( z ? 1 ) z? (
? ? 1 ? 1 n z n 1 ?n1 ? ? ?( ) ? ? ? ( )2 ? ? [ (z ) 2) zn ? 0 z n?0 n?0



z n ? ( ) ]. 2

5.解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ?1 z ?1

?

x ? 1 ? iy z ? 1 ? iy

?

( x ? y ? 1) ? 2 yi
2 2

( x ? 1) ? y
2

2

.

? Re w ?

x ? y ?1
2 2

( x ? 1) ? y
2

2

,

Im w ?

2y ( x ? 1) ? y
2 2

.

6.解:设 z ? e ,则 d ? ?

i?

dz iz

, co s ? ?
dz ?

1 2
2

(z ?

1 z

),

?

2? 0

d? a ? co s ?

?

?

z ?1

iz

2a ? z ?

1 z

?

?

2 id z
z ?1

z ? 2az ? 1
2

? a ? 1 ,故奇点为 z 0 ?

a ?1 ? a
2

?

2? 0

d? a ? co s ?

? 4? ? R e

z ? z0

s f ( z ) ? 4?

?

1 2 a ?1
2

?

2?
2 a ?1 .

四、证明题: 1. 证明:设 f ( z ) ? 2 4 z , g ( z ) ? 9 z ? 6 z ? z ? 1,
7 6 3 2

则在 z ? 1 上, f ( z ) ? 2 4,

g ( z ) ? 9 ? 6 ? 1 ? 1 ? 1 7 , 即有 f ( z ) ? g ( z ) .

根据儒歇定理知在 z ? 1 内 f ( z ) 与 f ( z ) ? g ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而在 z ? 1 内 f ( z ) 的零点个数为 7,故 24 z ? 9 z ? 6 z ? z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7.
7 6 3 2

2.证明:设 f ( z ) ? u ? v ? c ,则
2 2

2 u ? u x ? 2 v ? v x ? 0, 2u ? u y ? 2v ? v y ? 0.

已知 f ( z ) 在区域 D 内解析,从而有 u x ? v y , 将此代入上上述两式得
u u x ? vu y ? 0, u u y ? vu x ? 0 .

u y ? ?vx

因此有 u x ? 0, u y ? 0, 于是有 v x ? 0, v y ? 0 . 即有
u ? c1 , v ? c 2 , f ( z ) ? c1 ? ic 2

故 f ( z ) 在区域 D 恒为常数. 3.证明:由于 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设
f ( z ) ? ( z ? z0 ) g ( z ) ,
m

其中 g ( z ) 在 z 0 的某邻域内解析且 g ( z 0 ) ? 0 , 于是
1 f (z) ? 1 ( z ? z0 )
m

?

1 g (z)

由 g ( z 0 ) ? 0 可知存在 z 0 的某邻域 D 1 ,在 D 1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

1 g (z)

在内 D 1 解析,故

z0 为

1 f (z)

的 m 阶极点.

五、计算题 解: 根据线性变换的保对称点性知 i 关于实轴的对称点 ? i 应该变到 w ? 0 关于圆周的对 称点 w ? ? ,故可设 w ? k
z?i z?i

《复变函数》考试试题(八)参考答案
一、判断题:1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题:1. ? 1 ? ei 2. z ? 0, ?
? 0, n ? 1 ? ? 2? i , n ? 1 ?

3. 2 ?

4.

?

5.

1

6. 三、计算题: 1. 解:由于 e 所以 ?
e
z ?1
z ?1

? ( iz )
k= 0

?

2k

7. ?

8. ?

9. 5

10.

z ? ?1

sin z 在 z ? 1 解析,

z ?1

sin zd z ? 0
1



? 2? i

1

dz
z ?3

( z ? 1)( z ? 4 )

?

? 2? i
z ?3

1

( z ? 4)
z ?3

dz ? ? 1 3

( z ? 1)

因此 ?

z ?1

e

z ?1

sin zd z ?

? 2? i

1

dz ( z ? 1)( z ? 4 )

? ?

1 3

.

2. 解:? 1 ? i ?
? f (z) ?

2 ? 3,

? 2? i

1

f (? )
C

??z

d?

?

?

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z
2

d ?.

因此

f ( ? ) ? 2 i (?3 ? ? 7 ? ?
2

1)

故 f ( z ) ? 2 ? i (3 z ? 7 z ? 1)

f ? (1 ? i ) ? 2 ? i (6 z ? 7 ) 1 ? i ? 2 ? i (1 3 ? 6 i ) ? 2 ? ( ? 6 ? 1 3 i ) .

3. 解: f ( z ) ?

e
2

z

z ?1

?

e

z

(

1 z ?1

?

1 z ?1

)

2

e R es ( z( ) ,?1 ) f 2

,

s R ez (? ( ? )?, f

e

?1

1)

,

2 e 2 e
?1

因此

R e s ( f ( z ), ? ) ? ? (
z ? 10 11 z ?1

?

)?

e

?1

?e

.
1 1? 1 z 11z ? 12 z
2

2
11z ? 12 z ?2
2

2
? ? 11 z ? ? ? 1 1? 2 z
2

4.解:

( z ? 1)( z ? 2 )
2

? ?

?

由于 2 ? z ? ? ? ,从而

1 z

? 1,

2 z
2

?1

因此在 2 ? z ? ? ? 内有

z ?1 0 ( z ? 1 ) z( ?
2

1 1? 1 n ? ? ?? ( ) ? 2 ) z n?0 z

z? 11 z
2

1? 2 ?? ( n 0 z ?

n 2

2 ? )? ?

( z

2 ( ? 1 ) n

)

1

[ 2 z(1 1 ? 1 z ) ? ? 2
n

? n 1

11

]

? 0 n

5.解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ?1 z ?1

?

x ? 1 ? iy z ? 1 ? iy

?

( x ? y ? 1) ? 2 yi
2 2

( x ? 1) ? y
2

2

.

? Re w ?

x ? y ?1
2 2

( x ? 1) ? y
2

2

,

Im w ?

2y ( x ? 1) ? y
2 2

.

6.解:设 z ? e , 则 dz ? ie dx ? izdx
ix
ix

sin x ?

1

(z ? ?

1

?

?
0

2i dx 2 ? sin x
2

) z 1

2 ? sin x 1 1 2 iz ? ? ? 2 dz ? z ?1 2 iz z ? 4 iz ? 1
0 2

? 2

2?

dx dz
z ?1

?

z ? 4 iz ? 1
2

在 z ? 1内

1 z ? 4 iz ? 1
2

只有 z ? ( 3 ? 2 ) i 一个一级极点
i 2 3

R e s [ f ( z ), ( 3 ? 2 ) i ] ? ?

因此

?

?
0

dx 2 ? sin x
2

? 2? i ?

?i 2 3

?

?
3

.

四、证明: 1. 证明:设 f ( z ) ? 1 5 z , g ( z ) ? 5 z ? z ? 6 z ? 1,
7 6 5 3

则在 z ? 1 上, f ( z ) ? 1 5,

g ( z ) ? 1 3, 即有 f ( z ) ? g ( z ) .

根据儒歇定理知在 z ? 1 内 f ( z ) 与 f ( z ) ? g ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而在 z ? 1 内 f ( z ) 的零点个数为 7,故 15 z ? 5 z ? z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 7
7 6 5 3

2. 证明:因为 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) ,在 D 内连续, 所以 ? ( x 0 , y 0 ) ? D ,
? ? ? 0, ? ? ? 0.

当 x ? x 0 ? ? , y ? y 0 ? ? 时有
f ( x , y ) ? f ( x 0 , y 0 ) ? u ( x , y ) ? u ( x 0 , y 0 ) ? i [ v ( x , y ) ? v ( x 0 , y 0 )]
1

? { [ u ( x , y ) ? u ( x 0 , y 0 )] ? [ v ( x , y ) ? v ( x 0 , y 0 )] } 2 ? ? ,
2 2

从而有 u ( x , y ) ? u ( x 0 , y 0 ) ? ? ,
v ( x , y ) ? v ( x0 , y0 ) ? ? .

即与在连续,由 ( x 0 , y 0 ) ? D 的任意性知 u ( x , y ) 与 v ( x , y ) 都在 D 内连续 3.证明:由于 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设
f ( z ) ? ( z ? z0 ) g ( z ) ,
m

其中 g ( z ) 在 z 0 的某邻域内解析且 g ( z 0 ) ? 0 , 于是
1 f (z) ? 1 ( z ? z0 )
m

?

1 g (z)

由 g ( z 0 ) ? 0 可知存在 z 0 的某邻域 D 1 ,在 D 1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

1 g (z)

在内 D 1 解析,故

z0 为

1 f (z)

的 m 阶极点.

5

五、解:1.设 ? ? z 4 ,则 ? 将区域 { z : 0 ? arg z ?

4 5

? } 保形映射为区域 { z : 0 ? arg ? ? ? }

2.设 w ? e

i?

? ?i ? ?i

, 则 w 将上半平面保形变换为单位圆 w ? 1 .

因此所求的单叶函数为
5

w ? e

i?

z4 ?i
5

.

z ?i
4

《复变函数》考试试题(九)参考答案 一、判断题(20 分)
1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√

二、填空题(20 分) 1、 e ? z i
2、 z ? k ? , k ? 0, ? 1, ? 2, ? 3、 2 ? 4、1 5、1

6、 m ? 1 7、整函数 8、 c 三、计算题(30)

9、8 10、 e
2?i 6

1、解:?

2?i 6

?

5 6

? 1, ? lim (
n? ?

) ? 0.
n

2、解:? 1 ? i ?
? f (z) ?

2 ? 3,

? 2? i

1

f (? )
C

??z

d?

?

?

3? ? 7 ? ? 1
2 C

??z
2

d ?.

因此

f ( ? ) ? 2 i (?3 ? ? 7 ? ?
2

1)

故 f ( z ) ? 2 ? i (3 z ? 7 z ? 1)
f ? (1 ? i ) ? 2 ? i (6 z ? 7 ) 1 ? i ? 2 ? i (1 3 ? 6 i ) ? 2 ? ( ? 6 ? 1 3 i ) .

3、解:
f (z) ? e
2 z

z ?1

?

e

z

( z ? i )( z ? i ) ? ie 2
i

. ie 2
i

R e s ( f ( z ), i ) ?
z

,
?

R e s ( f ( z ), ? i ) ?
?1 z ?1 ? 2 z?2 ?

.
? ) 1 1? z 2

4、解:

?1 z (1 ?
z

( z ? 1)( z ? 2 )

1 z

由于 1 ? z ? 2 ,从而

1 z

? 1,

? 1.

2

因此在 1 ? z ? 2 内
z ( z ? 1 ) z? (
? ? 1 ? 1 n z n 1 ?n1 ? ? ?( ) ? ( ) ?? [( ) ? ? 2) zn ? 0 z 2 z n?0 n?0



z n ? ( ) ]. 2

5、解:设 z ? x ? iy , 则 w ?

z ?1 z ?1

?

x ? 1 ? iy z ? 1 ? iy

?

( x ? y ? 1) ? 2 yi
2 2

( x ? 1) ? y
2

2

.

? Re w ?

x ? y ?1
2 2

( x ? 1) ? y
2
2

2

,

Im w ?

2y ( x ? 1) ? y
2 2

.

6、解:设 f ( z ) ?
R e s ( f ( z ), 3 i ) ?

z ?z?2 z ? 10 z ? 9
4 2

, 则 f ( z ) 在 Im z ? 0 内有两个一级极点 z1 ? 3 i , z 2 ? i ,

3 ? 7i 48

, R e s ( f ( z ), i ) ? ?

1? i 16

,

因此,根据留数定理有

?

?? ??

z ?z?2
2

z ? 10 z ? 9
4 2

d z ? 2? i (

3 ? 7i 48

?

1? i 16

)? ?

?
6

.

四、证明题(20 分) 1、证明:设 f ( z ) ? 9 z , ? ( z ) ? z ? 6 z ? 1,
6 7 3

则在 z ? 1 上, f ( z ) ? 9, ? ( z ) ? 1 ? 6 ? 1 ? 8, 即有 f ( z ) ? ? ( z ) . 根据儒歇定理, f ( z ) 与 f ( z ) ? ? ( z ) 在单位圆内有相同个数的零点,而 f ( z ) 的零点个 数为 6,故 z ? 9 z ? 6 z ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6.
7 6 3

2 、 证 明 : 设 u ( x , y ) ? a ? bi , 则 u x ? u y ? 0 , 由 于 f ( z ) ? u ? iv 在 内 D 解 析 , 因 此
? ( x , y )? D 有

ux ? vy ? 0 ,

u y ? ?vx ? 0 .

于是 v ( x , y ) ? c ? d i 故 f ( z ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ,即 f ( z ) 在内 D 恒为常数. 3、证明:由于 z 0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,从而可设
f ( z ) ? ( z ? z0 ) g ( z ) ,
m

其中 g ( z ) 在 z 0 的某邻域内解析且 g ( z 0 ) ? 0 , 于是
1 f (z) ? 1 ( z ? z0 )
m

?

1 g (z)

由 g ( z 0 ) ? 0 可知存在 z 0 的某邻域 D 1 ,在 D 1 内恒有 g ( z ) ? 0 ,因此

1 g (z)

在内 D 1 解析,故

z0 为

1 f (z)

的 m 阶极点.

五、计算题(10 分)

解:1、设 ? ? z ?
?

?
2

i , 则 ? 将区域 { z :

?
2

? Im z ? ? } 保形变换为区域 {? : 0 ? Im z ?
} 保形变换为区域 D { t : 0 ? arg t ?

?
2

}.

2、设 t ? e ,则 t 将区域 {? : 0 ? Im z ?
2

?
2

?
2

}.

3、设 s ? t , 则 s 将 D 保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为
i?

w ?e

?

s?i s?i

?e

i?

?

t ?i
2

t ?i
2

?e

i?

?

e e

2? 2?

?i ?i

?e

i?

?

?e ?e

2z 2z

?i ?i

.

《复变函数》考试试题(十)参考答案
一、判断题(40 分) : 1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 二、填空题(20 分) : 1. 2 ? i 2.
z (1 ? z )
2

8. √

9. √ 10. √

3. z ? ? i

4. 1

5.

1 ( n ? 1) !

三、计算题(40 分) 1. 解: f ( z ) ?
z 9?z
2

在 z ? 2 上解析,由 cauchy 积分公式,有
z

?

2
z ?2

(9 ? z )( z ? i )
2
iz 2

dz ?

?

z ?2

2 9 ? z d z ? 2? i ? z 2 z?i 9?z

?
z??i

?
5

2. 解:设 f ( z ) ?
n

e

1? z

,有 R e s ( f , ? i ) ?
n

e

?i

2

?2i

?

i 2

e

? ? n ? ? n ?1? i ? ?1? i ? 3. 解: ? ? ?? ? ? (co s ? i sin ) ? (co s ? i sin ) 4 4 4 4 ? 2 ? ? 2 ?
? co s
?u ?x 2x x ? y
2 2

n? 4

? i sin

n? 4

? co s

n? 4

? i sin

n? 4

? 2 co s

n? 4

4. 解:

?



?u ?y

?

2y x ? y
2 2

v( x, y ) ?

?

(x,y) ( 0 ,0 )

?u y dx ? u xdy ? c ?

?

(x,y) ( 0 ,0 )

?2 y x ? y
2 2

dx ?

2x x ? y
2 2

dy ? c

?

?

y 0

y d y ? c ? 2 a r c t a n? c x x ? y

2x

2

2

f (1 ? i ) ? u (1,1) ? iv (1,1) ? ln 2 ? i (2 arctan 1 ? c ) ? ln 2

故c ? ?

?
2

, v ( x , y ) ? 2 arctan

y x

?

?
2

4 5. 解:令 f ( x ) ? ? 5 z , g ( z ) ? z ? 1 则 f ( x ) , g ( z ) 在 z ? 1 内均解析,且当 z ? 1 时

f (z) ? 5 ? z
4

4

? 1 ? z ? 1 ? g (z)
4

由 R o u ch e 定理知 z ? 5 z ? 1 ? 0 根的个数与 ? 5 z ? 0 根的个数相同.
4 故 z ? 5 z ? 1 ? 0 在 z ? 1 内仅有一个根.

《复变函数》考试试题(十一)参考答案
一、1.× 二、1. 1 5. z k ?
1 3

2.√ 2. ?
4

3.× 3. u ?
2k? ? ? 4 1 2

4.√

5.√
1 2

4. u ?
2k? ? ? 4 )

a (co s

? i sin
2n
2

( k ? 0,1, 2, 3)

6.

7.

?

?1

8.15

9.

? (a ) ? ?( a )
?u ?x

10. ? m

三、1.解:

?

x x ? y
2 2

,

?u ?y

?

y x ? y
2 2

v( x, y ) ?

?

(x,y) ( 0 ,0 )

?u y dx ? u xdy ? C

?

? ?

(x,y) ( 0 ,0 )

?

y x ? y
2 2

dx ?

x x ? y
2 2

dy ? C

?

y 0 2

x x ? y
2

d y ? C ? arctan

y x

?C.



f ( 1? i ) ? u ( 1 , 1 ) i v ?

(1, 1)

?

1 2

ln 2 ? i (arctan 1 ? C ) ? y x
2

1 2

ln 2 .

故C ? ?

?
4

,

v ( x , y ) ? arctan
sin z co s z
2 2

?

?
4

.
1 2

2.解: (1) tan z ?
z ? (2k ? 1 2

奇点为 z ? ( 2 k ?

)? ,

k ? 0, ? 1 ? 对任意整数 k ,

) ? 为二阶极点, z ? ? 为本性奇点.
zk ? 2 k? i, ( k ? 0, ? 1 ? )

(2) 奇点为 z 0 ? 1,

z ? 1 为本性奇点,对任意整数 k , z k 为一级极点, z ? ? 为本性奇点.

3. (1)解: f ( z ) ? 由留数定理,有

z
2 4

19 4 3

( z ? 1) ( z ? 2 )

共有六个有限奇点, 且均在内 C : z ? 4 ,

?

z ?4

f ( z ) d z ? 2 ? i[ ? R e s ( f , ? )]

将 f 在 z ? ? 的去心邻域内作 L aurent 展开
z z (1 ?
8 19

f (z) ?

1 z
2

) ? z (1 ?
4 12

2 z
4

)

3

?

1 z 1 z 1 z

? (1 ? (1 ? ? 4 z
3

1 1 z
2

) (1 ?
4

2 z
4

)

3

? ?

4 z
2

?

10 z
4

? ? )(1 ?

6 z
4

?

z z

4 8

??)

??

所以 R e s ( f , ? ) ? ? C ? 1 ? ? 1

?

z ?4

f ( z ) d z ? 2? i .

(2)解: 令 z ? e ,则
I ?

i?

?
1

?
0

d? 1 ? co s ?
2

?

1

? 2
2

2? 0

d? 1 ? co s ?
2

?

? 2

4 zd z
C : z ?1

i ( z ? 6 z ? 1)
4

再令 z ? u 则
2

4 zd z i ( z ? 6 z ? 1)
4 2

?

2du i ( u ? 6 u ? 1)
2

,故

I ?

1 2

? 2?

2du
C : z ?1

i ( u ? 6 u ? 1)
2

?

2 i

?

du
C

u ? 6u ? 1
2

由留数定理,有
I ? 2 i ? 2? i R e s ( f , ? 3 ? 8 ) ? 4? ? 1 4 2 ?

?
2

4.解:儒歇定理:设 c 为一条围线,若函数 f 与 ? 均在 c 内部及 c 上解析且
? ( z ) ? f ( z ) , z ? c ,则 f ( z ) ? ? ( z ) 与 f ( z ) 在 c 内部的零点个数相同.
7 2 4 令 f ( z ) ? ? 5 z , g ( z ) ? z ? z ? 2 则 f ( z ), g ( z ) 在 z ? 1 内解析且

当 z ? 1时
7

f ( z ) ? 5? z
7
4 2

? z
2

?2 ? z
7
4

? z
2

? 2

? g( , z)

由儒歇定理 z ? 5 z ? z ? 2 ? 0 的根个数与 ? 5 z ? 0 根个数相同

7 4 2 故 z ? 5 z ? z ? 2 ? 0 在 z ? 1 内有 4 个根.

四、1.证明: f ( z ) ? u ( x , ? y ) ? iv ( x , ? y ) ? u ? iv
*

*

u ? u ( x , ? y ),
*

v ? ?v( x, ? y )
*

ux ? ux,
*

u y ? ?u y ,
*

vx ? ?vx ,
*

vy ? vy
*

由 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在上半平面内解析,从而有
ux ? vy , u y ? ?vx .
* *

因此有 u x ? v y ,
* *

u y ? ?vx

故 f ( z ) 在下半平面内解析. 2.证明: (1) ? r1 ? r2 ,
0 ? r1 ? r2 ? R 则

M ( r1 ) ? m ax f ( z ) ? m ax f ( z )
z ? r1 z ? r1

M ( r2 ) ? m ax f ( z ) ? m ax f ( z )
z ? r2 z ? r2

故 M ( r2 ) ? M ( r1 ) ,即 M ( r ) 在 [0, R ) 上为 r 的上升函数. (2)如果存在 r1 及 r2 (0 ? r1 ? r2 ? R ) 使得 M ( r1 ) ? M ( r2 ) 则有 m ax f ( z ) ? m ax f ( z )
z ? r2 z ? r1

于是在 r1 ? z ? r2 内 f ( z ) 恒为常数,从而在 z ? R 内 f ( z ) 恒为常数.

《复变函数》考试试题(十二)参考答案
一、判断题. 1. × 2. × 二、填空题. 1. ? 1 3. × 2. ( ? ? ) 4. √ 5. ×
1 z

3. f ( z ) ? z ?

4. 0, ?
2n
2

5. i 9.本性 三、计算题.
1

6. 2 ? 10. ? ?
arg z ? 2 k ? 5

7. 1

8.

?

?1

1.解: w k ? z 5 e

i

k ? 0 , 1, 2 , 3, 4
? ? 2 k?
i 5

由 5 ?1 ? ?1 得 ?1 ? e
1 ?

从而有 k ? 2
3? 4 ? i sin 3? 4 )? 1? i
5

?
4

? 4? 5

1

w 2 (1 ? i ) ? 2

10

?e

i? 2

10

(co s

4

2.解: (1) f ( z ) ?

Lnz z ?1
2

的各解析分支为 f k ( z ) ?

ln z ? 2 k ? z ?1
2

, ( k ? 0, ? 1, ? ) .

z ? 1 为 f 0 ( z ) 的可去奇点,为 f k ( z ) 的一阶极点 ( k ? 0, ? 1, ? ) 。

R e s ( f 0 ( z ),1) ? 0

R es ( fk

(z ) ,?1 )? k

i (k ? ?1 , ? 2 , . ?

)

(2) R e s
z?0

e z

z

n ?1

n ? ? 1 z ? 1 ? R e s ? n ?1 ? ? ? ? z?0 n! n?0 n ! ? ?z

3.计算下列积分 解: (1) f ( z ) ?
z
2 3 7 2

( z ? 1) ( z ? 2 )

? z (1 ?

1 1 z
2

) (1 ?
3

2 z
2

)

R e s ( f , ? ) ? ? C ?1 ? ? 1

?

z ?2

f ( z ) d z ? 2 ? i[ ? R e s ( f , ? )] ? 2 ? i
2 2 2 2 2

(2)设 f ( z ) ?

z
2

(z ? a ) z
2

?

z
2

( z ? ai) ( z ? ai)

令? ( z ) ?

( z ? ai)

2



? ?( z ) ?

2 a iz ( z ? ai)
3

则 R e s( f , ai) ?

? ?( a i )
1!

?

2(ai ) (2 ai)
3

2

? ?

1 4a

i

?

I mz ?

f ( z) d ? 2 z ?
0

iR e s ( f , ? i) a 2a

?

?

?? ??

x dx (x ? a )
2 2 2

2

?

?
2a

4.儒歇定理:设 c 是一条围线, f ( z ) 及 ? ( z ) 满足条件: (1)它们在 c 的内部均解析,且连续到 c ; (2)在 c 上, f ( z ) ? ? ( z ) 则 f 与 f ? ? 在 c 的内部有同样多零点, 即 f ( z ) ? 10
g (z) ? z ? 6z 有
6

f (z) ? g (z)

6 由儒歇定理知 z ? 6 z ? 1 0 ? 0 在 z ? 1 没有根。

四、证明题 1 证明:.设 z ? x ? iy
u ( x , y ) ? e co s y ,
x



f ( z )? e ? e
z

x

( c o s? i y

sin y

)

v ( x , y ) ? ? e sin y
x

?u ?x

? e co s y ,
x

?u ?y

? ? e sin y ,
x

?v ?x

? ? e sin y ,
x

?v ?y

? ? e co s y
x

易知 u ( x , y ) , v ( x , y ) 在任意点都不满足 C ? R 条件,故 f 在复平面上处处不解析。
z?

2.证明:于高阶导数公式得
z?

(e

)

(n)

? ?0

?

n! 2? i

??

e
?1

z?

?n ?1

d?

即z ?
n

n! 2? i

??

e
?1

?n ?1
e
z?

d?



z

n

?

1 2? i

n!

??

?1

?n ?1

d?

? zn ? 1 从而 ? ? ? 2? i ? n! ?

2

?

z
C : ? ?1

n

n! ? n ?1

?

e

z?

d?

《复变函数》考试试题(十三)参考答案
一、填空题. (每题2分) 1.
1 r e
? i?

2. lim u ( x , y ) ? u 0 及 lim v ( x , y ) ? v 0
x ? xo y ? yo x ? xo y ? yo

3. 0

4. ?

5. 2
1 2

6. 1 ? z ? z ? z ? ? ? ?( ? 1) z
2 4 6 n

2n

? ???

7.椭圆

8. ?

(1 ?

2i)

9.

2 2

(1 ?

?
4

) ?1

10. ? 1

二、计算题. 1.计算下列各题. (9分) 解: (1) co s i ?
1 2 (e ? e )
?1

(2) ln ( ? 2 ? 3 i ) ? ln ? 2 ? 3 i ? i arg ( ? 2 ? 3 i )
? 1 2 ln 1 3 ? i ( ? ? arctan
( 3 ? i )(ln 3 ? i ? 2 k ? )

3 2

)

(3) 3

3?i

?e

( 3 ? i ) ln 3

?e

?e

3 ln 3 ? 2 k ? ? i ( 6 k ? ? ln 3 )

? 27 e
3

2 k?

[cos(ln 3) ? i sin(ln 3)]

2. 解: z ? 8 ? 0 ? z ?
3

3

?8 ?

3

8e

i?

? 2e

i

? ? 2 k?
3

( k ? 0,1, 2)

故 z ? 8 ? 0 共有三个根: z 0 ? 1 ?
2 2

3 , z1 ? ? 2 , z 2 ? 1 ?

3

3. 解: u ? x ? y ? xy ? u x ? 2 x ? y , u y ? ? 2 y ? x
? ? u
2

?x

2

?

? u
2

?y

2

? 2 ? 2 ? 0 ? u 是调和函数.
( x , y )

v ( x , y )?

?

(x ,y )

( 0 , 0 )

?(u y d x ? u x d y ? c ? )

?

y ? x dx ? (2 )

x ? 2 dy ? ) ( y c

( 0 , 0 )

?

?

x 0

(? x)dx ?
x
2

?

y 0

(2 x ? y )dy ? c
2

? ?

? 2 xy ?

y

?c

2

2 x
2

? f ( z ) ? u ? iv ? ( x ? y ? xy ) ? i ( ?
2 2

? 2 xy ?

y

2

?

1 2

)

2

2

?

1 2

(2 ? i) z ?
2

1 2

i
2 2 2

4. 解 (1) (2)

?

( x ? iy )d z ?
2 c

?
2

1 0

( x ? ix ) d ( x ? ix ) ? ?
1 1

1 6

?

5 6

i
2

?

1? i 0

[( x ? y ) ? ix ] d z ? i ? ( ? y ) d y ? ? [( x ? 1) ? ix ] d x
0 0

? ?

i 2

?

i 3

?

1 2
?

? ?
1 z?2

1 6

(3 ? i )
1 z ?1 1
?

5. 解: 0 ? z ? 1 时 f ( z ) ?

1 ( z ? 1)( z ? 2 )
?

?

? ?

? (2) 2
n?o

z

n

?

?

?

z

n

n?0

?

? (1 ?
n?0

1 z
n ?1

)z
1

n

1 ? z ? 2 时 f (z) ?

1 ( z ? 1)( z ? 2 )

?

z?2

?

1 z ?1

?

?1 2 (1 ? z 2 )

?

1 z (1 ? 1 z )

? ??

??

zn 2n ? 1

?

n?o

?

??

1 z
n

n?0

6. 解: (1)

? ?

5z ? 2 z ( z ? 1)
sin z
z ?4 2
2

c? z ?2

d z ? 2 ? i[ ? R e s ( f , ? )] ? ? 4 ? i

(2)

? ?

z ( z ? 1)
2

d z ? 2 ? i[ ? R e s ( f , ? )] ? 0

7.解: 设 f ( z ) ?

z

2 4

1? z

z1 ?

2 2

( 1? i ) z 2 ? 和

2 2

( ? 1 ? i ) 为上半平面内的两个一级极点,

且 R e s [ f ( z ), z 1 ] ? lim

z [z ? 2 2

2

z ? z1

?
2

1? i 4 2i

( ? 1 ? i )]( z ? i )

R es [ z( z 2 , ? ] f )

z ? z2

lim [z ? 2 2

z

2

?
2

1? i ) 4 2 i

(? 1 i ) z ( ? i ? ]

?

?? ??

x

2 4

1? x

d x ? 2? i (

1? i 4 2i

?

1? i 4 2i

)?

?
2

8. (1) R ? 1

(2) R ? ?
2

9. 解: 设 z ? x ? iy ,则 f ( z ) ? z

? x ? y
2

2

u x ? 2 x , uy ? 2 y , v ? x

v? 0 y

当且仅当 x ? y ? 0 时,满足 C ? R 条件,故 f ( z ) 仅在 z ? 0 可导,在 z 平面内处处不解析.

三、
2 2 1. 证明: 设 f ? u ? iv ,因为 f ( z ) 为常数,不妨设 u ? v ? C ( C 为常数)

则u ?ux ? v ? vy ? 0

u ?uy ? v ?vy ? 0

由于 f ( z ) 在 D 内解析,从而有 u x ? v y , u y ? ? v x 将此代入上述两式可得 u x ? u y ? v x ? v y ? 0 于是 u ? C 1 , v ? C 2 因此 f ( z ) 在 D 内为常数. 2. 解: 设 z ? x ? iy , a ? A ? B i ( A , B 为实常数) 则 a z ? ( A ? B i )( x ? iy ) ? ( A x ? B y ) ? i ( A y ? B x )
a z ? a z ? b ? a z ? a z ? b ? 0 ? 2( A x ? B y ) ? b ? 0

故 a z ? a z ? b ? 0 的轨迹是直线 2 A x ? 2 B y ) ? b ? 0

《复变函数》考试试题(十四)参考答案
一、 1、 r ? co s n? ? i sin n? ?
n

2、 lim u ? x , y ? ? u 0 且 lim v ? x , y ? ? v 0
x ? x0 y ? y0 x ? x0 y ? y0

3、0

4、有限值
??

5、4

6、 1 ? z ? z ? ? ? z
2 4

2n

??

7、椭圆 二、计算题。

8、 co s ?

? ?? ? ? ? ? ? i sin ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

9、 ie

1? i

10、 ?

1 6

1、解(1) ln ? ? 3 ? 4i ?
4 ? ? ? ln 5 ? i ? ? ? arg tan ? 2 n? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ln 5 ? i ? ? arg tan ? ? 2 n ? 1 ? ? ? ? n ? 0, ? 1, ? 2, ? ? 3 ? ?

(2) ie

? 1?

?i
6

?

1? ? ? ? 1? 3 i ? ? ? ? co s ? i sin ? ? ? e? 6 6 ? e? 2 2? ? ?

(3) ? 1 ? i ?

1? i

?e

? 1 ? i ? ln ?1 ? i ?

?e

? 1 ? i ? ? ln
?

?

? ? ?? 2 ? i? ? ? 2 k? ?? ? 4 ??

? e?

? ? ln

2?

?
4

? ? ? ? 2 k? ?? i? ? ? 2 k? ? l n ? ? 4

? 2? ?

?

=?

? 2 k?

2e 4

? ? ? ? co s ? ? ? ln ? 4 ?
3 i?

? 2 ? ? i sin ?

? ? ? ? ? ln ? 4

?? 2 ?? ??

? ? 2 n?
3

2、解: z ? ? 2 ? 2 e
3 3

i?

z ?

2e

?

n? 0 , 1 ,? 2
3

故:方程 z ? 2 ? 0 共有三个根,分别为: 3、解: u x ? 2 y , u y ? 2 ? x ? 1 ?
? u
2

2 2

?1 ?

3i , ?

?

3

2

?x

2

?0?

? u
2

?y

2

故 u 是调和函数。
v ? x, y ? ?

??

?x,y?
0 ,0 ?

?u y dx ? u xdy ? c

4. 解: (1)

?

1? i 0

? ( x ? y ) ? ix 2 ? d z ? ? ?

? ? ix ?d ( x ? ix )
1 2 0

? i (1 ? i ) ?

x

3

1

?

1 3

3 0

? i ? 1?

(2)

?

1? i 0

1 ? ( x ? y ) ? ix 2 ? d z ? ? i ? 1 ? ? ? 3
1 z?2 ? ? 1 z ?1? ? 3 ?1 ? ? 3 ? ?
n

5. 解: f ? z ? ?

? ?

1 3

?

?

? z ? 1?
3
n

n

n?0

= ?? 6. 解: (1)

?

? z ? 1?
3
n ?1

n?0

? ?

sin z
z ?2

(z ?

?
2

d z ? 2 ? i ? co s( )
2

?
2

)?0

(2) f ? z ? ?

z ?2
2

z

2

? z ? 3?

?

1 z

(1 ?

3 z

? ?)

R e s ( f , ? ) ? ? C ?1 ? ? 1

? ?

z ?4

f

? z ?d z

? 2? i ? ? R e s ( f , ? ) ? ? 2? i
dz iz

7. 解: 设 z ? e

i?

则 d? ?
?

, sin ? ?
2dz

z ?1
2

2 iz
?

?

2? 0

d? 5 ? 3 sin ? 2

? ?

z? 1

3 z ? 1 0 iz ? 3
2

? ?

2
z?

3( z ? 3 i )( z ?

1

i 3

dz )

令 f ?z? ?

3( z ? 3 i )( z ?
2? 0

i 3

, 则 f 在 z ? 1 内只有一级权点, z ? ? )
? f ? ? ? i? ? ? ?2 ? i ? ?3 ? ? i? ? ?? ?4

i 3

,依离数定理有

?

d? 5 ? 3 s i?n

? 2 ? i R es

?z ?,

2

8. 解: (1) ? 1 ? i ? z ? 1 即 z ?

1 2

. 故R ?

1 2

(2)

Cn ?

( n !) n
n

2

R ?

lim
n? ?

cn cn ? 1
3

?

lim
n? ?

1? 1 ? ?0 ?1 ? ? ? n ? n ?1 ?
3 2

n

9.解 设 u ( x , y ) ? m y ? n x y , v ( x , y ) ? x ? lxy , 则
2

?u ?x

? 2 n xy ,

?u ?y

? 3m y ? nx ,
2 2

?v ?x

? 3 x ? ly ,
2 2

2 n xy ? 2 lxy ? ? 2 lxy , 因 f ( z ) 解析,由 C ? R 条件有 ? ,解得 2 2 2 2 ?y ? 3 m y ? n x ? ? 3 x ? ly
?v

l ? ?3 , m ? 1, n ? ? 3.

三 1. 证明 设 f ? u ? iv ,由 f ? H ( D ) 有

?u ?x

?

?v ?u ?v , ? ? , (1) ?y ?y ?x

又 f ( z ) ? u ? iv 也在 D 也解析,有

?u ?x ?v ?x

?

? (? v) ?u ? (? v ) , ? ? , (2) ?y ?y ?x

由 (1) 与 (2) 得

?u ?x

?

?u ?y

?

?v ?y

? ?

?0

故 f 在 D 内为常数. 2. 证明,设 z ? x ? iy , a ? A ? iB , 有 a z ? ( A ? iB )( x ? iy ) ? ( A x ? B y ) ? i ( A y ? B x )
az ? a z ? b ? az ? az ? b ? 2( Ax ? By ) ? b ? 0

即点 z 在直线 2 A x ? 2 B y ? b ? 0 上 A , B , b 为实常数.


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