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高中数学 第二章《平面解析几何初步》同步练习二 新人教B版必修2


第二章《平面解析几何初步》
一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.直线 3ax ? y ? 1 ? 0 与直线 (a ? ) x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值是(

2 3

)

D
A. ?1 或

1 3<

br />
B. 1 或

1 3

1 1 D. 1 或 ? 3 3 2.直线 l1 : ax ? y ? b ? 0 , l2 : bx ? y ? a ? 0 (a ? 0 , ? 0 , ? b) 在同一 b a 坐标系中的图形大致是图中的( ) C
C. ?1 或 ?

3.已知点 A( ? 1, 和圆 C : (x ? 5) +(y ? 7) =4 ,一束光线从 A 经 x 轴反 1)
2 2

射到圆 C 上的最短路程是( A. 6 2 ? 2 C. 4 6
2 2

) B B. 8 D. 10

4.圆 x +y =1 与圆 x +y =4 的位置关系是( ) D A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 5.已知圆 C : (x ? a) +(y ? 2) =4 (a >0) 及直线 l : x ? y+3=0 ,当直线 l 被
2 2

2

2

圆 C 截得的弦长为 2 3 时, a 的值等于(

) B B. D.

2 C. 2 ? 2
A.

2 ?1 2+1

6.若直线 l : y ? 2=k (x ? 1) 与圆 C : x +y =1 相切,则直线 l 方程为(
2 2

)

B

A. 3x+4 y ? 11=0 C. 3x+4 y ? 11=0 或 x=1
2

B. 3x ? 4 y +5=0 D. 3x ? 4 y +5=0 或 x=1

7.已知直线 l : y =x+m 曲线 C : y = 1 ? x 有两个公共点,则实数 m 的取值 范围是( ) C A. ( ? 2 , 2) C. [1 , 2)
2 2

B. ( ? 1, 1) D. ( ? 2 , 2)

8.过 P(5 , 作圆 C : x +y ? 2 x ? 2 y ? 3=0 的切线,切点分别为 A 、 B , 4) 四边形 PACB 的面积是( ) B A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9 . 若 直 线 l : m x? 2 n y 4 (m , ? R , ? n) 始 终 平 分 圆 + ? ? 0 n m

C : x 2 +y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4=0 的周长,则 m n 的取值范围是(

)

A.(0,1) B.(0,-1) C.(-∞,1) D.(-∞,-1) 2 2 2 2 解析:选 C.圆 x +y -4x-2y-4=0 可化为(x-2) +(y-1) =9,直线 mx+2ny-4=0 始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以 2m+2n-4=0, 2 2 即 m+n=2,mn=m(2-m)=-m +2m=-(m-1) +1≤1,当 m=1 时等号成 立,此时 n=1,与“m≠n”矛盾,所以 mn<1. 2 2 12.过点 P(-2,4)作圆 O:(x-2) +(y-1) =25 的切线 l,直线 m:ax -3y=0 与直线 l 平行,则直线 l 与 m 的距离为( ) A.4 B.2 8 12 C. D. 5 5 解析:选 A.∵点 P 在圆上, 1 1 4 ∴切线 l 的斜率 k=- =- = . kOP 1-4 3 2+2 4 ∴直线 l 的方程为 y-4= (x+2), 3 即 4x-3y+20=0. 又直线 m 与 l 平行, ∴直线 m 的方程为 4x-3y=0. |0-20| 故两平行直线的距离为 d= 2 =4. 2 4 +? -3? 二、填空题(本大题共 4 小题,请把答案填在题中横线上) 13.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程 是________.

解析:易求得 AB 的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为直 线 y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线 x+y-2= 0 联立得到圆心 O(1,1),半径 r=|OA|=2. 2 2 答案:(x-1) +(y-1) =4 2 2 15.若垂直于直线 2x+y=0,且与圆 x +y =5 相切的切线方程为 ax+ 2y+c=0,则 ac 的值为________. 解析:已知直线斜率 k1=-2,直线 ax+2y+c=0 的斜率为- .∵两直 2 a |c| 线垂直,∴(-2)·(- )=-1,得 a=-1.圆心到切线的距离为 5,即 2 5 = 5,∴c=±5,故 ac=±5. 答案:±5 2 2 16.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x +y -2x+4y+4=0 没有公共点,则 实数 m 的取值范围是__________. 2 2 解析:将圆 x +y -2x+4y+4=0 化为标准方程, 2 2 得(x-1) +(y+2) =1,圆心为(1,-2),半径为 1.若直线与圆无公共 |3×1+4×? -2? +m| |m-5| 点,即圆心到直线的距离大于半径,即 d= = 2 2 5 3 +4 >1, ∴m<0 或 m>10. 答案:(-∞,0)∪(10,+∞) 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.三角形 ABC 的边 AC,AB 的高所在直线方程分别为 2x-3y+1=0,x +y=0,顶点 A(1,2),求 BC 边所在的直线方程. 解:AC 边上的高线 2x-3y+1=0, 3 所以 kAC=- . 2 3 所以 AC 的方程为 y-2=- (x-1), 2 即 3x+2y-7=0, 同理可求直线 AB 的方程为 x-y+1=0. 下面求直线 BC 的方程, ? ?3x+2y-7=0, 由? 得顶点 C(7,-7), ? ?x+y=0,
?x-y+1=0, ? 由? 得顶点 B(-2,-1). ? ?2x-3y+1=0, 2 2 所以 kBC=- ,直线 BC:y+1=- (x+2), 3 3 即 2x+3y+7=0.

a

18.一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上,被 x 轴反射后与圆 C: x +y2-4x-4y+7=0 有公共点. (1)求反射光线通过圆心 C 时,光线 l 所在直线的方程; (2)求在 x 轴上,反射点 M 的横坐标的取值范围. 2 2 解:圆 C 的方程可化为(x-2) +(y-2) =1. (1)圆心 C 关于 x 轴的对称点为 C′(2,-2),过点 A,C′的直线的方 程 x+y=0 即为光线 l 所在直线的方程. (2)A 关于 x 轴的对称点为 A′(-3,-3), 设过点 A′的直线为 y+3=k(x+3). |2k-2+3k-3| 4 3 当该直线与圆 C 相切时,有 =1,解得 k= 或 k= , 2 3 4 1+k
2

4 3 所以过点 A′的圆 C 的两条切线分别为 y+3= (x+3),+3= (x+3). y 3 4 3 令 y=0,得 x1=- ,x2=1, 4 3 所以在 x 轴上反射点 M 的横坐标的取值范围是[- ,1]. 4 2 2 19.已知圆 x +y -2x-4y+m=0. (1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为 坐标原点),求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 2 2 解:(1)方程 x +y -2x-4y+m=0,可化为 2 2 (x-1) +(y-2) =5-m, ∵此方程表示圆, ∴5-m>0,即 m<5. 2 2 ? ?x +y -2x-4y+m=0, (2)? ? ?x+2y-4=0, 2 2 消去 x 得(4-2y) +y -2×(4-2y)-4y+m=0, 2 化简得 5y -16y+m+8=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则

?y +y =16, ? 5 ? m+8 ?y y = 5 . ② ?
1 2 1 2



由 OM⊥ON 得 y1y2+x1x2=0 即 y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0, ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 将①②两式代入上式得

16 m+8 16-8× +5× =0, 5 5 8 解之得 m= . 5 8 2 (3)由 m= ,代入 5y -16y+m+8=0, 5 12 4 2 化简整理得 25y -80y+48=0,解得 y1= ,y2= . 5 5 4 12 ∴x1=4-2y1=- ,x2=4-2y2= . 5 5 4 12? ?12 4? ? ∴M?- , ?,N? , ?, ? 5 5 ? ? 5 5? ?4 8? ∴MN 的中点 C 的坐标为? , ?. ?5 5? 又|MN|=

?12+4?2+?4-12?2=8 5, ? 5 5? ?5 5 ? 5 ? ? ? ?

4 5 ∴所求圆的半径为 . 5 ? 4?2 ? 8?2 16 ∴所求圆的方程为?x- ? +?y- ? = . ? 5? ? 5? 5 2 2 20. 已知圆 O:x +y =1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P(a,b)向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,|PQ|=|PA|成立,如图.

(1)求 a、b 间关系; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径最小的 圆的方程. 解:(1)连接 OQ、OP,则△OQP 为直角三角形,

又|PQ|=|PA|, 2 2 2 所以|OP| =|OQ| +|PQ| 2 =1+|PA| , 2 2 2 2 所以 a +b =1+(a-2) +(b-1) , 故 2a+b-3=0. (2)由(1)知,P 在直线 l:2x+y-3=0 上, 所以|PQ|min=|PA|min,为 A 到直线 l 的距离, |2×2+1-3| 2 5 所以|PQ|min= = . 2 2 5 2 +1 (或由|PQ| =|OP| -1=a +b -1=a +9-12a+4a -1=5a -12a+8 2 5 2 =5(a-1.2) +0.8,得|PQ|min= .) 5 (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形, 而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径,圆心 P 为过原 3 3 5 点与 l 垂直的直线 l′与 l 的交点 P0,所以 r= 2 2-1= -1, 5 2 +1 又 l′:x-2y=0, 6 3 联立 l:2x+y-3=0 得 P0( , ). 5 5 6 2 3 2 3 5 2 所以所求圆的方程为(x- ) +(y- ) =( -1) . 5 5 5 21. 有一圆与直线 l: x-3y+6=0 相切于点 A(3,6), 4 且经过点 B(5,2), 求此圆的方程. 2 2 解:法一:由题意可设所求的方程为(x-3) +(y-6) +λ (4x-3y+6) =0,又因为此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程求得 λ =-1,所以 2 2 所求圆的方程为 x +y -10x-9y+39=0. 2 2 2 法二:设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r , 则圆心为 C(a,b),由|CA|=|CB|,CA⊥l,得
2 2 2 2 2 2 2

?? 3-a? +? 6-b? ?? 5-a? +? 2-b? ?b-6 4 ?a-3×3=-1, ?
2

2

2 2

=r , =r ,
2

2

?b=9, ? 解得 ? 2 ?r =25. ? 4
a=5,
2

所以所求

9 2 25 2 圆的方程为(x-5) +(y- ) = . 2 4 2 2 法三:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,由 CA⊥l,A(3,6),B(5,2) 在圆上,得

?5 +2 +5D+2E+F=0, ? E ?-2-6 4 ?-D-3×3=-1, ? 2
3 +6 +3D+6E+F=0,
2 2 2 2

2

2

?D=-10, ? 解得?E=-9, ?F=39. ?

所以所求圆的方程为 x +y -10x-9y+39=0. 法四:设圆心为 C,则 CA⊥l,又设 AC 与圆的另一交点为 P,则 CA 的方 3 程为 y-6=- (x-3), 4 即 3x+4y-33=0. 6-2 又因为 kAB= =-2, 3-5 1 所以 kBP= ,所以直线 BP 的方程为 x-2y-1=0. 2
? ? ?3x+4y-33=0, ?x=7, 解方程组? 得? 所以 P(7,3). ?x-2y-1=0, ?y=3. ? ? 9 5 所以圆心为 AP 的中点(5, ),半径为|AC|= . 2 2 9 2 25 2 所以所求圆的方程为(x-5) +(y- ) = . 2 4 2 2 22.如图在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和 2 2 圆 C2:(x-4) +(y-5) =4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方 程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 C2 截得的弦长相等.试求所有满足条件的点 P 的坐标.

解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为圆 C1 被直线

l 截得的弦长为 2 3,所以 d= 22-?

3? =1. |1-k? -3-4? | 由点到直线的距离公式得 d= , 2 1+k 7 从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0.

2

(2)设点 P(a,)满足条件, b 不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),≠0, k 1 则直线 l2 的方程为 y-b=- (x-a).因为圆 C1 和 C2 的半径相等,且圆 C1

k

被直线 l1 截得的弦长与圆 C2 被直线 l2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到 直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即 1 |5+ ? 4-a? -b| k |1-k? -3-a? -b| = , 2 1 1+k 1+ 2

k

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而 1+3k+ak-b=5k+4 -a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3 或(a -b+8)k=a+b-5,因为 k 的取值有无穷多个,所以 ? ? ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, ? 或? ? ? ?b-a+3=0, ?a+b-5=0,

?a=5, ? 2 解得? 1 ?b=-2, ?

?a=-3, ? 2 或? 13 ?b= 2 . ?

1? ?5 ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ,- ?或点 P2?- , ?. 2? ?2 ? 2 2? 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.


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