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等差数列及其性质典型例题及练习(学生)1


等差数列及其性质
典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{ an }中, 热点考向三:等差数列前 n 项和 例 3 在等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . (1)若 a1 ? 20 ,并且 S10 ? S15 ,求当 n 取何值时, Sn 最大,并求出最大值; (2) 若 a1 ? 0 ,S9 ? S12 , 则该数列前多少项的和最小?



(1) 已知 S8 ? 48, S12 ? 168 ,求 a1, 和 d (2) 已知 a6 ? 10, S5 ? 5 ,求 a8 和 S8 变式训练: 等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,已知

a10 ? 30, a20 ? 50 .
(1)求通项公式 {an } ; (2)若 Sn ? 242 ,求 n .

跟踪训练 3:设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0.
(I)求公差 d 的取值范围; (II) 指出 S1 , S 2 , S3 ,?, S12 中哪一个最大, 并说明理由。

热点考向二:等差数列的判定与证明. 例 2:在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 1 ?

1 , 4an

bn ?

2 2an ? 1

,其中 n ? N .
*

热点考向四:等差数列的综合应用 例 4.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函 数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点列(n, Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,T 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 anan+1 n m Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m. 20

(1)求证:数列 {bn } 是等差数列; (2)求证:在数列 {an } 中对于任意的 n ? N ,都有
*

变式训练:设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 已知 2a2 ? a1 ? a3 , 数列 Sn , 数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ; (2)设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正

an ? an?1 .
(3)设 cn ? ( 2) n ,试问数列{ cn }中是否存在三项,
b

? S ?是公差为 d 的等差
n

使它们可以构成等差数列?如果存在,求出这三项;如 果不存在,请说明理由.

跟踪训练:已知数列{ an }中, a1 ?

3 ,数列 5

整数 m, n, k ,不等式 S m ? S n ? cSk 都成立。求证:c 的 最大值为

an ? 2 ? bn ?

1 , (n ? 2, n ? N ? ) ,数列{ bn }满足 an?1

9 。 2

1 (n ? N ? ) an ? 1

(1)求证数列{ bn }是等差数列; (2)求数列{ an }中的最大项与最小项.

等差数列及其性质作业
一.选择题:
1、等差数列{an}中,a1=60,an+1=an+3 则 a10 为 ( ) A、-600 B、-120 C、60 D、-60 2、 若等差数列中, a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是 ( ) A、a B、a10 C、a11 D、a12 3.若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 5 ,则此数列是 ( ) A.公差为 2 的等差数列 B. 公差为 5 的等差数列 C.首项为 5 的等差数列 D. 公差为 n 的等差数列 4. 已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则 a9+a10+a11= () A、36 B、30 C、24 D、18 5.等差数列 ?3, ?7, ?11, A. 4n ? 7

?an ? 中的第 k ? 7 项.
12. (1)d=-4;(2)an=-4n+27

, 的一个通项公式为
C. 4n ? 1

( )

B. ?4n ? 7

D. ?4 n ? 1

6.若 ?an ? 是等差数列,则 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 ,

a7 ? a8 ? a9 ,


, a3n?2 ? a3n?1 ? a3n , ( ) B. 一定是递增数列 D. 一定是递减数列

A.一定不是等差数列 C.一定是等差数列 二.填空题:

7.等差数列 ?an ? 中,a3 ? 50 ,a5 ? 30 , 则 a7 ? 8.等差数列 ?an ? 中,a3 ? a5 ? 24 ,a2 ? 3 , 则 a6 ? 9.已知等差数列 ?an ? 中, a2与a6 的等差中项为 5 ,

. .

a3与a7 的等差中项为 7 ,则 an ?

.

10. 若 {an} 是等差数列, a3,a10 是方程 x2-3x-5=0 的两根, 则 a5+a8= . 三.解答题 11.判断数 52 , 2k ? 7(k ? N? ) 是否是等差数列

?an ? : ?5, ?3, ?1,1,
答案:1.C 9. 2n ? 3 2.B 10. 3 3.A

, 中的项,若是,是第几项?
4.B 5.D 6.C 7.10 8.21

11.由题意知 an

? 2n ? 7 ,由 2n ? 7 ? 52 ,得

n ? 29.5 ? N ? ,∴52 不是该数列中的项.
又由 2n ? 7

? 2k ? 7 解得 n ? k ? 7 ? N ? ,∴ 2k ? 7 是数列


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