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湖南省邵阳市绥宁一中2016届高三上学期月考(3)数学理试题


绥宁一中 2016 届理科月考(3)数学试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 复数

1 ? 2i 的共轭复数是( 2?i 3i 3i A. B. ? 5 5


) C. i D. ? i

2.下列判断中正确的是(

2 2

A.命题“若 a ? b ? 1 ,则 a ? b ?

1 ”是真命题 2

B. “a ? b ?

1 1 1 ”是“ ? ? 4 ”的必要不充分条件 2 a b

C.若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则“ x ? C ”是“ x ? A ”的 充分不必要条件 D. 命题“ ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 2x0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 2 x ” 3.在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4, a4 =2,则 a6 = A、-1 B、0 C、1 D、6
2





4.若点(4,tanθ )在函数 y=log2x 的图像上,则 2cos θ = ( )

A.

1 2

B.

1 5

C.

2 5

D.

3 5
) D. 62 )

5.执行如图所示的程序框图,输出的 T=( A. 29 B. 44 C. 52

→2 → → → → → → 6.在△ABC 中,若AB =AB·AC+BA·BC+CA·CB,则△ABC 是( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

D.直角三角形

7.已知三棱柱的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形,则该三棱柱的体积为(

)

A. 12 3

B. 27 3

C. 36 3

D.6

8. 已知函数 y=x3-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c=( ) (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1 9.设函数 f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数, f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时,xf ( x) ? f ( x) ? 0 ,
' '

则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( ) A.

(?1, 0) ? (1, ??)

B. (??, ?1) ? (0,1) D. (0,1) ? (1, ??)

C. (??, ?1) ? ( ?1, 0)

10.已知双曲线 个交点

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个共同的焦点 F,两曲线的一 2 a b

为 P,若 PF ? 5 ,则点 F 到双曲线的渐近线的距离为( A. 3 B. 2 C. 6 D.3

)

11. 已知函数 f ? x ? ? cos

?x
6

,集合 M ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9? ,现从 M 中任取两个不同的元 ) D.

素 m, n ,则 f ? m? ? f ? n? ? 0 的概率为( A.

5 12

B.

7 12

C.

7 18

7 9

12.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的点

???? ? ??? ? P , P , ? P ,记 m ? AB ? AP 1 2 10 1 ? m2 ? ? ? m 10 的值为( i 2 i (i ? 1,2,?,10) ,则 m
A. 180 B. 60 3 C. 45 D. 15 3



B1

B2

B3 P 10

?
P2
P1

A

C1

C2

C3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,20 分. 13. 二项式 ( x ?
3

1 5 ) 的展开式中常数项为 x
? x ? y ? 2 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?

14. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯 一 , 则实数 a .. .

的值为

15.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前 100 项和为

16.对于集合 {a1 , a 2 , ? , a n }和常数a 0 ,定义:

??

sin 2 (a1 ? a0 ) ? sin 2 (a2 ? a0 ) ? ? ? sin 2 (an ? a0 ) 为集合{a1 , a2 ,?, an }相对a0 的 n

“正弦方差”,则集合 { ,

? 5? 7?
2 6 , 6

}相对a 0 的“正弦方差”为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

18. (本小题满分 12 分) 在数列 ?a n ?, ?bn ?中,?an ? 的前 n 项和为 S n ,点 ?bn , n? , ?n, S n ? 分别在函数 y ? log2 x 及 函数 y ? x ? 2 x 的图象上.
2

(1)求 ?a n ?, ?bn ?的通项公式; (2)令 Cn ? an ? bn ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 Tn .

19.(本题满分 12 分)已知 f ? x ? ? 正周期为 T ? ? . (Ⅰ)求 f ?

? 3? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小 ? 2 ?

? 2? ? 3

? ? 的值; ?

(Ⅱ) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c , 若有 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C , 则求角 B 的大小以及 f ? A ? 的取值范围.

20. (本小题满分12分) 如图,已知六棱柱 ABCDEF ? A1B1C1D1E1F1 的侧棱垂直于底面,侧棱长与底面边长都为 3, M , N 分别是棱 AB , AA1 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , E1 , D 四点共面; (2)求直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值. F1 A1 E F N E1 D1 C1 B1 D C M B

A

21. (本题满分 12 分)定义:若

f ( x) 在 [k , ??) 上为增函数,则称 f ( x) 为“ k 次比增函数” , xk

其中 k ? N ? ,已知 f ( x) ? eax .(其中 e ? 2.71238? ) (Ⅰ)若 f ( x) 是“1 次比增函数” ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ?

1 f ( x) 时,求函数 g ( x ) ? 在 [m, m ? 1](m ? 0) 上的最小值; 2 x

(Ⅲ)求证:

1 1 1 1 7 ? ? ??? ? . 2 3 n 2e e 2( e ) 3( e ) n( e )

22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正 半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线的倾斜角 ? 的值.

? x ? 1 ? t cos? (t 是参数 ) . ? y ? t sin ?

绥宁一中 2016 届理科月考(3)数学试题参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 A 6 A 7 C 8 A 9 B 10 A 11 C 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,20 分. 13. -10 14.

a ? 2或 ? 1

15. _

100 __ 101

16.

1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.【解】 (1)由已知 S n ? 2an ? a1 ,有 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 (n ? 1) , 即 an ? 2an ?1 (n ? 1) . 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 . 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) . 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 . 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an ? 2n . (2)由(1)得

1 1 ? n. an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 2 ? 1? 1 . 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 1 2 2 2 2 2n 1? 2

由 | Tn ? 1|?
9

1 1 1 n ,得 |1 ? n ? 1|? ,即 2 ? 1000 . 1000 2 1000
10

因为 2 ? 512 ? 1000 ? 1024 ? 2 ,所以 n ? 10 .于是,使 | Tn ? 1|? 为 10. 18.解: (1) f ? x ? ? 3 sin ? x cos ? x ? cos2 ? x ?

1 成立的 n 的最小值 1000

3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2
-------------2

?? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?


? y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? ,

2? ? ? ? ? ?1 2?
--------------4

?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? , 6? 2 ?


? 2? ?f? ? 3


7? 1 ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? sin ? ? ?1 ? ? sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? ?

--------------6

(2)? ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ∴由正弦定理可得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin ?? ? A ? ? sin A

? sin A ? 0

? cos B ?

1 2

? B ? ? 0,? ?

?B ?

?
3

-------------9 分

2 ? A?C ?? ? B ? ? 3 ?2A ?

? 2 ? ? A ? ? 0, ? ? ? 3 ?

? ? ? 7 ? ?? ? , ? ? 6 ? 6 6 ?

?? ? 1 ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ? ?
-------------12

? ? 1 ? 1? ? ? f ? A? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? . 6? 2 ? 2? ?


19.

20.第(1)问用几何法,第(2)问用向量法:

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B 1D 1,
E1 在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1 D1 C1 A1 E F N B1 D C

? B1D1 且 A1E1 =B1D1 , F1

在四边形 BB1D1D 中, BD ? B1D1 且 BD=B1D1 , 所以 A 1 E1

? BD 且 A1E1 =BD ,

所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形. 所以 A 1 B ? E1D .????????????2分 在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA 1 ? 3, 所以

A

M

B

AM AN , ? AB AA1

所以 MN 所以 MN

? BA1 .??????????????????????????4分

? DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????6分 (2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, F1

z
E1 D1 C1 B1 E D C

?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

?

?

A1

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 ,??????8分
F N M

?

?

y

x

A

B

则 BC ? ? ?

??? ?

? ? 3 3 3 ? ???? , , 0 , DE1 ? ? 0, ?3,3? , ? ? 2 2 ? ? ?

???? ? DM ? 3 3, ?2, 0 .?????????????????????????9分

?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,

???? ? ? ?n?DE1 ? 0, 则 ? ???? ? ? ?n?DM ? 0.
即?

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1 D 的一个法向量.????????????? 10 分 设直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

?

?

??? ? n?BC 则 sin ? ? ??? ? n ?BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 2 ? 3 3
2

?

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 2 2 ? ? ? ?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为

174 .?????????????12 116

21.解: (1)由题知 y ?

e ax 在 [1, ??) 上为增函数, x

故(

eax eax (ax ? 1) )? ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,故 ax ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, x x2
1 1 在 x ? [1, ??) 上恒成立,而 ? 1 ,? a ? 1 . x x
--------------4

即a ? 分

x e 2 ( ? 1) 1 f ( x) e 2 ? ( 2 )当 a ? 时, g ( x) ? , g ?( x) ? , 2 x x x2
x 2

x

--------------5

分 当 x ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增; 当 x ? 2 且 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0,2),( ??,0) 上单调递减; 又 m ? 0 ,? m ? 1 ? 1
m

故当 m ? 2 时, g ( x) 在 [ m, m ? 1] 上单调递增,此时 g ( x) min

e2 ? g ( m) ? ; m

当 0 ? m ? 1 时 , m ? 1 ? 2 , g ( x) 在 [ m, m ? 1] 上 单 调 递 减 , 此 时
m ?1

g ( x) min

e 2 ? g (m ? 1) ? ; m ?1

, ? 1单 ] 调递增,故此时 当 1 ? m ? 2 时 , g ( x) 在 [ m, 2] 上 单 调 递 减 , 在 [ 2 m
e g ( x) ?) ; m i n? g ( 2 2
m ?1

--------------8 分

综上有:当 0 ? m ? 1 时, g ( x) min

e 2 ? g (m ? 1) ? ; m ?1
e ; 2
--------------9 分

当 1 ? m ? 2 时, g ( x) min ? g (2) ?
m

当 m ? 2 时, g ( x) min

e2 ? g ( m) ? . m

(3)由(2)知,当 x ? 0 时, g ( x) 在 (0, 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增,
x

e e2 e ? ,故 g ( x ) ? g (2) ? ,即 2 x 2
故当 x ? 0 时,总有

--------------8 分

x e
x 2

?

2 成立, e
--------------10 分

取 x ? n 时有

n 2 1 n 1 2 ? , ? 2 ? 2? , n n n e n( e ) n e ( e) n ( e)



1 1 1 1 2 1 1 1 ? ? ??? ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n e 2 3 n e 2( e ) 3( e ) n( e )

2 5 1 1 1 2 5 1 1 7 ? ( ? ? ??? )? ( ? ? )? . e 4 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)n e 4 2 n 2e
22. (本小题满分 10 分) 【答案】 (1) ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ; (2) ? ? 试题解析: ( 1 ) 由 ? ? 4c o ? s 得

--------------12 分

?
4



3? ; 4

? 2 ? 4? cos? , 于 是 有 x 2 ? y 2 ? 4 x , 化 简 可 得
5分

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4
(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos? 代入圆的方程得 (t cos? ?1) 2 ? (t sin ? ) 2 ? 4 , ? y ? t sin ?
?t1 ? t 2 ? 2 cos? , ? t1t 2 ? ?3

2 化简得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 . 设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ?

? AB ? t1 ? t 2 ?
? 4 cos
2

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4 cos2 ? ? 12 ? 14 ,
10 分

? ? 2 , cos? ? ?

2 ? 3? ,? ? 或 . 2 4 4


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