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2017年全国高中数学联合竞赛试题


2017 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
一、本题满分 40 分 如图,在 △ ABC 中, AB ? AC , I 为 △ ABC 的内心.以 A 为圆心, AB 为半径作圆 Γ1 ,以 I 为圆心, 过 B、 I 的圆 Γ 3 与 Γ1 、 Γ 2 分别交于点 P、Q (不同于点 B ).设 IP 与 BQ IB 为半径作圆 Γ 2 , 交于点 R . 证明: BR ? CR .

二、本题满分 40 分 设数列 ?an ?定义为 a1 ? 1,

?a n ? n 若a n ? n an ?1 ? ? n ? 1,2,? ?an-n 若an ? n
求满足 ar ? r ? 3
2017

的正整数 r 的个数.

三、本题满分 50 分 将 33X33 方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等,若相邻两 个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值. 四、本题满分 50 分 设 m、n 均是大于 1 的整數, m ? n , a1 , a2 ,? , an 是 n 个不超过 m 的互不相同的正整数,且

a1 , a2 ,? , an 互素.
证明: 对任意实数 x ,均存在一个 i (1 ? i ? n) ,使得 ai x ? 到与它最近的整数的距离.

2 x ,这里 y 表示实数 y m(m ? 1)


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