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学习探究诊断:二次函数


第二十六章
测试 1

二次函数

二次函数 y=ax2 及其图象

学习要求 1.熟练掌握二次函数的有关概念. 2.熟练掌握二次函数 y=ax2 的性质和图象. 课堂学习检测 一、填空题 1.形如____________的函数叫做二次函数,其中______是目变量,a,b,c 是______ 且______≠0. 2.函数 y=x2 的图象叫做______,对称轴是______,顶点是______. 3.抛物线 y= ax2 的顶点是 ______,对称轴是 ______.当 a> 0 时,抛物线的开口向 ______;当 a<0 时,抛物线的开口向______. 4.当 a>0 时,在抛物线 y=ax2 的对称轴的左侧,y 随 x 的增大而______,而在对称轴 的右侧,y 随 x 的增大而______;函数 y 当 x=______时的值最______. 5.当 a<0 时,在抛物线 y=ax2 的对称轴的左侧,y 随 x 的增大而______,而在对称轴 的右侧,y 随 x 的增大而______;函数 y 当 x=______时的值最______. 6.写出下列二次函数的 a,b,c. (1) y ? 3x ? x2 (2)y=?x2 (3) y ? a=______,b=______,c=______. a=______,b=______,c=______.

1 2 a=______,b=______,c=______. x ? 5x ? 10 2 1 (4) y ? ?6 ? x 2 a=______,b=______,c=______. 3 7.抛物线 y=ax2,|a|越大则抛物线的开口就______,|a|越小则抛物线的开口就 ______. 8.二次函数 y=ax2 的图象大致如下,请将图中抛物线字母的序号填入括号内.

(1)y=2x2 如图(

); ); ); ); );

1 2 x 如图( 2 (3)y=-x2 如图(
(2) y ?

1 (4) y ? ? x 2 如图( 3
(5) y ?

1 2 x 如图( 9

1 (6) y ? ? x 2 如图( 9

).

3 9.已知函数 y ? ? x 2 , 不画图象,回答下列各题. 2 (1)开口方向______; (2)对称轴______; (3)顶点坐标______; (4)当 x≥0 时,y 随 x 的增大而______; (5)当 x______时,y=0; (6)当 x______时,函数 y 的最______值是______. 10.画出 y=-2x2 的图象,并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值.

综合、运用、诊断 一、填空题 11.在下列函数中①y=-2x2;②y=-2x+1;③y=x;④y=x2,回答: (1)______的图象是直线,______的图象是抛物线. (2)函数______y 随着 x 的增大而增大. 函数______y 随着 x 的增大而减小. (3)函数______的图象关于 y 轴对称. 函数______的图象关于原点对称. (4)函数______有最大值为______. 函数______有最小值为______. 12.已知函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数). (1)若它是二次函数,则系数应满足条件______. (2)若它是一次函数,则系数应满足条件______. (3)若它是正比例函数,则系数应满足条件______. 13.已知函数 y=(m2-3m) x
m2 ?2 m?1

的图象是抛物线,则函数的解析式为______,抛物

线的顶点坐标为______,对称轴方程为______,开口______. 14.已知函数 y=m x
m2 ? 2 m? 2

+(m-2)x.

(1)若它是二次函数, 则 m=______, 函数的解析式是______, 其图象是一条______, 位于第______象限. (2)若它是一次函数, 则 m=______, 函数的解析式是______, 其图象是一条______, 位于第______象限. 15.已知函数 y=m x
m2 ?m

,则当 m=______时它的图象是抛物线;当 m=______时,

抛物线的开口向上;当 m=______时抛物线的开口向下. 二、选择题 16.下列函数中属于一次函数的是( ),属于反比例函数的是( 的是( ) A.y=x(x+1) B.xy=1 C.y=2x2-2(x+1)2 D. y ? 3x2 ? 1

),属于二次函数

17.在二次函数①y=3x2;② y ?

2 2 4 x ; ③y ? x 2 中,图象在同一水平线上的开口大小 3 3

顺序用题号表示应该为( ) A.①>②>③ B.①>③>② C.②>③>① D.②>①>③ 2 18.对于抛物线 y=ax ,下列说法中正确的是( ) A.a 越大,抛物线开口越大 B.a 越小,抛物线开口越大 C.|a|越大,抛物线开口越大 D.|a|越小,抛物线开口越大 19.下列说法中错误的是( ) 2 A.在函数 y=-x 中,当 x=0 时 y 有最大值 0 B.在函数 y=2x2 中,当 x>0 时 y 随 x 的增大而增大

1 C.抛物线 y=2x2,y=-x2, y ? ? x 2 中,抛物线 y=2x2 的开口最小,抛物线 y 2 2 =-x 的开口最大 D.不论 a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2 的顶点都是坐标原点 三、解答题
20.函数 y=(m-3) x m
2

? 3m ? 2

为二次函数.

(1)若其图象开口向上,求函数关系式; (2)若当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,求函数的关系式,并画出函数的图象.

拓展、探究、思考 21.抛物线 y=ax 与直线 y=2x-3 交于点 A(1,b). (1)求 a,b 的值; (2)求抛物线 y=ax2 与直线 y=-2 的两个交点 B,C 的坐标(B 点在 C 点右侧); (3)求△OBC 的面积.
2

22.已知抛物线 y=ax2 经过点 A(2,1). (1)求这个函数的解析式; (2)写出抛物线上点 A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标; (3)求△OAB 的面积; (4)抛物线上是否存在点 C,使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半,若存在,求 出 C 点的坐标;若不存在,请说明理由.

测试 2

二次函数 y=a(x-h)2+k 及其图象

学习要求 掌握并灵活应用二次函数 y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k 的性质及图象. 课堂学习检测 一、填空题 1.已知 a≠0, (1)抛物线 y=ax2 的顶点坐标为______,对称轴为______. (2)抛物线 y=ax2+c 的顶点坐标为______,对称轴为______. (3)抛物线 y=a(x-m)2 的顶点坐标为______,对称轴为______. 2.若函数 y ? ( m ? ) x

1 2

2 m 2 ? m ?1

是二次函数,则 m=______.

3.抛物线 y=2x2 的顶点,坐标为______,对称轴是______.当 x______时,y 随 x 增大 而减小; 当 x______时, y 随 x 增大而增大; 当 x=______时, y 有最______值是______. 2 2 4.抛物线 y=-2x 的开口方向是______,它的形状与 y=2x 的形状______,它的顶点 坐标是______,对称轴是______. 5.抛物线 y=2x2+3 的顶点坐标为______,对称轴为______.当 x______时,y 随 x 的 增大而减小;当 x=______时,y 有最______值是______,它可以由抛物线 y=2x2 向______平移______个单位得到. 6.抛物线 y=3(x-2)2 的开口方向是______,顶点坐标为______,对称轴是______.当 x______时,y 随 x 的增大而增大;当 x=______时,y 有最______值是______,它可 以由抛物线 y=3x2 向______平移______个单位得到. 二、选择题 7.要得到抛物线 y ?

1 1 ( x ? 4) 2 ,可将抛物线 y ? x 2 ( 3 3

)

A.向上平移 4 个单位 B.向下平移 4 个单位 C.向右平移 4 个单位 D.向左平移 4 个单位 8.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( A.y=2x2 与 y=3x2 C.y=2x2 与 y=x2+2 B. y ?

)

1 2 1 x ? 2 与 y ? 2x2 ? 2 2 2 2 D.y=x 与 y=x -2
)

1 9.顶点为(-5,0),且开口方向、形状与函数 y ? ? x 2 的图象相同的抛物线是( 3 1 A. y ? ( x ? 5)2 3 1 C. y ? ? ( x ? 5)2 3 三、解答题
10. 在同一坐标系中画出函数 y1 ? y2 的图象与函数 y ?

1 B. y ? ? x 2 ? 5 3 1 D. y ? ( x ? 5)2 3 1 2 1 1 x ? 3, y2 ? x 2 ? 3 和 y3 ? x 2 的图象,并说明 y1, 2 2 2

1 2 x 的图象的关系. 2

11.在同一坐标系中,画出函数 y1=2x2,y2=2(x-2)2 与 y3=2(x+2)2 的图象,并说明 y2,y3 的图象与 y1=2x2 的图象的关系.

综合、运用、诊断 一、填空题 12.二次函数 y= a(x- h)2+ k(a≠ 0)的顶点坐标是 ______,对称轴是 ______,当 x= ______时, y 有最值 ______;当 a> 0 时,若 x______时, y 随 x 增大而减小. 13.填表. 解析式 y=(x-2) -3 y=-(x+3)2+2
2

开口方向

顶点坐标

对称轴

1 y ? ? ( x ? 5) 2 ? 5 2
1 5 y ? ( x ? )2 ? 1 3 2
y=3(x-2)2 y=-3x2+2

1 14.抛物线 y ? ? ( x ? 3) 2 ? 1 有最______点,其坐标是______.当 x=______时,y 的 2 最______值是______;当 x______时,y 随 x 增大而增大.

1 15.将抛物线 y ? x 2 向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的抛物线的解析 3 式为______. 二、选择题 16.一抛物线和抛物线 y=-2x2 的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则 该抛物线的解析式为( ) 2 A.y=-2(x-1) +3 B.y=-2(x+1)2+3 2 C.y=-(2x+1) +3 D.y=-(2x-1)2+3 17.要得到 y=-2(x+2)2-3 的图象,需将抛物线 y=-2x2 作如下平移( ) A.向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 B.向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 C.向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 D.向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 三、解答题 18.将下列函数配成 y=a(x-h)2+k 的形式,并求顶点坐标、对称轴及最值. (1)y=x2+6x+10 (2)y=-2x2-5x+7

(3)y=3x2+2x

(4)y=-3x2+6x-2

(5)y=100-5x2

(6)y=(x-2)(2x+1)

拓展、探究、思考 19.把二次函数 y=a(x-h) +k 的图象先向左平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位,得 1 到二次函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 1 的图象. 2 (1)试确定 a,h,k 的值; (2)指出二次函数 y=a(x-h)2+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2

测试 3

二次函数 y=ax2+bx+c 及其图象

学习要求 掌握并灵活应用二次函数 y=ax2+bx+c 的性质及其图象. 课堂学习检测 一、填空题 1.把二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)配方成 y=a(x-h)2+k 形式为______,顶点坐标是 ______, 对称轴是直线______. 当 x=______时, y 最值=______; 当 a<0 时, x______ 时,y 随 x 增大而减小;x______时,y 随 x 增大而增大.

2.抛物线 y=2x2-3x-5 的顶点坐标为______.当 x=______时,y 有最______值是 ______,与 x 轴的交点是______,与 y 轴的交点是______,当 x______时,y 随 x 增大而减小,当 x______时,y 随 x 增大而增大. 3.抛物线 y=3-2x-x2 的顶点坐标是______,它与 x 轴的交点坐标是______,与 y 轴 的交点坐标是______. 4.把二次函数 y=x2-4x+5 配方成 y=a(x-h)2+k 的形式,得______,这个函数的图 象有最______点,这个点的坐标为______. 5.已知二次函数 y=x2+4x-3,当 x=______时,函数 y 有最值______,当 x______时, 函数 y 随 x 的增大而增大,当 x=______时,y=0. 6.抛物线 y=ax2+bx+c 与 y=3-2x2 的形状完全相同,只是位置不同,则 a=______. 7.抛物线 y=2x2 先向______平移______个单位就得到抛物线 y=2(x-3)2,再向______ 平移______个单位就得到抛物线 y=2(x-3)2+4. 二、选择题 8.下列函数中①y=3x+1;②y=4x2-3x; ③y ?

4 2 ? x2 ; ④y=5-2x ,是二次函数的 x2

有( ) A.② B.②③④ C.②③ D.②④ 2 9.抛物线 y=-3x -4 的开口方向和顶点坐标分别是( ) A.向下,(0,4) B.向下,(0,-4) C.向上,(0,4) D.向上,(0,-4) 10.抛物线 y ? ?

1 2 x ? x 的顶点坐标是( 2

) D.(1,0)

1 1 1 A. (1,? ) B. (?1, ) C. ( ,?1) 2 2 2 2 11.二次函数 y=ax +x+1 的图象必过点( ) A.(0,a) B.(-1,-a) C.(-1,a) D.(0,-a) 三、解答题 12.已知二次函数 y=2x2+4x-6. (1)将其化成 y=a(x-h)2+k 的形式; (2)写出开口方向,对称轴方程,顶点坐标; (3)求图象与两坐标轴的交点坐标; (4)画出函数图象; (5)说明其图象与抛物线 y=x2 的关系; (6)当 x 取何值时,y 随 x 增大而减小; (7)当 x 取何值时,y>0,y=0,y<0; (8)当 x 取何值时,函数 y 有最值?其最值是多少? (9)当 y 取何值时,-4<x<0; (10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.

综合、运用、诊断 一、填空题 13.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0). (1)若抛物线的顶点是原点,则____________; (2)若抛物线经过原点,则____________; (3)若抛物线的顶点在 y 轴上,则____________; (4)若抛物线的顶点在 x 轴上,则____________. 14.抛物线 y=ax2+bx 必过______点. 15.若二次函数 y=mx2-3x+2m-m2 的图象经过原点,则 m=______,这个函数的解 析式是______. 16.若抛物线 y=x2-4x+c 的顶点在 x 轴上,则 c 的值是______. 17.若二次函数 y=ax2+4x+a 的最大值是 3,则 a=______. 18.函数 y=x2-4x+3 的图象的顶点及它和 x 轴的两个交点为顶点所构成的三角形面 积为______平方单位. 19.抛物线 y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象经过第______象限. 二、选择题 20.函数 y=x2+mx-2(m<0)的图象是( )

21.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,那么(

)

A.a<0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 22.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如右图所示,则(

)

A.a>0,c>0,b2-4ac<0 B.a>0,c<0,b2-4ac>0 C.a<0,c>0,b2-4ac<0 D.a<0,c<0,b2-4ac>0

23.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图所示,则(

)

A.b>0,c>0,?=0 B.b<0,c>0,?=0 C.b<0,c<0,?=0 D.b>0,c>0,?>0 24.二次函数 y=mx2+2mx-(3-m)的图象如下图所示,那么 m 的取值范围是(

)

A.m>0 B.m>3 C.m<0 D.0<m<3 25.在同一坐标系内,函数 y=kx2 和 y=kx-2(k≠0)的图象大致如图(

)

26 .函数 y1 ? ax ? b, y2 ?
2

ab (ab < 0) 的图象在下列四个示意图中,可能正确的是 x

(

)

三、解答题 27.已知抛物线 y=x2-3kx+2k+4. (1)k 为何值时,抛物线关于 y 轴对称; (2)k 为何值时,抛物线经过原点.

1 3 28.画出 y ? ? x 2 ? x ? 的图象,并求: 2 2

(1)顶点坐标与对称轴方程; (2)x 取何值时,y 随 x 增大而减小? x 取何值时,y 随 x 增大而增大? (3)当 x 为何值时,函数有最大值或最小值,其值是多少? (4)x 取何值时,y>0,y<0,y=0? (5)当 y 取何值时,-2≤x≤2?

拓展、探究、思考 29.已知函数 y1=ax +bx+c(a≠0)和 y2=mx+n 的图象交于(-2,-5)点和(1,4)点, 并且 y1=ax2+bx+c 的图象与 y 轴交于点(0,3).
2

(1)求函数 y1 和 y2 的解析式,并画出函数示意图; (2)x 为何值时,①y1>y2;②y1=y2;③y1<y2.

30.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分;图象过点 A(-3,0),对称轴为 x =-1,给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中 正确的是________________.(填序号)

测试 4

二次函数 y=ax2+bx+c 解析式的确定

学习要求 能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式. 一、填空题 1.二次函数解析式通常有三种形式:①一般式________________;②顶点式________ __________;③双根式__________________________(b2-4ac≥0). 2.若二次函数 y=x2-2x+a2-1 的图象经过点(1,0),则 a 的值为______. 3.已知抛物线的对称轴为直线 x=2,与 x 轴的一个交点为 (? 一个交点为______. 二、解答题 4.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,求:

3 , 0), 则它与 x 轴的另 2

(1)对称轴方程____________; (2)函数解析式____________; (3)当 x______时,y 随 x 增大而减小; (4)由图象回答: 当 y>0 时,x 的取值范围______; 当 y=0 时,x=______; 当 y<0 时,x 的取值范围______. 5.抛物线 y=ax2+bx+c 过(0,4),(1,3),(-1,4)三点,求抛物线的解析式.

6.抛物线 y=ax2+bx+c 过(-3,0),(1,0)两点,与 y 轴的交点为(0,4),求抛物线的 解析式.

7.抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为(2,4),且过(1,2)点,求抛物线的解析式.

8.二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 A(-2,5),且当 x=2 时,y=-3,求这个二次 函数的解析式,并判断点 B(0,3)是否在这个函数的图象上.

9.抛物线 y=ax2+bx+c 经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是 3,求这个抛物 线的解析式.

10.抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线 x+2=0,且在 x 轴上截得线段的长度 为 2 2 , 求抛物线的解析式.

综合、运用、诊断 11.抛物线 y=ax +bx+c 的顶点坐标为(2,4),且过原点,求抛物线的解析式.
2

12.把抛物线 y=(x-1)2 沿 y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点 Q(3,0),求平移 后的抛物线的解析式.

13.二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值等于-3a,且它的图象经过(-1,-2),(1,6) 两点,求二次函数的解析式.

14.已知函数 y1=ax2+bx+c,它的顶点坐标为(-3,-2),y1 与 y2=2x+m 交于点(1, 6),求 y1,y2 的函数解析式.

拓展、探究、思考 15.如图,抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的交点为 A,B(B 在 A 左侧),与 y 轴的交点为 C,OA=OC.下列关系式中,正确的是( )
2

A.ac+1=b C.bc+1=a

B.ab+1=c D.

a ?1 ? c b

16.如图,正方形 ABCD 的边长为 10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 ABCD 的顶点上, 且它们的各边与正方形 ABCD 各边平行或垂直, 若小正方形边长 为 x,且 0<x≤10,阴影部分的面积为 y,则能反映 y 与 x 之间的函数关系的大致 图象是( )

17.如图,在直角坐标系中,Rt△AOB 的顶点坐标分别为 A(0,2),O(0,0),B(4,0), 把△AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 90°得到△COD.

(1)求 C,D 两点的坐标; (2)求经过 C,D,B 三点的抛物线的解析式; (3)设(2)中抛物线的顶点为 P, AB 的中点为 M(2, 1), 试判断△PMB 是钝角三角形, 直角三角形还是锐角三角形,并说明理由.

测试 5

用函数观点看一元二次方程

学习要求 1.理解二次函数与一元二次方程的关系,掌握抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程两 根之间的联系,灵活运用相关概念解题. 2.掌握并运用二次函数 y=a(x-x1)(x-x2)解题.

课堂学习检测 一、填空题 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有交点,则 b2-4ac______0; 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 两根为 x1,x2,则二次函数可表示为 y=_________ ____________. 2.若二次函数 y=x2-3x+m 的图象与 x 轴只有一个交点,则 m=______. 3.若二次函数 y=mx2-(2m+2)x-1+m 的图象与 x 轴有两个交点,则 m 的取值范围 是______. 4.若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 P(1,0)点,则 a+b+c=______. 5.若抛物线 y=ax2+bx+c 的系数 a,b,c 满足 a-b+c=0,则这条抛物线必经过点 ______. 6.关于 x 的方程 x2-x-n=0 没有实数根,则抛物线 y=x2-x-n 的顶点在第______ 象限. 二、选择题 7.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一元二次方程 ax2+bx+c=0( )

A.没有实根 B.只有一个实根 C.有两个实根,且一根为正,一根为负 D.有两个实根,且一根小于 1,一根大于 2 8.一次函数 y=2x+1 与二次函数 y=x2-4x+3 的图象交点( ) A.只有一个 B.恰好有两个 C.可以有一个,也可以有两个 D.无交点 2 9.函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,那么关于 x 的方程 ax2+bx+c-3=0 的根的 情况是( )

A.有两个不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 10.二次函数 y=ax2+bx+c 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是( ) A.a>0,?>0 B.a>0,?<0 C.a<0,?>0 D.a<0,?<0 三、解答题 11.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点的横坐标是方程 x2+x-2=0 的两个

根,且抛物线过点(2,8),求二次函数的解析式.

12.对称轴平行于 y 轴的抛物线过 A(2,8),B(0,-4),且在 x 轴上截得的线段长为 3, 求此函数的解析式.

综合、运用、诊断 一、填空题 13.已知直线 y=5x+k 与抛物线 y=x2+3x+5 交点的横坐标为 1,则 k=______,交点 坐标为______.

8 14.当 m=______时,函数 y=2x2+3mx+2m 的最小值为 ? 9 二、选择题 15.直线 y=4x+1 与抛物线 y=x2+2x+k 有唯一交点,则 k 是( ) A.0 B.1 C.2 D.-1 2 16.二次函数 y=ax +bx+c,若 ac<0,则其图象与 x 轴( ) A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.可能有一个交点 2 2 17.y=x +kx+1 与 y=x -x-k 的图象相交,若有一个交点在 x 轴上,则 k 值为(
A.0 B.-1 C.2 D.

)

1 4 2 18.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+2 =0 的根的情况是( )

A.无实根 B.有两个相等实数根 C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根 19.已知二次函数的图象与 y 轴交点坐标为(0,a),与 x 轴交点坐标为(b,0)和(-b, 0),若 a>0,则函数解析式为( ) a a A. y ? 2 x ? a B. y ? ? 2 x 2 ? a b b

a 2 a D. y ? 2 x 2 ? a x ?a b b2 20.若 m,n(m<n)是关于 x 的方程 1-(x-a)(x-b)=0 的两个根,且 a<b,则 a,b, m,n 的大小关系是( )
C. y ? ?

A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 三、解答题 21.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c 是常数)中,自变量 x 与函数 y 的对应值如 下表: x y -1 -2
? 1 2

0 1

1 2
7 4

1 2

3 2
7 4

2 1

5 2

3 -2

?

1 4

?

1 4

(1)判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标; (2)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c 是常数)的两个根 x1,x2 的取值范围 是下列选项中的哪一个______.

1 3 ? x1 ? 0, ? x2 ? 2 2 2 1 5 ③ ? ? x1 ? 0,2 ? x2 ? 2 2
①?

1 5 ② ? 1 ? x1 ? ? ,2 ? x2 ? 2 2
④ ? 1 ? x1 ? ?

1 3 , ? x2 ? 2 2 2

22.m 为何值时,抛物线 y=(m-1)x2+2mx+m-1 与 x 轴没有交点?

23.当 m 取何值时,抛物线 y=x2 与直线 y=x+m (1)有公共点;(2)没有公共点.

拓展、探究、思考 24.已知抛物线 y=-x -(m-4)x+3(m-1)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点. (1)求 m 的取值范围.
2

(2)若 m<0,直线 y=kx-1 经过点 A 并与 y 轴交于点 D,且 AD ? BD ? 5 2 ,求 抛物线的解析式.

测试 6 实际问题与二次函数
学习要求 灵活地应用二次函数的概念解决实际问题. 课堂学习检测 1.矩形窗户的周长是 6m,写出窗户的面积 y(m2)与窗户的宽 x(m)之间的函数关系式, 判断此函数是不是二次函数,如果是,请求出自变量 x 的取值范围,并画出函数的 图象.

2. 如图, 有一座抛物线型拱桥, 已知桥下在正常水位 AB 时, 水面宽 8m, 水位上升 3m, 就达到警戒水位 CD,这时水面宽 4m,若洪水到来时,水位以每小时 0.2m 的速度 上升,求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶.

3. 如图, 足球场上守门员在 O 处开出一高球, 球从离地面 1m 的 A 处飞出(A 在 y 轴上), 运动员乙在距 O 点 6m 的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M,距地面约 4m 高.球第一次落地后又弹起.据试验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线 形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.

(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式; (2)运动员乙要抢到第二个落点 D,他应再向前跑多少米?(取 4 3 ? 7 , 2 6 ? 5 )

综合、运用、诊断 4.如图,有长为 24m 的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可 借用一段墙体(墙体的最大可用长度 a=10m).

(1)如果所围成的花圃的面积为 45m2,试求宽 AB 的长; (2)按题目的设计要求, 能围成面积比 45m2 更大的花圃吗?如果能, 请求出最大面积, 并说明围法;如果不能,请说明理由.

5. 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品, 试销中发现, 这种商品每天的销售量 m(件) 与每件的销售价 x(元)满足一次函数 m=162-3x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y(元)与每件的销售价 x(元)间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最为合适?最大 销售利润为多少?

6.某工厂现有 80 台机器,每台机器平均每天生产 384 件产品.现准备增加一批同类机 器以提高生产总量.在试生产中发现,由于其他生产条件没有改变,因此,每增加 一台机器,每台机器平均每天将减少生产 4 件产品. (1)如果增加 x 台机器,每天的生产总量为 y 件,请写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

7.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的 过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时 间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系).

根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元; 3)求第 8 个月公司所获利润为多少万元?

拓展、探究、思考 8.已知:在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax2+bx-3(a>0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左侧,与 y 轴交于点 C,且 OC=OB=3OA. (1)求这个二次函数的解析式; (2)设点 D 是点 C 关于此抛物线对称轴的对称点,直线 AD,BC 交于点 P,试判断直 线 AD,BC 是否垂直,并证明你的结论; (3)在(2)的条件下,若点 M,N 分别是射线 PC,PD 上的点,问:是否存在这样的点 M,N,使得以点 P,M,N 为顶点的三角形与△ACP 全等?若存在请求出点 M, N 的坐标;若不存在,请说明理由.

测试 7

综合测试

一、填空题 1.若函数 y=x2-mx+m-2 的图象经过(3,6)点,则 m=______. 2.函数 y=2x-x2 的图象开口向______,对称轴方程是______. 3.抛物线 y=x2-4x-5 的顶点坐标是______. 4.函数 y=2x2-8x+1,当 x=______时,y 的最______值等于______. 5. 抛物线 y=-x2+3x-2 在 y 轴上的截距是______, 与 x 轴的交点坐标是____________. 2 2 6.把 y=2x -6x+4 配方成 y=a(x-h) +k 的形式是_______________. 7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示.

(1)对称轴方程为____________; (2)函数解析式为____________; (3)当 x______时,y 随 x 的增大而减小; (4)当 y>0 时,x 的取值范围是______. 8.已知二次函数 y=x2-(m-4)x+2m-3. (1)当 m=______时,图象顶点在 x 轴上; (2)当 m=______时,图象顶点在 y 轴上; (3)当 m=______时,图象过原点. 二、选择题 9.将抛物线 y=x2+1 绕原点 O 旋转 180°,则旋转后抛物线的解析式为( ) 2 2 2 2 A.y=-x B.y=-x +1 C.y=x -1 D.y=-x -1 2 10.抛物线 y=x -mx+m-2 与 x 轴交点的情况是( ) A.无交点 B.一个交点 C.两个交点 D.无法确定 2 11.函数 y=x +2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别为( ) A.4 和-3 B.5 和-3 C.5 和-4 D.-1 和 4 2 12. 已知函数 y=a(x+2)和 y=a(x +1), 那么它们在同一坐标系内图象的示意图是(

)

13.y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,那么下面六个代数式:abc,b2-4ac,a -b+c,a+b+c,2a-b,9a-4b 中,值小于 0 的有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 14.若 b>0 时,二次函数 y=ax +bx+a -1 的图象如下列四图之一所示,根据图象分 析,则 a 的值等于( )

A.

?1 ? 5 2

B.-1

C.

?1 ? 5 2

D.1

三、解答题 15.已知函数 y1=ax2+bx+c,其中 a<0,b>0,c>0,问: (1)抛物线的开口方向? (2)抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方还是下方? (3)抛物线的对称轴在 y 轴的左侧还是右侧? (4)抛物线与 x 轴是否有交点?如果有,写出交点坐标; (5)画出示意图.

16.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次 函数的解析式.(试用两种不同方法)

17.已知二次函数 y=ax2+bx+c,当 x=-1 时有最小值-4,且图象在 x 轴上截得线 段长为 4,求函数解析式.

18.二次函数 y=x2-mx+m-2 的图象的顶点到 x 轴的距离为

25 , 求二次函数解析式. 16

19.如图,从 O 点射出炮弹落地点为 D,弹道轨迹是抛物线,若击中目标 C 点,在 A 测 C 的仰角∠BAC=45°,在 B 测 C 的仰角∠ABC=30°,AB 相距 (1 ? 3)km, , OA=2km,AD=2km.

(1)求抛物线解析式; (2)求抛物线对称轴和炮弹运行时最高点距地面的高度.

20.二次函数 y1=ax2-2bx+c 和 y=(a+1)?x2-2(b+2)x+c+3 在同一坐标系中的图 象如图所示,若 OB=OA,BC=DC,且点 B,C 的横坐标分别为 1,3,求这两个 函数的解析式.

答案与提示
第二十六章
1.y=ax +bx+c(a≠0),x,常数,a. 3.(0,0),y 轴,上,下. 5.增大,减小,x=0,大. 6.(1) ?1, 3, 0. (3) (2)?,0,0, (4) ?
2

二次函数

测试 1 2.抛物线,y 轴,(0,0). 4.减小,增大,x=0,小.

1 , 5, ? 10, 2

1 , 0, ? 6. 3

7.越小,越大. 8.(1)D,(2)C,(3)A,(4)B,(5)F,(6)E. 9.(1)向下,(2)y 轴.(3)(0,0).(4)减小.(5)=0(6)=0,大,0. 10.略. 11.(1)②、③;①、④.(2)③;②.(3)①、④;③.(4)①,0;④,0. 12.(1)a≠0,(2)a=0 且 b≠0,(3)a=c=0 且 b≠0. 13.y=4x2;(0,0);x=0;向上. 14.(1)2;y=2x2;抛物线;一、二, (2)0;y=-2x;直线;二、四. 15.-2 或 1;1;-2. 16.C、B、A. 17.C. 18.D. 19.C. 2 2 20.(1)m=4,y=x ;(2)m=-1,y=-4x . 21.(1)a=-1,b=-1;(2) B( 2 , ? 2). C(? 2 , ? 2); (3)S△OBC= 2 2 . 22.(1) y ?

1 2 x ; (2)B(-2,1);(3)S△OAB=2; 4 1 2 1 1 2 1 (4)设 C 点的坐标为 (m, m ), 则 ? 4? | m ? 1 |? ? 2. 则得 m ? ? 6 或 m ? ? 2 . 2 4 2 4
∴C 点的坐标为 ( 6 ,

3 3 1 1 ), (? 6 , ), ( 2 , ), (? 2 , ). 2 2 2 2

1.(1)(0,0),y 轴; 2.m=-1 3.(0,0),y 轴,x≤0,x>0,0,小,0. 4.向下,相同,(0,0),y 轴. 5.(0,3),y 轴,x≤0,0,小,3,上,3. 6.向上,(2,0),直线 x=2,x≥2,2,小,0,右,2. 7.C. 8.D. 9.C. 10.图略,y1,y2 的图象是 y ?

测试 2 (2)(0,c),y 轴; (3)(m,0),直线 x=m.

1 2 x 的图象分别向上和向下平移 3 个单位. 2

追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

11.图略,y2,y3 的图象是把 y1 的图象分别向右和向左平移 2 个单位. 12.(h,k),直线 x=h;h,k,x≤h. 13. 开口方向 y=(x-2) -3 y=-(x+3) +2
2 2

顶点坐标 (2,-3) (-3,2) (-5,-5) (

对称轴 直线 x=2 直线 x=-3 直线 x=-5 直线 x=

向上 向下 向下 向上 向上 向下

1 y ? ? ( x ? 5) 2 ? 5 2
1 5 y ? ( x ? )2 ? 1 3 2
y=3(x-2)2 y=-3x +2 15. y ?
2

5 ,1) 2

5 2

(2,0) (0,2)

直线 x=2 直线 x=0

14.高.(-3,-1),-3,大,-1,≤-3.

1 3

( x ? 3) 2 ? 2 ?

1 3

x 2 ? 2x ? 5.

16.B. 17.D. 18.(1)y=(x+3)2+1,顶点(-3,1),直线 x=-3,最小值为 1.

81 5 81 5 81 , 顶点 (? , ), 直线 x ? ? , 最大值为 ? 4 8 8 4 8 1 1 1 1 1 1 (3) y ? 3( x ? ) 2 ? , 顶点 (? ,? ), 直线 x ? ? , 最小值为 ? ? 3 3 3 3 3 3
2 (2) y ? ?2( x ? ) ?

5 4

(4)y=-3(x-1)2+1,顶点(1,1),直线 x=1,最大值为 1. (5)y=-5x2+100,顶点(0,100),直线 x=0,最大值为 100.
2 (6) y ? 2( x ? ) ?

3 4

3 ? 25 25 3 25 , 顶点 ( , ), 直线 x ? , 最小值为 ? ? 4 8 8 4 8

19.(1) a ?

1 , h ? 1, k ? ?5; 2

(2)开口向上,直线 x=1,顶点坐标(1,-5). 测试 3

b 2 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ) ? , (? , ). 1. y ? a( x ? 4a 4a 2a 2a x??
3 4

b b 4ac ? b 2 b b ,x ? ? , ,x ? ? ,x ? ? ? 4a 2a 2a 2a 2a

2. ( ,?

49 5 3 3 49 3 (?1,0), (0,?5), x ? , x ? ? ), , 小, ? , ( ,0)、 8 2 4 4 8 4

3.(-1,4),(-3,0)、(1,0),(0,3). 4.y=(x-2)2+1,低,(2,1). 5.-2,-7,x≥-2, x ? ?2 ? 7 . 6.±2. 7.右,3,上,4. 8.D. 9.B. 10.B. 11.C. 追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

12.(1)y=2(x+1)2-8; (2)开口向上,直线 x=-1,顶点(-1,-8); (3)与 x 轴交点(-3,0)(1,0),与 y 轴交点(0,-6); (4)图略; (5)将抛物线 y=x2 向左平移 1 个单位, 向下平移 8 个单位; 得到 y=2x2+4x-6 的图象; (6)x≤-1; (7)当 x<-3 或 x>1 时,y>0;当 x=-3 或 x=1 时,y=0; 当-3<x<1 时,y<0; (8)x=-1 时,y 最小值=-8; (9)-8≤y<10; (10)S△=12. 13.(1)b=c=0;(2)c=0;(3)b=0;(4)b2-4ac=0. 14.原. 15.2,y=2x2-3x. 16.4. 17.-1. 18.1. 19.一、二、三. 20.C. 21.B. 22.D. 23.B. 24.C. 25.B. 26.C. 27.(1)k=0;(2)k=-2. 28. ①y ? ?

1 ( x ? 1) 2 ? 2, 顶点(1,2),直线 x=1; 2

②x≥1,x<1; ③x=1,y 最大=2; ④-1<x<3 时,y>0;x<-1 或 x>3 时 y<0;x=-1 或 x=3 时,y=0;

⑤?

5 ? y ? 2. 2

29.(1)y1=-x2+2x+3,y2=3x+1. (2)①当-2<x<1 时,y1>y2. ②当 x=-2 或 x=1 时,y1=y2. ③当 x<-2 或 x>1 时 y1<y2. 30.①,④. 测试 4 1.①y=ax +bx+c(a≠0); ②y=a(x-h)2+k(a≠0); ③y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2. ? 2 . 4.(1)x=-1; (3)x≤-1; 5. y ? ? 3. (
2

11 ,0). 2

(2)y=x2+2x-3; (4)x<-3 或 x>1,x=-3 或 x=1,-3<x<1. 6. y ? ?

1 2 1 x ? x ? 4. 2 2

4 2 8 x ? x ? 4. 3 3

7.y=-2(x-2)2+4 即 y=-2x2+8x-4. 8.y=x2-2x-3,点 B(0,3)不在图象上. 9. y ? ?

1 2 x ? x. 12

10.y=x2+4x+2. 12.y=x2-2x-3. 14. y1 ?

11.y=-x2+4x. 13.y=-2x2+4x+4.

1 2 5 x ? 3 x ? , y 2 ? 2 x ? 4. 2 2

追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

15.A. 16.B. 17.解:(1)由旋转的性质可知: OC=OA=2,OD=OB=4. ∴C、D 两点的坐标分别是 C(-2,0),D(0,4). (2)设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c.

?16a ? 4b ? c ? 0, ? 根据题意,得 ?4a ? 2b ? c ? 0, ?c ? 4. ?
∴所求抛物线的解析式为 y ? ?

1 ? a ? ? , ? 2 ? 解得 ?b ? 1, ?c ? 4. ? ?

1 2 x ? x ? 4. 2 1 2 1 9 x ? x ? 4 ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 2

(3)如图, △PMB 是钝角三角形, 图中, PH 是抛物线 y ? ? 的对称轴. M、P 点的坐标分别为 M (2,1), P (1, ). ∴点 M 在 PH 的右侧, ∵∠PHB=90°,∠1>90°,∠PMB>∠1, ∴∠PMB>90°,则△PMB 为钝角三角形. 测试 5
9 1.≥0,y=a(x-x1)(x-x2). 2. ? 4 1 3. m ? ? 且 m≠0. 4.0. 5.(-1,0). 6.一. 3

9 2

7.D. 8.B. 9.C. 10.D. 11.y=2x2+2x-4. 18 66 2 12. y ? ? x 2 ? x ? 4 或 y=2x +2x-4. 5 5
8 13.4,(1,9). 14. ? 9

15.C. 16.A. 17.C. 18.D. 19.B. 20.A. 21.(1)开口向下,顶点(1,2),(2)③. 22. m ?

1 ? 2

1 23.由 x2-x-m=0(1)当?=1+4m≥0,即 m ? ? 时两线有公共点. 4

(2)当?=1+4m<0,即 m ? ?

1 时两线无公共点. 4

24.(1)??=(m+2)2>0,∴m≠-2; (2)m=-1,∴y=-x2+5x-6. 测试 6 1.y=-x +3x(0<x<3)图略. 2.5 小时.
2

追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

3.(1) y ? ?

1 2 x ? x ? 1. 12

(2)17 米.

4.(1)设花圃的宽 AB=x 米,知 BC 应为(24-3x)米,故面积 y 与 x 的关系式为 y=x(24-3x)=-3x2+24x. 当 y=45 时,-3x2+24x=45,解出 x1=3,x2=5. 当 x2=3 时,BC=24-3?3>10,不合题意,舍去; 当 x2=5 时,BC=24-3?5=9,符合题意. 故 AB 长为 5 米. (2)能围成面积比 45m2 更大的矩形花圃. 由(1)知,y=-3x2+24x=-3(x-4)2+48.

? 0 ? 24 ? 3x ? 10 ,?

14 ? x ? 8. 3

由抛物线 y=-3(x-4)2+48 知,在对称轴 x<4 的左侧,y 随 x 的增大而增大,当 x>4 时,y 随 x 的增大而减小.

14 2 2 14 2 时, y=-3 (x-4)2+48 有最大值, 且最大值为 48 ? 3( ? 4) ? 46 ( m ), 3 3 3 14 14 m, BC=10m,即围成长为 10 米,宽为 米的矩形 ABCD 花圃时,其 此时, AB ? 3 3 2 2 最大面积为 46 m . 3
∴当 x ? 5.(1)y=-3x2+252x-4860; (2)当 x=42 时,最大利润为 432 元. 6.解:(1)由题意得 y=(80+x)(384-4x)=-4x2+64x+30720. (2)∵y=-4x2+64x+30720=-4(x-8)2+30976, ∴当 x=8 时,y 有最大值,为 30976. 即增加 8 台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量为 30976 件. 7.解:(1)设 s 与 t 的函数关系式为 x=at2+bt+c,图象上三点坐标分别为 (1,-1.5),(2,-2),(5,2.5).分别代入,得

?a ? b ? c ? ?1.5, ? ? ?4a ? 2b ? c ? ?2, ?25a ? 5b ? c ? 2.5. ?

1 ? ?a ? 2 , ? 1 2 解得 ?b ? ?2, ? s ? t ? 2t. 2 ?c ? 0. ? ?
(2)把 s=30 代入 s ?

1 2 t ? 2t , 2

解得 t1=10,t2=-6(舍去). 即截止到 10 月末,公司累积利润可达到 30 万元.

追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

(3)把 t=7 代入 s ?

1 2 t ? 2t , 2 1 2 t ? 2t , 2

得 7 月末的累积利润为 s7=10.5(万元). 把 t=8 代入 s ?

得 8 月末的累积利润为 s8=16(万元). ∴s8-s7=16-10.5=5.5(万元). 即第 8 个月公司获利润 5.5 万元. 2 8.(1)y=x -2x-3; (2)AD⊥BC; (3)存在,M1(1,-2),N1(4,-3).或 M2(0,-3),N2(3,-4). 测试 7 1. m ?

1 ? 2.向下,x=1. 3.(2,-9). 2
2 5.-2,(1,0)、(2,0). 6. y ? 2( x ? ) ?

4.2,小,-7. 7.(1) x ?

3 2

1 ? 2

3 3 ; (2)y=x2-3x-4;(3) x ? ; (4)x<-1 或 x>4. 2 2
(2)m=4; (3) m ?
3 ? 2

8.(1)m=14 或 2;

9.D. 10.C. 11.C. 12.C. 13.C. 14.D. 15.(1)开口向下; (2)上方; (3)右侧; (4)有, ( 16. y ? ?

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ,0), ( ,0). 2a 2a

(5)略.

1 2 4 5 x ? x? ? 3 3 3

17.y=x2+2x-3.
1 3 7 3 x ? 或 y ? x2 ? x ? ? 2 2 2 2 19.作 CE⊥x 轴于 E,设 CE=x 千米. ∵∠CAB=45°,∴CE=AE=x,在 Rt△BCE 中,

18. y ? x 2 ?

??CBA ? 30? ,? EB ? 3CE ? 3x, AB=AE+EB,
即 1 ? 3 ? x ? 3x, 解得 x=1,∴OE=OA+AE=2+1=3. 由 C(3,1),D(4,0),O(0,0), 设 y=a(x-4)(x-0),把(3,1)代入上式:
2 1=a(3-4)(3-0),解得 a ? ? ,? y ? ? ( x ? 4)( x ? 0)( 0 ? x ? 4), 即 y ? ? ( x ? 2)

1 3

1 3

1 3

?

4 4 ,抛物线对称轴:x=2,炮弹运行最高点时距地面高度是 千米. 3 3

1 1 2 10 20. y1 ? ? x 2 ? , y 2 ? x 2 ? 4x ? ? 3 3 3 3
追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

第二十六章

二次函数全章测试

一、填空题 1.抛物线 y=-x2+15 有最______点,其坐标是______. 2.若抛物线 y=x2-2x-2 的顶点为 A,与 y 轴的交点为 B,则过 A,B 两点的直线的解 析式为____________. 3.若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与抛物线 y=x2-4x+3 的图象关于 y 轴对称, 则函数 y=ax2+bx+c 的解析式为______. 4.若抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A,与 x 轴正半轴交于 B,C 两点,且 BC=2, S△ABC=3,则 b=______. 5.二次函数 y=x2-6x+c 的图象的顶点与原点的距离为 5,则 c=______.

1 2 x ? 2 x ? 2 的图象在坐标平面内绕顶点旋转 180°,再向左平移 3 个 2 单位,向上平移 5 个单位后图象对应的二次函数解析式为____________. 二、选择题 1 5 7.把二次函数 y ? x 2 ? 3x ? 的图象向右平移 2 个单位后,再向上平移 3 个单位,所 2 2 得的函数图象顶点是( ) A.(-5,1) B.(1,-5) C.(-1,1) D.(-1,3) 8.若点(2,5),(4,5)在抛物线 y=ax2+bx+c 上,则它的对称轴是( )
6.二次函数 y ? A. x ? ?

b a

B.x=1

C.x=2

D.x=3 )

9.已知函数 y ?

1 2 x ? x ? 4 ,当函数值 y 随 x 的增大而减小时,x 的取值范围是( 2
)

A.x<1 B.x>1 C.x>-2 D.-2<x<4 2 10.二次函数 y=a(x+k) +k,当 k 取不同的实数值时,图象顶点所在的直线是( A.y=x B.x 轴 C.y=-x D.y 轴 11.图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( )

A.h=m B.k>n C.k=n D.h>0,k>0 2 12.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0;②a +b+c=2; ③a ?

1 ;④b<1.其中正确的结论是( 2

)

追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 13.下列命题中,正确的是( ) ①若 a+b+c=0,则 b2-4ac<0; ②若 b=2a+3c,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根; ③若 b2-4ac>0,则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3; ④若 b>a+c,则一元二次方程 ax2+bx+c=0,有两个不相等的实数根. A.②④ B.①③ C.②③ D.③④ 三、解答题 14.把二次函数 y ?

1 2 2 x ? 3x ? 4 配方成 y=a(x-k) +h 的形式,并求出它的图象的顶 2 点坐标、对称轴方程,y<0 时 x 的取值范围,并画出图象.

3 15. 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过一次函数 y ? ? x ? 3 的图象与 x 轴、 2 y 轴的交点,并也经过(1,1)点.求这个二次函数解析式,并求 x 为何值时,有最 大(最小)值,这个值是什么?

16. 已知抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A(m, 0), B(n, 0), 且m?n ? 4,

m 1 ? ? n 3
(1)求此抛物线的解析式; (2)设此抛物线与 y 轴的交点为 C, 过 C 作一条平行 x 轴的直线交抛物线于另一点 P, 求△ACP 的面积. 追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

17.已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1,0),且经过直线 y=x-3 与 x 轴的交点 B 及与 y 轴的交点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标; (3)若点 M 在第四象限内的抛物线上,且 OM⊥BC,垂足为 D,求点 M 的坐标.

18. 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售, 对三月份至七月份该商品的售价和 生产进行了调研, 结果如下: 一件商品的售价 M(元)与时间 t(月)的关系可用一条线 段上的点来表示(如图甲),一件商品的成本 Q(元)与时间 t(月)的关系可用一条抛物 线上的点来表示,其中 6 月份成本最高(如图乙). 根据图象提供的信息解答下面问题:

(1)一件商品在 3 月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-成本) (2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本 Q(元)与时间 t(月)之间的函数关系式; (3)你能求出 3 月份至 7 月份一件商品的利润 W(元)与时间 t(月)之间的函数关系式 吗?若该公司能在一个月内售出此种商品 30000 件,请你计算该公司在一个月内 最少获利多少元?

四、附加题 19.如图甲,Rt△PMN 中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形 ABCD 的长和宽分 别为 8cm 和 2cm,C 点和 M 点重合,BC 和 MN 在一条直线上,令 Rt△PMN 不动, 矩形 ABCD 沿 MN 所在直线向右以每秒 1cm 的速度移动(如图乙),直到 C 点与 N 点重合为止.设移动 x 秒后,矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为 ycm2.求 y 与 x 之间的函数关系式.

追求卓越,挑战极限,从绝望中寻找希望,人生终将辉煌!

答案与提示
第二十六章
5.c=5 或 13. 6. y ? ?

二次函数全章测试
4.b=-4.

1.高,(0,15). 2.y=-x-2. 3.y=x2+4x+3.

1 2 1 x ?x? ? 2 2 7.C. 8.D. 9.A. 10.C. 11.C. 12.B. 13.C. 1 21 1 14. y ? ( x ? 3) ? 顶点坐标 (3,? ) ,对称轴方程 x=3,当 y<0 时,2<x<4, 2 2 2 图略.

1 2 5 1 5 x ? x ? 3, 当 x ? 时, y最小值 ? ? ? 2 8 2 2 m 1 16.(1)由 m ? n ? 4, ? 得 m=1,n=3.∴y=-x2+4x-3; n 3
15. y ? (2)S△ACP=6. 17.(1)直线 y=x-3 与坐标轴的交点坐标分别为 B(3,0),C(0,-3),以 A、B、C

?a ? b ? c ? 0, ? 三点的坐标分别代入抛物线 y=ax +bx+c 中,得 ?9 a ? 3b ? c ? 0, 解 ?c ? ?3, ?
2

?a ? 1, ? 得 ?b ? ?2, ?c ? ? 3 . ?
∴所求抛物线的解析式是 y=x2-2x-3. (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-4). (3)经过原点且与直线 y=x-3 垂直的直线 OM 的方程为 y=-x,设 M(x,-x), 因为 M 点在抛物线上,∴x2-2x-3=-x.

? 1 ? 13 , ?x ? ? 2 ? ? y ? ? 1 ? 13 ? ? 2 ?
因点 M 在第四象限,取 x ?

1 ? 13 , 2

?M (

1 ? 13 1 ? 13 ,? ). 2 2

18.解:(1)一件商品在 3 月份出售时利润为:6-1=5(元). (2)由图象可知,一件商品的成本 Q(元)是时间 t(月)的二次函数,由图象可知, 抛物线的顶点为(6,4), ∴可设 Q=a(t-6)2+4. 又∵图象过点(3,1),

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1 ∴1=a(3-6)2+4,解之 a ? ? ? 3

1 1 ? Q ? ? (t ? 6) 2 ? 4 ? ? t 2 ? 4t ? 8, 由题知 t=3,4,5,6,7. 3 3
(3)由图象可知,M(元)是 t(月)的一次函数, ∴可设 M=kt+b. ∵点(3,6),(6,8)在直线上,

2 ? ?3k ? b ? 6, ?k ? , 解之 ? ?? 3 ?6k ? b ? 8. ? b ? 4 . ?
2 ? M ? t ? 4. 3 ?W ? M ? Q ? 2 1 t ? 4 ? (? t 2 ? 4t ? 8) 3 3

1 10 ? t 2 ? t ? 12 3 3 1 11 ? (t ? 5) 2 ? 3 3
其中 t=3,4,5,6,7. ∴当 t=5 时, W最小值 ?

11 元 3

11 ? 30000? 110000元. 3 19.解:在 Rt△PMN 中,∵PM=PN,∠P=90°, ∴∠PMN=∠PNM=45°.延长 AD 分别交 PM、PN 于点 G、H,过 G 作 GF⊥MN 于 F,过 H 作 HT⊥MN 于 T. ∵DC=2cm,∴MF=GF=2cm,TN=HT=2cm. ∵MN=8cm, ∴MT=6cm,因此,矩形 ABCD 以每秒 1cm 的速度由开始向右移动到停止,和 Rt△PMN 重叠部分的形状,可分为下列三种情况: (1)当 C 点由 M 点运动到 F 点的过程中(0≤x≤2), 如图①所示, 设 CD 与 PM 交于点 E, 则重叠部分图形是 Rt△MCE,且 MC=EC=x,
∴该公司在一月份内最少获利

?y ?

1 1 MC ? EC ,即 y ? x 2 (0 ? x ? 2); 2 2

图① (2)当 C 点由 F 点运动到 T 点的过程中(2<x≤6),如图②所示,重叠部分图形是直角梯 形 MCDG.

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图② ∵MC=x,MF=2, ∴FC=DG=x-2,且 DC=2,

?y ?

1 ( MC ? GD ) ? DC ? 2 x ? 2(2 ? x ? 6); 2

(3)当 C 点由 T 点运动到 N 点的过程中(6<x≤8),如图③所示,设 CD 与 PN 交于点 Q, 则重叠部分图形是五边形 MCQHG.

图③ ∵MC=x,∴CN=CQ=8-x,且 DC=2,

1 1 1 ? y ? ( MN ? GH ) ? DC ? CN ? CQ ? ? ( x ? 8) 2 ? 12(6 ? x ? 8). 2 2 2

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