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第六章第1讲不等关系与不等式(教师版)


第 1 讲 不等关系与不等式 1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc,a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).

1. 若 a<b<0,则下列不等式不成立的是( 1 1 1 1 A. > B. > a b a-b a

) C.|a|>|b| D.a2>b2 1 1 > 不成立. a-b a

A [解析] 由 a<b<0,可用特殊值法,取 a=-2,b=-1,则

2. 设 A=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则 A 与 B 的大小为( ) A.A≥B B.A>B C.A≤B D.A<B B [解析] A-B=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,所以 A>B.故选 B. 3. 若 a>b,则下列不等式一定成立的是( ) c2 c2 c2 c2 2 2 A.ac >bc B. < C.ac2≥bc2 D. ≤ a b a b C [解析] 当 c=0 时,A、B 错误;当 a>0,b<0 时,D 错误,故选 C. 4. 下列四个结论,正确的是( ) 1 1 3 3 ①a>b,c<d?a-c>b-d;②a>b>0,c<d<0?ac>bd;③a>b>0? a> b;④a>b>0? 2> 2. a b A.①② B.②③ C.①④ D.①③ D [解析] 对于①,因为 a>b,c<d,所以-c>-d,所以 a-c>b-d. 3 3 对于③,a>b>0,则 a> b>0. 5. 若不等式-x2+2x+m>0 的解集是?,则实数 m 的取值范围为( ) A.m≤-1 B.m≥-1 C.m≤1 D.m≥1 A [解析] -x2+2x+m>0,即为 x2-2x-m<0.由题意得 Δ=(-2)2-4×1×(-m)≤0, 即 4+4m≤0,所以 m≤-1.故选 A. 不等式的性质 (1)已知 a,b,c,d 为实数,则“a>b 且 c>d”是“ac+bd>bc+ad”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ab<b2 中,正确的不等式有( ) a b A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 【解析】 (1)因为 c>d,所以 c-d>0.又 a>b,所以两边同时乘以(c-d),得 a(c-d)>b(c-d),即 ac +bd>bc+ad.若 ac+bd>bc+ad,则 a(c-d)>b(c-d),也可能 a<b 且 c<d,所以“a>b 且 c>d”是“ac+ bd>bc+ad”的充分不必要条件.
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1 1 (2)因为 < <0,所以 b<a<0,a+b<0,ab>0,所以 a+b<ab,|a|<|b|,在 b<a 两边同时乘以 b,因为 a b b<0,所以 ab<b2.因此正确的是①④. 【答案】 (1)A (2)C [通关练习] 1.已知 a<b<c 且 a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是( ) A.a2<b2<c2 B.a|b|<c|b| C.ba<ca D.ca<cb D [解析] 因为 a<b<c 且 a+b+c=0,所以 a<0,c>0,b 的符号不定,对于 b>a,两边同时乘以 正数 c,不等号方向不变. a b 2.若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中,成 d c 立 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C [解析] 因为 a>0>b,c<d<0,所以 ad<0,bc>0,所以 ad<bc,故①错误.因为 a>0>b>-a,所 a b ac+bd 以 a>-b>0,因为 c<d<0,所以-c>-d>0,所以 a(-c)>(-b)(-d),所以 ac+bd<0,所以 + = d c cd <0,故②正确.因为 c<d,所以-c>-d,因为 a>b,所以 a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,故③正确. 因为 a>b,d-c>0,所以 a(d-c)>b(d-c),故④正确,故选 C. 比较两个数(式)的大小 (1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 ln 2 ln 3 (2)若 a= ,b= ,则 a________b(填“>”或“<”). 2 3 【解析】 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1), 又因为 a1∈(0, 1), a2∈(0, 1), 所以 a1-1<0, a2-1<0.所以(a1-1)(a2-1)>0, 即 M-N>0.所以 M>N. b 2ln 3 (2)易知 a,b 都是正数, = =log89>1,所以 b>a. a 3ln 2 【答案】 (1)B (2)< [通关练习] 1.对于 0<a<1,给出下列四个不等式: 1? 1? 1 1 + + ①loga(1+a)<loga? ②loga(1+a)>loga? ③a1 a<a1+ ; ④a1 a>a1+ .其中成立的是( ) ?1+a?; ?1+a?; a a A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ 1? (a+1)(a-1) 1 D [解析]当 0<a<1 时,(1+a)-? <0,则 1+a<1+ ,因此②④成立,故选 D. ?1+a?= a a b + m b 2.设 a>b>0,m>0.试比较 与 的大小. a a+m b b+m (b-a)m [解] 因为 - = ,a>b>0,m>0.所以 a(a+m)>0,(b-a)m<0. a a+m a(a+m) (b-a)m b b+m b b+m 所以 <0,即 - <0,所以 < . a a+m a a+m a(a+m) 不等式的恒成立问题(高频考点) (1)若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x 都成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-2,2] B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2] (2)设 f(x)=mx2-mx-1, 若 f(x)<-m+5, 对于 x∈[1, 3]上恒成立, 则实数 m 的取值范围为________. 【解析】 (1)原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0, ①当 m=2 时,对任意 x 不等式都成立;②当 m-2<0 时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0, 所以-2<m<2,综合①②,得 m∈(-2,2].选 A. 1 2 3 x- ? + m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. (2)法一:要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,即 m? ? 2? 4
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1 2 3 x- ? + m-6,x∈[1,3]. 令 g(x)=m? ? 2? 4 6 6 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以 m< ,所以 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以 g(x)max=g(1)=m-6<0,所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述,m 的取值范围是{m|m< }. 7 法二:要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,即 m(x2-x+1)-6<0 在[1,3]上恒成立. 1 2 3 6 x- ? + >0,又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 2 因为 x2-x+1=? . ? 2? 4 x -x+1 6 6 6 6 因为函数 y= 2 = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 2 7 7 1 x -x+1 ? 3 x- ? + ? 2? 4 6 所以,m 的取值范围是{m|m< }. 7 6 【答案】 (1)A (2)(-∞, ) 7 [题点通关] 角度一 由 f(x)≥0(x∈R)恒成立,求参数的取值范围 1.若不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5] 2 2 2 2 A [解析] x -2x+5=(x-1) +4 的最小值为 4,所以 x -2x+5≥a -3a 对任意实数 x 恒成立, 只需 a2-3a≤4 即可,解得-1≤a≤4. 角度二 由 f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立,求参数的取值范围 x2+2x+a 2.函数 f(x)= 对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. x x2+2x+a [解析] 因为 x∈[1,+∞)时,f(x)= >0 恒成立,即 x2+2x+a>0 恒成立.即当 x≥1 时,a> x -(x2+2x)恒成立.设 g(x)=-(x2+2x),而 g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上单调递减,所 以 g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3.所以,实数 a 的取值范围是(-3,+∞). [答案] (-3,+∞) 角度三 由 f(x)≥0(m∈[a,b])恒成立,求 x 的取值范围 3.已知 a∈[-1,1]时,不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( ) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) C [解析] 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立,易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0,且 f(1)=x2-3x+2>0 即可,联立不等 式解得 x<1 或 x>3. ——特值法判断不等式 若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b a b A. > B. < d c d c ) a b C. > c d

a b D. < c d 1 1 a b 【解析】 法一:因为 c<d<0,所以-c>-d>0,所以 > >0.又 a>b>0,所以 > , -d -c -d -c a b 所以 < .故选 B. d c 法二: c<d<0?cd>0? ? c<d<0
?? < <0? ? cd cd ?

c

d

-1 -1 1 1 ? -a -b a b < <0? > >0 ? d c d c ? ? d > c ?d<c. ? a>b>0?
3

a b 法三:令 a=3,b=2,c=-3,d=-2,则 =-1, =-1,排除选项 C,D; c d a 3 b 2 a b 又 =- , =- ,所以 < ,所以选项 A 错误,选项 B 正确.故选 B. d 2 c 3 d c 【答案】 B 下列四个命题中正确命题的个数为( ) ①若 a>|b|,则 a2>b2;②若 a>b,c>d,则 a-c>b-d; c c ③若 a>b,c>d,则 ac>bd;④若 a>b>0,则 > . a b A.3 B.2 C.1 D.0 C [解析] 易知①正确;②错误,如 3>2,-1>-3,而 3-(-1)=4<2-(-3)=5;③错误,如 1 1 c c 3>1,-2>-3,而 3×(-2)<1×(-3);④若 a>b>0,则 < ,当 c>0 时, < ,故④错误.所以正确的命 a b a b 题只有 1 个.

1.设 a,b∈[0,+∞),A= a+ b,B= a+b,则 A,B 的大小关系是( ) A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B B [解析] 由题意得,B2-A2=-2 ab≤0,且 A≥0,B≥0,可得 A≥B. 2.若 m<0,n>0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是( ) A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<n C.m<-n<-m<n D.m<-n<n<-m D [解析] 法一:(取特殊值法)令 m=-3,n=2 分别代入各选项检验即可. 法二:m+n<0?m<-n?n<-m,又由于 m<0<n,故 m<-n<n<-m 成立. 3.已知 a,b,c∈R,则下列命题正确的是( ) ? 1 1 ? 1 1 a> b ? a>b ? a b ?? > ?? > A.a>b?ac2>bc2 B. > ?a>b C. D. c c ab<0? ab>0? ? a b ? a b C [解析] 当 c=0 时,ac2=0,bc2=0,故由 a>b 不能得到 ac2>bc2,故 A 项错误;当 c<0 时, ? ?ab>0 ? ?ab<0 a b 1 1 b-a > ?a<b,故 B 项错误;因为 - = >0?? 或? ,故选项 D 错误,C 正确.故选 C. c c a b ab ?a<b ?a>b ? ? 1 1 4.若 < <0,则下列结论不正确的是( ) a b 2 2 2 A.a <b B.ab<b C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b| 1 1 2 2 D [解析] 由于 < <0,不妨令 a=-1,b=-2,可得 a <b ,故 A 正确.ab=2,b2=4,故 B 正确. a b a+b=-3<0,故 C 正确.|a|+|b|=3,|a+b|=3,|a|+|b|=|a+b|,所以 D 不正确.故选 D. 5.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则实数 y 的取值范 1 3? 3 1? 围是( ) A.? B.? C.(-1,1) D.(0,2) ?-2,2? ?-2,2? A [解析] 由题意,知(x-y)*(x+y)=(x-y)· [1-(x+y)]<1 对一切实数 x 恒成立,所以-x2+x+y2 1 3 -y-1<0 对于 x∈R 恒成立.故 Δ=12-4×(-1)×(y2-y-1)<0,所以 4y2-4y-3<0,解得- <y< . 2 2 6.若关于 x 的不等式 x2+mx-4≥0 在区间[1,4]上有解,则实数 m 的最小值是( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 4 4 B [解析] 由题知, 原不等式等价于 m≥ -x 在区间[1, 4]上有解, 令 f(x)= -x(x∈[1, 4]), 则 m≥f(x)min. x x 4 因为 f(x)= -x 在区间[1,4]上单调递减,所以 f(x)在 x=4 处取得最小值-3.故 m 的最小值为-3. x 7.若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. [解析] 作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)· (b1-b2),因为 a1<a2,b1<b2, 所以(a1-a2)(b1-b2)>0,即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. [答案] a1b1+a2b2>a1b2+a2b1
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a b 1 1 8.设 a>b,有下列不等式① 2> 2;② < ;③|a|>|b|;④a|c|≥b|c|,则一定成立的有________.(填正确序 c c a b 号) 1 [解析] 对于①, 2>0,故①成立;对于②,a>0,b<0 时不成立;对于③,取 a=1,b=-2 时不成 c 立;对于④,|c|≥0,故④成立. [答案] ①④ π 9.若角 α,β 满足- <α <β <π ,则 α-β 的取值范围是________. 2 π π π 3π 3π [解析] 因为- <α<π,- <β<π,所以-π<-β< ,所以- <α-β< .又因为 α<β, 2 2 2 2 2 3π 所以 α-β<0,从而- <α-β<0. 2 3π [答案] ?- ,0? ? 2 ? 2-ax+x2 10.当且仅当 a∈(m,n)时, <3 对 x∈R 恒成立,则 m+n=________. 1-x+x2 2 [解析] 因为 1-x+x >0 恒成立, 所以原不等式等价于 2-ax+x2<3(1-x+x2), 即 2x2+(a-3)x+1>0 恒成立.所以 Δ=(a-3)2-8<0,3-2 2<a<3+2 2.依题意有 m=3-2 2,n=3+2 2,所以 m+n=6. [答案] 6 e e 11.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: > . (a-c)2 (b-d)2 [证明] 因为 c<d<0,所以-c>-d>0,又因为 a>b>0,所以 a-c>b-d>0.所以(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 e e 所以 0< < .又因为 e<0,所以 > . (a-c)2 (b-d)2 (a-c)2 (b-d)2 12.若-1<a+b<3,2<a-b<4,则 2a+3b 的取值范围为________. 5 x= , ? 2 x + y = 2 , ? 5 5 15 [解析] 设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则? 解得 又因为- < (a+b)< , 2 2 2 1 ?x-y=3, ? y=- . 2 1 9 5 1 13 9 13 -2<- (a-b)<-1,所以- < (a+b)- (a-b)< .即- <2a+3b< . 2 2 2 2 2 2 2 9 13 ? [答案] ? ?-2, 2 ? 1 0, ?恒成立,求 a 的最小值. 13.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈? ? 2? 1? ? 1? ? 1? ? 1? [解] 因为 x2+ax+1≥0 在? ?0,2?上恒成立,所以 a≥-?x+x?在?0,2?上恒成立.而 f(x)=-?x+x? 1? 5 ? 1? ?1? ? 1? ? 1? 在? ?0,2?上单调递增,所以 f(x)=-?x+x?≤f?2?=-2.a≥-?x+x?在?0,2?上恒成立,满足 a≥f(x)max 5 5 =- 即可,所以 a 的最小值为- . 2 2 2 14.求使不等式 x +(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围. [解] 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0. 令 f(a)=(x-3)a+x2-6x+9.因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立,所以 (1)若 x=3,则 f(a)=0,不符合题意,应舍去. 2 ? ?f(-1)>0, ? ?x -7x+12>0, (2)若 x≠3,则由一次函数的单调性,可得? 即? 2 ?f(1)>0, ?x -5x+6>0, ? ? 解得 x<2 或 x>4.所以 x 的取值范围是{x|x<2 或 x>4}.

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