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2013-2014学年人教A版高一数学必修三40分钟课时作业:2-2-19方差与标准差


第二章
统 计

2. 2

用样本估计总体

课时作业(19)

方差与标准差

作业 ①理解方差与标准差的意义.②掌握方差与标准差 目标 的求法,并能用方差与标准差估计总体特征 作业 设计 限时:40 分钟 满分:90 分

一、选择题:每小题 5 分,共 30 分. 1.奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先 去掉一个最高分, 再去掉一个最低分, 再计算剩下分数的平均值, 这是因为( ) B.避免故障 D.活跃赛场气氛

A.减少计算量 C.剔除异常值

解析:因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,记分过程 中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了 阻止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分 造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.
答案:C

2. 如果将一组数据中的每一个样本数据都加上同一个非零常 数,那么这组数据的( )

A.平均数与方差都不变 B.平均数不变,方差改变 C.平均数改变,方差不变 D.平均数和方差都改变

解析: 将一组数据中的每个样本数据都加上同一个非零常 数,导致数据总和发生了变化,因而样本平均数也发生了改变, 而样本数据加上同一个非零常数只能导致样本数据整体 “ 向同 一方向平移”,并没有改变每个个体与它们的平均数之间的偏离 程度,因此方差并没有发生变化.
答案:C

3.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的 平均值为 1,则样本方差为( A. C. 2 6 5 6 B.5 D.2 )

1 解析:由题意知5(a+0+1+2+3)=1,解得 a=-1,所以 1 样本方差为 s =5[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]
2

=2,故选 D.
答案:D

4.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样 本平均数分别为 x A 和 x B,样本标准差分别为 sA 和 sB,则( )

A. x A> x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB

B. x A< x B,sA>sB D. x A< x B,sA<sB

解析:由图易得 x A< x B,又 A 波动性大,B 波动性小,所以 sA>sB.
答案:B

5.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品 7 月份的每月市 场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关,并使其与前三个 月的市场收购价格之差的平方和最小,下表列出的是该产品今年 前 6 个月的市场收购价格: 月份 价格(元/担) 1 68 2 78 3 67 4 71 5 72 6 70 7

则前 7 个月该产品的市场收购价格的方差为( 75 A. 7 C.11 76 B. 7 78 D. 7

)

解析:设 7 月份的市场收购价格为 x,则 y=(x-71)2+(x- 72)2+(x-70)2=3x2-426x+15 125,则当 x=71 时,7 月份的市 场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.则 7 月份的市场收购价格为 71.则计算得前 7 个月该产品的市场收购 76 价格的平均数是 71,方差是 . 7
答案:B

6.(2012· 福州高一检测)某班的数学考试成绩的平均分为 70 分,方差为 s2.后来发现成绩记录有误,同学甲得 80 分却误记为 50 分,同学乙得 70 分却误记为 100 分,更正后计算得方差为 s2 1,
2 则 s2 与 s1 的大小关系是( 2 A.s2>s1

)
2 B.s2=s1

C.s2<s2 1

D.无法判断

解析: 根据方差的计算公式, s2 的算式中含有(50-70)2+(100
2 2 -70)2, s2 的算式中含有 (80 - 70) + (70 - 70) , 而两算式的其他部 1

分完全相同,故易知 s2>s2 1.
答案:A

二、填空题:每小题 5 分,共 15 分. 7.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6, 则该组数据的方差 s2=__________.

10+6+8+5+6 解析:5 个数据的平均数 x = =7,所以 s2= 5 1 ×[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=3.2. 5

答案:3.2

8.(2012· 青岛高一检测)某 5 人上班途中所花的时间(单位: 分钟)分别为 x, y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10, 方差为 2, 则 x2+y2 的值为__________.

?x+y+10+11+9 =10, ? 5 ? 解析:?1 2 2 2 [ ? x - 10 ? + ? y - 10 ? + ? 10 - 10 ? + ?5 ? 2 2 ??11-10? +?9-10? ]=2,
? ?x+y=20, 整理,得? 2 2 ? ?x +y -20?x+y?+192=0.

所以 x2+y2=208.
答案:208

9.甲、乙两人在相同条件下练习射击,每人打 5 发子弹,命 中环数如下: 甲 乙 6 10 8 7 9 7 9 7 8 9

则两人射击成绩的稳定程度是__________.

2 2 解析:∵ x 甲=8, x 乙=8,而 s甲 =1.2,s乙 =1.6, 2 s2 甲<s乙,∴甲稳定性强.

答案:甲比乙稳定

三、解答题:每小题 15 分,共 45 分. 10.甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检验质 量,各从中抽取 6 件测量,数据为: 甲:99 乙:99 100 100 98 102 100 99 100 100 103 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

1 解:(1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, 6 1 x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100. 6 1 s甲=6[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+
2

7 (100-100) +(103-100) ]=3,
2 2

1 s乙= [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+ 6
2

(100-100)2+(100-100)2]=1,

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,
2 又 s2 甲>s乙,

所以乙机床加工零件的质量更稳定.

11. 某学校高一甲班和高一乙班各有 49 名学生, 两班在一次 数学测试中的成绩统计如下: 班级 甲班 乙班 平均分 79 79 众数 70 70 中位数 87 79 标准差 19.8 5.2

(1)请你对下面的一段话给予简要分析; 甲班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分 为 79 分,得 70 分的人最多,我得 85 分,在班里算是上游了!” (2)请你根据表中的数据, 对这两个班的数学测验情况进行简 要分析,并提出建议.

解:(1)由于甲班 49 名学生数学测验成绩的中位数是 87,则 85 分排在全班第 25 名之后,所以从位次上看,不能说 85 分是上 游,成绩应该属于中游. 但也不能以位次来判断学习的好坏, 小刚得了 85 分, 说明他 对这段的学习内容掌握得较好,从掌握学习的内容上讲,也可以 说属于上游. (2)甲班成绩的中位数是 87 分,说明高于 87 分(含 87)的人数 占一半以上,而平均分为 79 分,标准差又很大,说明低分也多, 两极分化严重,建议加强对学习困难的学生的帮助.

乙班的中位数和平均数都是 79 分, 标准差又小, 说明学生之 间差别较小,学习很差的学生少,但学生优异的也少,建议采取 措施提高优秀率.

12. 现有 A, B 两个班级, 每个班级各有 45 名学生参加测验, 参加的每名学生可获得 0 分、1 分、2 分、3 分、4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、9 分这几种不同分值中的一种,A 班的测试结果 如下表所示: 分数(分) 人数(名) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2

B 班的成绩如图所示.

(1)你认为哪个班级的成绩比较稳定? (2)若两班共有 60 人及格,则参加者最少获得多少分才可能 及格?

解:(1)A 班成绩的平均数为: 1 x A = ×(0×1 + 1×3 + 2×5 + 3×7 + 4×6 + 5×8 + 6×6 + 45 7×4+8×3+9×2)≈4.53(分), 所以 A 班成绩的方差为: s2 A= 1 2 2 2 × [(0 - x A) + 3×(1 - x A) + 5×(2 - x A) + 7×(3 - x 45 x A)2 + 8×(5 - x A)2 + 6×(6 - x A)2 + 4×(7 - x A)2 +

2 A) + 6×4( -

3×(8- x A)2+2×(9- x A)2]≈4.96(分 2).

B 班成绩的平均数为: x
B

1 = ×(1×3 + 2×3 + 3×8 + 4×18 + 5×10 + 45

6×3)≈3.84(分), 所以 B 班成绩的方差为: s2 B= 1 ×[3×(1- x B)2 +3×(2- x B)2 + 8×(3 - x B)2 +18×(4 45

- x B)2+10×(5- x B)2+3×(6- x B)2]≈1.54(分 2).
2 因为 s2 > s A B,即 B 班成绩的方差较小,所以 B 班的成绩较为

稳定.

(2)由图表可知, 两个班级 1 分以下(含 1 分)的学生共有 7 人, 2 分以下(含 2 分)的学生共有 15 人, 3 分以下(含 3 分)的学生共有 30 人,4 分以下(含 4 分)的学生共有 54 人,5 分以下(含 5 分)的 学生共有 72 人. 因为两个班级及格的总人数为 60 人,而 4 分以下的共有 54 人, 5 分以下的共有 72 人, 所以参加者最少获得 4 分才可能及格.


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