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高一数学必修2章节训练题(3)


第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 倾斜角与斜率
基础达标
1.直线 l 过原点(0,0),且不过第三象限,那么 l 的倾斜角 α 的取值范围是 A.0°≤α ≤90° C.90°≤α <180°或 α=0° 解析 B.90°≤α <180° D.90°≤α ≤135° ( ).

3.1.1

斜角的取值范围为 0°≤α<180°,直线过原点且不过第三象限,切勿忽略 x 轴 C

和 y 轴.答案

2.(2012· 临沂一中期末)已知 l1⊥l2,直线 l1 的倾斜角为 60°,则直线 l2 的倾斜角为 ( A.60° 解析 B.120° C.30° ).

D.150°

当两直线互相垂直时,两直线的倾斜角相差 90°,由 l1 的倾斜角为 60°,知 l2 的倾 D ( ).

斜角为 150°.答案

3.斜率为 2 的直线经过点 A(3,5)、B(a,7)、C(-1,b)三点,则 a、b 的值为 A.a=4,b=0 C.a=4,b=-3 B.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3

解析

b-5 ?-1-3=2, ? ?kAC=2, 由题意,得? 即? 7-5 ?kAB=2, ?a-3=2. ? C

解得 a=4,b=-3.答案

4.如果过点(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m=________. 解析 由斜率公式知 4-m =1,解得 m=1.答案 m+2 1

5. (2012· 济南高一检测)若过 P(1-a, 1+a)和 Q(3, 2a)的直线的倾斜角为 0°, a=________. 则

解析

由题意得 1+a=2a,∴a=1.答案

1

6.直线 l 过点 A(1,2),且不过第四象限,则直线 l 的斜率的取值范围是________. 解析 如图,当直线 l 在 l1 位置时,k=tan 0°=0;当直线 l 在 l2 位

2-0 置时,k= =2.故直线 l 的斜率的取值范围是[0,2]. 1-0 答案 [0,2]

7.(1)已知直线 l1 的倾斜角为 α1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,直线 l1 和 l2 向上的方向之间所成的角为 120°,求直线 l2 的斜率 k2. (2)已知某直线 l 的倾斜角 α=45°,又 P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是此直线上的三点, 求 x2,y1 的值. 解 (1)设直线 l2 的倾斜角为 α2,如图所示,可知

α2=120°+α1=120°+15°=135°. ∴k2=tan α 2=tan 135°=-1. ∴直线 l2 的斜率为-1. (2)由 α=45°,故直线 l 的斜率 k=tan 45°=1, 5-y1 1-5 又 P1,P2,P3 都在此直线上,故 kP1P2=kP2P3=kl,即 = =1, x2-2 3-x2 解得 x2=7,y1=0.

能力提升
8.(2012· 温州高一检测)设直线 l 过原点,其倾斜角为 α,将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋 转 45°,得到直线 l1,则直线 l1 的倾斜角为 ( ).

A.α +45°B.α -135°C.135°-αD.当 0°≤α <135°时,为 α+45°;当 135° ≤α <180°时,为α -135° 解析 由倾斜角的取值范围知只有当 0°≤α+45°<180°,

即 0°≤α<135°时,l1 的倾斜角才是 α+45°; 而 0°≤α<180°,所以当 135°≤α<180°时, l1 的倾斜角为 α-135°(如图所示),故选 D.答案 D

9. 已知三点 A(1-a, -5), B(a, 2a), C(0, -a)共线, a=________. 则 解析 ①当过 A、B、C 三点的直线斜率不存在时,即 1-a=a=0,无解.

②当过 A,B,C 三点的直线斜率存在时,即 kAB=

2a-(-5) 2a-(-a) =kBC= , a-(1-a) a-0 2



2a+5 =3,解得 a=2.综上,A,B,C 三点共线,a 的值为 2.答案 2a-1

10.光线从点 A(2,1)射到 y 轴上的点 Q,经 y 轴反射后过点 B(4,3),试求点 Q 的坐标及入射 光线的斜率. 1-y 3-y 1-y 3-y 法一 设 Q(0,y),则由题意得 kQA=-kQB.∵kQA= 2 ,kQB= 4 ,∴ 2 =- 4 . 1-y 5? 5 1 ? 解得 y= ,即点 Q 的坐标为?0,3?,∴k 入=kQA= =- . 3 2 3 ? ? 解 法二 如图,点 B(4,3)关于 y 轴的对称点为 B′(-4,3),

kAB′=

1-3 1 =-3,由题意得,A、Q、B′三点共线. 2+4

1-y 1 1 从而入射光线的斜率为 kAQ=kAB′=-3.设 Q(0,y),则 k 入=kQA= 2 =-3. 5? 5 ? 解得 y=3,即点 Q 的坐标为?0,3?. ? ?

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定
基础达标

1.下列说法正确的个数为

(

).

①若两直线斜率相等,则两直线平行;②若 l1∥l2,则 k1=k2;③若两直线中有一条直线的 斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;④若两直线斜率都不存在,则两直 线平行. A.1 解析 B.2 C.3 D.4

当两直线斜率相等时,两直线平行或重合,故①错;②中 l1∥l2 时,也可能 l1,l2 的倾

斜角都为 90°,此时斜率均不存在;④同①也错;只有③正确.答案 2.已知 l1⊥l2,直线 l1 的倾斜角为 45°,则直线 l2 的倾斜角为 A.45° 解析 B.135° C.-45° D.120°

A ( ).

由 l1⊥l2 及 k1=tan 45°=1, B

知 l2 的斜率 k2=-1,∴l2 的倾斜角为 135°.答案

3.已知?ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点 D 的坐标为 ( A.(3,4) 解析 B.(4,3) C.(3,1) ). D.(3,8)

设 D(m,n),由题意得 AB∥DC,AD∥BC,则有 kAB=kDC,kAD=kBC,

3-n ?0-1=4-m, ?1-0 ?m=3, ∴? 解得? ,∴点 D 的坐标为(3,4).答案 n-1 3-0 ?n=4, ?m-0=4-1, ?

A

? 4 ? 4.已知直线 l1 经过点 A(0,-1)和点 B?-a,1?,直线 l2 经过点 M(1,1)和点 N(0,-2),若 l1 ? ? 与 l2 没有公共点,则实数 a 的值为________. 解析 由题意得 l1∥l2,∴kl1=kl2.∵kl1=kAB= -2-1 a =-2,kl2=kMN= =3, 4 0-1 -a 2

a ∴-2=3,∴a=-6.答案

-6

5.若不同两点 P、Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为 ________. 解析 由两点的斜率公式可得:kPQ= 3-a-b =1,所以线段 PQ 的垂直平分线的斜率为- 3-b-a

1.答案 -1 6. (2012· 济宁高一检测)若 A(-4, B(6, 2), -4), C(12, D(2, 则下面四个结论: 6), 12), ①AB∥CD, ②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确的序号是________. 解析 3 3 1 ∵kAB=-5,kCD=-5,kAC=4,kBD=-4,∴kAB=kCD,kAC·kBD=-1, ①④

∴AB∥CD,AC⊥BD.答案

7.已知直线 l1 经过 A(3,m),B(m-1,2),直线 l2 经过点 C(1,2),D(-2,m+2). (1)若 l1∥l2,求 m 的值;

(2)若 l1⊥l2,求 m 的值. 解 由题知直线 l2 的斜率存在且 k2= 2-(m+2) m =- 3 . 1-(-2)

2-m m (1)若 l1∥l2,则直线 l1 的斜率也存在,由 k1=k2,得 =- 3 ,解得 m=1 或 m=6, m-4 经检验,当 m=1 或 m=6 时,l1∥l2. (2)若 l1⊥l2. 当 k2=0 时,此时 m=0,l1 斜率存在,不符合题意; m 2-m 当 k2≠0 时, 直线 l2 的斜率存在且不为 0, 则直线 l1 的斜率也存在, k1?2=-1, 则 k 即- 3 ? m-4 =-1,解得 m=3 或 m=-4,所以 m=3 或 m=-4 时,l1⊥l2.

能力提升
8.已知 A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线 AB 与直线 CD 平行,则 m 的值为 A.1 解析 ( ). B.0 C.0 或 2 D.0 或 1

当 AB 与 CD 斜率均不存在时,m=0,此时 AB∥CD,当 kAB=kCD 时,m=1,此时 D

AB∥CD.答案

9.已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-2,-3),直线 l2 经过点 C(2,3)、D(-1,a-2),如果 l1⊥l2,则 a=________. 解析 当 k2=0 时,由两直线垂直知直线 l1 的斜率不存在,得 a=5.当 k2≠0 时,由 k1·k2 -6 或 5

=-1,得 a=-6.故 a 的值为-6 或 5.答案

10.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长 AD=5 m,宽 AB=3 m,其中一条小路定为 AC,另一条小路过点 D,问如何在 BC 上找到一点 M,使得两条小 路所在直线 AC 与 DM 相互垂直?



如图所示, 以点 B 为坐标原点, BC、 所在直线分别为 x 轴、 轴建立直角坐标系. BA y 由

AD=5,AB=3,可得 C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点 M 的坐标为(x,0),因为 AC⊥DM, 所以 kAC?kDM=-1,所以 3-0 3-0 16 ? =-1,即 x= 5 =3.2,即 BM=3.2 m 时,两条小路 0-5 5-x

所在直线 AC 与 DM 相互垂直.

3.2 3.2.1

直线的方程 直线的点斜式方程
基础达标

2 1.(2013· 潍坊高一检测)经过点(-1,1),斜率是直线 y= 2 x-2 的斜率的 2 倍的直线方程是 ( ). B.y=1 C.y-1= 2(x+1) D.y-1=2 2(x+1)

A.x=-1 解析

2 由方程知,已知直线的斜率为 2 ,∴所求直线的斜率是 2,由直线方程的点斜式可 C ( ).

得方程为 y-1= 2(x+1),∴选 C.答案 1 2.直线 y=ax+a的图象可能是

解析

根据点斜式方程,得其斜率与在 y 轴上的截距同号.答案

B

3.在同一直角坐标系中,表示直线 l1:y=k1x+b1 与 l2:y=k2x+b2(k1>k2,b1<b2)的图象可 能正确的是 ( ).

解析

在选项 B、C 中,b1>b2,不合题意;在选项 D 中,k1<k2,故 D 错.答案

A

2 4.过点(-5,1)且与直线 y-1=3(x+5)平行的直线的点斜式方程是________. 解析 2 ∵(-5,1)代入直线 y-1=3(x+5)成立,即点(-5,1)在直线 y-1= 不存在

2 2 3(x+5)上,∴过点(-5,1)与直线 y-1=3(x+5)平行的直线不存在.答案 5.直线 y=kx+2(k∈R)不过第三象限,则斜率 k 的取值范围是________. 解析

当 k=0 时,直线 y=2 不过第三象限;当 k>0 时,直线过第三象限; (-∞,0]

第 k<0 时,直线不过第三象限.答案

6.直线 y=ax-3a+2(a∈R)必过定点________. 解析 y=a(x-3)+2,即 y-2=a(x-3)∴直线过定点(3,2).答案 (3,2)

3 7.直线 l1 过点 P(-1,2),斜率为- 3 ,把 l1 绕点 P 按顺时针方向旋转 30°角得直线 l2,求 直线 l1 和 l2 的方程. 解 3 直线 l1 的方程是 y-2=- 3 (x+1).

即 3x+3y-6+ 3=0. 3 ∵k1=- 3 =tan α 1,∴α 1=150°. 如图,l1 绕点 P 按顺时针方向旋转 30°,得到直线 l2 的倾斜角 为 α2=150°-30°=120°,∴k2=tan 120°=- 3, ∴l2 的方程为 y-2=- 3(x+1),即 3x+y-2+ 3=0.

能力提升
8.在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是 ( ).

解析

法一 (1)当 a>0 时,直线 y=ax 的倾斜角为锐角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距 a

>0,A,B,C,D 都不成立; (2)当 a=0 时,直线 y=ax 的倾斜角为 0°,所以 A,B,C,D 都不成立; (3)当 a<0 时,直线 y=ax 的倾斜角为钝角且过原点,直线 y=x+a 的倾斜角为锐角,且在 y 轴上的截距 a<0.C 项正确. 法二 (排除法)A 选项中:直线 y=ax 的倾斜角为锐角,所以 a>0,而直线 y=x+a 在 y 轴 C

上的截距 a<0,所以不满足.同理可排除 B,D,从而得 C 正确.答案

9.直线 y=x+1 绕着其上一点 P(3,4)逆时针旋转 90°后得直线 l,则直线 l 的点斜式方程为 ________. 解析 由题意可知,直线 l 与直线 y=x+1 垂直且过点 P(3,4),∴kl=-1, y-4=-(x-3)

直线 l 的方程为 y-4=-1?(x-3).答案

10.等腰△ABC 的顶点 A(-1,2),AC 的斜率为 3,点 B(-3,2),求直线 AC、BC 及∠A 的 平分线所在直线的方程. 解 直线 AC 的方程:y= 3x+2+ 3.∵AB∥x 轴,AC 的倾斜角为 60°,

3 ∴BC 的倾斜角为 30°或 120°.当 α=30°时,BC 方程为 y= 3 x+2+ 3, ∠A 平分线倾斜角为 120°,∴所在直线方程为 y=- 3x+2- 3. 当 α=120°时,BC 方程为 y=- 3x+2-3 3 3 3 ∴所在直线方程为 y= 3 x+2+ 3 . ∠A 平分线倾斜角为 30°,

3.2.2

直线的两点式方程

基础达标
1.点 M(4,m)关于点 N(n,-3)的对称点为 P(6,-9),则 A.m=-3,n=10 C.m=-3,n=5 解析 B.m=3,n=10 D.m=3,n=5 D ). ( ).

4+6 m+(-9) 由对称关系 n= 2 ,-3= ,可得 m=3,n=5.答案 2 x y 2.直线a+b=1 过一、二、三象限,则 ( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 解析 B.a>0,b<0 D.a<0,b<0 C (

因为直线过一、二、三象限,据图形可知 a<0,b>0.答案

3.过点 A(1,4)且在 x 轴,y 轴上的截距的绝对值相等的直线条数有 A.1 解析 B.2 C.3 D.4

).

当直线经过原点时,横、纵截距都为 0,符合题意.当直线不经过原点时,设直线方

?1 4 ? + =1, ?a=-3, ?a=5, x y 程为a+b=1,由题意得?a b 解得? 或? ?b=3, ?b=5. ?|a|=|b|, ? 综合可知,符合题意的直线共有 3 条.答案 C

4.以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是________. 解析 kAB= 1-3 1 =3,AB 的中点坐标为(-2,2),所以所求方程为:y-2=-3(x+2), -5-1 3x+y+4=0

化简为 3x+y+4=0.答案

1 1 5.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a+b=________. 解析 x y 过 BC 的直线方程为a+b=1, 1 2

2 2 1 1 1 ∵A、B、C 共线,∴把 A(2,2)代入得a+b=1 即a+b=2.答案

6.已知直线 l 经过点 E(1,2),且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是 4,则直线 l 的 方程为________.

解析

?1+2=1, ?a=2, ?a b x y 设直线 l 的方程为a+b=1.由题意,得? 解得? 1 ?b=4. ?2ab=4. ?

x y ∴所求直线 l 的方程是2+4=1,即 2x+y-4=0.答案 7.直线 l 过点 P(4,1), (1)若直线 l 过点 Q(-1,6),求直线 l 的方程;

2x+y-4=0

(2)若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍,求直线 l 的方程. 解 (1)直线 l 的方程为 y-1 x-4 = 化简,得 x+y-5=0. 6-1 -1-4

1 (2)设直线 l 的方程为 y-1=k(x-4),l 在 y 轴上的截距为 1-4k,在 x 轴上的截距为 4-k , 1? 1 1 ? 故 1-4k=2?4-k?,得 k=4或 k=-2,直线 l 的方程为 y=4x 或 y=-2x+9. ? ?

能力提升
x y x y 8.直线m-n=1 与n-m=1 在同一坐标系中的图象可能是 ( ).

解析

n 两直线的方程分别化为斜截式:y=mx-n,

m y= n x-m,易知两直线的斜率的符号相同,四个选项中仅有 B 选项的两直线的斜率符号相 同.答案 B 9.光线经过点 A(1,2)射到 y 轴上,反射后经过点 B(4,-3),则反射光线所在直线的方程为 ________. 解析 y-(-3) 先求 A 点关于 y 轴的对称点 A′(-1, 又 A′在反射线上, 2), 由两点式方程得 2-(-3)

x-4 = ,即 x+y-1=0.答案 -1-4

x+y-1=0

?4 ? 10.直线过点 P?3,2?且与 x 轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点,是否存在 ? ? 这样的直线满足下列条件: (1)△AOB 的周长为 12;(2)△AOB 的面积为 6. 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 解 x y 设直线方程为a+b=1(a>0,b>0),由△AOB 的周长为 12 知, ① ② ③

a+b+ a2+b2=12. 4 2 ?4 ? 又因为过点 P?3,2?,所以3a+b=1. ? ? 由△AOB 的面积为 6 知,ab=12.

x y 由①②③,解得 a=4,b=3,则所求直线的方程为4+3=1,即 3x+4y-12=0.

3.2.3

直线的一般式方程
基础达标
( ).

1.若 ac<0,bc<0,则直线 ax+by+c=0 的图形只能是

解析

a c 由 ac<0,bc<0,∴abc2>0,∴ab>0,∴斜率 k=-b<0,又纵截距-b>0,故选 ( ).

C.答案 C 2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 解析 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

1 所求直线与直线 x-2y-2=0 平行,故所求直线的斜率 k=2,又直线过点(1,0),利 A ( ).

1 用点斜式得所求直线方程 y-0=2(x-1),即 x-2y-1=0.答案 3.直线 l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是

解析

直线 l1 的斜率 k1=a,在 y 轴上截距 b1=b,直线 l2 的斜率 k2=-b,在 y 轴上截距 b2

=a,对 A,b1=b<0,k2=-b<0,b>0,对 C,k1=a<0,b2=a>0,对 D,k1=a<0, b2=a>0,均产生矛盾,故选 B.答案 B

4.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 相互垂直,则实数 m=________. 解析 1 ? 2? 由题意知直线的斜率均存在,且2??-m?=-1.∴m=1 答案 ? ? 1

5.已知 A(0,1),点 B 在直线 l1:x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,直线 AB 的一般式方程 为________. 解析 答案 AB⊥l1 时,AB 最短,所以 AB 斜率为 k=1,方程为 y-1=x,即 x-y+1=0. x-y+1=0

6.已知直线 l 与直线 3x+4y-7=0 平行,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,则直线 l 的方程为________. 解析 m m 设 l:3x+4y+m=0,当 y=0 得 x=- 3 ;当 x=0 得 y=- 4 .

∵直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24, 1 ? m? ? m? ∴2??- 3 ???- 4 ?=24,∴m=± 24.∴直线 l 的方程为 3x+4y± 24=0. ? ? ? ? 答案 3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0 7.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求 m 的值. (1)在 x 轴上的截距为 1; (2)斜率为 1; (3)经过定点 P(-1,-1). 解 (1)∵直线过点 P′(1,0),∴m2-2m-3=2m-6.解得 m=3 或 m=1.

m2-2m-3 ?- 2 =1, 4 (2)由斜率为 1,得? 2m +m-1 解得 m=3. ?2m2+m-1≠0, (3)直线过定点 P(-1,-1),则-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6, 5 解得 m=3或 m=-2.

能力提升
8.两直线 mx+y-n=0 与 x+my+1=0 互相平行的条件是 A.m=1 ?m=1 C.? ?n≠-1 解析 B.m=± 1 ?m=1, ?m=-1, D.? 或? ?n≠-1 ?n≠1 ( ).

m 1 根据两直线平行可得 1 =m,所以 m=± 1,又两直线不可重合,所以 m=1 时,n≠- D

1;m=-1 时,n≠1.答案

9. 已知两条直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 都过点 A(2, 则过两点 P1(a1, 1), 2(a2, 1), b P b2)的直线方程是________. 解析 ∵点 A(2,1)在直线 a1x+b1y+1=0 上,∴2a1+b1+1=0.

由此可知点 P1(a1,b1)的坐标满足 2x+y+1=0. ∵点 A(2,1) 在直线 a2x+b2y+1=0 上,∴2a2+b2+1=0. 由此可知点 P2(a2,b2)的坐标也满足 2x+y+1=0. ∴过两点 P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是 2x+y+1=0.答案 2x+y+1=0

10.求证:不论 m 取什么实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过定点,并求此定点 坐标. 证明 原方程可化为 m(2x-y-1)-(x+3y+11)=0.

∵对任意 m∈R,方程恒成立 ?2x-y-1=0, ?x=2, ∴? 解得? ∴直线恒过定点(2,3). ?x+3y+11=0, ?y=3.

3.3

直线的交点坐标与距离公式 两条直线的交点坐标

3.3.1

3.3.2

两点间的距离
基础达标

1.(2012· 银川高一检测)直线 y=2x+10,y=x+1,y=ax-2 交于一点,则 a 的值为 ( 1 A.2 解析 1 B.-2 2 C.3 2 D.-3

).

?y=2x+10, ?x=-9, 由? 解得? 即直线 y=2x+10 与 y=x+1 相交于点(-9,-8),代 ?y=x+1, ?y=-8, C ( ).

2 入 y=ax-2,解得 a=3.答案

2.两直线 3ax-y-2=0 和(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A,B,则|AB|的值为 A. 89 5 B. 17 5 C. 13 5 D. 11 5

2? ? 直线 3ax-y-2=0 过定点 A(0, -2), 直线(2a-1)x+5ay-1=0, 过定点 B?-1,5?, ? ? 13 由两点间的距离公式,得|AB|= 5 .答案 C 解析 3.光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经反射后经过点 B(2,10),则光线从 A 到 B 的距离是 ( ). B.2 5 C.5 10 D.10 5

A.5 2 解析

根据光学原理, 光线从 A 到 B 的距离, 等于点 A 关于 x 轴的对称点 A′到点 B 的距离, C

易求得 A′(-3,-5).所以|A′B|= (2+3)2+(10+5)2=5 10.答案 4.已知点 A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则 a 的值为________. 解析 由题意得 (a+2)2+(3+1)2=5,解得 a=1 或 a=-5.答案

1 或-5

5. 已知直线 ax+4y-2=0 和 2x-5y+b=0 垂直, 交于点 A(1, 则 a=________, m), b=________, m=________. 解析 ∵点 A(1,m)在两直线上,

又两直线垂直,得 2a-4?5=0,

③ 10 -12 -2

由①②③得,a=10,m=-2,b=-12.答案

6.若直线 x+a2y+6=0 和直线(a-2)x+3ay+2a=0 没有公共点,则 a 的值是________. 解析
2 ?A1B2-A2B1=0, ?3a-(a-2)a =0, 由? 得? ?A1C2-A2C1≠0, ?2a-(a-2)?6≠0,

解之得 a=0 或 a=-1 或 a=3(舍).答案

0 或-1

7.(1)求过两直线 3x+y-1=0 与 x+2y-7=0 的交点且与第一条直线垂直的直线方程. (2)求经过直线 3x+2y+6=0 和 2x+5y-7=0 的交点, 且在两坐标轴上的截距相等的直线方 程. 解 ?3x+y-1=0, ?x=-1, (1)法一 由? 得? 即交点为(-1,4). ?x+2y-7=0, ?y=4,

1 ∵第一条直线的斜率为-3,且两直线垂直,∴所求直线的斜率为3. 1 ∴由点斜式得 y-4=3(x+1),即 x-3y+13=0. 法二 设所求的方程为 3x+y-1+λ(x+2y-7)=0,

即(3+λ)x+(1+2λ)y-(1+7λ)=0,由题意得 3(3+λ)+(1+2λ)=0, ∴λ =-2,代入所设方程得 x-3y+13=0. (2)设直线方程为 3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0, 即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0. 令 x=0,得 y= 7λ -6 7λ -6 ;令 y=0,得 x= . 2+5λ 3+2λ



7λ -6 7λ -6 1 6 = ,得 λ=3或 λ=7.直线方程为 x+y+1=0 或 3x+4y=0. 2+5λ 3+2λ

能力提升
8.若三条直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0 能构成三角形,则 a 应满 足的条件是 ( A.a=1 或 a=-2 C.a≠1 且 a≠-2 解析 ). B.a≠±1 D.a≠±1 且 a≠-2

为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.

?x+ay+1=0, ?x=-a-1, (1)若三条直线交于一点,由? 解得? ?x+y+a=0, ?y=1,

将 l2,l3 的交点(-a-1,1)代入 l1 的方程解得 a=1 或 a=-2; (2)若 l1∥l2,则由 a?a-1?1=0,得 a=± 1, 当 a=1 时,l1 与 l2 重合; (3)若 l2∥l3,则由 1?1-a?1=0,得 a=1,当 a=1 时,l2 与 l3 重合; (4)若 l1∥l3,则由 a?1-1?1=0,得 a=1,当 a=1 时,l1 与 l3 重合. 综上,当 a=1 时,三条直线重合; 当 a=-1 时,l1∥l2;当 a=-2 时,三条直线交于一点, 所以要使三条直线能构成三角形,需 a≠± 且 a≠-2.答案 1 D

9.若动点 P 的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点 P 到原点的最小值是________. 解析 由距离公式得 x2+(1-x)2= 2x2-2x+1= 1 2 = 2 .答案 2 2 2 ? 1?2 1 2?x-2? +2, ? ?

∴最小值为

10.求函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值. 解 原式可化为 y= (x-4)2+(0-2)2+ (x-0)2+(0-1)2.

考虑两点间的距离公式,如图所示, 令 A(4,2),B(0,1),P(x,0), 则上述问题可转化为: x 轴上求一点 P(x, 在 0), 使得|PA|+|PB|最小. 作点 A(4,2)关于 x 轴的对称点 A′(4,-2), 由图可直观得出|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, 故|PA|+|PB|的最小值为|A′B|的长度. 由两点间的距离公式可得|A′B|= 42+(-2-1)2=5, 所以函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值为 5.

3.3.3 3.3.4

点到直线的距离

两条平行直线间的距离

基础达标
1.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是原点,则|OP|的最小值是 A. 10 解析 B.2 2 C. 6 D.2 |-4| =2 2.答案 2 B ( ).

|OP|最小值即为 O 到直线 x+y-4=0 的距离,∴d= ).

2.过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是 ( A.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 解析 = B.x+2y-5=0 D.3x+y-5=0

当直线与点(1,2)和(0,0)的连线垂直时,距离最大,设 A(1,2),O(0,0),则 kOA

2-0 1 1 =2.故所求直线的斜率为-2.由点斜式得 y-2=-2(x-1),即 x+2y-5=0. 1-0 B

答案

3.若动点 A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 中 点 M 到原点距离的最小值为 A.3 2 解析 B.2 3 ( ). C.3 3 D.4 2

根据已知条件可以知道,AB 的中点 M 一定在处于 l1,l2 之间且与 l1,l2 距离相等的

直线上,即 M 在直线 x+y-6=0 上,M 到原点距离的最小值就是原点到直线 x+y-6=0 的距离,由点到直线的距离公式得 d= |-6| =3 2.答案 2 A

4.(2012· 温州高一检测)若点(2,-k)到直线 5x+12y+6=0 的距离是 4,则 k 的值是________. 解析 d= |5?2+12?(-k)+6| |16-12k| |16-12k| |4-3k| = 13 ,由题意知 13 =4,即 13 =1,∴k 2 2 5 +12 17 -3 或 3

17 =-3 或 k= 3 .答案

5.两直线 l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0 间的距离为 3,则 b+c 等于________. 解析 |c-10| 3 4 5 由题意可知: ∥l2, 6=b≠c , b=8, l1 则 即 c≠10.又由于 l1 与 l2 间的距离为 3, 则 2 6 +82 -12 或 48

=3,得 c=-20 或 40,则 b+c=-12 或 48.答案

6.直线 l 在 x 轴上的截距为 1,又有两点 A(-2,-1),B(4,5)到 l 的距离相等,则 l 的方程

为________. 解析 显然 l⊥x 轴时符合要求,此时 l 的方程为 x=1;

设 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1),即 kx-y-k=0. ∵点 A,B 到 l 的距离相等,∴ |-2k+1-k| |4k-5-k| = . k2+1 k2+1

∴|1-3k|=|3k-5|,∴k=1,∴l 的方程为 x-y-1=0. 综上,l 的方程为 x=1,或 x-y-1=0. 答案 x=1,或 x-y-1=0

7.如图所示,已知 A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点 M(-4,2)且平行于 AB 的直线 l 将 △ABC 分成两部分,求此两部分面积的比. 1 解法一由已知可得 kAB=-2,过点 M(-4,2)且平行于 AB 的直线 l 的方程为 x+2y=0. ?x+2y=0, 直线 AC 的方程为 5x-2y+10=0,由方程组? 得直线 l 与 AC 的交点坐标 ?5x-2y+10=0, |CP| |xP| 5 ? 5 5? P?-3,6?,所以|CA|=|x |=6, ? ? A 52 25 所以两部分的面积之比为 2 2= . 6 -5 11 法二 y+2 x-2 由两点式得直线 AB 的方程为 2 = ,即 x+2y+2=0.设过点 M(-4,2)且平行 -4

于 AB 的直线 l 的方程为 x+2y+m=0,将点 M(-4,2)的坐标代入得 m=0,所以过点 M(- 4,2)且平行于 AB 的直线 l 的方程为 x+2y=0,此直线将三角形的面积分成两部分,其中 △CPQ 的边 PQ 上的高 d1= 10 12 12 5 =2 5,△ABC 的边 AB 上的高 d2= = 5 ,△CPQ 的面 5 5

积与△ABC 的面积之比为

S△CPQ |PQ|?d1 d2 25 1 = = 2= , S△ABC |AB|?d2 d2 36

25 36 25 所以两部分的面积之比为 25=11. 1-36

能力提升
8.x,y 满足 x+y+1=0,求 x2+y2-2x-2y+2 的最小值为 ( ).

A.2 解析

9 B.2

C.3

D.4

原式可化为(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为点 P(x,y)和点 Q(1,1)间距离的平方,而

点(x,y)在直线 x+y+1=0 上.设 d 为 Q 点到直线 x+y+1=0 的距离, 由|PQ|≥d 得 9 为2.答案 B 9.若直线被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾 斜角可以是①15°, ②30°, ③45°, ④60°, ⑤75°, 其中正确答案的序号是________. (写 出所有正确答案的序号) 解析 两平行线间的距离为 d= |3-1| = 2,由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30°,l1 的倾斜 x+1 (x-1)2+(y-1)2≥ |1+1+1| 9 ,即 x2+y2-2x-2y+2≥2.故所求最小值 2

角为 45°,所以直线 m 的倾斜角等于 30°+45°=75°或 45°-30°=15°. 答案 ①⑤

10.直线 l1 过点 A(0,1),l2 过点 B(5,0),如果 l1∥l2,且 l1 与 l2 的距离为 5,求 l1,l2 的方程. 解 (1)若直线 l1,l2 的斜率存在,设直线的斜率为 k,由斜截式得 l1 的方程 y=kx+1,即 kx

-y+1=0,由点斜式可得 l2 的方程为 y=k(x-5),即 kx-y-5k=0,因为直线 l1 过点 A(0, 1),则点 A 到直线 l2 的距离 d= |-1-5k| =5, (-1)2+k2

12 ∴25k2+10k+1=25k2+25,∴k= 5 , ∴l1 的方程为 12x-5y+5=0,l2 的方程为 12x-5y-60=0. (2)若 l1、l2 的斜率不存在,则 l1 的方程为 x=0,l2 的方程为 x=5,它们之间的距离为 5,同 样满足条件. 综上所述,满足条件的直线方程有两组:l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0;或 l1: x=0,l2:x=5.


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