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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案含解析新人教A版选


3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 复数的加减法 [提出问题] 已知复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 问题 1:多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想,复数如何加减? 提示: 两个复数相加(减)就是把实部与实部、 虚部与虚部分别相加(减), 即(a+bi)±(c +di)=(a±c)+(b±d)i. 问题 2:复数的加法满足交换律和结合律吗? 提示:满足. 问题 3:以交换律进行说明. 提示:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, z2+z1=(c+di)+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i, ∴z1+z2=z2+z1. [导入新知] 1.复数的加减法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i, z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 (1)交换律:z1+z2=z2+z1; (2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). [化解疑难] 对复数加减法的理解 1.把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加法、减法运算,类似于多项 式的加法、减法运算,只需要“合并同类项”就可以了. 2.复数的加减法中规定,两复数相加减,是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减, 复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形. 3.两个复数的和(差)是复数,但两个虚数的和(差)不一定是虚数.例如,(3-2i)+2i =3. 复数加减法的几何意义 1 [提出问题] 如图 OZ1 , OZ2 分别与复数 a+bi,c+di 对应. ???? ? ???? ? 问题 1:试写出 OZ1 , OZ2 及 OZ1 + OZ2 , OZ1 - OZ2 的坐标. 提示: OZ1 =(a,b), OZ2 =(c,d), ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? OZ1 + OZ2 =(a+c,b+d), OZ1 - OZ2 =(a-c,b-d). ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 问题 2:向量 OZ1 + OZ2 , OZ1 - OZ2 对应的复数分别是什么? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 提示: 向量 OZ1 + OZ2 对应的复数是 a+c+(b+d)i, 也就是 z1+z2; 向量 OZ1 - OZ2 对应的复数是 a-c+(b-d)i,也就是 z1-z2. [导入新知] 复数加减法的几何意义 如图,设在复平面内复数 z1,z2 对应的向量分别为 OZ1 , OZ2 ,以 OZ1,OZ2 为邻边作 平行四边形,则与 z1+z2 对应的向量是 OZ ,与 z1-z2 对应的向量是 Z 2 Z1 . ???? ? ???? ? ??? ? ????? ? [化解疑难] 对复数加减运算几何意义的认识 (1)若复平面内任意两点 Z1,Z2 所对应的复数分别是 z1,z2,则 Z1,Z2 两点之间的距离 |Z1Z2|=|z2-z1|. (2)复数加减法的几何意义包含两方面:一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化 为复数的运算, 使复数作为工具运用于几何之中; 另一方面对于一些复数的运算也可以给予 几何解释. 复数的加减运算 2 [例 1] 计算:(1)(-2+3i)+(5-i); (2)(-

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