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听课记录基本不等式新授课


教育实习听课记录表
班级 (学校) 科目 高二(7) 班 数学 教 一、课前练习 P97 学生看书,得出课本结论 a ? b ? 2 ab
2 2

授课教师 课题

江老师 §3.4 基本不等式

教时

1 课时

听课 时间

40 分钟









课 意 见

简要证明:原式等价于 ( a ? b ) ? 0
2

当且仅当 a ? b 时等号处理 (简要说明一下: 课本的赵爽弦图重要不等式证明的解 释,但是注意图里 a ? 0 , b ? 0 ) 当 a ? 0 , b ? 0 用 a 代替 a ,用 b 代替 b 入重要不等 式得到:
( a ? b ) ? 0 即 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时等
2

号处理) 称这个不等式为基本不等式。 变式 ab ?
a?b 2

用文字表述为: 两个正数的几何平均数不超过它们的算 术平均数,即基本不等式。 思考:已知线段 a , b ,如何做线段 c 使得 c ? 学生:相似(如右图) 教师:如右图,两个小的直角三角 相似,即可得 c ?
a?b 2
ab ab

1.所以的例题和变式都是自己补充的,和课本 例题分离开,更适用于考试题型; 2.相当完整的一节课,只是上课引入部分可能 有点欠缺,但是可以理解,因为毕竟要把考试 的内容教给学生;

a b

教师:填写 P98 课本,并简要证明
ab ?

C

( a ? 0, b ? 0 )
a?b 2

证明(分析法) :要证 ab ? 只要证 a ? b ? 2 ab 既要证 a ? b ? 2 ab ? 0 即证 ( a ?

b ) ? 0 ,这显然成立
2

所以原式得证 (在这里先提前学习、接触一下分析法) 二、例题讲解:

三、 例 1:若 x ? 0 ,求 x ?

1 x

的最小值

解: (方法一)函数法,对勾函数,可知原式 ? 2
?x?0

(方法二)?

1 x

?0 1 x ? 2 x? 1 x ? 2

?x?

当且仅当 x ?

1 x

, 即 x ? 1 时等号成立
1 x

四、变式 1:若 x ? 2 ,求 x ?

的最小值

解: (方法一)函数法,对勾函数,可知当 x ? 2 时, 原式有最小值,其最小值为
?x?0
5 2

(方法二)?

1 x

?0 1 x ? 2 x? 1 x ? 2

?x?

本题等号不成立 :变式 2:若 x ? 1 ,求 x ? 解
? x ?1 ? 1 x ?1 ?0 1 x ?1 ? x ?1? 1 x ?1 ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? 1 x ?1 ?1 ? 3
1 x ?1

的最小值 :

?x?

当且仅当 x ? 1 ?

1 x ?1

即 x ? 2 时等号成立。

教师总结:一正二定三相等 1.当和为定值时,积有最大值( ab ? (
a?b 2 ) )
2

2.当积为定值时,和有最小值( a ? b ? 2 ab ) 练习 1:若 x ? 0 , y ? 0 x ? 2 y ? 1 ,求 xy 的最大值。 分析: xy ?
x?2y 2 ? 1 2 ?( x ? 2y 2 )
2

?

1

1 2 1 ?( ) ? 2 2 8

当且仅当 ?

? x ? 2y ?x ? 2 y ? 1

即?

?x ? 1/ 2 ? y ? 1/ 4

时等号成立。

听课人:陈钦

板书设计
课题 1.重要不等式 2.基本不等式 3.总结:一正二定三相等 基 本 不 等 式 几何证明及分 (第一版) 的证明 析 例1 例2 变式 1 变式 2 (第二版) (第三版)


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