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专项练习: 方程的根与函数的零点


课时达标检测(二十一)
一、选择题

方程的根与函数的零点

1.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表 x f(x) x f(x) 1 136.136 5 -52.488 2 15.552 6 -232.064 3 -3.92 7 11.238 4 10.88

由表可知函数 f(x)存在零点的区间有( A.1 个 C.3 个

)

B.2 个 D.4 个

解析:选 D ∵f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)· f(5)<0,f(6)f(7)<0, ∴共有 4 个零点. 2.方程 0.9x- A.0 C.2 解析:选 B 设 f(x)=0.9x- 2 x=0 的实数解的个数是( 21 B.1 D.3 2 x,则 f(x)为减函数,值域为 R,故有 1 个. 21 )

3.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( ) A.若 f(a)· f(b)>0,则不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)· f(b)<0,则存在且只存在一个实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 C.若 f(a)· f(b)>0,则有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)· f(b)<0,则有可能不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 解析: 选 C 根据函数零点存在性定理可判断, 若 f(a)· f(b)<0, 则一定存在实数 c∈(a, b),使 f(c)=0,但 c 的个数不确定,故 B、D 错.若 f(a)· f(b)>0,则有可能存在实数 c∈(a, b),使得 f(c)=0,如 f(x)=x2-1,f(-2)· f(2)>0,但 f(x)=x2-1 在(-2,2)内有两个零点, 故 A 错,C 正确. 4.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且 α,β 是函数 f(x)的两个零点,则实数 a,b,α,β 的大小关系可能是( A.a<α<b<β C.α<a<b<β ) B.a<α<β<b D.α<a<β<b

解析:选 C ∵α,β 是函数 f(x)的两个零点, ∴f(α)=f(β)=0. 又∵f(x)=(x-a)(x-b)-2, ∴f(a)=f(b)=-2<0. 结合二次函数 f(x)的图象,如图所示, 可知,a,b 必在 α,β 之间,只有 C 满足. 5.已知 x0 是函数 f(x)=2x+ A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析: 选 B 在同一平面直角坐标系中画出函数 y=2x 和函数 y= 的图象, 如图所示, 由图可知函数 y=2x 和函数 y= 点,即函数 f(x)=2x+ 1 x-1 1 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( 1-x )

1 的图象只有一个交 x-1

1 只有一个零点 x0,且 x0>1. 1-x

因为 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0. 二、填空题 6.函数 f(x)=ln x-x2+2x+5 的零点个数为________. 解析:令 ln x-x2+2x+5=0 得 ln x=x2-2x-5,画图(图略)可得函数 y=ln x 与函数 y=x2-2x-5 的图象有 2 个交点,即函数 f(x)的零点个数为 2. 答案:2 7.已知方程 mx2-x-1=0 在(0,1)上恰有一解,则实数 m 的取值范围是________. 解析:设 f(x)=mx2-x-1,∵方程 mx2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,且当 m=0 时, 方程-x-1=0 在(0,1)内无解,∴m≠0,由 f(0)f(1)<0,即-1(m-1-1)<0,解得 m>2. 答案:(2,+∞) 8. 若函数 f(x)=ax-x-a(a>0, 且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与 函数 y=x+a 的图象有两个交点,由图象可知当 0<a<1 时两函数的图象只有一个交点,不 符合;当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0,1),当直线 y=x+a 与 y 轴的交点(0, a)在(0,1)的上方时一定有两个交点.所以 a>1. 答案:(1,+∞)

三、解答题 9.关于 x 的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4, 求 m 的取值范围. 解:令 f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.
?m>0, ?m<0, ? ? 依题意得? 或? ? ? ?f?4?<0, ?f?4?>0, ? ? ?m>0, ?m<0, 即? 或? ?26m+38<0, ? ? ?26m+38>0,

19 解得- <m<0. 13 19 ? 故 m 的取值范围为? ?-13,0?. 10. 已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点, 求 m 的取值范围, 并求出该零点. 解:由题意知方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0,即 m2-4=0 时,m=± 2; 当 m=-2 时,t=1; 当 m=2 时,t=-1 不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时, 设 t2+mt+1=0 有两个根 t1,t2 且 t1t2=1. 又∵t>0,∴t1>0,t2>0,则原方程有两个根. ∴这种情况不可能. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0.

e2 11.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0). (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)试确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. e2 解:(1)作出 g(x)=x+ x (x>0)的图象如图所示:

可知若使 g(x)=m 有零点, 则只需 m≥2e, 故 m 的取值范围为[2e,+∞). (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点.作出 e2 g(x)=x+ (x>0)和 f(x)的图象如图所示. x

∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2, 其对称轴为直线 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2, ∴当 m-1+e2>2e, 即 m>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根, ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 12.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 解:(1)由条件知,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点 分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图(1)所示,得 f?0?=2m+1<0, ? ?f?-1?=2>0, ?f?1?=4m+2<0, ? ?f?2?=6m+5>0

? ?m∈R, ?? 1 m<- , 2 ?m>-5. ? 6

1 m<- , 2 5 1 即- <m<- . 6 2

(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示, f?0?>0, ? ?f?1?>0, 列不等式组? Δ≥0, ? ?0<-m<1

? ? 1 ??m>-2, m≥1+ 2或m≤1- ? ?-1<m<0.

1 m>- , 2

1 即- <m≤1- 2. 2 2,


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