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高二数学 2.3《等差数列的前n项和》(1课时)教案(新人教A版必修5)


课题: §3.3

等差数列的前 n 项和
授课类型:新授课 (第 1 课时)

●三维目标 知识与技能:掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项和公式解决 一些简单的与前 n 项和有关的问题 过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的 思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对 学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平. 情感态度与价值观:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美。 ●教学重点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应 ●教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事”: 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给 大家出道题目: 1+2+?100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10?算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+?+100=5050。 教师问: “你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101; 2+99=101;?50+51=101,所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和 寻找出某些规律性的东西。 (2)该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介 绍的“倒序相加”法。 Ⅱ.讲授新课 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明:

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??

-1-

∴ 2S n ? n(a1 ? an )

由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , an 但 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用) [范例讲解] 课本 P49-50 的例 1、例 2、例 3 由例 3 得与 an 之间的关系: 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, an = S n - S n?1 , 即 an = ?

?S1 ( n ? 1) . ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

Ⅲ.课堂练习 课本 P52 练习 1、2、3、4 Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? Ⅴ.课后作业 ●板书设计 ●授后记

-2-


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