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2015-2016高中数学 人教A版选修1-2 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念 学案


3.1.1 姓名 :

数系的扩充和复数的相关概念 编制:陈永军 审核:方德兴

班级 :

课前双击预习案 A 一 学习目标
1.了解引进虚数单位 i 的必要性,了解数集的扩充过程。 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到负数集出现一些基本概念。 3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件。 二 重

难点 1.复数的概念及运算性质。 2.复数相等的充要条件。 三 教学过程 1 复数定义; 2.虚数单位 i. (1)它的平方等于-1,即 i2=-1. (2)实数可以与它进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加、乘运算律 仍然成立. 3.复数的代数形式. (1)形如 z=a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,a+bi 叫做复数的代数形式,a 和 b 分别叫做复数 z 的实部和虚部. 4. 复数的分类 复数 z=a+bi(a,b∈R)的分类.

?实数(b=0) 复数? ?纯虚数(a=0,且b≠0) 虚数(b≠0)? ? ?非纯虚数(a≠0,b≠0)
5.复数相等的充要条件. 复数 a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?a=c 且 b=d(把复数问题划归为实数 问题). 自我小测 例题讲解 1.复数(2+ 3)i 的实部是( A.2 B. 3 ) D.0

C.2+ 3

2.如果 C,R 和 I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,那么有(D) A.C=R∪I C.R=C∩I B.R∩I={0} D.R∩I=?

3.下列命题:①i 是-1 的一个平方根;②-i 是一个负数;③如果 a+bi = 3 + 4i(a 、 b∈C) , 则 a = 3 , b = 4. 其 中 正 确 的 命 题 的 个 数 是 _____________________________________________________________________ ___.归纳小结: (一)虚数单位i及其性质 为了解决 x +1=0 这样的方程在实数集中无解的问题,人们引进了一个新 数 i,叫做虚数单位,它的平方等于-1,它可以与实数进行四则运算. (二)复数的代数形式和复数的分类 (1)复数的代数形式 z= a+bi 要求 a 和 b 必须是实数, 否则不是代数形式. (2)若 z 是纯虚数,可设 z=bi(b≠0,b∈R);若 z 是虚数,可设 z=a+
2

bi(b≠0,b∈R);若 z 是复数,可设 z=a+bi(a,b∈R).
(3)形如 z=bi 的数不一定是纯虚数,只有 b≠0,b∈R 时,才是纯虚数,否 则不是纯虚数. (三)复数相等的概念 (1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别相等,它是把复 数问题转化为实数问题的主要手段. (2)应用复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数形式写成 代数形式,即分离实部和虚部,然后列出方程求解. 注意: (1)根据复数相等的定义, 在 a=c, b=d 两式中, 只要有一个不相等, 则 a+bi≠c+di. (2)若两个复数全是实数,则可以比较大小.反之,若两个复数能比较大小, ?a>0, 则它们必是实数(如 a+bi>0?? ) ?b=0 (3)若两个数不全是实数,则不能比较大小. 课后小结 1.虚数单位 i 具有两条性质:

(1)它的平方等于-1,即 i2=-1. (2)实数可以与它进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加、乘运算律 仍成立. 2.关于复数的代数形式 z=a+bi(a,b∈R),注意以下几点: (1)a,b∈R,否则不是代数形式. (2)从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数. 反之,若 z 是纯虚数,可设 z=bi(b≠0,b∈R); 若 z 是虚数,可设 z=a+bi(b≠0,b∈R); 若 z 是复数,可设 z=a+bi(a,b∈R). (3)形如 bi 的数不一定是纯虚数,只有 b≠0 且 b∈R 时,才是纯虚数. 3.两个复数只能说相等或不相等,不一定能比较大小. 关于这一点的理解要注意以下几点: (1)根据复数 a+bi 与 c+di(a,b,c,d∈R)相等的定义,可知在 a=c,b =d 两式中,只要有一个不成立,那么就有 a+bi≠c+di. (2)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的. 课后提升限时练 B 1.(2013·广州一模)已知 i 是虚数单位,则复数 1-2i 的虚部为( A.2 B.1 C.-1 D.-2 ) )

2.若复数 z=(x2-1)+(x+1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1

3.若 x,y∈R,且 3x+y+3=(x-y-3)i,则 x=______,y=______.

4.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求实数 m 的值. 5.已知复数 z=a+bi(a,b∈R),则 z∈R 的充要条件是( A.a+b=a-bi C.ab=0 B.a+bi=-a+bi )

D.a=b=0 )

6.如果(x+y)i=x-1,那么实数 x,y 的值为( A.x=1,y=-1 C.x=1,y=0 B.x=0,y=-1 D.x=0,y=0 )

7.( 3-1)i 的实部是(

A. 3

B.1

C.-1

D.0 )

8.i 是虚数单位,1+i3 等于( A.i B.-i C.1+i D.1-i

9.已知集合 A={x|x=a+(a2-1)i,a∈R,i 是虚数单位},若 A? R,则 a =( ) A.1 B.-1 C.±1 D.0

10.设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a-bi 为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

11.m=________时,复数 lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i 是实数.

12.若 log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数 x=________.

13.已知 M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={1,-1,4i},若 M∪P=P, 求实数 m.

14.已知,关于实数 x,y 的方程组: ?(2x-1)+i=y-(3-y)i, ? ?(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i 有实数解,求实数 a,b. ① ②

?品味高考

1.(2014·江苏高考改编)已知复数 z=25+20i+4i2(i 为虚数单位),则 z 的实部为 . 2. (2013·安徽卷改编)设 i 是虚数单位, 若复数(a-3)-i(a∈R)是纯虚数, 则 a 的值为( A.-3 ) B.-1 C.1 D.3


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