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3.二次函数综合问题专题一 优录选拔综合训练(三)


专题一:二次函数与全等
例题 1:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+3 的顶点为 M(2,-1) ,交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,其中点 B 的坐标为(3,0) 。 (1)求该抛物线的解析式; (2)设经过点 C 的直线与该抛物线的另一个交点为 D,且直线 CD 和直线 CA 关于直线 BC 对称,求直线 CD 的解析式;

( 3 )在该抛物线的对称轴上存在点 P ,满足 PM2 + PB2 +PC2 = 35,求点 P 的坐标;并直接写出此时直线 OP 与该抛物线交点的个数。

【答案】解: (1)∵抛物线 y= ax2 + bx+ 3 的顶点为 M (2,- 1) , ∴设抛物线的解析式为线 y=a ? x ? 2 ? ? 1 。
2

∵点 B(3,0)在抛物线上,∴ 0=a ? 3 ? 2 ? ? 1 ,解得 a=1 。
2

∴该抛物线的解析式为 y= ? x ? 2 ? ? 1 ,即 y=x 2 ? 4x+3 。
2

(2)在 y=x 2 ? 4x+3 中令 x=0,得 y=3 。∴C(0,3) 。 ∴OB=OC=3。∴∠ABC=450。 过点 B 作 BN⊥x 轴交 CD 于点 N(如图) , 则∠ABC=∠NBC=450。 ∵直线 CD 和直线 CA 关于直线 BC 对称, ∴∠ACB=∠NCB。 又∵CB=CB,∴△ACB≌△NCB(ASA) 。 ∴BN=BA。 ∵A,B 关于抛物线的对称轴 x=2 对称,B(3,0) , ∴A(1,0) 。∴BN=BA=2。∴N(3,2) 。 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b ,∵C ( 0 , 3 ) , N ( 3 , 2 )在直线 CD 上,解得,

1 ? 1 ? k= ? 3 。∴直线 CD 的解析式为 y= ? x+3 。 ? 3 ? ? b=3
(3)设 P(2,p) 。 ∵M(2,-1) ,B(3,0) ,C(0,3) , ∴根据勾股定理,得 PM2 ? ? p+1? =p2 +2p+1 , PB2 = ? 3 ? 2 ? +p2 =p2 +1 ,
2 2

PC2 =22 + ? p ? 3? =p2 ? 6p+13 。
2

∵PM2+PB2+PC2=35,∴ p2 +2p+1+p2 +1+p2 ? 6p+13=35 。 整理,得 3p2 ? 4p ? 20=0 ,解得 p1 = ? 2,p2 = ∴P(2,-2)或(2,

10 。 3

10 ) 。 3 10 )时,直线 OP 与该抛物线有两交点。 3

当 P(2,-2)时,直线 OP 与该抛物线无交点;当 P(2,

【分析】 (1)由于已知抛物线的顶点坐标,所以可设抛物线的顶点式,用待定系数法求解。 (2)由直线 CD 和直线 CA 关于直线 BC 对称,构造全等三角形:过点 B 作 BN⊥x 轴交 CD 于点 N,求出点 N 的坐标,由点 B,N 的坐标,用待定系数法求出直线 CD 的解析式。 (3)设 P(2,p) ,根据勾股定理分别求出 PM2、PB2 和 PC2,由 PM2+PB2+PC2=35,列式求解即可 求得点 P 的坐标(2,-2)或(2,

10 ) 。 3

当 P(2,-2)时,直线 OP 的解析式为 y= ? x ,与 y=x 2 ? 4x+3 联立,得 ?x=x 2 ? 4x+3 , 即 x 2 ? 3x+3=0 。∵△=9-12=-3<0,∴ x 2 ? 3x+3=0 无解,即直线 OP 与抛物线无交点。 当 P(2,

10 5 5 )时,直线 OP 的解析式为 y= x ,与 y=x 2 ? 4x+3 联立,得 x=x 2 ? 4x+3 , 3 3 3

即 3x 2 ? 17x+9=0 。∵△=289-108=181>0,∴ 3x 2 ? 17x+9=0 有两不相等的实数根,即直线OP与抛物线 有两个交点。 例题2:如图,已知二次函数y 2x 3 与x轴交于A、B两点,A在B的左侧,点P在抛物线上,且在对称 轴右侧。以BP为斜边作等腰直角三角形,直角顶点M正好落在对称轴上,求P点的坐标。
y B A O M x

P

练习:1、如图二次函数y 抛物线上,且∠PDB
y D

4x 3与坐标轴交与A、B、C三点,C点关于对称轴的对称点为D点,点P在 ,求P点的坐标。

C

P x O A B

2、如图1,已知抛物线y a(x 1)(x 3)与x轴交于A、B两点,与y轴 负半轴交于点C,若 3OA·OB。 (1)求抛物线的解析式; ( 2 )如图 2 , P ( 4,0 )
y

y

为 x 轴上一点,Q 为第四 象限的抛物线上一点, PQ
x

x A O B

P A O B

交 AC 于 点 D , 若 ∠ PDA 标。 ,求 Q 点的坐

D
C

专题二:二次函数与相
C Q


例题3:已知抛物线

图1

图2

y A、O两点,点P在抛物线上,∠APO
y

x 与 x 轴交于点

,求P点坐标。

A O x

例题 4:如图①,已知抛物线 y=ax2+bx(a≠0)经过 A(3,0)、B(4,4)两点. (1) 求抛物线的解析式; (2) 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 D,求 m 的值及点 D

的坐标; (3) 如 图 ② , 若 点 N 在 抛 物 线 上 , 且 ∠NBO = ∠ABO , 则 在 (2) 的 条 件 下 , 求 出 所 有 满 足 △POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应).

【答案】解:(1)抛物线的解析式是 y=x2-3x。 (2) 设直线 OB 的解析式为 y=k1x,由点 B(4,4), 得:4=4k1,解得 k1=1。∴直线 OB 的解析式为 y=x。 ∴直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为:y=x-m。 ∵点 D 在抛物线 y=x2-3x 上,∴可设 D(x,x2-3x)。 又点 D 在直线 y=x-m 上,∴ x2-3x =x-m,即 x2-4x+m=0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点, △=16-4m=0,解得:m=4。 此时 x1=x2=2,y=x2-3x=-2。∴ D 点坐标为(2,-2)。 (3) ∵直线 OB 的解析式为 y=x,且 A(3,0), ∴点 A 关于直线 OB 的对称点 A'的坐标是(0,3)。 设直线 A'B 的解析式为 y=k2x+3,过点 B(4,4), 1 1 ∴4k2+3=4,解得:k2= 。∴直线 A'B 的解析式是 y= x+3。 4 4 ∵∠NBO=∠ABO,∴点 N 在直线 A'B 上。 1 ∴设点 N(n, n+3),又点 N 在抛物线 y=x2-3x 上, 4 1 3 ∴ n+3=n2-3n,解得:n1=- ,n2=4(不合题意,会去)。 4 4

3 45 ∴ 点 N 的坐标为(- , )。 4 16 如图,将△NOB 沿 x 轴翻折,得到△N1OB1, 3 45 则 N1(- ,- ),B1(4,-4)。 4 16 ∴O、D、B1 都在直线 y=-x 上。 ∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。 ∴ OP1 OD 1 3 45 = = 。∴点 P1 的坐标为(- ,- )。 ON1 OB1 2 8 32

45 3 将△OP1D 沿直线 y=-x 翻折,可得另一个满足条件的点 P2( , )。 32 8 3 45 45 3 综上所述,点 P 的坐标是(- ,- )或( , )。 8 32 32 8

练习:1、已知二次函数y

4x 3与x轴交于A、B两点,A在B的左侧,与y轴交于C点,点P在x轴上方

的抛物线上,且∠PCB ∠OCA,求P点的坐标。
y C

P x O A B

2、如图1,抛物线y a (1)求抛物线的解析式;

4与x轴分别交于E、F两点,与y轴正半轴交于C点,抛物线的顶点为D,

对称轴交x轴于E点,已知DE AB。 (2)如图 2,作 CF⊥DE 于点 F,M(m,0)x 是轴上一动点,以 CM 为斜边构造 Rt△CMN,且直角顶 点 N 在线段上 EF(含 E、F 两点),求 m 的取值范围。
y C D

y C

D F

A O E

B

x

A O E

B

x

图1

图2

专题三:二次函数与面积
例题5:如图,抛物线y
y P C

x 4交坐标于A、B、C三点,点P在抛物线上,S△PAC 4,求P点的坐标。

O A B

x

练习:1、如图,抛物线y

2x 4与直线y x交于A、B两点,点M为第四象限的抛物线上一动点,当△

BOM的面积最大时,求点M的坐标。
B y

O A

M

2、已知抛物线y a

4ax b与x轴交于点A(1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3)。

(1)求抛物线的解析式; (2)如图1,点E为第一象限的抛物线上一点,若S△ABE
y C E

S四OBEC,求点E的坐标。

x O A B

专题四:二次函数与旋转、平移
例题6:如图,抛物线y 针旋转
y A 0 B x

4x 3与坐标轴交与A、B、C三点,点M在线段BC上,将线段OM绕点O逆时

,使点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上,求N的坐标。

C

例题 7 :如图,点 O 为坐标原点,直线 l 绕着点 A ( 0,2 )旋转,与经过点 C ( 0,1 )的二次函数

1 y ? x 2 ? h 交于不同的两点 P、Q. 4
(1)求 h 的值; (2)通过操作、观察算出△POQ 面积的最小值(不必说理) ; (3)过点 P、C 作直线,与 x 轴交于点 B,试问:在直线 l 的旋转过程中四边形 AOBQ 是否为梯形,若 是,请说明理由;若不是,请指明其形状.

【答案】解:(1)∵二次函数 y ?

1 2 x ? h 的图象经过 C(0,1), ∴ h=1。 4

(2)操作、观察可知当直线 l ∥x 轴时,其面积最小; 将 y=2 带入二次函数 y ?

1 2 x ? 1中,得 x ? ?2 4

∴ S 最小=(2× 4)÷ 2=4。

(3)连接 BQ,若 l 与 x 轴不平行(如图) ,即 PQ 与 x 轴不平行, 依题意,设抛物线 y ?

1 2 x ? 1上的点 4 1 4

P(a, a 2 ? 1 ) 、Q(b, b 2 ? 1 ) (a<0<b) 。 直线 BC:y=k1x+1 过点 P,

1 4

∴ a 2 ? 1 =ak1+1,得 k1= a 。 ∴直线 BC:y= a x+1 令 y=0 得:xB= ? ,过点 A 的直线 l:y=k2x+2 经过点 P、Q, ∴ a 2 ? 1 ? ak 2 ? 2?① , b2 ? 1=bk 2 ? 2?② 。 ①× b-②× a 得: (a 2b ? b2a) ,化简得:b= ? 。 ? b ? a ? 2(b ? a) ∴点 B 与 Q 的横坐标相同。∴BQ∥y 轴,即 BQ∥OA。 又∵AQ 与 OB 不平行,∴四边形 AOBQ 是梯形。 根据抛物线的对称性可得(a>0>b)结论相同。 若 l 与 x 轴平行,由 OA=2,BQ=2,OB=2,AQ=2,且∠AOB=900,得四边形 AOBQ 是正方形。故在直 线 l 旋转的过程中:当 l 与 x 轴不平行时,四边形 AOBQ 是梯形;当 l 与 x 轴平行时,四边形 AOBQ 是正 方形。 【分析】 (1)根据二次函数图象上的点的坐标特征,利用待定系数法求得 h 的值。 (2)操作、观察可得结论。实际上,由 P(a, a 2 ? 1 ) 、Q (b, b 2 ? 1 ) ( a<0<b) ,可求 得 b= ? (参见(3) ) 。

1 4

1 4

1 4

4 a

1 4

1 4

1 4

4 a

1 4

1 4

4 a

∴ S?POQ

? ? 1 1 4 4 4 ? OA ? x Q ? x P ? ? OA? | ? ? a |? (? )( ? ? a) =? ? ? ?a ? ? ? +4 2 2 a a a ? ?

2

4 ∴当 ? = ?a 即|a|=|b|(P、Q 关于 y 轴对称)时,△POQ 的面积最小。 a
即 PQ∥x 轴时,△POQ 的面积最小,且 POQ 的面积最小为 4。 (3)判断四边形AOBQ的形状,可从四个顶点的坐标特征上来判断.首先设出P、Q的坐标,然后根据点 P 、C求出直线BC的解析式,从而表示出点 B的坐标,然后再通过直线 PQ以及P 、A、Q三点坐标,求出 Q、B两点坐标之间的关联,从而判断该四边形是否符合梯形的特征。 练习: 1、如图1 ,已知△ABC为直角三角形,∠ ACB (1)求抛物线的解析式; ,AC BC,点A、C 在x轴上,点 B的坐标为 (3,m)(m>0),线段AB与y轴相较于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过B、D两点。

y B

y F E B

( 2 )如图 2 ,将( 1 )中的抛物线沿 y轴 向上平移 k 个单位,平移后的抛物线交线 段 BD 于 E 、 F两点,若 EF 值;
x P 图2 C

BD ,求 k 的

D A 0 P 图1 C x

D A 0

2 、如图 1 ,抛物线 y a

1与x轴

交于A 、B 两点,与 y轴负半轴交于点 C , 抛物线的对称轴交抛物线于点 D,交轴于

点E,若AB 2DE。 (1)求抛物线的解析式; (2)沿抛物线的对称轴向下平移抛物线,平移后的抛物线交线段 BC 于 F、G 两点,若 FG 移后的抛物线的解析式;
y A 0 E D B x

BC,求平

y A 0 G B x

C 图1

C

F 图2

专题五:二次函数与圆
例题 8 :如图,抛物线 y y x 2 与坐标轴交于 A 、 B 、 C 三点, C 、 D 两点关于原点对称。直线
y E D

x 1与对称轴交于E点,求tan∠EDA。

B x A O

C

1 例题 9:如图,抛物线 m: y ? ? (x ? h)2 ? k 与 x 轴的交点 4
B,与 y 轴的交点为 C,顶点为 M(3,
?

为 A、

25 ) ,将抛物线 m 绕点 B 旋 4

转 180 ,得到新的抛物线 n,它的顶点为 D. (1)求抛物线 n 的解析式;

(2)设抛物线 n 与 x 轴的另一个交点为 E,点 P 是线段 ED 上一个动点(P 不与 E、D 重合) ,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 F,连接 EF.如果 P 点的坐标为 (x, y) ,△PEF 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系 式,写出自变量 x 的取值范围,并求出 S 的最大值; (3)设抛物线 m 的对称轴与 x 轴的交点为 G,以 G 为圆心,A、B 两点间的距离为直径作⊙G,试 判断直线 CM 与⊙G 的位置关系,并说明理由.

【答案】解: (1)∵抛物线 m 的顶点为 M(3, ∴m 的解析式为 y ? ? (x ? 3)2 ?

25 ), 4

1 4

25 1 = ? (x ? 8)(x ? 2) 。∴ A(?2, 0), B(8, 0) 。 4 4 25 )。 4

∵抛物线 n 是由抛物线 m 绕点 B 旋转 180 得到,∴D 的坐标为 (13, ? ∴抛物线 n 的解析式为: y ? (x ? 13)2 ?

1 4

25 1 13 ,即 y ? x 2 ? x ? 36 。 4 4 2

(2)∵点 E 与点 A 关于点 B 中心对称,∴E (18, 0) 。 设直线 ED 的解析式为 y ? kx ? b ,∴直线 ED 的解析式为 y ? 又点 P 的坐标为 (x, y) , ∴S ?

5 45 x? 。 4 2

1 1 1 5 45 1 5 45 OF ? FP ? x ? y ? ? xy = ? x( x ? ) = ? x 2 ? x(13 ? x ? 18) 。 2 2 2 8 4 2 4 2
90 8

∴当 x ? ?

5 2 ? (? ) 8

? 9 时,S 有最大值。但 13 ? x ? 18 ,∴△PEF 的面积 S 没有最大值 。

(3)直线 CM 与⊙G 相切。理由如下: ∵抛物线 m 的解析式为 y ? ? (x ? 8)(x ? 2) ,令 x ? 0 得 y ? 4 。∴ C(0, 4) 。 ∵抛物线 m 的对称轴与 x 轴的交点为 G,∴OC=4,OG=3, GM ? ∴由勾股定理得 CG=5。 又∵AB=10,∴⊙G 的半径为 5,∴点 C 在⊙G 上。 过 M 点作 y 轴的垂线,垂足为 N, 则 CM2 ? CN2 ? MN2 ? (

1 4

25 。 4

25 225 。 ? 4)2 ? 32 ? 4 16

又 CG2 ? CM2 ? 52 ?

225 625 25 2 ? ?( ) , 16 16 4

∴ GM 2 ? CG 2 ? CM2 。 根据勾股定理逆定理,得∠GCM=900。∴ CG ? CM 。∴直线 CM 与⊙G 相切。 【分析】 (1)由抛物线 m 的顶点坐标写出抛物线 m 的顶点式方程,化为交点式方程即可求出 A、B 两点 的坐标,根据旋转的性质即可求出抛物线 n 的解析式。 (2)求出直线 ED 的解析式,由点 P 在直线 ED,可知 P (x,

5 90 x ? ) ,从而求出△PEF 的面积 S 的函数 4 4

关系式,由点 P 在线段 ED 上得 13 ? x ? 18 。从而根据二次函数最值的求法得出结果。 (3)要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系,由AB=10,得⊙G的半径为 5。求出CG,知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理,得出 GM 2 ? CG 2 ? CM2 。从而得出 CG ? CM ,得 出直线CM与⊙G相切的结论。 练习:1、抛物线 的顶点,直线 轴,垂足为 与 , 轴相交于 . , 两点,与 轴相交于 , 为抛物线

(1)求这个抛物线的解析式; (2) 为直线 上的一动点,以 为斜边构造直角三角形,使直角顶点落在 轴上.若在

轴上的直角顶点只有一个时,求点

的坐标;

y C

P B E D A O x

2、如图1,抛物线y a (1)求抛物线的解析式;

4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M为抛物线的顶点,直线MD⊥x

轴于点D,E是线段DM上一点,DE 1,且∠DBE ∠BMD。 ( 2 ) P 是抛物线上一点,且△ PBE 以 BE 为一条直角边的直角三角形, 求出所有符合条件的P点的坐标; (3)如图 2,N 为线段 MD 上一个
E A O D 图1 B x
A O D 图2 B x

y C

M

y C


M

请 动

点,以 N 为等腰三角形顶角顶点,NA 为腰构造等腰△NAG,且 G 点落在直线 CM 上,若在直线 CM 上 满足条件的 G 点有且只有一个时,求点 N 的坐标

3、如图,抛物线y a

4ax b交x轴于A(1,0)、B两点,交y轴于C,且S△ABC 3。

(1)求抛物线的解析式; (2)若点F(m,2m 5)为第一象限的抛物线上一点,点K为x轴负半轴上一点,以k为圆心作⊙K,且⊙ K与直线CF和直线AF都只有一个公共点,求K点的坐标; (3)点 P 为对称轴右侧的抛物线上一点,点 M 为 x 轴上一点,且 PM PA PC,求点 M 的坐标。
y C
C y

y C

x O A B
O A 备用图1 B

x

x O A 备用图2 B

专题五 例 10.如图,抛物线 y=ax +bx+c 关于直线 x=1 对称,与坐标轴交与 A,B,C 三点,且 AB=4,点 D(2, )在抛物线上,直线 l 是一次函数 y=kx﹣2(k≠0)的图象,点 O 标原点. (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 l 平分四边形 OBDC 的面积,求 k 的值; (3)把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物 直线 l 交于 M,N 两点,问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P,使得 k 取何值,直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称?若存在,求出 P 点坐 若不存在,请说明理由. 线与 不论 标; 是坐
2

解答: 解: (1)因为抛物线关于直线 x=1 对称,AB=4,所以 A(﹣1,0) ,B(3,0) , 设抛物线的解析式为 y=a(x+1) (x﹣3) , ∵ 点 D(2, )在抛物线上,∴ =a×3×(﹣1) ,解得 a= ∴ 抛物线解析式为:y= (x+1) (x﹣3)= x +x+ .
2



(2)抛物线解析式为:y=

x +x+ ,令 x=0,得 y= ,∴ C(0, ) ,

2

∵ D(2, ) ,∴ CD∥ OB,直线 CD 解析式为 y= . 直线 l 解析式为 y=kx﹣2,令 y=0,得 x= ;令 y= ,得 x= ; , ) ,

如答图 1 所示,设直线 l 分别与 OB、CD 交于点 E、F,则 E( ,0) ,F( OE= ,BE=3﹣ ,CF= ,DF=2﹣ .

∵ 直线 l 平分四边形 OBDC 的面积, ∴ S 梯形 OEFC=S 梯形 FDBE, ∴ (OE+CF)?OC= (FD+BE)?OC, ∴ OE+CF=FD+BE,即: + 解方程得:k= ,经检验 k=
2

=(3﹣ )+(2﹣

) , .

是原方程的解且符合题意,∴ k=
2

(3)假设存在符合题意的点 P,其坐标为(0,t) . 抛物线解析式为:y= x +x+ = (x﹣1) +2, x.
2

把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线解析式为:y= 依题意画出图形,如答图 2 所示,过点 M 作 MD⊥ y 轴于点 D,NE⊥ y 轴于点 E, 设 M(xm,ym) ,N(xn,yn) ,则 MD=﹣xm,PD=t﹣ym;NE=xn,PE=t﹣yn. ∵ 直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称,∴ ∠ MPD=∠ NPE, 又∠ MDP=∠ NEP=90°, ∴ Rt△ PMD∽ Rt△ PNE,∴ ,即 ① ,

∵ 点 M、N 在直线 y=kx﹣2 上,∴ ym=kxm﹣2,yn=kxn﹣2, 代入① 式化简得: (t+2) (xm+xn)=2kxmxn ② 把 y=kx﹣2 代入 y= x. ,整理得:x +2kx﹣4=0,
2 2

∴ xm+xn=﹣2k,xmxn=﹣4,代入② 式解得:t=2,符合条件. 所以在 y 轴正半轴上存在一个定点 P(0,2) ,使得不论 k 取何值,直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴 对称.

【反馈练习】 1.已知抛物线 y ? ax 2 ? 3ax ? b 交 x 轴分别于 A、B(1,0) ,交 y 轴于 C(0,2). (1)求此抛物线的解析式; (2)如图(1) ,P 为抛物线第三象限的点,在抛物线上是否存在点 P,使得 S ? PAC ? 2S ?PBC ,若存在, 求 P 点坐标; (3)如图(2) ,D 为抛物线的顶点,在抛物线上是否存在点 Q,使△ADQ 为直角三角形,若存在,求出 Q 点的坐标
y C A O B

y D
x

C A O B x

P
图(1)

图(2)

1.(1) y ? ? x 2 ?

1 2

3 x?2; 2

( 2 )设 PC 交 x 轴于 M ,过 A 、 B 分别作 PC 的垂线,垂足分别为 S 、 T ,若 S ? PAC ? 2S ?PBC ,则

AM AS 2 10 2 ? 2 ? ? ? 2 ? AM ? AB ? ? OM ? ? D? ? ,0 ? MB BT 3 3 3 ? 3 ?

? y ? 3x ? 2 ? ∴ 直线CM : y ? 3x ? 2 ,联立 ? 得 P(-9,-25) ; 1 3 y ? ? x2 ? x ? 2 ? 2 2 ?
(3)存在 Q(0,2)和 Q(

13 102 , ). 5 25
2

2. 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y= a (x+1) +c 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的 左侧),与 y 轴交于点 C,其顶点为 M,若直线 MC 的函数表达式为 y ? kx ? 3 ,与 x 轴的交点为 N,且 COS∠BCO=

3 10 . 10

(1)求此抛物线的函数表达式; (2)在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P,使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角 三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,分别过 A、C 两点作 x 轴和 y 的垂线,两条垂线相交于点 D,T 为 OC 的中点问:是否在 OA 上存在一点 P(点 P 不与 A、O 两点重合) ,使得∠TPD=∠PDC?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在, 说明理由.

(1) (2)

(3)提示:延长 PT 交 DC 的延长线于点 S,作 SH⊥PD.易证 ADCO 是边长为 3 的正方形,证△TOA≌△

TCS,△SPD 是等腰三角形.设 OP=a,则 AD=3,DP = ( 3 ? a) ? 9 , AP= 3 ? a ,
2

2

SD= 3 ? a , DH=
2

1 AP DH 2 ? DP , 证 △ PAD ∽ △ DHS , 得 , 2AP · DS=DP , 2 ( 3 ? a ) ( 3? a ) 2 DP DS

= ,∴P(-2,0). ( 3 ? a) ? 9 ,解得:a1=2,a2=0(不合题意,舍去) 3.如图 1,抛物线 y ? (2a ? 1 )x 2 - 4ax ? b 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴正半轴交于点 C,直线 BC 的 解析式为: y ? kx ? 3k , tan∠OCB =1. (1)求此抛物线的解析式; (2)如图 2,若 y 轴负半轴上点 M,此抛物线上点 N,关于直线 AC 对称,求点 N 的坐标; (3)设 D 为该抛物线的顶点,在此抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使得△ PAD 与△ ABC 相似,若存 在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

25、 (1)y=x -4x+3; (2)解:连接 AN 交 x 轴于 E,过点 A 作 AF⊥CE 于 F,设 AE=x ∵M、N 关于 AC 对称 ∴∠ACO=∠ACE ∴AF=OA=1 又∵⊿AFE∽⊿COE ∴

2

EF OE ? AF OC x ?1 3
2

∴ EF ?
2

∵ EF ? AF
2

? AE 2

? x ? 1? 2 2 ∴? ? ?1 ? x 3 ? ?
解得: x1 ? 0(舍去) x 2 ? ∴E ? ,0 ?

5 4 4 y ? ? x?3 3

?9 ? ?4 ?

∴直线 CE 的解析式为

4 ? ?y ? ? x ? 3 ∴ ? 3 2 ? y ? x ? 4x ? 3 ?

解得:N ? ,? ?

?8 ?3

5? 9?

或:设 MN 交直线 AC 于 D,作 DD1⊥OB 于 D1,作 NH⊥DD1 于 H 设 AD1=m,则点 N 的横坐标为 2m+2,纵坐标为(2m+2)2-4(2m+2)+3

tan∠OCA = tan∠ADD1 = tan∠DNH ,NH=m+1

DH = 3m + [(2m + 2)2 - 4(2m + 2) + 3] ,又 NH=3DH
即 3m2+2m-1=0 m 1=

1 3

m2=-1(舍去)

∴N(

8 5 ,- ) 3 9

(3)D(2,-1) ,则∠ADP=∠ABC=45° 分两种情况 Ⅰ Ⅱ

AD AB ? PD BC AD BC ? PD AB

P1 ?2,2?
1? ? P2 ? 2,? ? 3? ?

4.已知,如图,在平面直角坐标系中,点 A 坐标为(-2,0),点 B 坐标为 (0,2 ) ,点 E 为线段 AB 上的 动点(点 E 不与点 A,B 重合),以 E 为顶点作∠OET=45° ,射线 ET 交线段 OB 于点 F,C 为 y 轴正半轴上 一点,且 OC=AB,抛物线 y= ? 2 x2+mx+n 的图象经过 A,C 两点. (1) 求此抛物线的函数表达式; (2) 求证:∠BEF=∠AOE; (3) 当△EOF 为等腰三角形时,求此时点 E 的坐标; (4) 在(3)的条件下,当直线 EF 交 x 轴于点 D,P 为(1) 中抛物线上一动点,直线 PE 交 x 轴于 点 G,在直线 EF 上方的抛物线上是否存在一点 P,使得△EPF 的面积是△EDG 面积的( 2 2 ? 1 ) 倍.若 存在,请直接 写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. ..

【答案】解: (1)∵A (-2, 0) , B (0, 2) ,∴OA=OB=2 。 ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2 2 。 ∵OC=AB,∴OC=2 2 , 即 C (0, 2 2 ) 。

∵抛物线 y=- 2 x2+mx+n 的图象经过 A、C 两点,得

? ? ??4 2 ? 2m ? n ? 0 ?m ? ? 2 ,解得: ? 。 ? ? ? ?n ? 2 2 ?n ? 2 2
∴抛物线的表达式为 y=- 2 x2- 2 x+2 2 。 (2)证明:∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠BAO=∠ABO=45° 。 又 ∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45° +∠AOE , ∠BEO=∠OEF+∠BEF=45° +∠BEF ∴∠BEF=∠AOE。 (3)当△EOF 为等腰三角形时,分三种情况讨论 ①当 OE=OF 时, ∠OFE=∠OEF=45° , 在△EOF 中, ∠EOF=180° -∠OEF-∠OFE=180° -45° -45° =90° 。 又∵∠AOB=90° ,则此时点 E 与点 A 重合, 不符合题意, 此种情况不成立。 ②如图①, 当 FE=FO 时,∠EOF=∠OEF=45° 。 在△EOF 中,∠EFO=180° -∠OEF-∠EOF=180° -45° -45° =90° , ∴∠AOF+∠EFO=90° +90° =180° 。∴EF∥AO。 ∴ ∠BEF=∠BAO=45°。 又∵ 由 (2) 可知 ,∠ABO=45° ,∴∠BEF=∠ABO。 ∴BF=EF。∴EF=BF=OF= ,

1 1 OB= × 2=1 。∴ E(-1, 1)。 2 2

③如图②, 当 EO=EF 时, 过点 E 作 EH⊥y 轴于点 H , 在△AOE 和△BEF 中, ∵∠EAO=∠FBE, EO=EF, ∠AOE=∠BEF, ∴△AOE≌△BEF(AAS) 。∴BE=AO=2。 ∵EH⊥OB ,∴∠EHB=90° 。∴∠AOB=∠EHB。 ∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45° 。 在 Rt△BEH 中, ∵∠BEH=∠ABO=45°,∴EH=BH=BEcos45° =2×

2 = 2。 2

∴OH=OB-BH=2-2 2 。∴ E(- 2 , 2- 2 )。 综上所述, 当△EOF 为等腰三角形时,点 E 坐标为 E(-1, 1)或 E(- 2 , 2- 2 )。

(4) P(0, 2 2 )或 P (-1, 2 2 ) 。 假设存在这样的点 P。当直线 EF 与 x 轴有交点时,由(3)知,此时 E(- 2 , 2- 2 )。 过点 E 作 EH⊥y 轴于点 H,则 OH=FH=2- 2 。 由 OE=EF,易知点 E 为 Rt△DOF 斜边上的中点,即 DE=EF。 过点 F 作 FN∥x 轴,交 PG 于点 N。 易证△EDG≌△EFN,因此 S△EFN=S△EDG。 依题意,可得 S△EPF=( 2 2 ? 1 )S△EDG=( 2 2 ? 1 )S△EFN, ∴PE:NE= 2 2 ? 1 。 过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,分别交 FN、EH 于点 S、T,则 ST=TM=2- 2 。 ∵FN∥EH,∴PT:ST=PE:NE= 2 2 ? 1 。 ∴PT=( 2 2 ? 1 )ST=( 2 2 ? 1 ) (2- 2 )=3 2 -2。 ∴PM=PT+TM=2 2 ,即点 P 的纵坐标为 2 2 。 ∴2 2 =- 2 x2- 2 x+2 2 ,解得 x1=0,x2=-1。 ∴P 点坐标为(0, 2 2 )或(-1, 2 2 ) 。 综上所述,在直线 EF 上方的抛物线上存在点 P,使得△EPF 的面积是△EDG 面积的( 2 2 ? 1 )倍,点 P 的坐标为(0, 2 2 )或(-1, 2 2 ) 。

5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在原点的左侧, B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于 C(0,﹣3)点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的表达式. (2)连接 PO、PC,并把△POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POP′C,那么是否存在点 P,使四边形 POP′C 为菱形?若存在,请求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大 面积.

2

?9a+3b+c=0 ? b= ? 2 2 【答案】解: (1)将 B、C 两点的坐标代入 y=x +bx+c 得 ? ,解得 ? 。 ?c= ? 3 ?c= ? 3
∴二次函数的表达式为:y=x ﹣2x﹣3。 (2)存在点 P,使四边形 POP′C 为菱形。 设 P 点坐标为(x,x ﹣2x﹣3) ,PP′交 CO 于 E, 若四边形 POP′C 是菱形,则有 PC=PO。 连接 PP′,则 PE⊥CO 于 E。 ∴OE=EC=
2 2 2

3 。 2 3 2

∴x ﹣2x﹣3= ? , 解得 x1 =

2+ 10 2 ? 10 ,x 2 = (不合题意,舍去) 。 2 2 2+ 10 3 ,? ) 。 2 2
2

∴P 点的坐标为(

(3)过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F,设 P(x,x ﹣2x﹣3) , 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,则

? k=1 ?3k+b=0 ,解得 ? 。∴直线 BC 的解析式为 y=x﹣3。 ? ? b= ? 3 ?b= ? 3
则 Q 点的坐标为(x,x﹣3) 。 ∴ S四边形ABPC ? S?ABC ? S?BPQ ? S?CPQ

?

1 1 1 ? AB ? OC ? ? QP ? OF ? ? QP ? BF 2 2 2

1 1 3? 3 ? 75 ? ? 4 ? 3+ ? ? x 2 ? 2x ? 3 ? ? x ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? x ? ? + ? ? 2 2 2? 2? 8
15 ? 3 ?3 ∴当 x= 时,四边形 ABPC 的面积最大,此时 P 点的坐标为 ? ,? ? ,四边形 ABPC 的面积的最大值 4? 2 ?2


?

?

2

75 。 8

优录 1.设 P=

2 2012 ? 1 2 2013 ? 1 , Q = ,则 P 与 Q 的大小关系是 A 2 2013 ? 1 2 2014 ? 1
B.P=Q C.P<Q D.不能确定

A.P>Q

2 .在直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点,称为整点.设 k 为整数,当直线 y ? x ? 2 与直线

y ? kx ? 4 的交点为整点时, k 的值可以取 D
A.8 个 A.152 C.132 B.7 个 B.143 D.108 C.6 个 D.5 个 3.如图,矩形 ABCD 被分割成六个正方形,其中最小正方形的面积等于 1,则矩形 ABCD 的面积等于 B

A

D

4.直线 y ?

C B 1 x ? k 与 x 轴的交点分别为 A、B,如果 S△AOB≤1,那么, k 的取值范围是 C 2
B. 0< k ≤1 C.-1≤ k ≤1 D. k ≤-1 或 k ≥1

A. k ≤1

5.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB⊥BC,E 是 AD 的中点, AB ? BC ? CD ? 6 ,
BE ? 5 ,则梯形 ABCD 的面积等于 D

D E A

C

A. 13

B. 8 D. 4

13 C. 2

B

6.设 x1,x2 是方程 x2-x-2013=0 的两实数根,则 x13+2014x2-2013=______. 【答案】2014. 【解析】依题意可知 x1+x2=1,x1x2=-2013,且 x12-x1-2013=0.∴x12=x1+2013①.将①式两边同 时乘以 x1,得 x13=x12+2013x1②.将①代入②,得 x13=2014x1+2013.∴x13+2014x2-2013=2014x1+ 2013+2014x2-2013=2014(x1+x2)=2014. 7.不论 k 取什么实数,关于 x 的方程

2kx ? a x ? bk ? ? 1 ( a 、 b 是常数)的根总是 x =1,那么 3 6

1 ; 2 8 .如图 , AB 是半径为 R 的圆 O 的直径 , 四边形 CDMN 和 DEFG 都是正方形 . 其中 C , D, E 在 AB 上,
a?b ?
.?

F , N 在半圆上,则两个正方形的面积之和为

.. R

2

1 9. 已知抛物线 C1 的顶点为 P(1,0) ,且过点(0, ) ,将抛物线 C1 向下平移 h ?h ? 0? 个单位得到抛物线 4

C2,一条平行于 x 轴的直线与两条抛物线交于 A、B、C、D 四点(如图) ,且点 A、C 关于 y 轴对称,直线 AB 与 x 轴的距离是 m2 ?m ? 0? .

⑴求抛物线 C1 的解析式的一般形式; ⑵当 m=2 时,求 h 的值; 1 ⑶若抛物线 C1 的对称轴与直线 AB 交于点 E,与抛物线 C2 交于点 F,求证 tan∠EDF -tan∠ECP= . 2 1 2 【答案】 :解: (1)依题意可设抛物线 C1 的解析式为 y ? k ?x ? 1? ,且过点(0, ). 4 所以

1 1 2 ? k ?0 ? 1? ,因此 k ? . 4 4

所以抛物线 C1 的解析式的一般形式为 y ? (2)由(1)知:抛物线 C1 的解析式 y ? 则依题意可设抛物线 C2 的解析式 y ?

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4 1 ?x ? 1?2 . 4

1 ?x ? 1?2 ? h . 4

因为直线 AB 与抛物线 C1 的相交于 B、C(在对称轴右边) , 且直线 AB 与 x 轴的距离是 m =4. 所以 4 ?
2

1 ?x ? 1?2 ,解得 x1 ? ?3, x2 ? 5 ;所以点 C(5,4) 4

又因为点 A、C 关于 y 轴对称 所以点 A(-5,4) 又因为点 A 为直线 AB 与抛物线 C2 的一个交点 所以 4 ?

1 ?? 5 ? 1?2 ? h 解得 h ? 5 4
2 2

因此,当 m=2 时, h 的值为 5. (3)证明:类似于(2)小题,可以很快求得点 C(1+2m,m ) 、点 A(-1-2m,m ) ,又因为点 A 与点D关 于直线 EF 对称,所以点 D(3+2m,m ). 所以 EC=2m,DE=2m+2,EP= m EF=h+m
2 2 2 2

又因为点 A(-1-2m,m )为直线 AB 与抛物线 C2 y ?
2 所以 m ?

1 ?x ? 1?2 ? h 的一个交点 4

1 ?? 1 ? 2m ? 1?2 ? h ,整理得 h ? 2m ? 1 4

所以 tan∠EDF-tan∠ECP=

EF EP m 2 ? 2m ? 1 m 2 1 ? ? ? = ED EC 2m ? 2 2m 2

练习: 1.边长为整数,周长等于 21 的等腰三角形共有 B A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 2.已知锐角△ABC 中,∠A=60°,BD 和 CE 都是△ABC 的高。如果△ABC 的面积为 12, 那么四边形 BCDE 的面积为 C A.6 B.8 C.9 D.10

3.一个商人用 m 元( m 是正整数)买来了 n 台( n 为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给 某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利 500 元,结果该商人获得利润为 5500 元,则 n 的 最小值是 C A.11 B.13 C.17 D.19

4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx(k 为常数)与抛物线 y ? 轴左侧,P 点坐标为(0,-4) ,连接 PA,PB.有以下说法: ① PO ? PA ? PB ;
2

1 2 x ? 2 交于 A,B 两点,且 A 点在 y 3

② 当 k>0 时, (PA+AO) (PB-BO)的值随 k 的增大而增大; ③ 当k ? ?

3 2 时, BP ? BO ? BA ; 3

④ PAB 面积的最小值为 4 6 . 其中正确的是___________.(写出所有正确说法的序号) 答案:③④ 解析:如图,无法证明△PAO∽△POB,故①不一定成立;对于②,取特殊值估算,知(PA+AO) (PB-

? 3 y?? x ? 3 ? 3 BO)的值不是随 k 的增大而增大,也错。对于③,当 k ? ? 时,联立方程组: ? ,得 A 3 1 ? y ? x2 ? 2 ? 3 ?
(-2 3 ,2) ,B( 3 ,-1) ,BP2=12,BO?BA=2×6=12,故③正确;对于④,设

1 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则三角形 PAB 的面积为:S= ? 4(? x1 ? x2 ) = 2

2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? y ? ?kx ? 2 又? ,得 x ? 3kx ? 6 ? 0 ,所以, x1 ? x2 ? 3k , x1 x2 ? ?6 ,因此, 1 2 y ? x ?2 ? 3 ?
S= 2 9k 2 ? 24 ,当 k=0 时,S 最小为 4 6 ,故 4 6 正确。

5.若 a ? 2b ? 3c ? 5 , 5a ? 6b ? 7c ? 8 ,则 9a ? 2b ? 5c ? 将 C1 绕点 A1 旋转 180° 得 C2,交 x 轴于点 A2; 将 C2 绕点 A2 旋转 180° 得 C3,交 x 轴于点 A3; …… 如此进行下去,直至得 C13.若 P(37,m) 在第 13 段抛物线 C13 上,则 m =_________. 答案:2 解析:C1:y=-x(x-3)(0≤x≤3) C2:y=(x-3)(x-6)(3≤x≤6) C3:y=-(x-6)(x-9)(6≤x≤9) C4:y=(x-9)(x-12)(9≤x≤12) ┉

. 28;

6.如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3) ,记为 C1,它与 x 轴交于点 O,A1;

C13:y=-(x-36)(x-39)(36≤x≤39) ,当 x=37 时,y=2,所以,m=2。 7.如图,在△ABC 中,中线 CM 与高线 CD 三等分 ?ACB ,则 ?B 等于 C 度. 30 ? ;

B M D 8.如图 1,在平面直角坐标系中,直角梯形 ABCD 的直角顶点 DA 与原点重合,另一直角顶点 A 在 y 轴的 正半轴上,点 B、C 的坐标分别为 B(12,8) 、C(14,0) ,AD 为⊙E 的直径.,点 M、N 分别从 A、C 两 点同时出发做匀速运动,其中点 M 沿 AB 向终点 B 运动,速度为每秒 1 个单位;点 N 沿 CD 向终点 D 运 动,速度为每秒 3 个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动. (1)如图 2,设点 M、N 的运动时间为 t 秒,当 t 为何值时,四边形 MBCN 为平行四边形? (2)在(1)的条件下,连结 DM 与⊙E 相交于点 P,求弦 DP 的长; (3)已知二次函数的图象经过 D 及(1)中的点 M、N,求该二次函数的解析式;

(4)在运动过程中,是否存在使直线 MN 与⊙E 相切的情形?如果存在,请求出直线 MN 的解析 式;如果不存在,请说明理由.(图 3 供解答本小题用)

.解: (1)由 MB=NC 得 12—t=3t

∴t=3

故当 t=3 时,四边形 MBCN 为平行四边形 (2)连结 AP 可知 AD=8,AM=3, ∴DM= 8 2 ? 32 = 73 ∴

PD AD , ? AD DM
64 64 AD 2 = = 73 DM 73 73

∴PD=

(3)可知 DN=DC—NC=14—3×3=5,∴N(5,0)又 M(3,8) ,D(0,0) 设过 D、M、N 的二次函数的解析式为 y = a x ( x —5) ,将(3,8)代入 得 8=3×(3-5) ·a 所求解析式为 y = — ∴a = —

4 4 20 ,即 y = — x 2 + x ( x —5) x ……(10 分) 3 3 3

4 3

(4)假设存在 MN 与⊙E 相切,切点为 F,作 MG⊥DC 于 G 可知 MF=MA=t,FN=DN=14—3t, ∴MN=14—2t,NG = t—(14—3t) = 4t—14 Rt△DMG 中,MN2=NG2+MG2 得 (14—2t ) 2 = (4 t—14 ) 2 +82

∴t1=2,t2=

8 3

8 ∴M1(2,8) ,N1(8,0)和 M2( ,8) ,N2(6,0) 3
设直线 MN 的解析式为 y=k x +b, 将 M1(2,8) ,N1(8,0)代入 得 M1N1……:y = —

4 32 x+ 3 3

8 将 M2( ,8) ,N2(6,0)代入 3
得 M2N2……:y = —

12 72 x+ 5 5 4 32 x+ 3 3

故存在直线 MN:y = — 或y=—

12 72 x+ 5 5

与⊙E 相切。


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