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天津市河西区届高三数学第二次模拟考试试题 文解析


天津市河西区 2016 届高三数学第二次模拟考试试题 文
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 10 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷 共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: ·柱体的体积公式 V ? Sh ·锥体的体积公式 V ? ·如果事件 A , B 互斥,那么

1 Sh 3

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

其中 S 表示柱(锥)体的底面面 积

h 表示柱(锥)体的高
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)已知全集 U ? {x ? Z | 1 ? x ? 5} , A ? {1 , 2 , 3} , CU B ? {1 , 2} ,则 A ? B ? (A) {1 , 2} ( C) {3} (B) {1 , 3} (D) {1 , 2 , 3}

(2)函数 f ( x) ? x lg(2 ? x) 的定义域为
1

(A) ( 0 , 2 ) (C) ( 0 , 2 ]

(B) [ 0 , 2 ] (D) [ 0 , 2 )

(3)已知命题 p :“ ?x ? 0 ,有 e x ? 1 成立”,则 ?p 为 (A) ?x0 ? 0 ,有 e x0 ? 1 成立 (C) ?x0 ? 0 ,有 e x0 ? 1 成立 (B) ?x0 ? 0 ,有 e x0 ? 1 成立 (D) ?x0 ? 0 ,有 e x0 ? 1 成立

(4)在边长为 8 的正方形 ABCD 内任取一点 M ,则 ?AMB ? 90? 的概率为 (A)

?
8

(B) 1 ?

?
8

(C)

?
4

(D) 1 ?

?
4

(5)已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下列四个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ; ②若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;③若 l ∥ m ,则 ? ? ? ;④若 l ? m ,则 ? ∥ ? . 其中,正确命题的序号是 (A)①② (C)①③ (B)③④ (D)②④

x 2 16 y 2 (6) 已知双曲线 C 1 : ? 2 ? 1 ( a ? 0 ,b ? 0) 的左焦点在抛物线 C 2 :y 2 ? 2 px( p ? 0) 3 p
的准线上,则双曲线 C 1 的离心率为 (A)

4 3
2 3 3

(B) 3

(C)

(D) 4

(7)将函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
4

) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,再将图象上每一点
2

的横坐标缩短到原来的 值为 (A)

1 ? (纵坐标不变),所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正 2 4

?

8 3? (C) 4

(B) (D)

3? 8

?
2

(8)若“ x ?1 ”是“不等式 2 x ? a ? x 成立”的必要而不充分条件,则实数 a 的取值范围 是 (A) a ? 3 (C) a ? 4 (B) a ? 3 (D) a ? 4

河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二) 数 学 试 卷(文史类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 .把答案填在题中横线上. (9 )统计某学校高三年级某班40名学生的数学 期末考试成绩,分数均在40至100之间,得到

3

的频率分布直方图如图所示.则图中 a 的值 为 .

(10)已知 z 是纯虚数,

z?2 是实数( i 是虚数单位),那么 z ? 1? i
开始
i=1,S=0 i=i+1 S=S+i2 否

.

(11)执行如 图所示的程序框图,输出的 S 值 为 .

S = S -i 2 是

i是奇数? i<4?
否 是

输出S 结束

(12)一个圆经过椭圆 方程为

x2 y2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准 16 4

C D A B E

(13)如图,四边形 ABDC 内接于圆, BD ? CD ,

BD ? AB ,过点 C 的圆的切线与 AB 的延长线
交于点 E , BC ? BE , AE ? 2 , 则 AB ? .

(14)在直角梯形 ABCD 中,已知 BC ∥ AD , AB ? AD , AB ? AD ? 4 , BC ? 2 ,若 P 为线段 CD 上一点,且满足 DP ? ? DC , PA ? PB ? 5 ,则 PA = .
4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15 )(本小题满分 13 分) 在锐角 ?ABC 中,?A ,?B ,?C 所对的边长分别为 a ,b ,c , 已知 a ? 7 ,b ? 3 ,

7 sin B ? sin A ? 2 3 .
( Ⅰ)求 ?A 的大小; (Ⅱ )求 ?ABC 的面积.

(16)(本小题满分 13 分) 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克, B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元, 每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料 都不超过 12 千克,求如何安排生产计划,才能使公司获得最大的利润?求出最大利润.

5

(17)(本小题满分 13 分) 在如图所示的几何体中,平面 ACDE ? 平面 ABC , CD ∥ AE , F 是 BE 的中点,
?ACB ? 90? , AE ? 2CD ? 2 , AC ? BC ? 1 , BE ? 6 .

E D F

(Ⅰ)求证: DF ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求证: DF ? 平面 ABE ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? BCE 的体积.

C A B

6

(18)(本小题满分 13 分) 已知直线 l n : y ? x ? 2n 与圆 Cn : x 2 ? y 2 ? 2an ? n 交于不同的两点 An , Bn ,

n ? N * .数列 {a n } 满足: a1 ? 1 , an?1 ?

1 2 An Bn . 4

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式 a n ; (Ⅱ)若 bn ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n ; 4an

7

(19)(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为 O ( 0 , 0 ) ,焦点为 F ( 0 , 1) . (Ⅰ)求抛物 线 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A , B 两点,若直线 AO , BO 分别交直线

l : y ? x ? 2 于 M 、 N 两点,求 MN 的最小值.

8

(20)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ,曲线 f ( x) 在点( e , f (e) )处的切线与直线 e2 x ? y ? e ? 0 x

垂直(其中 e 为自然对数的底数). (Ⅰ)若 f ( x) 在( m , m ? 1 )上存在极值,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,

2e x ?1 f ( x) . ? e ? 1 ( x ? 1)( xe x ? 1 )

9

河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二) 数学试卷(文史类)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. CDBA CCBA

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 0.03 (14) 13 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) (10) ? 2i (11) ? 6 (12) ( x ? ) 2 ? y 2 ?

3 2

25 4

(13) 5 ? 1

a b ,得 7 sin B ? 3sin A , ? sin A sin B 3 因为 7 sin B ? sin A ? 2 3 ,解得 sin A ? , 2
(Ⅰ)解:由正弦定理 因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ? (Ⅱ)解:由余弦定理 cos A ? 解得 c ?1 或 c ? 2 , 当 c ?1 时,因为 cos B ?

????2 分 ????4 分 ????5 分

?
3

.

b2 ? c2 ? a2 1 9 ? c2 ? 7 ,得 ? , 2bc 2 6c
????8 分

a2 ? c2 ? b2 7 ?? ?0, 2ac 14
10

所以 ?B 为 钝角,不合题意,舍去; 当 c ? 2 时,因为 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 7 ? ? 0 ,且 b ? c , b ? a , 2ac 14
?? ??10 分 ????13 分

所以 ?ABC 为锐角三角形,符合题意, 所以 ?ABC 的面积 S ?

1 3 3 bc sin A ? . 2 2

(16)(本小题满分 13 分) 解:设每天生产甲产品 x 桶、乙产品 y 桶,每天的利润为 z ? 300x ? 400 y ,????2 分

? x ? 2 y ? 12 ? 由题意 x , y 满足 ?2 x ? y ? 12 , ? x ? 0, y ? 0 ?
可行域如图所示,

????5 分

B

????7 分

1 3 1 z ,得到斜率为 ? ,在 y 轴上截距为 z 的一 4 400 400 1 族平行直线.由图可以看出, 当直线 z ? 300x ? 400 y 经过可行域上的点 B 时, 截距 z最 400
把 z ? 300x ? 400 y 变形为 y ? ? x ? 大. ????8 分 ????10 分 ????12 分

3 4

? x ? 2 y ? 12 解方程组 ? ,得点 B 的坐标为 ( 4 , 4 ) , ?2 x ? y ? 12
所以 z ? 300x ? 400 y ? 300 ? 4 ? 400 ? 4 ? 2800 元,

答:每天生产甲产品 4 桶、乙产品 4 桶时,能获得最大利润,最大利润为 2800 元. ????13 分
E D F
11

(17)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:设 M 为 AB 的中点,连结 FM , CM , 在 ?ABE 中, F 是 BE 的中点, FM ∥ AE , FM ? 又因为 CD ∥ AE ,且 CD ?

1 AE , 2

1 AE ,所以 CD ∥ FM , CD ? FM , 2

所以四边形 CDFM 为平行四边形,所以 DF ∥ CM , 因为 DF ? 平面 ABC , CM ? 平面 ABC , 所以 DF ∥平面 ABC . (Ⅱ)解:在直角三角形 ABC 中, AC ? BC ? 1 ,所以 AB ? 2 , 因为 BE 2 ? AE 2 ? AB 2 ,所以 ?ABE 为直角三角形, AE ? AB , 已知平面 ACDE ? 平面 ABC ,平面 ACDE ? 平面 ABC ? AC , 又因为 ?ACB ? 90? ,所以 AC ? BC , ????5 分 ????4 分

BC ? 平面 ACDE ,所以 BC ? AE ,
又 BC ? AB ? B ,所以 AE ? 平面 ABC , 因为 CM ? 平面 ABC ,所以 AE ? CM , 在 ?ABC 中,因为 AC ? BC , M 为 AB 的中点,所以 CM ? AB , 又 AE ? AB ? A ,所以 CM ? 平面 ABE , 由(Ⅰ)知 DF ∥ CM ,所以 DF ? 平面 ABE . ????9 分 ????7 分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知 BC ? 平面 ACDE ,所以 BC 为三棱锥 B ? CDE 的高, 所以 VD? BCE ? VB ?CDE ? ? S?CDE ? BC ? (18)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:圆 Cn 的圆心到直线 l n 的距离 d n ?

1 3

1 . 6

????13 分

2n 2

? n ,半径 rn ? 2an ? n ,

所以 an?1 ?

a 1 2 2 2 An Bn ? rn ? d n ? 2an ,即 n ?1 ? 2 , an 4

????4 分

12

又 a1 ? 1 ,所以数列 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,

an ? 2n?1 .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, bn ? 所以 Tn ?

????6 分

n n ? n ?1 , 4an 2

????8 分

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n?2 , 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 n?2 两式相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?2 ? ? n? 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 所以 Tn ? 1 ? n?1 . 2
(19)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 2 py ( p ? 0 ), 则

????13 分

p ? 1, p ? 2 , 2
????4 分

所以抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y . (Ⅱ)解:由题意,直线 AB 的斜率存在,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,

????5 分

? y ? kx ? 1 由? 2 ,消去 y ,整理得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ? x ? 4y
x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,
从而 x1 ? x2 ? 4 k 2 ? 1 , ????8 分 ????9 分

由?

y ? 2 x1 2 x1 8 ?y? 1 x , ? ? x1 ,解得点 M 的横坐标 xM ? 2 x1 ? y1 4 ? x1 x 1 ? x1 ? ?y ? x ? 2 4
8 , 4 ? x2
13

同理点 N 的横坐标 x N ?

所以 MN ? 2 xM ? xN ? 8 2 令 4 k ? 3 ? t , t ? 0 ,则 k ? 当 t ? 0 时, MN ? 2 2

x1 ? x2 8 2 k 2 ?1 , ? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 4k ? 3

????11 分

t ?3 , 4

25 6 ? ?1 ? 2 2 , t2 t
????13 分

5 3 16 8 当 t ? 0 时, MN ? 2 2 ( ? ) 2 ? ? 2, t 5 25 5
综上所述,当 t ? ?

25 4 8 ,即 k ? ? 时, MN 的最小值是 2. 3 3 5

????14 分

(20)(本小题满分 14 分)

1 ? a ? ln x ,x?0, x2 1 a 1 由已知 f ' (e) ? ? 2 ,所以 ? 2 ? ? 2 ,得 a ? 1 , e e e ln x 1 ? ln x 所以 f ( x) ? , f ' ( x) ? ? 2 , x x
(Ⅰ)解: f ' ( x ) ? 当 x ? (0 , 1) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 当 x ? (1 , ? ?) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数, 所以 x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点,又 f ( x) 在( m , m ? 1 )上存在极值, 所 以 m ? 1 ? m ? 1 ,即 0 ? m ? 1 , 实数 m 的取值范围是 ( 0 , 1) . (Ⅱ)

????2 分

????6 分

2e x ?1 2e x ?1 f ( x) 1 ( x ? 1)(ln x ? 1) ? 即为 , ? ? xe x ? 1 e ? 1 ( x ? 1)( xe x ? 1 e ?1 x )

x ? ln x ( x ? 1)(ln x ? 1) ,则 g ' ( x ) ? , x2 x x ?1 再令 ? ( x) ? x ? ln x ,则 ? ' ( x) ? , x
令 g ( x) ? 因为 x ? 1 ,所以 ? ' ( x) ? 0 , ? ( x) 在 x ? (1 , ? ?) 上为增函数, 所以 ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? 0 ,所以 g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在 x ? (1 , ? ?) 上为增函数,

14

所以 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 ,故 令 h( x ) ?

g ( x) 2 , ? e ?1 e ?1

????9 分

2e x ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) ,则 , h ' ( x ) ? xe x ? 1 ( xe x ? 1) 2

因为 x ? 1 ,所以 1 ? e x ? 0 ,所以 h' ( x) ? 0 , h( x) 在 x ? (1 , ? ?) 上为减函数, 所以 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 所以

2 , e ?1

????12 分

2e x ?1 f ( x) g ( x) . ? ? h( x) ,即 e ? 1 ( x ? 1)( xe x ? 1 e ?1 )

????14 分

15


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