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2015-2016学年高中数学 1.6微积分基本定理练习 新人教A版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 1.6 微积分基本定理练习 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题 π π 1.(2015·广西柳州市模拟)由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封 3 3 闭图形的面积为( A. 1 2 3 2 ) B.1 D. 3

C.

[答案] D [解析] 由题意

得,S=2? 3 cosxdx=2sinx| 3 = 3,选 D.
π π 0

? ?0

2. (2013·景德镇市高二质检)若曲线 y= x与直线 x=a、 y=0 所围成封闭图形的面积 为 a ,则正实数 a 为( A. 4 9
2

) 5 B. 9 5 D. 3

4 C. 3 [答案] A [解析] 由题意知,?a xdx=a ,
2

?0

3 3 3 2 1 2 2 a ∵( x2 )′=x ,∴?a xdx= x2 |0= a2 , 3 2 3 3 ?
0

3 2 4 2 ∴ a2 =a ,∴a= . 3 9 3.由曲线 y=x 和直线 x=0,x=1,y=t ,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积 的最小值为( A. C. 1 4 1 2 ) 1 B. 3 2 D. 3
2 2

[答案] A
1

y=x ? ? 2 [解析] 由?y=t ? ?x>0
1 3 4 3 1 2 1 2 ( x -t x)|t= t -t + , 3 3 3

2

1 3 t 2 2 2 2 2 得,x=t,故 S=?t(t -x )dx+?1(x -t )dx=(t x- x )|0+ 3 ? ?
0

t

1 2 令 S′=4t -2t=0,∵0<t<1,∴t= , 2 1 1 易知当 t= 时,Smin= . 2 4
?x ? 4.设 f(x)=? ?2-x ?
2

?0≤x<1?, ?1≤x≤2?.

则?2f(x)dx 等于(

?0

)

A.

3 4

4 B. 5 D.不存在

5 C. 6 [答案] C

[解析] ?2f(x)dx=?1x dx+?2(2-x)dx,

2

?0

?0

?1

1 3 1 2 取 F1(x)= x ,F2(x)=2x- x , 3 2 则 F ′1(x)=x ,F ′2(x)=2-x, ∴?2f(x)dx=F1(1)-F1(0)+F2(2)-F2(1)
2

?0

1 1 1 5 2? ? 2 = -0+2×2- ×2 -?2×1- ×1 ?= .故应选 C. 2 3 2 ? ? 6 5.(2014~2015·河南周口市高二期末)已知函数 f(x)=x +mx 的导函数 f′(x)=2x +2,则?3f(-x)dx=(
n

?1

) B.3 2 D. 3

A.0 2 C.- 3 [答案] D

[解析] ∵f(x)=x +mx 的导函数 f′(x)=2x+2, ∴nx
n-1

n

+m=2x+2,

解得 n=2,m=2, ∴f(x)=x +2x, ∴f(-x)=x -2x,
2
2 2

1 3 2 3 1 2 2 ∴?3f(-x)dx=,则?3(x -2x)dx=( x -x )|1=9-9- +1= ,故选 D. 3 3 3 ? ?
1 1

6.? 3 ?1-2sin

? ? ? ?0
π

2

θ ? ?dθ 的值为( 2?

)

A.- 1 C. 2

3 2

1 B.- 2 D. 3 2

[答案] D [解析] ∵1-2sin
2

θ =cosθ , 2

π π π 3 2θ ? ? ∴? 3 ?1-2sin ?dθ =? 3 cosθ dθ =sinθ | 3 = ,故应选 D. 2? ? ? ? 2 0

?0

?0

二、填空题 7.计算定积分: ①?1 x dx=________________
2

?-1 ?2? ?0

2? ? ②?3?3x- 2?dx=________________

x?

③?2|x -1|dx=________________ ④? |sinx|dx=________________
0

2

? ?π

2

2 43 [答案] ① ② ③2 ④1 3 6 1 3 1 2 2 [解析] ①?1 x dx= x |-1 = . 3 3 ?
-1

2? ? ?3 2 2? 3 43 ②?3?3x- 2?dx=? x + ?|2 = . x x? 6 ? ?2 ??
2

? 1 3? 1 ?1 3 ? 2 2 2 2 ③?2|x -1|dx=?1(1-x )dx+?2(x -1)dx=?x- x ?|0 +? x -x?|1 =2. ? 3 ? ?3 ? ? ? ?
0 0 0 1

④?

? ?-π
2

|sinx|dx=?

0

0

? ?-π
2

(-sinx)dx=cosx| -π =1.
2

8.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影
3

部分的概率为________________. [答案] 1 3
2 3 1

[解析] 长方形的面积为 S1=3,S 阴=?13x dx=x |0 =1,则 P=

?0

S1 1 = . S阴 3

9.已知 f(x)=3x +2x+1,若?1 f(x)dx=2f(a)成立,则 a=________________.

2

?-1

1 [答案] -1 或 3 [解析] 由已知 F(x)=x +x +x,F(1)=3,F(-1)=-1, ∴?1 f(x)dx=F(1)-F(-1)=4,
3 2

?-1

∴2f(a)=4,∴f(a)=2. 1 2 即 3a +2a+1=2.解得 a=-1 或 . 3 三、解答题 10.计算下列定积分: (1)?2(4-2x)(4-x )dx;
2

?0

(2)?2
1 2

x2+2x-3 dx. x ?
2 3

[解析] (1)?2(4-2x)(4-x )dx=?2(16-8x-4x +2x )dx

?0

?0

4 3 1 4? 2 32 40 2 ? =?16x-4x - x + x ?|0 =32-16- +8= . 3 2 ? 3 3 ? 3? x2+2x-3 ? ?1 2 ? 2 7 (2)? dx=?2?x+2- ?dx=? x +2x-3lnx?|1 = -3ln2. x 2 x 2 ? ? ? ? ? ?
2 1 1

一、选择题 11.函数 F(x)=?xcostdt 的导数是(

?0

) B.F′(x)=sinx D.F′(x)=-sinx

A.F′(x)=cosx C.F′(x)=-cosx [答案] A

[解析] F(x)=?xcostdt=sint|0 =sinx-sin0=sinx.
x

?0

所以 F′(x)=cosx,故应选 A. 12.(2015·江西教学质量监测)若直线 l1:x+ay-1=0 与 l2:4x-2y+3=0 垂直,则

4

积分?a (x +sin x-5)dx 的值为(

3

?-a

) B.-6-2cos 2 D.-20

A.6+2sin 2 C.20 [答案] D

[解析] 由 l1⊥l2 得 4-2a=0 即 a=2,∴原式=
3 3 2 2 2 ? (x +sin x-5)dx=? (x +sin x)dx+? (-5)dx=0-20=-20. ?-2 ?-2 ? -2

[点评] 若 f(x)为奇函数,定义域(-a,a),a>0,则?a f(x)dx=0.

?-a

1 2 x 13.若 S1=?2x dx,S2=?2 dx,S3=?2e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为(

?1

?1x

?1

)

A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 [答案] B 7 2 [解析] S1=? x dx= |1= . 3 3 ?
2 2 1

B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

x3

S2=?2 dx=lnx|2 1=ln2-ln1=ln2. ?x
1 2 S3=?2exdx=ex|2 1=e -e=e(e-1).

1

?1

∵e>2.7,∴S3>3>S1>S2.故选 B. 14.(2015·河南高考适应性测试)定义在 R 上的可导函数 y=f(x),如果存在 x0∈[a,

b],使得 f(x0)=
3

? f?x?dx ?a
b-a

b

成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“平均值点”,那 )

么函数 f(x)=x -3x 在区间[-2,2]上“平均值点”的个数为( A.1 C.3 [答案] C
3 2 ? ?x -3x?dx ?-2

B.2 D.4

[解析] 由已知得:f(x0)=

4



?1x4-3x2??2 ?4 ? -2 2 ? ? ??
4

=0,即 x0-3x0=0,

3

解得:x0=0 或 x0=± 3,∴f(x)的平均值点有 3 个,故选 C. 二、填空题

5

?15.(2014·绍兴模拟) ? 2 (x+cosx)dx=________________. ? ?π
2

π

[答案] 2 [解析]
π ?- 2 1 π =2. ? (x+cosx)dx=(2x2+sinx)| 2 2 ? ?π 2 π

16. (2014·山东省菏泽市期中)函数 y=x 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面 9 积为 ,则 k=________________. 2 [答案] 3 [解析] 由?
?y=kx, ? ?y=x , ?
2

2

解得?

?x=0, ? ?y=0, ?

或?

?x=k, ? ?y=k . ?
2

1 2 1 3 k 1 3 1 3 1 3 9 2 由题意得,?k(kx-x )dx=( kx - x )|0= k - k = k = ,∴k=3. 2 3 2 3 6 2 ?
0

三、解答题 17.已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f ′(0)=0,?1f(x)dx=-2,求
2

?0

a、b、c 的值.
[解析] ∵f(-1)=2,∴a-b+c=2.① 又∵f ′(x)=2ax+b,∴f ′(0)=b=0② 而?1f(x)dx=?1(ax +bx+c)dx,
2

?0

?0

1 3 1 2 取 F(x)= ax + bx +cx, 3 2 则 F′(x)=ax +bx+c, 1 1 ∴?1f(x)dx=F(1)-F(0)= a+ b+c=-2③ 3 2 ?
0 2

解①②③得 a=6,b=0,c=-4. 18.如图,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分,求 k 的值.
2

6

[解析] 抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,所以,抛物线与 x 轴所 围图形的面积

2

x2 x3 1 1 1 S=?1(x-x2)dx=( - )|1 0= - = .

?0

2

3

2 3

6

抛物线 y=x-x 与直线 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0,x′2=1-k,所以 =?1-k(x 2 ?
0

2

S

1-k 2 x 1-k 1 2 -x -kx)dx=( x - )|0 = (1-k)3, 2 3 6 1 1 3 又知 S= ,所以(1-k) = . 6 2 3 3 1 4 于是 k=1- =1- . 2 2

3

7


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