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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)练习:2.1 第2课时]


第二章
一、选择题

2.1

第 2 课时

1.下面几种推理过程是演绎推理的是(

)

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠ A+∠B=180° B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高三共有 10 个班,

1 班有 51 人,2 班有 53 人,三班有 52 人,由此推测各班 都超过 50 人 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+a ?(n≥2),计算 a2、a3、a4,由此猜测通项 2? n-1? an [答案] A [解析] A 是演绎推理,它是由一般到特殊的推理形式,B 是类比推理,C 与 D 均为归 纳推理.故选 A. π π? 2. (2013· 华池一中高二期中)“三角函数是周期函数, y=tanx, x∈? ?-2,2?是三角函数, π π? 所以 y=tanx,x∈? ?-2,2?是周期函数”.在以上演绎推理中,下列说法正确的是( A.推理完全正确 C.小前提不正确 [答案] D [解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念,犯了偷换概念的错误,即推理形 式不正确. 3. 《论语· 学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐 不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手 足.”上述推理用的是( A.类比推理 C.演绎推理 [答案] C [解析] 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三 段论,属演绎推理形式.故选 C. 4.(2014· 洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程,判断正确的是( 大前提:若直线 a⊥直线 l,且直线 b⊥直线 l,则 a∥b. 小前提:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1⊥AA1,且 AD⊥AA1. ) ) B.归纳推理 D.一次三段论 B.大前提不正确 D.推理形式不正确 )

结论:A1B1∥AD. A.推理正确 B.大前提出错导致推理错误 C.小前提出错导致推理错误 D.仅结论错误 [答案] B [解析] 由 l⊥a,l⊥b 得出 a∥b 只在平面内成立,在空间中不成立,故大前提错误. 5.下面的推理是关系推理的是( )

A.若三角形两边相等,则该两边所对的内角相等,在△ABC 中,AB=AC,所以在△ ABC 中,∠B=∠C B.因为 2 是偶数,并且 2 是素数,所以 2 是素数 C.因为 a∥b,b∥c,所以 a∥c D.因为 2是有理数或无理数,且 2不是有理数,所以 2是无理数 [答案] C [解析] A 是三段论推理,B、D 是假言推理.故选 C. 6.“因为四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的对角线相等.”补充上述推理的 大前提( )

A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析] 由结论可得要证的问题是“对角线相等”,因此它应在大前提中体现出来.故 选 B. 7.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是 假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 [答案] D [解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错 误. 8.如图,因为 AB∥CD,所以∠1=∠2,又因为∠2+∠3=180° ,所以∠1+∠3=180° . )

所用的推理规则为(

)

A.假言推理 C.完全归纳推理 [答案] D

B.关系推理 D.三段论推理

[解析] 关系推理的规则是“若 a=b, b=c, 则 a=c”, 或“若 a∥b, b∥c, 则 a∥c”. 故 选 D. 二、填空题 9.设 f(x)定义如下数表,{xn}满足 x0=5,且对任意自然数 n 均有 xn+1=f(xn),则 x2 的值为________. x f(x) [答案] 1 [解析] 由数表可知 x1=f(x0)=f(5)=2, x2=f(x1)=f(2)=1, x3=f(x2)=f(1)=4, x4=f(x3)=f(4)=5, x5=f(x4)=f(5)=2, ?? ∴{xn}的周期为 4. ∴x2 010=x2=1. 10 . 用演 绎推 理证 明 “y = sinx 是周 期 函数 ”时的 大 前提 为 ________ ,小 前 提为 ________. [答案] 三角函数是周期函数 y=sinx 是三角函数 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2
010

[解析] y=sinx 是三角函数, 而三角函数是周期函数, 因此大前提为三角函数是周期函 数.小前提应该为 y=sinx 是三角函数. 11.求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是 a有意义时,a≥0,小 前提是 log2x-2有意义,结论是________. [答案] log2x-2≥0 三、解答题 12.如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点,

求证:四边形 EFGH 为平行四边形.

1 [证明] 在△ABD 中,因为 E,H 分别是 AB,AD 的中点,所以 EH∥BD,EH= BD, 2 1 同理,FG∥BD,且 FG= BD,所以 EH∥FG,EH=FG,所以四边形 EFGH 为平行四边形. 2

一、选择题 1.(2014· 淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理: 大前提:如果直线平行于平面,则这条直线平行于平面内的所有直线; 小前提:已知直线 b∥平面 α,直线 a?平面 α; 结论:所以直线 b∥直线 a. 在这个推理中( )

A.大前提正确,结论错误 B.小前提与结论都是错误的 C.大、小前提正确,只有结论错误 D.大前提错误,结论错误 [答案] D [解析] 如果直线平行于平面,则这条直线只是与平面内的部分直线平行,而不是所有 直线,所以大前提错误,当直线 b∥平面 α,直线 a?平面 α 时,直线 b 与直线 a 可能平行, 也可能异面,故结论错误,选 D. 2.(2014· 淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的 个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数 为 12,??,则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 [答案] B [解析] 记|x|+|y|=n(n∈N*)的不同整数解(x,y)的个数为 f(n),则依题意有 f(1)=4= B.80 D.92 )

4×1,f(2)=8=4×2,f(3)=12=4×3,??,由此可得 f(n)=4n,所以|x|+|y|=20 的不同整 数解(x,y)的个数为 f(20)=4×20=80,选 B. 3.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则此三角形必是( A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )

[答案] A b2+c2-a2 [解析] 由 sinC=2cosAsinB 得:c=2· · b,即:a2=b2,∴a=b,∴△ABC 为 2bc 等腰三角形,故选 A. 4.若数列{an}的前 n 项和 Sn=log5(n+4),则数列{an}从第二项起是( A.递增数列 C.常数列 [答案] B [解析] 因 Sn=log5(n+4),则当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=log5 ∴an 的值随 n 的增大而减小. ∴{an}为递减数列,故选 B. 二、填空题 5.已知 a>0,b>0,m=lg [答案] m>n [解析] ∵( a+ b)2=a+b+2 ab>a+b, ∴ a+ b a+b > ,∴m>n. 2 2 a+ b a+b ,n=lg ,则 m 与 n 的大小关系为________. 2 2 1 n+4 =log5?1+n+3?, ? ? n+3 B.递减数列 D.以上都错 )

b2 6.设 a≥0,b≥0,a2+ =1,则 a· 1+b2的最大值为________. 2 [答案] 3 2 4 2 · 2a2· 1+b2 2

[解析] a· 1+b2= ≤

2 2 2 2a +1+b 3 2 × = . 2 2 4

m-3 4-2m 7.已知 sinα= ,cosα= ,其中 α 是第二象限角,则 m 的取值为________. m+5 m+5 [答案] 8

?m-3?2+?4-2m?2=1, [解析] 由? ? ? ? ?m+5? ? m+5 ?
整理,得 m2-8m=0, ∴m=0 或 8. ∵α 是第二象限角,则 sinα>0,cosα<0. 经验证知 m=8. 三、解答题

8.设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b),求证:ab<1. [证明] 证法 1:由已知
?lgx,x≥1, ? f(x)=|lgx|=? ?-lgx,0<x<1. ?

∵0<a<b,f(a)>f(b), ∴a、b 不能同时在区间[1,+∞)上. 又由于 0<a<b,故必有 a∈(0,+∞).若 b∈(0,1),显然有 ab<1;若 b∈(1,+∞),由 f(a)-f(b)>0,有-lga-lgb>0. ∴lg(ab)<0.∴ab<1. 证法 2: 由题设 f(a)>f(b), 即|lga|>|lgb|, 上式等价于(lga)2>(lgb)2, 即(lga+lgb)(lga-lgb)>0. a ∴lg(ab)· lg >0. b b 由已知 b>a>0,∴ <1. a a ∴lg <0.∴lg(ab)<0.∴0<ab<1. b 9.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是前 n 项和. log0.5Sn+log0.5Sn+2 求证: >log0.5Sn+1. 2 [证明] 设数列{an}的公比为 q, 由题设知 a1>0,q>0.
2 当 q=1 时,Sn=na1,从而 Sn· Sn+2-S2 (n+2)a1-(n+1)2a2 n+1=na1· 1=-a1<0.

a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= , 1-q 从而
n n+2 a2 ? 1?1-q ??1-q 2 Sn· Sn+2-Sn+1= 2

?1-q?

n 1 2 a2 ? 1?1-q n - =-a2 1q <0. ?1-q?2


综上,得 Sn· Sn+2<S2 n+1. 故 log0.5Sn+log0.5Sn+2 >log0.5Sn+1. 2


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