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长郡中学高二进高三分班考试理科数学试题


长郡中学高二进高三分班考试理科数学试题 时量 120 分钟 总分 150 分

一 选择题:本大题个 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的选项中,只有一项符合题目 要求 1、与两条不共面的直线都垂直的直线 A、恰有一条 B、恰有两条 C、有无数条 D、可能一条也没有

4 ? ? A ? ?x | ? 1?, ? x ? 1 ? B ? ?x || x |? a?, 若 B ? A, 则实数 a 的取值范围是 2、已知
A、 a ? 1 B、 a ? 1 C、 ? 1 ? a ? 3 D、 0 ? a ? 1

3、要从已编号 1 到 60 的 60 枚最新研制的某种导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用每 部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 A C

5,10,15, 20, 25,30 1, 2,3, 4,5,6

B D

3,13, 23,33, 43,53 2, 4,8,16,32, 48

4,如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? A.2550 B.-2550 C. 2548 D.-2552

?( x ? y ? 5)(x ? y) ? 0 ? 0? x?3 5、不等式组 ? 表示的平面区域是
A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形

? ?x ? t (t为参数) ? y ? 2 1 ? t ? 6、与参数方程 ? 等价的普通方程为
x2 ?
A.

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

x2 ?
B.

y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4

x2 ?
C.

x2 ?
D.

7、已知实数

x, y, z 满足: x ? 2 y ? 3z ? 1 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值是

1 A. 9

1 B. 12

1 C. 14

1 D. 36
3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 1 ? PF 2 =0, 8、已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 a 上一点,若 PF

t an ?PF1 F2 =2,则椭圆的离心率为
1 A. 2 2 B. 3 1 C. 3

5 D. 3

二 填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题中卡对应题号的横线上 9、 在△ ABC 中,若 sin A ∶sin B ∶sin C ? 7 ∶8 ∶13 ,则 C ? _____________ 10、设 lg2x-lgx2-2=0 的两个零点是 、 ,则 log 11、 +log 的值=____________

? | x ? 2 | dx =_____________
0

3

(33 x ?
12 .设

1 x

)n
的展开式中的各项系数之和与它的二项式系数和之差为 240 ,那么

n=____________ 13、从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,其中甲、 乙两名志愿者不能从事翻译工作,则不同的选排方法共有____________种(用数字作答) 14、对于命题 ①化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为 y ? 1
2

②“ a ? b ? Z ”是“ x ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的必要非充分条件
2

1 ③ i 的虚部为-1
④ 如果函数 y=f(x) 有最大值 M,则使得不等式 f(x)≤k 有解时,k 的范围是 k≥M , 其中正确的有____________②③(填写你认为正确的序号) 15 、 已 知 命 题 : “若数列

{an } 为 等 差 数 列 , 且 am ? a, an ? b, (m ? n, m, n ? N ? ) , 则

am? n ?

b· n ? a· m ? n ? m ”, 现 已 知 数 列 {bn } (bn ? 0, n ? N ) 为 等 比 数 列 , 且

bm ? a, bn ? b, (m ? n, m, n ? N ? ) ,若类比上述结论,则可得 bm?n ?
三 :解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16、 ( (本小题满分 12 分)已知等差数列 ? (1)求数列 ?

an ?

的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 16 , a4 ? 7 .

an ?

的通项公式;

1 1 1 ? ? ??? ? aa a 2 a3 a 99 a100 的值. (2)求 1 2

17、 (本小题满分 12 分)

? , ?满足 tan? ? tan ? ?
若锐角

13 5 , 且 sin(? ? ? ) ? 7 3 ,求值:

? ? ?) ; (1) cos(

? ? ?) . (2) cos(

18、 (本小题满分 12 分) 从装有 3 个红球,2 个白球袋中随机取出 2 个球, 求至少摸到一个红球的概率 设摸到红球的个数为ξ ,求ξ 的概率分布列及期望

19、 (本小题满分 13 分)如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长 AB=2,侧 棱 BB1 的长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F. ⑴求证:A1C⊥平面 BED; D1 C1 ⑵求 A1B 与平面 BDE 所成的角的正弦值. A1 B1

E F D 20、 (本小题满分 13 分) A B C

1 f ( x) ? x 2 ? a ln x(a ? R). 2 已知函数
(1)求函数 f (x)的单调区间;

1 2 2 3 x ? ln x x . (2)当 x > 1 时,试比较 2 与3 的大小,并证明

21. (本小题满分 13 分)

1 1 1 已知动点 M 在 y 轴右侧,M 到点(0, 4 )的距离比它到直线 y=- 2 的距离小 4 .
(1)求动点 M 轨迹 C 的方程。 (2)设 M、N 是轨迹 C 上相异两点,OM、ON 的倾斜角分别为θ 1、θ 2,当θ 1、θ 2 变化且θ 1+θ 2 为定值θ 时,证明直线 MN 恒过定点,并求出该定点的坐标.

长郡中学高二进高三分班考试理科数学试题参考答案 时量 120 分钟 总分 150 分 命题人 熊应龙 审题人 蔡尚海 一 选择题:本大题个 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的选项中,只有一项符合题目 要求的 1、与两条不共面的直线都垂直的直线 (C ) A、恰有一条 B、恰有两条 C、有无数条 D、可能一条也没有

4 ? ? A ? ?x | ? 1?, ? x ? 1 ? B ? ?x || x |? a?, 若 B ? A, 则实数 a 的取值范围是( B 2、已知
A、 a ? 1 B、 a ? 1 C、 ? 1 ? a ? 3 D、 0 ? a ? 1



3、要从已编号 1 到 60 的 60 枚最新研制的某种导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用每 部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 ( B ) A C

5,10,15, 20, 25,30 1, 2,3, 4,5,6

B D

3,13, 23,33, 43,53 2, 4,8,16,32, 48
(C D.-2552 )

4,如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? A.2550 B.-2550 C. 2548

?( x ? y ? 5)(x ? y) ? 0 ? 0? x?3 5、不等式组 ? 表示的平面区域是
A.矩形 B.三角形 C.直角梯形

( D

) D.等腰梯形

6、与参数方程为

? ?x ? t (t为参数) ? ? ? y ? 2 1? t
x2 ?
B.

等价的普通方程为

( D



x2 ?
A.

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4

x2 ?
C.

x2 ?
D.

7、已知实数

x, y, z 满足: x ? 2 y ? 3z ? 1 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值是( C )

1 A. 9

1 B. 12

1 C. 14

1 D. 36
3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 1 ? PF 2 =0, 8、已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 a 上一点,若 PF

t an ?PF1 F2 =2,则椭圆的离心率为
1 A. 2 2 B. 3 1 C. 3

( D )

5 D. 3

二 填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题中卡对应题号的横线上
0 9、 在△ ABC 中,若 sin A ∶sin B ∶sin C ? 7 ∶8 ∶13 ,则 C ? _____________ 120

10、设 lg2x-lgx2-2=0 的两个零点是 、 ,则 log 11、

+log

的值=____________-4

? | x ? 2 | dx =_____________5/2
0

3

(33 x ?
12 .设

1 x

)n
的展开式中的各项系数之和与它的二项式系数和之差为 240 ,那么

n=____________4 13、从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,其中甲、 乙两名志愿者不能从事翻译工作,则不同的选排方法共有____________240 种(用数字作答) 14、对于命题 ①化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为 y ? 1
2

②“ a ? b ? Z ”是“ x ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的必要非充分条件
2

1 ③ i 的虚部为-1
④ 如果函数 y=f(x) 有最大值 M,则使得不等式 f(x)≤k 有解时,k 的范围是 k≥M , 其中正确的有____________②③(填写你认为正确的序号) 15 、 已 知 命 题 : “若数列

{an } 为 等 差 数 列 , 且 am ? a, an ? b, (m ? n, m, n ? N ? ) , 则

am? n ?

b· n ? a· m ? n ? m ”, 现 已 知 数 列 {bn } (bn ? 0, n ? N ) 为 等 比 数 列 , 且


bm ? a, bn ? b, (m ? n, m, n ? N ? ) ,若类比上述结论,则可得 bm?n ?
b a· ( ) n?m a
三 :解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16、 ( (本小题满分 12 分)已知等差数列 ? (1)求数列 ?
n

an ?

的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 16 , a4 ? 7 .

an ?

的通项公式;

1 1 1 ? ? ??? ? aa a 2 a3 a 99 a100 的值. (2)求 1 2
解: (1)

an ? 2n ? 1

5分

99 (2) 199
17、 (本小题满分 12 分)

12 分

? , ?满足 tan? ? tan ? ?
若锐角

13 5 , 且 sin(? ? ? ) ? 7 3 ,求值:

? ? ?) ; (1) cos(
2 3 ?
(2)

2 3

? ? ?) . (2) cos(

?

1 5

解: (1)

6分

1 5

12 分

18、 (本小题满分 12 分) 从装有 3 个红球,2 个白球袋中随机取出 2 个球, 求至少摸到一个红球的概率: 设摸到红球的个数为ξ ,求ξ 的概率分布列及期望

9 解(1) 10

4分

p (? ? 0) ?
(2)

1 10

p (? ? 1) ? 6 5

3 5

p (? ? 2) ?

3 10

E? ?

13 分

19、 (本小题满分 13 分)如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长 AB=2,侧 棱 BB1 的长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F. ⑴求证:A1C⊥平面 BED; ⑵求 A1B 与平面 BDE 所成的角的正弦值. 13 分 (1)5 分 D1 C1

30 (2) 6

8分

A1

20、 (本小题满分 13 分)

B1

f ( x) ?
已知函数

1 2 x ? a ln x(a ? R). 2
E F D A B C

(1)求函数 f (x)的单调区间;

1 2 2 3 x ? ln x x . (2)当 x > 1 时,试比较 2 与3 的大小,并证明 a ? f ?( x ) ? x ? x,

解 1)依题意知函数的定义域为 x > 0.

所以,当 a≤0 时,f (x)的单调递增区间为(0,+∞) 当 a ? 0 时,

? f ?( x) ? x ?

a ( x ? a )(x ? a ) ? x x ,

? 令 f ( x) ? 0 ,有 x ?

a;

所以函数 f (x)的单调递增区间为 ( a ,??) ;

? 令 f ( x) ? 0 ,有 0 ? x ?

a.
5分

所以函数 f (x)的单调递减区间为 (0, a ) .

g ( x) ?
(2)设

2 3 1 2 1 x ? x ? ln x, ? g ?( x) ? 2 x 2 ? x ? . 3 2 x

?当x ? 1 时,

g ?( x) ?

( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ?0 x ,

所以 g (x)在(1,+∞)上是增函数,

? g ( x) ? g (1) ?

1 ? 0. 6
13 分

1 2 2 x ? ln x ? x 3 . 3 ∴ 当 x>1 时, 2
21. (本小题满分 13 分)

1 1 1 已知动点 M 在 y 轴右侧,M 到点(0, 4 )的距离比它到直线 y=- 2 的距离小 4 .
(1)求动点 M 轨迹 C 的方程。 (2)设 M、N 是轨迹 C 上相异两点,OM、ON 的倾斜角分别为θ 1、θ 2,当θ 1、θ 2 变化且θ 1+θ 2 为定值θ 时,证明直线 MN 恒过定点,并求出该定点的坐标.

1 1 解(1)由题意 M 到(0, 4 )距离与它到 y=- 4 距离相等 1 ∴动点 M 轨迹为抛物线,且 P= 2
∴y=x2(x>0) (2)设 M(x1,x12),N(x2,x22)(x1>0,x2>0,x1≠x2) 4分

? ∴tanθ 1=x1,tanθ 2=x2(0<θ 1, θ 2< 2 ) ? ①当θ ≠ 2 时,

2 2 tan? 1 ? tan? 2 x ? x2 x2 ? x1 ? 1 1 ? tan? 1 tan? 2 1 ? x1 x 2 直线 MN 方程:y-x12= x2 ? x1 (x-x1) ,其中 tanθ =



l MN

1 1 ,?1) tan ? tan ? :y=(x1+x2)(x+ )-1,所以直线过定点(-

11 分

? ②当θ = 2 时,即 x1x2=1 时, l MN :y=(x1+x2)x-1,过定点(0,-1)

13 分


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