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2015.8立体几何文科生高考复习资料学生


立体几何——高考复习资料 2015.8
(一)几何体的认识 1.下列几何体是什么,它们有什么特征。
P

1

A1 B1
D C

C1

C

C1

B

B1 A1 (3)

A
A
(1)

C
A

B

(2)

B

P

P

E A B (4) C A B (5)

D C

( 6)

( 10)

2.(人教 A 版教材习题改编)如图,长方体 ABCDA′B′C′D′被截去一部分,其中 EH∥ A′D′,则剩下的几何体是________,截去的几何体是________.

【小结】几何体定义(求体积时要分清楚) (1)棱锥:除了一个顶点以外,其余的顶点都共面(这个面叫做底面) 的多面体。 (2)正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥。 (3)棱柱:有两个面(这两个面叫做上下底面)平行且全等,其余的面都是平行四边形的 多面体。 (4)正棱柱:底面是正多边形且侧棱垂直底面的棱柱。 (5)旋转体:直角三角形绕一条直角边旋转一周叫做圆锥,矩形绕一条边旋转一周叫做圆 柱,半圆绕直径旋转一周叫做球。过轴的截面叫做旋转体的轴截面。 (6)台体:用平行于锥体的底面的平面去截锥体,底面与截面之间的部分叫做台体。 (二)几何体的体积与面积(表面积,侧面积)

1 1 4 S球 ? 4?R 2 , V柱 ? Sh,V锥 ? Sh,V台 ? ( S ? ? S ?S ? S )h,V球 ? ? R 3 3 3 3
1.把半径为 1 的半圆卷成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的体积为 。 2.(人教 A 版教材例题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱体积 之比为________,球的表面积与圆柱的侧面积之比为________. 3.(2014· 陕西高考)将边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何 体的侧面积是( A.4π C.2π ) B.3π D .π

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4.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是 V A. 13 B. 7

2

C C.

4 3 3

D.

3 3 2
A B

图2 5.如图,在边长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 BC 的中点,F 是 C1C 的中点. (1)求证:四点 A,E,F,D1 共面; (2) 求截面 AEFD1 把这个正方体分成两部分的体积之比, (3)求点 D 到平面 AEFD1 的距离。
D1 A1 C1 B1

F

D A E B

C

6.如图,在边长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中. (1)求截面 AB1D1 把这个正方体分成两部分的体积之比, (2)求点 A1 到平面 AB1D1 的距离。
A1 D1 C1 B1

D A

C B

C

C1

7.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 CC1=8cm,若侧面 ABB1A1 水平放置时,液面恰好过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点, 当底面 ABC 水平放置时液面高为 。

B A A1

B1

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(三)直观图与三视图 1.画出如图的等腰直角三角形的直观图,其中 AB=2,并求直观 图的面积。
y C

3

2.(2015· 东北三校第一次联考)利用斜二测画法可以得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 以上结论正确的是________. 【结论】 画几何体的直观图时要注意: (1) 和 x 轴平行的线段画等长, (2) 在平面 xoy 内 (或 与平面 xoy 平行)和 x 轴垂直的线段画成和 x 轴成 45 角,且长度画成原来的一半。 (3)和 平面 xoy 垂直的线段画成和平面 xoy 垂直且长度不变。 例 1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗 实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( A.三棱锥 C.四棱锥 B.三棱柱 D.四棱柱 )
0

A

0

B

x

例 2. 已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形, 俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的表面积为________.

1.(2005 广州市水平测试 6)如右图,一个空间几何体的主视图、 主视图 左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直 角边长为 1,那么这个几何体的体积为 (A)1 (B) 左视图

1 1 (C) 2 3

(D)

1 6
俯视图

【结论】由三视图还原直观图的方法: ①若是锥体,就把三试图中的一个试图中一个点垂直拉起来, ②若是柱体,就把三试图中的一个试图垂直拉起来。

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4

2.(2007 广州市水平测试) 一个空间几何体的正视图是长为 4,宽为 3 的长方形,侧视图 是边长为 2 的等边三角形,俯视图如右图所示,则这个几何体的体积为 A.

2 3 3

B. 2 3

C.

4 3 3

D. 4 3

3.(2008 广州市水平测试 7)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图 都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积 为 .. A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D.

3 ? 2

正视图

侧视图

4.(2010 广州市水平测试 7)有一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示 (单位:cm) ,则该几何体的表面积 为 ...
5 5

A. 12? cm

2

B. 15? cm D. 36? cm

俯视图 6

2

6

C. 24? cm

2

2

主视图

侧视图

4 5.(2011 广州市水平测试 8)已知某几何体的三视 图如图 1 所示, 其中俯视图是腰长为 2 的等腰梯 形, 则该几何体的体积为 A . 4 3 C. 12 3 B. D. 俯视图 4 正视图 4
3

4

侧视图

8 3 24 3
俯视图 图1

6.(2012 广州市水平测试 6)某几何体的三视图(均为直角三角形)及其 尺寸如图所示,则该几何体的体积为( ) 3

1 6 1 C. 2
A.

B.

1 3
3

2 主视图 2 侧视图

2

D. 1

7 、某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 是 ,侧面积为 。

2 俯视图

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(四)平行与垂直的证明.求值题 1.4 个判定定理,1 个性质定理(用数学符号写出这五个定理)
a b ? 1线面平行判定定理 ?

5

?

c O b

2面面平行判定定理

m

?

? a

a m

?

a P b

? 4面面垂直判定定理

? 5面面垂直性质定理

3线面垂直判定定理

2.空间直线、平面位置关系的垂直与平行的关系图

面面平行性质定理 ?????????????????????????????????????
判定定理 判定定理 ?? ? ? ?? ?? ? ???????? ? a / /b ? a / / ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? / / ? 性质定理 定义 1.公理 4, 2.平行四边形对边平行 3.三角形的中位线定理 4.平行截线段成比例逆定理

线面垂直性质定理 ????????????????????? ?
判定定理 判定定理 ?? ? ?? ?? ? ????????? a ? b ? a ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? 定义 性质定理 1.勾股定理, 2.等腰三角形的三线合一, 3.三角形的两个内角和为900 4.菱形的对角线互相垂直 5.直径所对的圆周角是直角 ? ? 6.空间向量 a ?b ? 0 7.k1 ?k2 ??1

【选择题】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1、下面表述正确的是( ) A、经过三点确定一个平面 C、四边形确定一个平面

B、经过一条直线和一个点确定一个平面 D、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

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2.下列命题中正确的个数为( ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l // ? , ②若直线 l 与平面 ? 平行,则直线 l 与平面 ? 的任意一条直线平行, ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条直线与这个平面平行, ④若直线 l 与平面 ? 平行,则直线 l 与平面 ? 的的任意一条直线都没有公共点。 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 )

6

3. 若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,则下列结论成立的是( (A) ? 内的所有直线与 l 异面, (B) (C) (D)

? 内不存在与 l 平行的直线, ? 内存在唯一的直线与 l 平行, ? 内的直线与 l 都相交

4.下列结论成立的是( ) (A)梯形可以确定一个平面, (B) 圆心和圆上两点可以确定一个平面, (C)两条直线 a,b 没有公共点,那么 a 与 b 是异面直线, (D) 若 a,b 是两条直线, ? , ? 是两个平面, a ? ? , b ? ? ,则 a,b 是异面直线。 5.已知直线 l / /平面? , P ? ? ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( (A)只有一条,不在平面 ? 内, (B) 有无数条,不一定在平面 ? 内, (C) 只有一条,且在平面 ? 内, (D) 有无数条,一定在平面 ? 内 6.给出三个命题 ①若两条直线与第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行, ②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行, ③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行。 其中不正确的命题个数是( ) (A)0 (B)1 (C) 2 (D)3 7.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( ) (A)平面 ? 内有无穷多条直线都与平面 ? 平行 (B)直线 a / /? , a / / ? ,且直线 a 不在平面 ? 内,也不在平面 ? 内, (C)直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a / / ? , b / /? , (D)平面 ? 内任何直线都与平面 ? 平行 )

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8.下列命题中,错误的是( ) (A)平行于同一条直线的两个平面平行, (B)平行于同一个平面的两个平面平行, (C)一个平面与两个平行平面相交,交线平行 (D)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交。 9.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( ) (A)平面 ? 内所有直线都与直线 a 异面, (B)平面 ? 内不存在与直线 a 平面的直线 (C)平面 ? 内的直线都与直线 a 相交, (D)直线 a 与平面 ? 有公共点。 10. 如图 1,正方形 SG1G2G3,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的 中点,现在沿 SE,SF,EF 把这个正方形折成一个四面体,使得 G1,G2, G3 三点重合,重合后的点记为 G,则在四面体 S-GEF 中必有( ) A. SG⊥平面 EFG C. GF⊥平面 SEF B. SD⊥平面 EFG D. GD⊥平面 SEF
G1 E 图1

7

S

G3

F D G2

11.下列命题错误的是(



(A)如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? , (B)如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? , (C)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? , (D) 如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? =l ,那么 l ? ? 。 12. 已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②过一个平面内的一个点作与交线垂直的直线必垂直于另一个平面; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④一个平面内与交线垂直的直线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 13. 若 l 、m、n是互不相同的空间直线,α 、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的 是( ) A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m )

14. 已知 a, b, c 是直线,若 a ∥ b , b ? c ? A ,则 a , c 的位置关系是( A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线

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【例题与习题】 1.已知一条直线与一个三角形两条边所在的直线都垂

8

a

直,则这条直线垂直于三角形第三边所在的直线。试证 明之。 (结论,不能直接使用) 已知: ABC 是一个三角形, 直线 a ? AB, a ? AC, 求证:
α A C B

a ? BC 。

2.如图 4, A1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A, B 的任 意一点, AA 1 ? AB ? 2 . (1)求证:BC⊥A1C; (2)求证:平面 ABC ⊥平面 A1AC; 1

3.三棱锥 A-BCD 中,AB=BD=AC=DC=2,BC= 2 3 ,AD= 3 。
(1)求证:AD⊥BC,
A

(2)求三棱锥 A-BCD 的体积。

C D

B

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4.已知 PA ? 平面ABC,?ABC ? 90? , PA=AB,E 为 PB 的中点. (1)求证: PB ? BC , (2)证明:平面 PAB⊥平面 PBC. (3)证明:AE⊥平面 PBC. (4)若 PA=2,AB=1,∠ACB=300, (文科)求三棱锥 E-ABC 的体积, (理科) 求异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值, (理科)求二面角 A-PC-B 的平面角的余弦值.
P

9

E A

C

B

5.如图, 已知 E、F 分别是三棱锥 A-BCD 的侧棱 AB、AD 中点, 求证: EF//平面 BCD.
A E B C F D

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6.(2007 高二水平测试) 如图 3,在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中,

10

?BAD ? 60? , PA ? PD , E 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 EBD ; (2)求证: ?PBC 是直角三角形. 图

7.(本题满分 14 分)如图 3,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , (1)求证:直线 AD1 ∥平面 BDC1 ; (2)求证:平面 AB1D1 ∥平面 BDC1 . (3)证明:平面 AB1D1 ? 平面 ACC1 A 1; (4) (理科)求直线 BC1 与平面 BDD1B1 所成的角的正弦值。 A

D1 A1
D B 图3

C1 B1
C

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11

8.(本题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB//CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱 锥 P-ABCD 的高。 P (1)证明:平面 PAC⊥平面 PBD, (2)若 AB= 6 ,∠APB=∠ADB=600, (文科生做)求四棱锥 P-ABCD 的体积。 (理科生做)求二面角 H-AD-P 的正弦值。

D H A

C

B

1 9.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是梯形,AB∥CD,AB= CD, E 是 PC 中点. 2
(1)证明: BE//平面 PAD ; (2)若 PA=AD,AB⊥平面 PAD,求证:BE⊥平面 PCD。
P
E

D C A

B

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上,且 VE:EC=VD:DB=1:2。 (1)求证:DE//平面 ABC, (2)求证:DE⊥平面 VAC,
E D
V

12

10.已知 AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上异于 A,B 的一个点, VA⊥平面 ABC, D,E 分别在 VC,VB

A C

O

B

11. 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, PA ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC
的中点. (1)求证: PA // 平面 BDF ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDP , (3)若 PA=AB=1,∠ABC=600, (文科)求三棱锥 P-BCD 的体积, (理科)求平面 PAD 与平面 FBD 所成的锐二面角的大小.
A D F P

B

C

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12. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=2,BC= 3 ,E, F 分别为棱 AB,CC1 的中点, (1)求点 D 到平面 EFD1 的距离, (2) (理科)求平面 EFD1 与平面 CDD1C1 所成的锐二面角的余弦 值。

13

13.(本题满分 14 分)如图,在四棱锥 V ? ABCD 中, 四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,已知底 面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其它四个侧面都是侧 棱长为 5 的等腰三角形。 (1)求三棱锥 V ? ABCD 的侧面积和体积; (2)求证:平面 VAC⊥平面 VBD; (3)求点 O 到平面 VBC 的距离; (4)求点 A 到平面 VBC 的距离。
A D O

V

C

B

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14

14.如图 4, A1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A, B 的 任意一点, AA 1 ? AB ? 2 . (1)求证:平面 ABC ⊥平面 A1AC; 1 (2)若 ?ABC ?

?
6

,求点 A 到平面 A1BC 的距离;

(3)求三棱锥 B-A1AC 的体积的最大值。

15.两个矩形 ABCD 和 ADEF 所在的平面互相垂直, (1)求证:AB⊥DF, (2)若 AB=AF=3,AD=4,求点 A 到平面 BDF 的距 离。
F

E

D C A B

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15

16.如图 2,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? 5, BC ? 4, AC ? 3 ,点 D 是线段 PB 的中点, 平面 PAC ? 平面 ABC . (1)在线段 AB 上是否存在点 E , 使得 DE // 平面 PAC ? 若存在, 指出点 E 的位置, 并 加以证明;若不存在, 请说明理由; P (2)求证: PA ? BC .

·
C
A

D

B
图2

17.(2015 年广东文科)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与 长方形 ?? CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 ,
P

?C ? 3 .

D

C

?1? 证明: ? C// 平面 ?D? ; ? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.

A

B

17.(2015 年广东理科)如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,

PD ? PC ? 4, AB ? 6, BC ? 3 。点 E 是 CD 边的中点,点 F , G 分别在线段 AB, BC 上,且 AF ? 2FB, CG ? 2GB 。
(1)证明: PE ? FG 。 (2)求二面角 P ? AD ? C 的正切值。 (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值。

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18.如图 3,边长为 2 的正方形 ABCD,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将△AED, △DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于 A? 。 (1)求证: A?D ⊥EF; (2)求三棱锥 A? -DEF 的体积, (3) (理科)求二面角 A? ? EF ? D 的 平 面 角 的 余 A/ 弦值. A B

16

E

E

D F B

D F C

图3

19. 如图 1,边长为 a 的正方形 SG1G2G3,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点, D 是 EF 的中点,现在沿 SE,SF,EF 把这个正方形折成一个四面体,使 得 G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为 G,在四面体 S-GEF 中。 (1)求四面体 S-GEF 的体积, (2) (理科)求二面角 S-EF-G 的平面角的正切值.

S

G3

F D G1 G2

E 图1


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