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安徽省淮南市第二中学2013届高三第三次月考数学试卷(文科)


安徽省淮南市第二中学 2013 届高三第三次月考数学试卷(文科)
试卷分值 150 分,考试时间 120 分钟 一.选择题( 每小题 5 分 ) 1. 集合 A ? {0,log 1 3, ?3,1, 2} ,集合 B ? { y ? R | y ? 2x , x ? A} ,则 A ? B ?
2

A. {1} 2. x ? 1 是

r />
B.{1,2}

C.{-3,1,2}

D.{-3,0,1}

1 ? 1 的_____________条件 x
B. 必要不充分 C. 充要
· 2·

A. 充分不必要

D.既不充分也不必要

3. 在等比数列{an}中, a1 ? 1 ,公比|q|≠1,若 am= a1 A.9 B.10

a

a3· a4· a5,则 m=_________
D.12

C.11

? ? ? ? ? ? 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 o , a = (2, 0) ,| b |= 1 则 | a ? 2b |? __________
A.

3

B. 2 3

C. 4

D.12

5.锐角△ABC 的面积为 3 3 ,BC= 4 CA= 3 则角 C 的大小为________ A. 750 B.

60 0
x y

C.

450

D. 30 0

6.设 x、y ? R a ? 1, b ? 1 若 a ? b ? 3, a ? b ? 2 3, 则

1 1 ? 的最大值为__________ x y
D.

A. 2

B.

3 2

C.

1

1 2

7. 函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? A. 图象 C 关于直线 x ? C.函数 f ( x ) 在区间 ? ?
2

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是( 3?
对称 B .图象 C 关于点 (?



?
6

?
6

,0) 对称

π ? π 5π ? , ? 内是增函数 D. y ? 3sin 2 x 向右平移 个单位可得图象 C 3 ? 12 12 ?

8. 若曲线 y ? x ? ax ? b 在点(0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 A. a ? 1, b ? 1 B.

a ? ?1, b ? 1

C. a ? 1, b ? ?1

D. a ? ?1, b ? ?1

9.已知函数 f ( x) ? x sin x , x ?R,则 f ( ) , f (1) , f( ? A. f (?

?

?
3

?

) ? f (1) ? f ( ) 3 5

?

5

) 的大小关系为( )

B. f (1) ? f (?

?

)? f( ) 3 5

?

C. f ( ) ? f (1) ? f (?

?

?
3

5

)

D. f (?

?

) ? f ( ) ? f (1) 3 5

?

10. 半圆的直径 AB=4, O 为圆心,C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点, 则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是 A. -2 B. -1 C. 0 D. 2

?

?

?

二.填空题( 每小题 5 分 ) 11.设关于 x 的不等式 x2 ? x ? 2nx (n ?N* ) 的解集中整数的个数为 an , 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则 S100 的值为_______________________. 12. 设 a ? (?1,1), b ? (5, ?2) ,则 b与a 方向上的投影为 13. 已知 tan ? ?

?

?

? ?

。 .

1 , 则 cos 2? ? sin 2 ? 的值为 4

? x? y?2?0 x2 ? y 2 ? 14. 实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? 的范围是_________________ xy ? y?2?0 ?
15. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中真命题的序号为______ _____. 三.解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) 16. 已知函数 f ( x) ?

2? x 1 2x ?a?x (a ? R ) 的解集为 的定义域为集合 A ,关于 x 的不等式 ( ) ? 2 2 x ?1

B ,求使 A ? B ? B 的实数 a 的取值范围.

17. 已知 a ? (cos? ,1), b ? (?2, sin ? ) , ? ? (? , ? ) ,且 a ? b (Ⅰ)求 sin ? 的值 (Ⅱ)求 tan(? ?

?

?

?
4

3 2

?

?

)

18. 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

19. 已知椭圆 C 的长轴长与短轴长之比为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

3 ,焦点坐标分别为 F1 (?2,0) , F2 (2,0) 。 5

B BP (Ⅱ) 已知 A(?3,0) , B(3,0) , P 是椭圆 C 上异于 A 、 的任意一点, 直线 AP 、 分别交 y 轴于 M 、

N ,求 OM ? ON 的值;

20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足两个关系:①C(x)=

k (0 ? x ? 10), ②若不建 3x ? 5

隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

21. 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根,求实数 b 的 2 2

取值范围;

2012 届高三第三次月考数学(文)试卷参考答案
1—5 BACBB 11 10100 12 6—10 CCAAA

-

7 2 2

13.

16 17

14

[2,

10 ] 3

15

①②③④

16.解:由

2? x ? 0 解得 x ? ?2或x ? 1 x ?1

于是 A ? x | x ? ?2或x ? 1

?

?

1 1 1 ( ) 2 x ? 2? a ? x ? ( ) 2 x ? ( ) a ? x ? 2 x ? a ? x ? x ? a 2 2 2
所以 B ? ?x | x ? a? 因为 A ? B ? B, 所以B ? A ,所以 a ? ?2 , 即 a 的取值范围是 (??, ?2]

17.解: (1)依题意,可知 a ? b

?

?
?

故可知 a ? b ? 0

? ?

又 a ? (cos? ,1), b ? (?2, sin ? ) ∴ ? 2 cos ? ? sin ? ? 0
2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1

?

即 sin ? ? 2 cos ? ②

―― ①

2 ? ?sin ? ? 5 5 ? 由①②解得 ? ?cos? ? 5 ? 5 ?
依题意

2 ? ?sin ? ? ? 5 5 ? 或 ? ?cos? ? ? 5 ? 5 ?
2 5 5

? ? (? , ? )

3 2

∴ sin ? ? ?

(2) 由①可知 sin ? ? 2 cos ?

,解得 tan ? ? 2

18.解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=7,a5+a7=26, 所以有?
?a1+2d=7 ? ? ?2a1+10d=26

,解得 a1=3,d=2,

所以 an=3+2(n-1)=2n+1;

n? n-1? 2 Sn=3n+ ×2=n +2n.
2 (Ⅱ)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 1 1 = an -1 ? 2n+1?
2

2

1 = · -1 4 n?

1 ? 1 1 ?1 = ·? - ?, n+1? 4 ?n n+1?

1 1 ? 1 ? 1 1 1 所以 Tn= ·?1- + - +…+ - 2 2 3 n n+1? 4 ? ? 1 ? 1 ? = ·?1- = n+1? 4? 4 ? ?

n , n+1? n
4? n+1? .

即数列{bn}的前 n 项和 Tn=

19.解: (Ⅰ) 设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

?

a 3 2 2 2 ? ,c ? 2,a ?b ?c b 5

? a 2 ? 9 , b2 ? 5
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5
y0 ( x ? 3) x0 ? 3

(Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ,直线 PA : y ?

PB : y ?

y0 ( x ? 3) x0 ? 3

令 x ? 0 ,得: M ? 0,

? ?

? ?3 y0 ? 3 y0 ? ? , N ? 0, ? x0 ? 3 ? ? x0 ? 3 ?

? P 点在椭圆上 ?

x0 2 y0 2 ? ?1 9 5

???? ???? ?9 y 2 5 ? x0 2 ? 9 ? ? ? 5, 所以: OM ? ON ? 2 0 ? x0 ? 9 x0 2 ? 9

20.

21.解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). 依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时有解:即 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x

x ? 0 有解.则 ? ? 4 ? 4a ? 0 且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正根.
此时, ?1 ? a ? 0

1 1 1 3 , f ( x) ? ? x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. 2 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x
(2) a ? ? 列表:

x
g ?( x )
g ( x)

(0,1) +

1 0 极大值

(1,2)

2 0 极小值

(2,4) +

?
?

?

?

5 ? g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2, g ( x)极大值 ? g (1) ? ?b ? .g (4) ? ?b ? 2 ? 2 ln 2 ---5 分 4

? 方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 解得: ln 2 ? 2 ? b ? ? 4 ? g (4) ? 0 ?


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