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文数二轮复习专题一 突破高考客观题常考问题 -数学(文科)-全国卷地区专用


专题一

突破高考客观题常考问题

技法篇 第1讲 第2讲 第3讲

选择题、填空题常用解法 集合与常用逻辑用语 平面向量与复数 不等式与线性规划

第4讲

算法、推理与证明

技法篇 选择题、填空题常用 解法

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r /> 技法篇 选择题、填空题常用解法

■ 技法概述 选择题、填空题是高考必考的题型,共占有 80 分,因此, 探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要 的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广,突出的特点是 答案就在给出的选择项中.而填空题是一种只要求写出结 果,不要求写出解答过程的客观性试题,不设中间分,所 以要求所填的是最简最完整的结果.解答选择题、填空题 时,对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的 特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.

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技法篇 选择题、填空题常用解法

方法一 直接法 直接解法是直接从题设出发,抓住命题的特征,利用定义、 性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断得出结 果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择 题时,可利用选项的暗示性作出判断,同时应注意:在计算 和论证时尽量简化步骤,合理跳步,还要尽可能地利用一些 常用的性质、典型的结论,以提高解题速度.

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技法篇 选择题、填空题常用解法

1 1 例 1 (1)[2015· 重庆卷] 若 tan α =3, tan(α+β)=2, 则 tan β =( ) 1 1 5 5 A.7 B.6 C.7 D.6 (2)[2015· 江苏卷] 已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m-n 的值为________.

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技法篇 选择题、填空题常用解法

[分析] (1)虽然已知 α,α +β 的正切值,但还是不能确定 α, tan α +tan β α +β 的大小,由于 tan(α+β)= ,在这个公 1-tan α tan β 式中,唯一不知道的就是 tan β 的值,所以直接使用此公式 就可求解. (2)可以利用向量的坐标运算,通过坐标相等,直接得出参量 m,n 的值.

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[答案] (1)A

(2)-3

1 tan α+tan β 3+tan β 1 [解析] (1)tan(α+β)= = = ,解得 1 2 1-tan αtan β 1-3tan β 1 tan β=7. (2) 因 为 ma + nb = (2m + n , m - 2n) = (9 , - 8) , 所 以
? ? ?2m+n=9, ?m=2, ? 解得? 故 ? ? ?m-2n=-8, ?n=5,

m-n=-3.

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变试题 1.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a +b)2-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( ) 4 2 A.3 B.8-4 3 C.1 D.3

[答案] A

[解析] 由(a+b)2-c2=4 得 a2+b2+2ab-c2=4, 又 C=60°, a2+b2-c2 4-2ab 1 4 ∴cos C= 2ab = 2ab =2,解得 ab=3.
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1 2.若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1
1 [答案] 2

1 [解析] ∵f(x)= x +a, 2 -1 1 2x ∴f(-x)= -x +a= +a. 2 -1 1-2x 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 2x 1 即 +a=-( x +a), 1-2x 2 -1 1 解得 a=2.
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方法二 特例求解法 在解决选择题和填空题时, 可以取一个(或一些)特殊数值(或 特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊 图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法由于 只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦 琐演算的过程,提高了解题的速度.特值法是考试中解答选 择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到 “四两拨千斤”的功效.

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例 2

(1)[2015· 陕西卷] 设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p= a +b 1 f( ab),q=f( 2 ),r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正 确的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q π (2)[2015· 福建卷] “对任意 x∈(0, 2 ),ksin xcos x<x”是 “k<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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[分析] (1) 从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值 大小的问题,若不等式在常规条件下成立,则在特殊情况下 更能成立,所以不妨对 a,b 取特殊值处理,如 a=1,b=e. (2)正常来说分析不等式 ksin xcos x<x 成立的条件很复杂, 也 没必要,所以可以尝试在满足条件的情况下对 x 取特殊值进 行分析,这样既快又准确.

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[答案] (1)C

(2)B

[解析] (1)根据条件, 不妨取 a=1, b=e, 则 p=f( e)=ln e= 1+e 1 1 1 1 , q = f( )>f( e ) = , r = (f(1) + f( e )) = 2 2 2 2 2,在这种特例情 况下满足 p=r<q,所以选 C. (2)若对任意 x∈(0, 2 ),ksin xcos x<x 成立,不妨取 x= 4 , 代入可得 k< 2 ,不能推出 k<1,所以是非充分条件;因为 x ∈(0, 2 ),恒有 sin x<x,若 k<1,则 kcos x<1,一定有 ksin xcos x<x,所以选 B.
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π

π

π

π

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变试题 3.a1,a2,a3,a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0, 若将此数列删去某一项得到的数列 ( 按原来的顺序 ) 是等 a1 比数列,则 d 的值为( ) A.-4 或 1 B.1 C.4 D.4 或-1
[答案] A

[解析] (1)如数列为 1,2,3,4,去掉第 3 项,得 1,2,4 为 a1 等比数列,显然有 d =1.若改换成数列 4,3,2,1,去掉第 2 a1 项,得 4,2,1 为等比数列,则 d =-4,所以选 A.
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4 .设 a>b>1 ,则 logab , logba , logabb 的大小关系是 ______________.
[答案] logabb<logab<logba

[解析] 考虑到三个数的大小关系是确定的, 不妨令 a=4, b=2, 1 1 1 1 则 logab = 2 , logba = 2 , logabb = 3 , 显 然 3 < 2 <2 , ∴ logabb<logab<logba.

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方法三 数形结合法 数形结合法是一个将数学问题从“数”与“形”两个方面相 互联系的一种思想方法.在解答选择题的过程中,可以先根 据题意,作出草图,然后参照图形的形状、位置、性质,综 合图像的特征, 得出结论. 对于一些含有几何背景的填空题, 若能根据题目条件的特点,作出符合题意的图形,做到数中 思形,以形助数,并通过对图形的直观分析、判断得出正确 的结果.

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例 1 (1)[2015· 安徽卷] 已知 x,y 满足约束条件 ?x-y≥0, ? ?x+y-4≤0,则 z=-2x+y 的最大值是( ) ?y≥1, ? A.-1 B.-2 C.-5 D.1 π 2x (2)[2015· 湖北卷] 函数 f(x)=4cos 2· cos( 2 -x)-2sin x- |ln(x+1)|的零点个数为________.

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[分析] (1)要确定目标函数的最大值,需知道相应的 x,y 的 值,从约束条件中不可能解出对应的 x,y 的值,所以只有 通过图解法作出约束条件的可行域,据可行域数形结合得出 目标函数的最大值. (2)函数的零点即对应方程的根,但求对应方程的根也比较困 难,所以进一步转化为求两函数的图像的交点,所以作出两 函数的图像确定交点个数即可.

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[答案] (1)A

(2)2

[解析] (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图 1 所示的 △ABC 内部及其边界,当直线 y=2x+z 过 A 点时 z 最大, 又 A(1,1),因此 z 的最大值为-1.

图1
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(2)f(x)=4cos 2sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin -|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|.令 f(x)=0, 得 sin 2x=|ln(x+ 1)|.在同一坐标系中作出函数 y=sin 2x 与函数 y=|ln(x+1)| 的大致图像,如图 2 所示. 观察图像可知,两个函数的图像有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零点.

2x

? ? 2x x??2cos 2-1? ? ?

图2
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变试题 5.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 x,都 有 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在(-∞,1]上单调递增.若 x1<x2,且 x1+x2=3,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.不能确定
[答案] C

[解析] 由 f(1+x)=f(1-x)知,函数 y=f(x)的图像关于直线 x =1 对称.又 f(x)在(-∞,1]上单调递增,所以 f(x)在[1,+∞) 上单调递减.设点 A(x1,0),B(x2,0),因为 x1<x2,且 x1+ 3 x2=3,则点 A 在点 B 的左侧,且 AB 的中点为(2,0).结合 图像(图略)可知,f(x1)>f(x2).
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π 6. 定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图像与 y=5tan 2 x 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sin x 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 ________.

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2 [答案] 3

[解析] 如图所示,设 P(x,y),线段 P1P2 的长即为 sin x 的值, π 2 且其中的 x 满足 6cos x=5tan x,x∈(0, 2 )解得 sin x=3.故线 2 段 P1P2 的长为3.

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方法四 验证法 所谓验证法, 就是从选项出发, 将答案逐一代入题中去验证, 看看是否满足题设的条件,而从中选出正确答案的方法.

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例 4 (1)点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是 ( ) A.(-6,8) B.(-8,-6) C.(6,8) D.(-6,-8) (2)过抛物线 y2=4x 的焦点的直线与抛物线交于 M, N两 点,则 MN 中点的轨迹方程是( ) A.y2=2x-1 B.y2=2x-2 C.y2=-2x+1 D.y2=-2x+2

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技法篇 选择题、填空题常用解法

[分析] (1)据垂直、平分的条件可得出点(4,0)关于直线 5x+ 4y+21=0 的对称点坐标,但运算量较大,不可取.注意到 对称点已出现在选项中,所以只需代入验证即可. (2)显然焦点(1,0)一定是弦 MN 在某种状态下的中点,即在 所求轨迹上,可代入选项中进行验证,并结合其他一些条件 进行判断.

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[答案] (1)D

(2)B

[解析] (1)两点关于直线对称,则它们的中点一定在已知直线 上,即中点满足直线方程.选项 A,中点为(-1,4),代入 直线方程 5x+4y+21=0,得 5× (-1)+4× 4+21=32≠0,不 满足方程;选项 B,中点为(-2,-3),代入直线方程 5x+ 4y+21=0,得 5× (-2)+4× (-3)+21=-1≠0,不满足方程; 选项 C, 中点为(5, 4), 代入直线方程 5x+4y+21=0, 得 5× 5 +4× 4+21=62≠0,不满足方程.故选 D. (2)因为抛物线的焦点坐标为(1,0),由题意可知轨迹曲线过 点(1,0),将点(1,0)的坐标代入各选项可排除 A,C.又由题 易知轨迹曲线的开口向右,所以可排除 D.故选 B.

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变试题 7. 设 0<b<1+a, 若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集 中的整数恰有 3 个,则( ) A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6
[答案] C

1 2b 2 2 [解析] 取 a=± 代入不等式, 得 3x -8bx+4b >0, 解得 x< 3 2, 或 x>2b,这样必超过 3 个整数解,从而排除 A,B; b b 2 2 取 a=4,代入不等式,得 15x +2bx-b <0,解得-3<x<5, 这时必少于 3 个整数解,从而排除 D.故选 C.

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技法篇 选择题、填空题常用解法

方法五 排除法 排除法就是充分运用选择题中单选题的特征, 即有且只有一 个正确选项这一信息,从选项入手,根据题设条件与各选项 的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选项进行筛选, 将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除, 从而获得正确结论 的方法.使用该法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且 只有一个答案正确. 排除法适用于定性型或不宜直接求解的 选择题,当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件,在 选项中找到明显与之矛盾的予以否定,再根据另一些条件, 在剩余的选项内找出矛盾,这样逐步筛选,直至得出正确的 答案.

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技法篇 选择题、填空题常用解法

x2-5x+6 例 5 (1)[2015· 湖北卷] 函数 f(x)= 4-|x|+lg x-3 的定义域为( ) A.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6] (2)如图 3, 已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形, PA⊥平面 ABC,则下列说法正确的是( )

图3 A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.以上都不对
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技法篇 选择题、填空题常用解法

[分析] (1)函数结构相对较为复杂,直接从使得函数有意义的 角度出发求解有一定的运算量,本题可以通过选择一些特殊 数字排除一些错误答案.如选 x=3,x=4 等排除. (2)本题只能结合选项 A,B,C 逐一推导,排除错误答案, 得出正确选项.

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[答案]

(1)C

(2)D

[解析] (1)正常求解是依据偶次根式被开方数非负,对数的真 数大于 0 构建关于 x 的不等式组求 x 的范围得定义域.此题 选择排除法求解会更快捷.显然 x=3(分母为 0),x=6(被开 方数为负)均不符合题意,所以可排除选项 B,D;当 x=4 时,函数 f(x)有意义,排除 A.故选 C. (2)因为 AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直, 所以选 项 A 不正确.过点 A 作 PB 的垂线,垂足为 H,若平面 PAB ⊥平面 PBC, 则 AH⊥平面 PBC, 所以 AH⊥BC.又 PA⊥BC, 所以 BC⊥平面 PAB,则 BC⊥AB,这与底面是正六边形不 符,所以选项 B 不正确.若直线 BC∥平面 PAE,则 BC∥ AE,但 BC 与 AE 相交,所以选项 C 不正确.故选 D.
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变试题 8.函数 y=2x-x2 的大致图像是(

)

图4
[答案] A

[解析] 因为当 x=2 或 4 时,2x-x2=0,所以排除 B,C;当 1 x 2 x=-2 时,2 -x =4-4<0,所以排除 D.故选 A.

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9.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条 件的 a,b 恒成立的是________. ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3; 1 1 ⑤a +b≥2.
[答案] ①③⑤

[解析] 令 a=b=1,排除②④;由 2=a+b≥2 ab,得 ab≤1,故 ①正确; 1 1 a+b 2 a +b =(a+b) -2ab=4-2ab≥2,a +b= ab =ab≥2,故③⑤ 正确.
2 2 2

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方法六 等价转化法 所谓等价转化法, 就是通过“化复杂为简单、 化陌生为熟悉”, 将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结 果.

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例 6 [2015· 湖南卷] 若直线 3x-4y+5=0 与圆 x2+y2= r2(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°(O 为坐标原 点),则 r=________.

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[分析] 注意到三角形 OAB 是一个特殊的等腰三角形, AB 边 上的高为边 OA(即半径)的一半, 而 AB 边上的高即点 O 到直 线 AB 的距离,所以可通过点 O 到直线 AB 的距离求 r.

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[答案] 2

[解析] 如图 5,直线 3x-4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)交于 A,B 两点,O 为坐标原点,且∠AOB=120°,则圆心(0, 1 5 1 0)到直线 3x-4y+5=0 的距离为 2r,即 2 = r,∴r 2 2 3 +4 =2.

图5
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变试题 10. 若直线 y=kx+1(k∈R)与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4 =0 恒有交点,则实数 a 的取值范围是________.
[答案] -1≤a≤3

[解析] 因为直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),所以题设条件等 价于点(0,1)在圆内或圆上,即 02+12-2a× 0+a2-2a-4≤0, 即 a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3.

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方法七 归纳推理法 对所给问题比较熟悉,但直接求解又比较费时、费力;而有 的问题比较新颖, 如情境创新题中定义新概念、 定义新图形、 定义新数表等问题, 可通过观察、 分析题目特征、 探索规律、 发现关系进而求解.

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例 7 观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+ 23 + 33 + 43 = 102 ,? . 根据上述规律,第 5 个等式为 ________________.

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技法篇 选择题、填空题常用解法

[分析] 本题是根据现有三个等式,推导出第五个等式,所以 需仔细观察现有三个等式的特征、规律,即从等式左右两边 的数字规律、项数、指数等方面归纳出第五个等式.

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[答案] 13+23+33+43+53+63=212

[解析] 观察 13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43= 102 可知,第 n 个等式的左边是从 1 开始的连续 n+1 个自然 数的立方和,而右边是这连续 n+1 个自然数和的平方,即 13+23+33+…+(n+1)3=[1+2+3+…+(n+1)]2, 所以第 5 个等式为 13+23+33+43+53+63=212.

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技法篇 选择题、填空题常用解法
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变试题 11.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列, 那么位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是________. 第 1 列 第 2 列 第 3 列 …… 第1行 1 2 3 …… 第2行 2 4 6 …… 第3行 3 6 9 …… ?? ?? ?? ?? ??
[答案] n2+n

[解析] 第 n 行第 1 列的数为 n,观察得第 n 行的公差为 n,所 以第 n 行第 n+1 列的数 an,n+1=n+(n+1-1)n=n+n2.
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第1讲 集合与常用逻辑用语

考 点 考 向 探 究

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第1讲

集合与常用逻辑用语

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1.[2015· 全国卷Ⅱ改编] 已知集合 A={x|-1<x<2},B ={x|0<x<3},则 A∪B=________.

[答案] (-1,3)

[ 解析 ] 根据并集的概念可知 A ∪ B = {x| - 1<x<2} ∪ {x|0<x<3}={x|-1<x<3}=(-1,3).

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集合与常用逻辑用语

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2. [2015· 湖北卷改编] 已知集合 A={(x, y)|x2+y2≤1, x, y∈Z}, B={(x, y)|y=x}, 则 A∩B 的子集个数为________.

[答案] 2

[解析] 由题意知,A={(-1,0),(0,0),(0,-1),(0, 1),(1,0)},所以 A∩B={(0,0)},含有一个元素,所以 A∩B 的子集有 2 个.

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3.[2015· 全国卷Ⅰ改编] 已知集合 A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的 个数为________.

[答案] 2

[解析] 集合 A={2,5,8,11,14,17,…},所以 A∩B ={8,14},所以 A∩B 中有 2 个元素.

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4.[2015· 湖南卷] 已知集合 U={1,2,3,4},A={1, 3},B={1,3,4},则 A∪(?UB)=________.

[答案] {1,2,3}

[解析] ?UB={2}, 故 A∪(?UB)={1, 3}∪{2}={1, 2, 3}.

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集合与常用逻辑用语

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5.[2015· 浙江卷改编] 设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)= card(A∪B)-card(A∩B),其中 card(A)表示有限集 A 中元素 的个数.若 A={1,2,3,4,5},B={2,4,6},则 d(A, B)=________.

[答案]

4

[解析] 因为 A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B={2,4}, 所以根据定义有 d(A, B)=card(A∪B)-card(A∩B)=6-2 =4.

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6.[2015· 安徽卷改编] 设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的 ________ 条件. ( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充 分”“充要”“既不充分也不必要”)

[答案]

必要不充分

[解析] 因为(-1,3)是(-∞,3)的真子集,所以 q?p,但 p?/ q,因此 p 是 q 的必要不充分条件.

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集合与常用逻辑用语

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7.[2015· 山东卷改编] 设 m∈R,命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是________.

[答案]

若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0

[解析] ∵逆否命题是将原命题的条件与结论互换并分别否 定,∴命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否 命题是“若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0”.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

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8.[2015· 湖北卷改编] 命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0 -1”的否定是________________.

[答案]

?x∈(0,+∞),ln x≠x-1

[解析] 特称命题的否定是全称命题,且注意否定结论, 故原命题的否定是“?x∈(0,+∞),ln x≠x-1”.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

9.[2014· 重庆卷改编] 已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0,
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q:x=1 是方程 x+2=0 的根.则①p∧ ∧q 中为真命题的是________.

,②

∧q,③p

[答案]



[解析] 由题意知 p 为真命题,q 为假命题,则 q 为真命 题,所以 p∧ q 为真命题.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

—— 基础知识必备 ——

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第1讲

集合与常用逻辑用语

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集合与常用逻辑用语

?

考点一 难度:基础

集合及其运算 分值:5 分 热点:集合关系与运算的综合

题型:选择、填空

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第1讲

集合与常用逻辑用语

考 点 考 向 探 究

例 1 (1)[2015· 陕西卷] 设集合 M={x|x2=x},N={x|lg x ≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1] (2)已知集合 A={1, 3, 4, 5}, 集合 B={x∈Z|x2-4x-5<0}, 则 A∩B 的子集的个数为( ) A.2 B.4 C.8 D.16

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)A

(2)C

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[解析] (1)由题得集合 M={0,1},N=(0,1],所以 M∪N =[0,1]. (2)集合 B={x∈Z|x2-4x-5<0}={x∈Z|-1<x<5}={0, 1, 2,3,4},所以 A∩B={1,3,4},所以其子集的个数是 23=8.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[小结] (1)集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各 个集合求出,再根据交、并、补的定义进行运算;(2)对于 元素个数有限的集合一般可用列举的方法求解,而用不等 式表示的集合,常借助数轴处理.
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第 1讲

集合与常用逻辑用语

变式题 (1)设全集 U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y =cos x,x∈R},则图 11 中阴影部分表示的区间是( )

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图 1-1 A.[0,1] B.[-1,2] C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) (2)若全集 U={1,2,3,4,5},?UP={4,5},则集合 P 可 以是( ) A.{x∈N*||x|<4} B.{x∈N*|x<6} C.{x∈N|x2≤16} D.{x∈N*|x3≤16}

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第 1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)C

(2)A

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[解析] (1)A={x|x2-2x≤0}=[0,2],B={y|y=cos x,x∈ R}=[-1, 1], 阴影部分表示集合?U(A∪B), 而 A∪B=[- 1,2],所以?U(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞). (2)由 U={1,2,3,4,5},?UP={4,5},可知 P={1, 2,3}.选项 B 中的集合为{1,2,3,4,5},选项 C 中的 集合为{0,1,2,3,4},选项 D 中的集合为{1,2},均 不符合,故选 A.

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考点二 难度:基础

命题的真假与否定 分值:5 分 热点:命题的否定

题型:选择、填空

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集合与常用逻辑用语

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an+an+1 例 2 (1)原命题为“若 2 <an, n∈N+, 则{an}为递 减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断 依次如下,正确的是( ) A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 (2)已知命题 p:?x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题 q:?x∈ (0,1),log2x<0,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q C. B.p∨ D.p∧? ∧q

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)A

(2)C

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an+an+1 [解析] (1)由 2 <an,得 an+1<an,所以数列{an}为递减 数列,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题.易知 原命题的逆命题为真命题,所以其否命题也为真命题. (2)命题 p 为假命题,命题 q 为真命题,所以 p∧q 为真命 题.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

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[小结] (1)判断一个命题与其逆命题、否命题、逆否命题的 真假时,只要能够判断出原命题与逆命题的真假即可,其 余两个命题可以根据等价关系得出;(2)对于含有“∨,∧, ”的复合命题真假的判断,关键是先要准确判断构成复合 命题的简单命题 p,q 的真假,再据真值表判断.

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第 1讲

集合与常用逻辑用语

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变式题 (1)下列说法错误的是( ) A.命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题 B.命题 p:?x∈[0,1],ex≥1,命题 q:?x0∈R,x2 0+ x0+1<0,则 p∨q 为真命题 C. “若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题 D.若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题 (2) 命 题 “ ? x0> - 1 , x 2 0 + x0 - 2014>0” 的 否 定 是 ____________________.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)C (2)?x>-1,x2+x-2014≤0

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[解析] (1)根据四种命题的构成规律, 选项 A 中的说法正确; 选项 B 中的命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,故 p∨q 为真命题,选项 B 中的说法正确; 其逆命题“若 a<b,则 am2<bm2” ,当 m=0 时,a<b?am2 =bm2,故选项 C 中的说法不正确; 当 p,q 有一个为真命题时,p∨q 是真命题,故选项 D 中 的说法正确.故选 C. (2)特称命题的否定是全称命题,所以命题”?x0>-1,x2 0+ x0-2014>0”的否定是“?x>-1,x2+x-2014≤0”.

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考点三 充要条件 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:基础 热点:充要条件

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例3

(1)[2015·湖北卷] l1,l2 表示空间中的两条直

线, 若 p: l1, l2 是异面直线; q: l1, l2 不相交, 则( ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 2 (2)记不等式 x +x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=
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lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A”是“x∈B”的充
分条件,则实数 a 的取值范围为________.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案] (1)A (2)(-∞,-3]

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[解析] (1)由 l1,l2 是异面直线,可得 l1,l2 不相交,所以 p?q;由 l1,l2 不相交,可得 l1,l2 是异面直线或 l1∥l2, 所以 q?/ p.所以 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条 件.故选 A. (2)解不等式 x2+x-6<0 得集合 A=(-3,2),由函数 y =lg(x-a)的定义域得集合 B=(a,+∞),因为“x∈A”是“x ∈B”的充分条件,所以 a≤-3.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

[ 小结 ] 充要条件的判断实际上就是从正反两个方面判 断命题的真假,即 p?q 与 q?p 哪个成立的问题,有时 会把要判断的问题转化为其逆否命题进行判断,这个方 法特别适合以否定形式给出的问题.

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第 1讲

集合与常用逻辑用语

变式题 “m=1”是“直线 mx+y=1 与直线 x-my=1 互相垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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第1讲

集合与常用逻辑用语

[答案]

A

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[解析] 若 m=1,则直线 x+y=1 和直线 x-y=1 互相垂 直,故充分性成立; 若直线 mx+y=1 与直线 x-my=1 互相垂直,则 m 取任 意实数,故必要性不成立.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为集合和程序框图结合的问题,命题独特 新颖,可以培养学生综合分析问题的能力,是对传统集合 问题的一大突破;例 2 进一步强化了对特称命题与全称命 题的认识及真假的判断;例 3 从高考常见的不等式与充要 条件的结合命题处考查.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

例 1(配听课例 1 使用)程序框图如图所示,已知集合 A= {x|框图中输出的 x 的值},集合 B={y|框图中输出的 y 的 值},当 x=1 时,A∩B=( )

A.? B.{3} C.{1,3,5} D.{3,5}
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第1讲

集合与常用逻辑用语

[解析] D 执行程序框图,有 y=1,x=2,输出 1,2; 不满足条件 x>5,y=3,x=3,输出 3,3; 不满足条件 x>5,y=5,x=4,输出 5,4; 不满足条件 x>5,y=7,x=5,输出 7,5; 不满足条件 x>5,y=9,x=6,输出 9,6. 满足条件 x>5,退出循环. 从而可得 A={2,3,4,5,6},B={1,3,5,7,9}, 故 A∩B={3,5}.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

例 2 (配听课例 2 使用)下列命题中,为真命题的是( A.?x∈R,x2>0 B.?x∈R,-1<sin x<1 C.?x0∈R,2x0<0 D.?x0∈R,tan x0=2

)

[解析] D ?x∈R,x2≥0,A 错;?x∈R,-1≤sin x≤1, B 错;?x∈R,2x>0,C 错.故选 D.

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第1讲

集合与常用逻辑用语

例 3(配听课例 3 使用)“a≤0”是“函数 f(x)=|x(ax+1)|在区间(- ∞,0)上单调递减”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] C 当 a=0 时,f(x)在(-∞,0)上单调递减;当 a<0,x ∈(-∞, 0)时, f(x)=-ax2-x, f(x)在(-∞, 0)上单调递减. 所 以充分性成立. 当 a=0,x∈(-∞,0)时,f(x)=-x 在(-∞,0)上单调递减; 当 a<0,x∈(-∞,0)时,f(x)在(-∞,0)上单调递减;当 a>0, 1 1 x∈(-∞,0)时,易知 f(x)在(-∞,-a ),(-2a,0)上单调递 1 1 减,在(-a,-2a)上单调递增.所以必要性成立.故选 C.
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第2讲 平面向量与复数

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第2讲

平面向量与复数

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1.[2015· 全国卷Ⅰ改编] 已知点 A(0,1),B(3,2),向量 → =(-4,-3),则向量BC → =________. AC

[答案]

(-7,-4)

→ =(3,1),BC → =AC → -AB → =(-4,-3)-(3,1) [解析] AB =(-7,-4).

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第2讲

平面向量与复数

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2.[2015· 四川卷改编] 设向量 a=(2,4)与向量 b=(x, 6)共线,则实数 x=________.

[答案] 3

[解析] 由向量平行的性质,有 2∶4=x∶6,解得 x=3.

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3.[2015· 全国卷Ⅱ改编] 向量 a=(0,-1),b=(-1, 2),则(2a+b)· a=________.

[答案] 0

[解析] 由题意可得 a2=1,a· b=-2,所以(2a+b)· a=2a2 +a?b=2-2=0.

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平面向量与复数

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4.[2015· 重庆卷改编] 已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|, 且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为________.
2π [答案] 3

[解析] 由已知得 a· (2a+b)=2a2+a· b=0,即 a· b=-2a2, 2 2π a· b - 2a 1 所以 cos〈a,b〉= = =-2,所以〈a,b〉= 3 . |a||b| 4a2

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平面向量与复数

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1 5.[2015· 浙江卷] 已知 e1,e2 是平面单位向量,且 e1·e2=2. 若平面向量 b 满足 b· e1=b· e2=1,则|b|=________.

[答案]

2 3

3

[解析] 令 b=xe1+ye2(x,y∈R),b· e1=xe1?e1+ye2?e1=x 1 1 2 +2y=1,b· e2=xe1?e2+ye2?e2=2x+y=1,解得 x=y=3, 2 4 4 2 4 2 2 2 则 b=3(e1+e2), 所以 b =9(e1+e2) =9(e1+2e1? e2+e2)=3, 2 3 故|b|= . 3
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第2讲

平面向量与复数

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6.[2015· 北京卷] 复数 i(1+i)的实部为________.

[答案]

-1

[解析] i(1+i)=i+i2=-1+i,所以答案是-1.

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平面向量与复数

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7.[2015· 全国卷Ⅰ改编] 已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z =________.

[答案]

2-i

[解析] 设复数 z=a+bi(a,b∈R),代入(z-1)i=1+i 得(a -1+bi)i=1+i, 即-b+(a-1)i=1+i.根据复数相等可得- b=1,a-1=1,得 a=2,b=-1,所以复数 z=2-i.

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平面向量与复数

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8. [2015· 江苏卷] 设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位), 则 z 的模为________.

[答案]

5

[解析] 因为 z2=3+4i,所以|z2|=|z|2=|3+4i|= 9+16= 5,所以|z|= 5.

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平面向量与复数

—— 基础知识必备 ——

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第2讲

平面向量与复数

—— 基础知识必备 ——

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考点一 难度:基础

平面向量的概念及线性运算 分值:5 分 热点:向量的线性运算与坐标表示

题型:选择、填空

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平面向量与复数

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例 1 (1)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA, → +FC → =( AB 的中点,则EB ) 1→ → A.AD B. AD 2 1→ → C. BC D.BC 2 (2)已知△ABC 中,点 A,B,C 的坐标依次是 A(2,-1), → 的坐标 B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD,则AD 是________.
[答案] (1)A (2)(-1,2)

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平面向量与复数

→ +FC → =EC → +CB → [解析] (1)根据向量加法的三角形法则有EB 1→ 1→ → → → → +FB+BC=EC+FB=2AC+2AB,而 D 为 BC 的中点,所 1→ 1→ → → → 以有AD=2AC+2AB=EB+FC.
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→ =(-6,-3),AD⊥BC,AD → =(x- (2)设 D(x,y),因为BC → 2, y+1), 所以-6(x-2)-3(y+1)=0, 即 2x+y-3=0.又BD → 共线,所以有(x-3)-2(y-2)=0,即 x-2y+1=0, 与BC → =(-1,2). 所以 x=1,y=1,所以AD

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第2讲

平面向量与复数

[小结] 平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形 式,几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定 理,坐标运算主要是利用向量加、减、数乘向量运算的法 则进行求解.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使 用运算法则.
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第 2讲

平面向量与复数

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变式题 (1)向量 a=(1, m), b=(2, -4),若 a=λb(λ 为实数),则 m 的值为( ) 1 1 A.2 B.-2 C. D.- 2 2 → =2DB → ,CD → =rAB →+ (2)在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD → ,则 r+s=( sAC ) 2 4 A. B. C.-3 D.0 3 3

[答案]

(1)B (2)D

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第 2讲

平面向量与复数

[解析] (1)由 a=λb,得(1,m)=λ(2,-4)=(2λ,-4λ)
? ?2λ=1, ?? ?m=-2. ? ?-4λ=m

2→ 2 → → 2→ 2 → → → (2)∵CD=2 DB ,∴CD= CB = ( AB-AC )= AB- 3 3 3 3
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→. AC 2 2 → → → ∵CD=rAB+sAC,∴r= ,s=- ,∴r+s=0. 3 3

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平面向量与复数

?

考点二 平面向量的数量积 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:基础 热点:数量积公式的应用

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第2讲

平面向量与复数

考 点 考 向 探 究

例 2 (1)[2015?广东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中, 已 知四边形 ABCD 是平行四边形,AB→=(1,-2),AD→= (2,1),则 AD→?AC→=( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知平面上的向量 PA→, PB→满足|PA→|2+|PB→|2 =4,且|AB→|=2,设向量 PC→=2PA→+PB→,则|PC→ |的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.3

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第2讲

平面向量与复数

[答案] (1)A

(2)B

→ =AB → [解析] (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以AC → =(1,- 2)+(2,1)=(3,-1) ,所以 AD →· → =2× +AD AC 3 +1× (-1)=5.
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第2讲

平面向量与复数

[小结] (1)向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式 a· b =|a|· |b|· cos θ; 二是坐标公式 a· b=x1x2+y1y2.(2)用数量积 求长度的方法:|a|= a· a;|a± b|= a2±2a· b+b2;若 a=
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(x,y),则|a|= x2+y2.(3)用数量积公式求夹角:cos θ= a· b . |a|· |b|

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第 2讲

平面向量与复数

考 点 考 向 探 究

变式题 (1)已知单位向量 m 和 n 的夹角为 60°, 记a =n-m,b=2m,则向量 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 7 1 1 7 (2)与向量 a=( , ),b=( ,- )的夹角相等,且模 2 2 2 2 为 1 的向量是( ) 4 3 4 3 4 3 A.( ,- ) B.( ,- )或(- , ) 5 5 5 5 5 5 2 2 1 2 2 1 2 2 1 C.( ,- ) D.( ,- )或(- , ) 3 3 3 3 3 3

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第2讲

平面向量与复数

[答案]

(1)C (2)B

[解析] (1)由于单位向量 m 和 n 的夹角为 60°,所以 m· n= 1 1× 1× cos 60°= , 2 1 2 所以 a· b=2(m· n-m )=2× (2-1)=-1.
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又|a|= n2+m2-2m· n=1,|b|=2, a· b 1 所以 cos〈a,b〉= =- . 2 |a|· |b| 又 0°≤〈a,b〉≤180°, 所以向量 a 与 b 的夹角为 120°.
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第2讲

平面向量与复数

考 点 考 向 探 究

7 1 1 7 (2)设与向量 a=(2,2),b=(2,-2)的夹角相等, 且模为 1 的向量为(x,y), 4 ? 4 ? x2+y2=1, ? x = , x =- ? 5 ? ? 5, 则?7 1 1 7 解得? 或? 3 3 x + y = x - y , ? ? ? y=-5 y= . ?2 2 2 2 ? ? 5

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平面向量与复数

高考易失分题 1

构建直角坐标系求解平面向量数量积

范例 [2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形 ABCD 的 →· → =________. 边长为 2,E 为 CD 中点,则AE BD

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第2讲

平面向量与复数

[答案]

2

[解析] 如图建立平面直角坐标系,则 → =(1,2),BD → =(-2,2),所以AE →· → =2. AE BD
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第2讲

平面向量与复数

失分分析 (1)在进行向量数量积运算之前,不能将所要考查 的向量转化为基底向量或有特殊位置关系的向量; (2)不能 依据特殊图形合理建立坐标系,转化为向量坐标运算;(3) 使用向量数量积公式时出现一些不必要的错误.
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第 2讲

平面向量与复数

高考预测 已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形, → =2EC → ,CF → =2FB → ,则AE →· → 的值为________. 若DE AF [答案] 9

[解析] 方法一:以点 A 为坐标原点,AB,AD 所在的直线 分别为 x 轴、y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系 xAy, → =(2,3),AF → =(3, 则 A(0,0),E(2,3),F(3,1),所以AE
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→· → =2× 1),因此AE AF 3+3× 1=9.

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第 2讲

平面向量与复数

2→ → 2→ → → → → 方法二: 如图所示, AE=AD+DE=AD+3DC=AD+3AB, 1→ → 1 → 2→ → → → → → → AF=AB+3BC=AB+3AD, 所以AE· AF=(3AB+AD)· (AB 1→ 2 → 2 11 → → 1 → 2 2 → 2 11 1 → 2 +3AD)=3AB + 9 AB· AD+3AD =3|AB| + 9 × 0+3|AD| 2 2 11 1 2 =3× 3 + 9 ?0+3× 3 =9.

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平面向量与复数

?

考点三

复数的概念与运算 分值:5 分 热点:复数的四则运算

题型:选择、填空 难度:基础

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平面向量与复数

例3

2+ai (1)[2015· 全国卷Ⅱ] 若 a 为实数, 且 =3+i, 1+i C.3

则 a=( ) A.-4 B.-3

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D.4 2 (2)在复平面内,复数 z= +i2015,z 为 z 的共轭复 3-i 数,则 z?z=( ) 3 9 16 A.1 B.5 C.25 D.25

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第2讲

平面向量与复数

[答案]

(1)D (2)A

2+ai [解析] (1)由 =3+i 得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i, 1+i 根据复数相等的意义知 a=4.
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2(3+i) 3+i 2 2015 4 503 3 (2)z = +i = + (i ) ? i = 5 - i 3-i (3-i)(3+i) 3 4 3 4 32 42 =5-5i,所以 z=5+5i,所以 z· z=(5) +(5) =1.

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第2讲

平面向量与复数

[小结] 复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实 数化,分子分母同时乘分母的共轭复数.对一些常见的运 1+i 1-i 算,如(1± i) =± 2i, =i, =-i 等要熟记. 1-i 1+i
2

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第 2讲

平面向量与复数

变式题 1 3 A. B. 2 2 C.1 D.2

2 (1)若复数 z= ,则|z|=( 1+ 3i

)

1-i (2)已知复数 z= (i 为虚数单位),则复数 z 在复平面

i

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内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

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第2讲

平面向量与复数

[答案] (1)C (2)B
2(1- 3i) 1 2 3 [解析 ] (1)z = = =2- 2 i, ,所以 |z| = 4 1+ 3i
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1 2 3 2 (2) +( 2 ) =1. 1-i (2)z= i =-1-i,则复数 z=-1+i,对应的点在第二 象限.

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第2讲

平面向量与复数

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 结合平面图形考查向量的线性运算, 平面向 量基本定理等,有利于对向量的几何运算认识更充分,应用 更到位;例 2 将向量运算与三角形结合,主要考查平面向量 的数量积、夹角、运算和分类讨论思想,有利于培养应用向 量综合分析的能力;例 3 一反常规的复数形式与运算,没有 给出具体的复数, 而是从一个整体上认识复数的一些性质及 推理.

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第2讲

平面向量与复数

例 1(配听课例 1 使用)将一圆的六个等分点分成两组相间的 三点, 它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以 形成一正六角星,如图所示的正六角星是以原点 O 为中心, → ,y=OF → .若将OA → ,OB → ,OC → ,OD → ,OE → ,OF →都 其中 x=OA 写成为 ax+by 的形式,则 a+b 的最大值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

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第2讲

平面向量与复数

[解析] D 讨论如下﹕ → =x,所以(a,b)=(1,0). (1)因为OA → =OF → +FB → =y+3x,所以(a,b)=(3,1). (2)因为OB → =OF → +FC → =y+2x,所以(a,b)=(2,1). (3)因为OC → = OF → + FE → +ED → = y + x +OC → = y + x+ (y + 2x)= (4) 因为OD 2y+3x,所以(a,b)=(3,2). → =OF → +FE → =y+x,所以(a,b)=(1,1). (5)因为OE → =y,所以(a,b)=(0,1). (6)因为OF 因此,a+b 的最大值为 3+2=5.

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第2讲

平面向量与复数

→ =a+kb,AC → =ka+ 例 2(配听课例 2 使用)在△ABC 中,AB b,其中 k∈R,且|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120°.有 → 以下说法:①|a+b|= 3;②若点 D 是边 BC 的中点,则AD k+1 5± 21 = (a+b);③若∠A 为直角,则 k= ;④若∠A 为 2 2 5- 21 5+ 21 钝角, 则 k< 2 且 k≠-1 或 k> 2 ; ⑤若∠A 为锐角, 5- 21 5+ 21 则 <k< . 2 2 其中所有正确说法的序号是________(把你认为正确的说法 的序号都填上).

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第2讲

平面向量与复数

[答案] ①②③④
[解析] 对于①,|a+b|2=a2+b2+2a· b=5-2=3,则|a+b| = 3,①正确. 1 → → k+1 → 对于②,AD=2(AB+AC)= 2 (a+b),②正确. →· → =0,即-k2+5k-1=0, 对于③,若∠A 为直角,则AB AC 解得 k= 5± 21 2 ,③正确.

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第2讲

平面向量与复数

对于④,当 a+kb 与 ka+b 不反向时,(a+kb)· (ka+b)=ka2 +(k2+1)a· b+kb2=-k2+5k-1, 5- 21 5+ 21 2 由题意得,-k +5k-1<0,∴k< 2 或 k> 2 ; 当 a+kb 与 ka+b 反向时,仍有(a+kb)· (ka+b)<0,此时设 a+kb=λ(ka+b)(λ<0),显然 a,b 不共线,∴λk=1,k=λ, ∴k=λ=± 1,取 k=λ=-1. 5- 21 5+ 21 ∴k< 2 且 k≠-1 或 k> 2 ,④正确. 对于⑤,当 a+kb 与 ka+b 不同向时,-k2+5k-1>0? 5- 21 5+ 21 2 <k< 2 ;当 a+kb 与 ka+b 同向时,易得 k=λ 5- 21 5+ 21 =1,∴ 2 <k< 2 且 k≠1,故⑤错误.
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第2讲

平面向量与复数

例 3(配听课例 3 使用)对任意复数 w1, w2, 定义 w1*w2=w1w2, 其中 w2 是 w2 的共轭复数,对任意复数 z1,z2,z3,有如下 四个命题: ①(z1+z2)*z3=z1*z3+z2*z3; ②z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3; ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3); ④z1*z2=z2*z1. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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第2讲

平面向量与复数

[ 解 析 ] B (z1 + z2)*z3 = (z1 + z2)· z3 = z1z3 + z2z3 = z1*z3 + z2*z3,所以①正确; z1*(z2+z3)=z1(z2+z3)=z1z2+z1z3=z1*z2+z1*z3,所以②正 确; (z1*z2)*z3=(z1z2)· z3,z1*(z2*z3)=z1*(z2z3)=z1z2z3,所以③错 误; z1*z2=z1z2,z2*z1=z2z1,所以④错误. 故选 B.

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第3讲 不等式与线性规划

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第3讲

不等式与线性规划

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a 1 . [2014· 四川卷改编 ] 若 a>b>0 , c<d<0 ,比较大小 d b ________c .
[答案] <

1 1 1 1 [解析] 因为 c<d<0,所以d<c <0,即-d>- c>0,与 a a b a b >b>0 对应相乘得,-d>-c >0,所以d< c.

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第3讲

不等式与线性规划

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2. [2015· 江苏卷] 不等式 2x2-x<4 的解集为________.

[答案] {x|-1<x<2}(或(-1,2))

[解析 ] 因为 2x2 -x<4=22 ,所以 x2 -x<2,解得- 1<x<2,故不等式的解集为(-1,2).

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不等式与线性规划

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3.[2015· 天津卷] 已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值 为________时,log2a·log2(2b)取得最大值.

[答案]

4

8 [解析] log2a?log2(2· a )=log2a?(log216-log2a)=4log2a -(log2a)2,当 log2a=2,即 a=4 时取得最大值.

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第3讲

不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦

x y 4. [2015· 福建卷改编] 若直线a +b=1(a>0, b>0)过点(1, 1),则 a+b 的最小值等于________.

[答案]

4

1 1 1 1 a [解析] 因为a +b=1,所以 a+b=(a+b)· (a +b)=1+b+ b ab a +1≥2+2 b· a =4,当且仅当 a=b=2 时等号成立.

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不等式与线性规划

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?x+y-2≤0, ? 5.[2015· 全国卷Ⅰ] 若 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0, ?2x-y+2≥0, ? 则 z=3x+y 的最大值为________.
[答案] 4

[解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示,当目标函数 线平移至经过可行域的顶点 A(1,1)时,目标函数 z 取得最 大值,故 zmax=3× 1+1=4.

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第3讲

不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦

6. [2015· 陕西卷改编] 某企业生产甲、 乙两种产品均需用 A, B 两种原料. 已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的 可用限额如下表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分 别为 3 万元、 4 万元,则该企业每天可获得最大利润为 ________. 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8

[答案]

18 万元

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第3讲

不等式与线性规划

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 设该企业每天生产甲种产品 x 吨、乙种产品 y 吨, ? ?3x+2y≤12, ?x+2y≤8, 则 x,y 需满足约束条件? 可获利润 z=3x+4y. x ≥ 0 , ? ? ?y≥0, 约束条件表示的平面区域是以(0,0),(4,0),(2,3),(0, 4)为顶点的四边形及其内部,把各顶点坐标代入检验可知, 目标函数在点(2,3)处取得最大值 3× 2+4× 3=18,即该企 业每天可获得最大利润为 18 万元.

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第3讲

不等式与线性规划

—— 基础知识必备 ——

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不等式与线性规划

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第3讲

不等式与线性规划

?

考点一

不等关系与不等式的解法

题型:选择、填空 分值:5 分 难度: 中等 热点: 不等式的解法与含参不等式

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第3讲

不等式与线性规划

1 1 例 1 (1)若 < <0,给出下列不等式: a b 1 1 ① < ;②|a|+b>0; a+b ab 1 1 ③a- >b- ;④ln a2>ln b2. a b
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其中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ (2)对任意的实数 x,不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0 都 成立,则实数 a 的取值范围是( ) 3 3 3 3 A.- <a<1 B.- <a≤1 C.- ≤a≤1 D.- ≤a<1 5 5 5 5
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第3讲

不等式与线性规划

[答案]

(1)C

(2)B

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1 1 [解析] (1)由a <b<0,得 b<a<0.不妨取 a=-1,b=-2,则 1 1 易知②④错误; 易知 <0, >0, 所以①正确; 因为 a-b>0, ab a+b 1 1 1 1 1 1 a -b<0,所以 a-b>a -b,即 a-a >b-b,故③正确.

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第3讲

不等式与线性规划

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(2)当 a=1 时,对任意的实数 x,-1<0 都成立,满足 题意;当 a=-1 时,对任意的实数 x,-2x-1<0 不成立, 不满足题意;当 a<-1 或 a>1 时,对任意的实数 x,不等式(a2 -1)x2+(a-1)x-1<0 不成立,不满足题意;当-1<a<1 时, 若对任意的实数 x,不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0 都成立, 3 2 2 则应满足 Δ = (a - 1) + 4(a - 1) = (a - 1)(5a + 3)<0 ? - 5 3 <a<1.综上,实数 a 的取值范围是- <a≤1. 5

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第3讲

不等式与线性规划

[小结] 对于含参的不等式 ax2+bx+c<0 恒成立问题,往往 要分类讨论,若二次项系数含有参数,则应先考虑二次项 系数是否为零,然后再考虑二次项系数不为零的情形,求 解时要结合 a 的符号、不等号的方向以及判别式综合分析.

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第 3讲

不等式与线性规划

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变式题 (1)若 b<a<0, 则下列不等式中正确的是( ) 1 1 A. > B.|a|>|b| a b b a C. + >2 D.a+b>ab a b (2)已知函数 f(x)=log2x-2log2(x+c), 其中 c>0.若对 于任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤1,则 c 的取值范围是 ( ) 1 1 1 1 A.(0, ] B.[ ,+∞)C.(0, ] D.[ ,+∞) 4 4 8 8
[答案] (1)C (2)D

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第 3讲

不等式与线性规划

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[解析] (1)因为 b<a<0,所以不妨设 b=-2,a=-1,代 入验证可得 A,B,D 均不成立,故选 C. x (2)由题知不等式 2≤2 对任意 x∈(0,+∞)恒成 (x+c) 立,即 2x2+(4c-1)x+2c2≥0 对任意 x∈(0,+∞)恒成 立. 4c-1 1 当- 4 ≤0,即 c≥4时,恒成立; 4c-1 1 当- 4 >0,即 0<c<4时,只要 Δ=(4c-1)2-16c2≤0 1 1 1 即可,即 c≥8,此时8≤c<4. 1 综上,c≥8.
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第3讲

不等式与线性规划

?

考点二

基本不等式及其应用

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:利用基本不等式求最值

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第3讲

不等式与线性规划

1 例 2 (1)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=x0 处取得最 x-2 小值,则 x0=( ) A.1+ 2 B.1+ 3 C.4 D.3 (2)[2015·重庆卷] 设 a, b>0, a+b=5, 则 a+1+ b+3 的最大值为________.
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[答案]

(1)D (2)3 2

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第3讲

不等式与线性规划

1 1 [解析] (1)因为 x>2,所以 f(x)=x+ =x-2+ +2≥2 x-2 x-2 1 +2=4,当且仅当 x-2= ,即 x=3 时,等号成立,所 x-2 以选 D. (2)( a+1 + b+3 )2 = a + b + 4 + 2 a+1 ? b+3 ≤9 +
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( a+1)2+( b+3)2 2× =9+a+b+4=18, 当且仅当 a 2 7 3 +1=b+3 且 a+b=5, 即 a=2, b=2时等号成立, 所以 a+1 + b+3≤3 2.

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第3讲

不等式与线性规划

[小结] 利用基本不等式求最值时,一定要关注定值式,依 据定值式进行变换,如题(2)中定值式 a+b=5,这样要求 a+1+ b+3的最大值,就必须产生( a+1)2+( b+3)2 的结构才可以使用定值式,于是联系相关公式求解.题(1) 1 没有明确的定值式,其实隐含(x-2)· =1,这种隐性 x-2 定值式在条件中是不会给出的,需要解题时自已确定.

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第 3讲

不等式与线性规划

1 a 变式题 若对任意正数 x,不等式 2 ≤ 恒成立,则实 x +1 x 数 a 的最小值为________.

[答案]
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1 2

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] 方法一:因为 x>0,不等式 1

1 a ≤x恒成立,等价于 2 x +1

1 a≥ 1恒成立.因为 x+x≥2,当且仅当 x=1 时等号成立, x+x 1 1 所以 a≥2,所以 a 的最小值为2. 1 a 方法二: 因为 x>0, 不等式 2 ≤x恒成立, 即 ax2-x+a≥0(x>0) x +1
? ?a>0, 恒成立,所以有? 解得 2 2 ? ?Δ=(-1) -4a ≤0,

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1 a≥2,所以 a

1 的最小值为2.
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第3讲
?

不等式与线性规划

考点三

简单的线性规划问题 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:基础 热点:目标函数的最值

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第 3讲

不等式与线性规划

不等式组表示的平面区域 ?x+2y≥0, ? 例 3 已知 x,y∈R,不等式组?x-y≤0, 所表示的平面区 ?0≤y≤k ? 域的面积为 6,则实数 k 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
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考向一

[答案]

B

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] 作出不等式组对应的平面区域.
? ? ?x+2y=0, ?x=-2k, 由? 解得? 即 ? ? ?y=k, ?y=k, ? ?x=k, 解得? 即 ? ?y=k, ? ?x-y=0, A(-2k,k);由? ? ?y=k,

B(k,k).

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1 ∵平面区域的面积是 6,∴2× (3k)× k=6, 即 k2=4,解得 k=2 或 k=-2(舍去).

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第3讲

不等式与线性规划

[小结] 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法是: 直线定界,测试点定域;注意不等式是否取等号,无等号时 画成虚线,有等号时画成实线;当不等式组中含有参数时, 要根据参数的变化趋势确定区域的可能形状.

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第 3讲

不等式与线性规划

?x≥1, ? 变式题 不等式组?x+y-4≤0,表示面积为 1 的直角 ?kx-y≤0 ? 三角形区域,则 k 的值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1
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[答案]

D

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第3讲

不等式与线性规划

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[解析] 当 kx-y=0 与直线 x=1 垂直时,k=0,不等式组 1 所表示的平面区域如图 ①所示,直角三角形的面积 S=2 9 × 3× 3=2,不满足题意. 当 kx-y=0 与直线 x+y-4=0 垂直时,k=1,不等式组 1 所表示的平面区域如图 ②所示,直角三角形的面积 S=2 × (2-1)× (3-1)=1,满足题意.综上可知,k 的值为 1.

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第 3讲

不等式与线性规划

考向二

简单线性函数的最值问题

例 4 [2015· 全 国 卷 Ⅱ ] 若 x , y 满 足 约 束 条 件 ?x+y-5≤0, ? ?2x-y-1≥0,则 z=2x+y 的最大值为________. ?x-2y+1≤0, ?
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[答案]

8

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第3讲

不等式与线性规划

[解析 ] 根据约束条件作出可行域如图所示,平移目标函数 线, 当它经过点 A(3, 2)时, 目标函数取得最大值, zmax=2× 3 +2=8.

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第3讲

不等式与线性规划

[小结] 求目标函数的最大值或最小值时,解题的突破口是必 须准确作出可行域,令目标函数等于 0,将其对应的直线平 行移动,借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

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第 3讲

不等式与线性规划

?y≥-2x, ? 变式题 设实数 x,y 满足?y≥x, 则 z=y-4|x|的取 ?y+x≤4, ? 值范围是( ) A.[-8,-6] B.[-8,4] C.[-8,0] D.[-6,0]
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[答案]

B

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] 满足不等式组的可行域如图所示, 由题意可知 A(2, 2),B(-4,8),O(0,0),直线 x+y=4 与 y 轴交点的坐 标为(0,4).当 x≥0 时,z=y-4x,显然当直线 z=y-4x 经过点(0,4)时,z 取得最大值 4,经过点 A(2,2)时,z 取得最小值-6;当 x<0 时,z=y+4x,显然当直线 z=y +4x 经过点(0,4)时,z 取得最大值 4,经过点 B 时,z 取 得最小值-8.所以 z=y-4|x|的取值范围是[-8,4].
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第 3讲

不等式与线性规划

考向三 例 5

含参数的线性规划问题

[2015· 福 建 卷 ] 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件

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?x+y≥0, ? ?x-2y+2≥0,若 z=2x-y 的最大值为 2,则实数 m 等于 ?mx-y≤0. ? ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
[答案] C

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] 由约束条件可知, ①若
? ?x=0, m∈[2,+∞),则当? ? ?y=0

时, zmax=0(舍去);

? ?x-2y+2=0, 1 ②若 m∈(2,2),则当? ? ?mx-y=0,

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? ?x= 2 , 2m-1 ? 2 2m 即? 时, zmax=2× - =2, 2m-1 2m-1 ?y= 2m ? ? 2m-1 所以 m=1; 1 ③若 m∈(-∞,2],则 z 无最大值(舍去).
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第3讲

不等式与线性规划

[小结] 含参数的线性规划问题,参数一般有两种形式,一是 目标函数中含有参数,这时可以准确作出可行域,一般可据 最值求参;二是在约束条件中含参,可行域是动态的,要充 分依据目标函数及最值等条件数形结合处理,有时还得进行 分类讨论.
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第 3讲

不等式与线性规划

?x≥1, ? 变式题 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 若目标 ?x+y-4≤0, ? 函数 z=ax+y 取得最大值时最优解不唯一,则 a 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.-1 或 1 D.1
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[答案]

D

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] 可行域如图所示: 由于取得最大值时最优解不唯一,所以平移直线 ax+y= 0,当其与直线 BC 重合时,目标函数值最大,此时 a=1.

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第 3讲

不等式与线性规划

高考易失分题 2 有参数的问题

约束条件与线性目标函数中均含

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范例 [2014· 新课标全国卷Ⅰ ] 设 x , y 满足约束条件 ? ?x+y≥a, ? 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( ) ? x - y ≤ - 1 , ? A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3
[答案] B

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] 当 a<0 时,作出相应的可行域,可知目标函数 z=x +ay 不存在最小值.

考 点 考 向 探 究

1 当 a≥0 时,作出可行域如图,易知当- a>-1,即 a>1 ?a-1 a+1? ? 时,目标函数在 A 点取得最小值.由 A? , ? 2 ?,知 2 ? ? a - 1 a 2 +a zmin= 2 + 2 =7,解得 a=3 或-5(舍去).

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第3讲

不等式与线性规划

失分分析 (1)由于约束条件中含有参数,不能大致或合理地 作出可行域; (2)确定不了目标函数对应直线在坐标系中的大 致位置与倾斜方向;(3)求出不同的参数值后,不验证,或无 法确定.
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第 3讲

不等式与线性规划

?x+2y-1≥0, ? 高考预测 x,y 满足约束条件?x-y≥0, 若 z=x+ky ?0≤x≤k. ? 的最小值为-2,则 z 的最大值为( ) A.12 B.16 C.20 D.24
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[答案]

C

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] 由题易知 k>1.作出不等式组对应的平面区域如图所
? ?x=k, 示,联立? 解得 ? ?x+2y-1=0,

1-k B(k, 2 ).

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1-k 1 z 当直线 y=-kx+k过点 B(k, 2 )时, z 在 y 轴上的截距最小,即k最小, 1-k 所以 k+k· 2 =-2,解得 k=4(-1 舍去). 1 z 当直线 y=-kx+k过点 C(4,4)时,z=x+4y 取得最大值 20.

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第3讲

不等式与线性规划

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第3讲

不等式与线性规划

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 给出了一个一元二次不等式与基本不等式结 合的问题,综合考查不等式的求解,基本不等式求最值及不 等式恒成立问题;例 2 考查新定义下的运算及基本不等式的 应用,培养创新思维能力;例 3 是考查不等式与不等式组表 示的平面区域问题, 要求严格作图; 例 4 是非线性规划问题, 需要利用目标函数的几何意义解题,是对线性规划问题的有 益补充; 例 5 是约束条件与目标函数均含参的线性规划问题, 难度较大.

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第3讲

不等式与线性规划

例 1(配听课例 1、例 2 使用)在 R 上定义运算 :x y=x(1 -y).若对任意 x>2,不等式(x-a) x≤a+2 都成立,则实 数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-3) B.(-∞,7] C.(-∞,1] D.(-∞,1]∪[7,+∞)

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第3讲

不等式与线性规划

[解析] B -a)

由题知(x-a)

x=(x-a)× (1-x),所以不等式(x

x≤a+2,即 x2-(a+1)x+2a+2≥0,此不等式对任

x2-x+2 4 意 x>2 恒成立, 所以有 a≤ =(x-2)+ +3, 而[(x x-2 x-2 4 -2)+ +3]min=2 4+3=7,所以 a≤7. x-2

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第3讲

不等式与线性规划

例 2(配听课例 2 使用)[2015· 山东卷] 定义运算“ ” :x x2-y2 = xy (x,y∈R,xy≠0). 当 x>0,y>0 时,x y+(2y) 的最小值为________.

y x

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第3讲

不等式与线性规划

[答案]

2

[解析] 由题意得 x 2y2+x2 y x = + ≥2 2xy x 2y 时,等号成立.

y+(2y)

x2-y2 4y2-x2 x= + = xy 2xy

y x · = 2 ,当且仅当 x = 2 y x 2y

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第3讲

不等式与线性规划

例 3( 配听 课例 3 使 用 ) 已 知 实 数 x , y 满足约束 条件 ?x+y-2≤0, ? ?x-2y-2≤0,若 y-mx≤2 恒成立,则实数 m 的取值范围 ?2x-y+2≥0. ? 为________.

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第3讲

不等式与线性规划

[答案] -1≤m≤2
[解析] 由题意作出不等式组表示的平面区域,

y-mx=2 恒过点(0,2),且 m 是 y-mx=2 的斜率,则由图 可知,若 y-mx≤2 恒成立,则-1≤m≤2.

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第3讲

不等式与线性规划

?2x+y≤4, ? 例 4(配听课例 4 使用)设实数 x,y 满足?x-2y≤2,O 为坐 ?x-y≥1, ? 标原点,则 x2+y2 的最小值是( ) 1 1 A.4 B.2 2 C. 2 D. 2

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第3讲

不等式与线性规划
画出不等式组表示的平面区域,如图所示.

[解析] B

∵ x2+y2的几何意义是可行域内的点 P(x, y)与原点的距离, 而原点与可行域内的点的距离的最小值就是原点与直线 x- y-1=0 的距离,即所求距离 d= 1 +y 的最小值为 . 2
2

|0-0-1| 1 2 = ,∴ x 12+(-1)2 2

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第3讲

不等式与线性规划

例 5( 配听课例 5 使用 ) 已知二次函数 f(x) = ax2 + bx + a+b+c c(b>a),若?x∈R,f(x)≥0 恒成立,则 的最小值为 b-a ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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第3讲

不等式与线性规划

b 2 4c b [解析] C 由题知 a>0,且 Δ=b -4ac≤0,即( ) ≤ ,令 a a a
2

c x2 a+b+c 1+x+y y+2 =x,=y, 则有 x>1 且 y≥ , 而 = =1+ , a 4 b-a x-1 x-1
则需求点 P(x,y)与 A(1,-2)的连线的斜率的最小值,由 线性规划知,当直线 PA 与抛物线 y= (x>1)相切且 P 为切 4 点时,PA 的斜率最小,易求得 PA 斜率的最小值为 2,所以

x2

a+b+c 的最小值为 3. b-a

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第4讲 算法、推理与证明

考 点 考 向 探 究

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第4讲

算法、推理与证明

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1.[2015· 福建卷改编] 阅读如图 41 所示的程序框图,运 行相应的程序,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为 ________.

图 41
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第4讲

算法、推理与证明

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[答案] 8

[解析] 若输入 x 的值为 1,则不满足“x≥2”,所以 y=9-1 =8.

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算法、推理与证明

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2. [2015· 安徽卷改编] 执行如图 42 所示的程序框图(算 法流程图),输出的 n 为________.

图 42

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算法、推理与证明

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[答案]

4

[ 解析 ] 初始值, a = 1 , n = 1 , |a - 1.414| = 0.414 ≥ 1 3 0.005,执行第一次循环,a=1+ = ,n=2; 1+a 2 |a -1.414|= 0.086≥0.005,执行第二次循环,a=1 + 1 7 = ,n=3; 1+a 5 |a -1.414|= 0.014≥0.005,执行第三次循环,a=1 + 1 17 =12,n=4; 1+a |a-1.414|≈0.002 7<0.005,跳出循环,输出 n=4.
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算法、推理与证明

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3.[2015· 湖南卷改编] 执行如图 43 所示的程序框图, 如果输入 n=3,则输出的 S=________.

图 43
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算法、推理与证明

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[答案]

3 7

1 1 [解析] 第一次循环后 S=1× 3=3,i=2;第二次循环后 S 1 1 1 1 1 1 2 =1× [(1-3)+(3-5)]=5,i=3;第三次循环 3+3× 5=2× 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 后 S=1× [(1-3)+(3-5)+(5-7)]=7, 3+3× 5+5× 7=2× 3 此时 i=4>3,退出循环,输出结果 S=7.

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算法、推理与证明

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4.[2015· 重庆卷改编] 执行如图 44 所示的程序框图, 若输出 k 的值为 8,则判断框内可填入的条件是 ________.

图 44
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算法、推理与证明

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[答案]

11 s≤12?

1 [解析] 第一次循环,得 k=2,s=2;第二次循环,得 1 1 3 1 3 11 k=4,s=2+4=4;第三次循环,得 k=6,s=6+4=12; 1 11 25 第四次循环,得 k=8,s=8+12=24,此时退出循环, 11 输出 k=8.所以判断框内可填入的条件是“s≤12?”.

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算法、推理与证明

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5.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是 否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙 多,但没去过 B 城市.乙说:我没去过 C 城市.丙说: 我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.
[答案] A

[解析] 由甲没有去过 B 城市,乙没有去过 C 城市,而三人 去过同一个城市,故三人去过的城市为 A 城市.又由于甲 最多去过两个城市, 且去过的城市比乙多, 故乙只能去过一 个城市,这个城市为 A 城市.

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算法、推理与证明

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6.[2014· 安徽卷] 如图 45,在等腰直角三角形 ABC 中, 斜边 BC=2 2,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1;过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 A2;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足 为 A3;….依此类推,设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,?, A5A6=a7,则 a7=________.

图 45

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第4讲

算法、推理与证明

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[答案]

1 4

[解析] 在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2

2,所以

1 AB=AC=a1=2,由题易知 A1A2=a3=2AB=1,…,A5A6 ?1?3 ?1?3 1 ? ? = . =a7=?2? · AB=2× 4 ? ? ?2?

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第4讲

算法、推理与证明

—— 基础知识必备 ——

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第4讲

算法、推理与证明

?

考点一

程序框图

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:循环结构

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第4讲
例1

算法、推理与证明
(1)[2015·全国卷Ⅰ] 执行图 4-6 所示的程序框图,如果 )

输入的 t=0.01,则输出的 n=( A.5 B.6 C.7 D.8

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图 4-6
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第4讲

算法、推理与证明

(2)图 4-7 给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值输出相应 的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的 个数是________.

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图 4-7

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第4讲

算法、推理与证明

[答案]

(1)C

(2)3

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[解析] (1)经推理分析可知,若程序能满足循环,则每循环 1 1 一次,S 的值减少一半,循环 6 次后 S 的值变为26=64>0.01, 1 1 循环 7 次后 S 的值变为27=128<0.01, 此时不再满足循环的条 件,所以结束循环,于是输出的 n=7.

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第4讲

算法、推理与证明

? ?x2,x≤2, ?2x-4,2<x≤5, (2)该框图的功能是计算分段函数 y=? 的函 ?1 ,x>5 ? ?x 数值,
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x>5, ? ? ? ? x≤2 , 2<x≤5 , ? ? ? 依题意得 或? 或? 1 ? ? ?x2=x ?2x-4=x ?x= , ? x 解得 x=0 或 x=1 或 x=4. 故这样的 x 值的个数是 3.

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第4讲

算法、推理与证明

[小结] 处理框图问题,首先得弄清框图的结构,一般是选 择结构和循环结构,选择结构一般是分段函数类型的,相 对比较简单;而循环结构的框图问题,关键是要按程序运 行的顺序依次列出前面几次循环的结果,发现规律,就可 以判断输出结果或框图的功能.
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第 4讲

算法、推理与证明

变式题

(1)程序框图如图 48 所示:

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图 4-8 如果上述程序运行的结果 S=1320, 那么判断框中应填入 ( ) A.K<10? B.K≤10? C.K<9? D.K≤11? (2)执行图 4-9 所示的程序框图,若输入 A=2014,B= 125,则输出的 A 的值是________. 图 4-9
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第 4讲

算法、推理与证明

[答案]

(1)A

(2)1

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[解析] (1)第一次执行循环体后 S=12,K=11; 第二次执行循环体后 S=132,K=10; 第三次执行循环体后 S=1320,K=9,退出循环,输出 S =1320. 所以判断框中应填入 K<10?. (2)第一次循环后,A=125,B=14;第二次循环后,A= 14,B=13;第三次循环后,A=13,B=1;第四次循环 后,A=1,B=0,结束循环.所以输出 A=1.

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算法、推理与证明

高考易失分题 3 程序框图中含有多个判断框的循环结 构问题 范例 [2015·全国卷Ⅱ] 如图 4?10 所示的程序框图的算 法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更相减 损术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18, 则输出的 a=( )
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图 4?10 A.0 B.2 C. 4 D.14
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算法、推理与证明

[答案]

B

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[解析] 输入的 a, b 分别为 14, 18, 程序依次运行: 14≠18(是), 14>18(否),b=4;14≠4(是),14>4(是),a=10;10≠4(是), 10>4(是), a=6; 6≠4(是), 6>4(是), a=2; 2≠4(是), 2>4(否), b=2;2≠2(否),输出 a=2.

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算法、推理与证明

失分分析 (1)不了解框图的结构,不理解各框的含义;(2)程 序如何运行,每次运行的结果怎样不明确;(3)对赋值语句理 解不到位,如 a=a-b.

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算法、推理与证明

高考预测 执行如图 411 所示的程序框图, 输出的结果 是( )

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A.5

B.6

图 4-11 C.7 D.8

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算法、推理与证明

[答案]

B

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[解析] 程序依次运行:12 是 3 的倍数(是),n=8,i=2, 8>123(否);8 是 3 的倍数(否),n=31,i=3,31>123(否); 31 是 3 的倍数(否),n=123,i=4,123>123(否);123 是 3 的倍数 (是),n=119,i=5,119>123(否);119 是 3 的倍数(否),n =475,i=6,475>123(是),结束循环,输出 i=6.

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第4讲
?

算法、推理与证明

考点二

合情推理 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:基础 热点:归纳推理

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第 4讲

算法、推理与证明

例2

[2015·陕西卷] 观察下列等式

1 1 1- = 2 2 1 1 1 1 1 1- + - = + 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - = + + 2 3 4 5 6 4 5 6 ?? 据此规律,第 n 个等式可为____________________.

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算法、推理与证明

[答案] 1 +2n
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1 1 1 1 1 1 1 1 - 2+3-4+…+ - = + +… 2n-1 2n n+1 n+2

[解析] 根据给出的等式的规律归纳即得.

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算法、推理与证明

[小结] 归纳推理是从特殊到一般的推理,所以应根据题中所 给的现有的图形、数据、结构等着手分析,尽可能多列举出 来,从而找出一般性的规律或结论.

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算法、推理与证明

π 变式题 给出下列等式: 2=2cos 4 , 2+ 2=2cos π π 8 , 2+ 2+ 2=2cos 16,?,依此可得第 n 个等式的 右边为________.

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[答案]

π 2cos n+1 2

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第4讲

算法、推理与证明

[解析] 各等式的右边的系数均为 2,余弦函数中的角分别 为 4 , 8 ,16,…,即 22 , 23 , 24 ,…,所以第 n 个等式 的右边为 2cos . 2n+1 π

π π π

π π π

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第4讲

算法、推理与证明

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 将算法框图与数列通项结合起来,既考查对 框图循环结构的认识也考查求数列通项的能力;例 2 为归纳 推理题,考查观察、推理和归纳能力.

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算法、推理与证明

例 1(配听课例 1 使用)根据下面框图,对大于 2 的整数 N, 输出的数列的通项公式是( )

A.an=2n B.an=2(n-1) C.an=2n D.an=2n-1
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第4讲

算法、推理与证明

[解析] C 阅读题中所给的程序框图,可知输出的数列为 2, 2?2=22,2?22=23,2?23=24,…,2?2N-1=2N,故其 通项公式为 an=2n.

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第4讲

算法、推理与证明

例 2(配听课例 2 使用)对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大 整数,观察下列等式. [ 1]+[ 2]+[ 3]=3 [ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=10 [ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[ 14]+[ 15]=21 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________.
[答案] 2n2+n

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算法、推理与证明

[解析] 因为[x]表示不超过 x 的最大整数, 所以[ 1]=[ 2]=[ 3]=1, [ 4]=[ 5]=…=[ 8]=2, …. 因为等式[ 1]+[ 2]+[ 3]=3, [ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=10, [ 9] + [ 10] + [ 11] + [ 12] + [ 13] + [ 14] + [ 15] = 21, …… 所以第 1 个式子的左边有 3 项,右边 1+1+1=1×3=3; 第 2 个式子的左边有 5 项,右边 2+2+2+2+2=2×5=10; 第 3 个式子的左边有 7 项,右边 3×7=21; 则第 n 个式子的左边有(2n+1)项,右边=n(2n+1)=2n2+n.
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