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排列组合讲义


排列组合 二项式定理
1,计数原理: 分类计数原理:完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类 办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情) 分步计数原理:完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有 多种不同的方法 2,排列(选择并且排序) 排列定义:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素(被取 出的元素各不相同) , 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义;从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所 有排列的个数 An 公式
m n m

n! A = (n ? m)! (注意: 0! =1)

3,组合(选择不排序) 组合定义 从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n)个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所有组 合个数 公式 性质

C

m n

n! C = m !(n ? m)!
m n

C =C
m n

n?m n

C

m n ?1

?

C? C
n

m

? m 1 n

排列组合题型总结
一、直接法
1 .特殊元素法
例 1:用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足

下列条件的四位数各有多少个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。

2.特殊位置法

二、间接法

当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法

4 3 2 =252 A6 ? 2 A5 ? A4

例 2: 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同

的三位数?

三、插空法

当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

例 3 :在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持 原节目顺序,有多少中插入方法?

四、捆绑法

当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。

例 4:1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则 不同的放法有
2 3 种( C4 A3 )

2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学 校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物
1 19 园 30 天内不同的安排方法有( C29 ) ? A28

五、隔板法

名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法

例 5 :某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组 成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。

六、平均分推问题
例 6:6 本不同的书按以下方式处理,各有几种分发? (1) 平均分成三堆, (2) 平均分给甲乙丙三人 (3) 一堆一本,一堆两本,一堆三本 (4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案) (5) 一人的一本,一人的两本,一人的三本

七、合并单元格解决染色问题
例 7、如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域 不 得使用同一颜色, 现有四种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 数字作答) 。 种 (以

参考答案:

例 1 分析: (1)个位和千位有 5 个数字可供选择
2 =240 A52 A4

2 ,由乘法原理: A52 ,其余 2 位有四个可供选择 A4

(2)当 1 在千位时余下三位有 A5 =60,1 不在千位时,千位有 A4 种选法,个位有 A4 种,余下的 有
2 1 1 2 ,共有 A4 A4 A4 =192 所以总共有 192+60=252 A4

3

1

1

例 2 分析: 任取三张卡片可以组成不同的三位数 C5 这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 C5
3

3

2 2 2 3 个, 其中 0 在百位的有 C4 ? 2 ? A2 个, ? 23 ? A3

2 2 2 3 - C4 ? 2 ? A2 =432 ? 23 ? A3

例 3 分析: 原有的 8 个节目中含有 9 个空档, 插入一个节目后, 空档变为 10 个, 故有 A9 中插入方法。

1

1 =100 ? A10

例4 (分析注意连续参观 2 天, 即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 C 29 其余的就 是 19 所学校选 28 天进行排列) 例 5 分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空 当中插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有 C11 种 例 6 分析:1,分出三堆书(a1,a2),(a3,a4), (a5,a6)由顺序不同可以有
2 2 2 C6 C4 C2 一种分堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有 3 A3

1

7

3 =6 种,而这 6 种分法只算 A3

=15 种

2,六本不同的书,平均分成三堆有 x 种,平均分给甲乙丙三人 就有 x 3,

A

3 3


2 3 3

CCC
6 4 5

2

2

2 2 1 2 3 3

CCC
6

1

5,

A CCC
3

3

6

5

例 7 分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论: (ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个 元素 ①③⑤的全排列数

A

4 4

(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得

A

4 4

种着色法.

(ⅲ)当 2、4 与 3、5
2,4

分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格 3,5

① 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有 由加法原理知:不同着色方法共有 2
4 4

C ? A 种方法.
4 3

3

3

A ? C A =48+24=72(种)
4 3

3

3

练习
1(天津卷(文) )将 3 种作物种植 1 2 3 4 5

在如图的 5 块试验田里, 每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)

2.某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3) ,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽 种方法有 种(以数字作答) . (120)
5 6 2 1 3 4

B A C D E

图3

图4

3.如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用 同一颜色, 但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色 种数. (540)

4.如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位

A 的观众必须穿同种颜色的服装, 且相邻两区域的颜色不同, 不相邻区域颜色相同, E B 不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是 种( D84) C
4 1 2 3

图5

图6

5.将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若 只有五种颜色可 供使用,则不同的染色方法共 种( 420 )

2,4


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