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2014届高三数学一轮复习专讲专练:4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例


[知识能否忆起]

一、两个向量的夹角 1.夹角的定义:
定义 范围

已知两个 非零向量a, 向量夹角θ的范围是 [0,π] , ??? ? ??? ? b,作 OA =a, OB =b, 当θ=0或π 时,两向量共线; 则∠AOB=θ叫作向量a π 当θ= 时,两向量垂直,记作 与b的夹角(如图). 2 a⊥b(规定零向量可与任一向量 垂直).

2.射影的定义:
设θ是a与b的夹角,则 |b|cos θ 叫作向量b在a方向上 的射影. |a|cos θ叫作a在b方向上的射影.

射影是一个实数,不是线段的长度,也不是向 量.当 θ为锐角 时,它是正值;当 θ为钝角 时,它是 负值;当θ=90°时,它是0.

3.平面向量数量积的定义: 已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把 |a||b|cos θ 叫作a b 与b的数量积(或内积),记作 a· . 4.数量积的几何意义: a与b的数量积等于 a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ 的

乘积,或 b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ 的乘积.
5.数量积的物理意义:
s 力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·.

二、向量数量积的性质
1.如果e是单位向量,则a· e=e· a=|a|cos θ(θ为a与e的 夹角). b=0. 2.a⊥b? a· |a|2 ,|a|= a· 3.a· a= a. 4.cos θ=
a· b .(θ为a与b的夹角) |a||b|

5.|a·b| ≤ |a||b|.

三、数量积的运算律 1.交换律:a·b=b·a. 2.分配律:(a+b)· c= a· c+b· .c a· . (λb) b 3.对λ∈R,λ(a· b)= (λa)· = 四、数量积的坐标表示

设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则: 1.a· a1b1+a2b2. b= 2.a⊥b? a1b1+a2b2=0 .
2 a2+a2 . 1 a1b1+a2b2 a· b 4.cos θ= = a2+a2 b2+b2 .(θ为a与b的夹角) |a||b| 1 2 1 2

3.|a|=

[小题能否全取] 1.已知向量a,b和实数λ,下列选项中错误的是 ( A.|a|= a· a B.|a· b|=|a|· |b| )

C.λ(a· b)=λa·b

D.|a· b|≤|a|· |b|

解析:|a· b|=|a|· |b||cos θ|,只有a与b共线时,才有|a· b|= |a||b|,可知B是错误的. 答案: B

2.已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120°,则b在a方 向上的投影为
A.2 C.-2 3 B. 2 3 D.- 2

(

)

3 解析: |b|cos θ=3cos 120° =- . 2

答案: D

3.(2012·重庆高考)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),

且a⊥b,则|a+b|=
A. 5 C.2 5 B. 10 D.10

(

)

解析:∵a⊥b,∴a· b=0,即 x-2=0,∴x=2. ∴ a = (2,1) , ∴ a2 = 5 , b2 = 5 , |a + b| = ?a+b?2 = a2+2a· 2= 5+5= 10. b+b

答案: B

4.已知向量a和向量b的夹角为30° ,|a|=2,|b|= 3,则 向量a和向量b的数量积a· b=________.

3 解析:a· b=2× 3× =3. 2 答案: 3

5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量a与b的夹

角θ=的大小为________.
解析:∵a· (b-a)=a· 2=2,∴a· b-a b=2+a2=3. a· b 3 1 π ∴cos θ= = = .∴向量a与b的夹角为 . |a|· 1×6 2 |b| 3 π 答案: 3

1.对两向量夹角的理解

(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示
两向量的有向线段所形成的角,若起点不同,应通过移 动,使其起点相同,再观察夹角. (2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线 且同向时,其夹角为0,共线且反向时,其夹角为π.

(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要
注意两向量夹角的范围.

2.向量运算与数量运算的区别 (1)若a,b∈R,且a· b=0,则有a=0或b=0,但

a· b=0却不能得出a=0或b=0.
(2)若a,b,c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c, 但由a· b=a· c及a≠0却不能推出b=c. (3)若a,b,c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立, 但对于向量a,b,c,而(a· c与a· c)一般是不相等的, b)· (b·

向量的数量积是不满足结合律的.
(4)若a,b∈R,则|a· b|=|a|· |b|,但对于向量a,b, 却有|a· b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.

平面向量数量积的运算

[例1]

(1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x) ( B.5 )

满足条件(8a-b)· c=30,则x= A.6

C.4

D.3

(2) (2012· 湖南高考)如图, 在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD, ??? ??? ? ? AC 垂足为 P,且 AP=3,则 AP · =________. ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? (2)法一: AC = AP + PC = AP + PD + DC = AP + ∵ ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? PD + AB = AP + PD + AP + PB =2 AP + PD + PB ,又 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 由 AP⊥BD 得 AP ⊥ PD 且 AP ⊥ PB , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AC ∴ AP · = 0 , 且 AP · = 0 于 是 AP · = PD PB ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ? ??? 2 ? (2 AP · AP + PD + PB )=2 AP =2| AP | =18.

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AC 法二: AP · = AP ·AB + AD ) ( ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? = AP ·AB + AB + BD ) ( ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? =2 AP · + AP · AB BD ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? =2| AP |·AB |· ? AP , AB ? | cos ??? ? ??? ??? | AP | ? ? ??? =2×| AP |·AB |· ? | | AB | ??? 2 ? =2×| AP | =2×32=18.
[答案] (1)C (2) 18

平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a· b=

|a||b|· cos θ求解;
(2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式 求解.

1.(1)(2012· 天津高考)在△ABC中,∠A=90° ,AB=1, ??? ? ??? ? ??? ? AC=2.设点P,Q满足 AP =λ AB , AQ =(1-λ) ??? ??? ? ??? ? AC ,λ∈R.若 BQ · =-2,则λ= CP ( )
1 A. 3 4 C. 3 2 B. 3 D.2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析:由题意可知 BQ = AQ - AB =(1-λ) AC - ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? ? AC AB , CP = AP - AC =λ AB - AC ,且 AB · =0,故 ??? ??? ? ??? 2 ? ??? ? ??? 2 ? ??? ? CP BQ · =-(1-λ) AC -λ AB =-2.又| AB |=1,| AC |
2 =2,代入上式解得λ= . 3 答案: B

π (2)(2011· 江西高考)已知两个单位向量e1,e2的夹角为 , 3 若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·2=________. b
解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2, 则b1·2=(e1-2e2)· 1+4e2)=3e2-2e1·2-8e2. b (3e e 1 2 π 又因为e1,e2为单位向量,夹角为 , 3 1 所以b1·2=3-2× -8=3-1-8=-6. b 2 答案:-6

两平面向量的夹角与垂直

[例2] (1)(2012· 福州质检)已知|a|=1,|b|=2,a与b 的夹角为120°,a+b+c=0,则a与c的夹角为 ( )

A.150°
C.60°

B.90°
D.30°

(2)(2011· 新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单 位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k =________.

[自主解答] (1)∵a· b=1×2×cos 120°=-1,c=-a
-b,∴a· c=a· (-a-b)=-a· a-a· b=-1+1=0,∴a⊥c. ∴a与c的夹角为90°.

(2)∵a与b是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1.
又ka-b与a+b垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0, 即ka2+ka· b-a· 2=0. b-b ∴k-1+ka· b-a· b=0. 即k-1+kcos θ-cos θ=0(θ为a与b的夹角). ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又a与b不共线, ∴cos θ≠-1.∴k=1. [答案] (1)B (2)1

若本例(1)条件变为非零向量a,b,c满足|a|

=|b|=|c|,a+b=c,试求a与b的夹角.
解:设|a|=m(m>0),a,b的夹角为θ,由题设知 1 (a+b) =c ,即2m +2m cos θ=m ,得cos θ=- .又 2
2 2 2 2 2

0° ≤θ≤180° ,所以θ=120° ,即a,b的夹角为120° .

1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐 角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小

于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角.
2.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需 求得a· b及|a|,|b|或得出它们的关系.

2.(1)若a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角, 则实数λ的取值范围是________. (2)(2012· 豫南九校联考)已知平面向量a,b满足|a|=1, |b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

解析:(1)∵a与a+λb的夹角为锐角, ∴a· (a+λb)>0,即3λ+5>0, 5 ∴λ>- . 3 当a与a+λb共线时,a+λb=ma, 即(1+λ,2+λ)=m(1,2),
?1+λ=m, ? ∴? ?2+λ=2m, ?

解得λ=0.

即当λ=0时,a与a+λb共线且方向相同, 5 ∴λ≠0,即λ>- 且λ≠0. 3

(2)由(a-mb)⊥a ?a· (a-mb)=0 ?|a|2-ma· b=0 ?1-m×1×2cos 60° =0?m=1. ∴m=1 是(a-mb)⊥a 的充要条件.
? 5 ? 答案:(1)?-3,0?∪(0,+∞) ? ?

(2)C

平面向量的模

(2012· 洛阳统考)已知 P 为锐角三角形 ABC 的 AB ??? ??? ? 边上一点,A=60° ,AC=4,| PA+3 PC |的最小值为( ) [例 3]

A.4 3 C.6

B.4 7 D.6 3

? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? 2 ? [自主解答] 因为 PC = AC - AP ,所以| PA +3 PC | = ??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? ? ??? ??? ? ??? 2 ? AC |3 AC -4 AP | =9 AC -24 AP · +16 AP .设| AP |=x,则| PA ??? 2 ? +3 PC | =16×9-48x+16x2=16(x2-3x+9). 因为三角形 ABC

??? ??? 2 ? 3 是锐角三角形,所以 0<x<8,则当 x= 时,| PA+3 PC | 取得最 2
小值为

??? ??? ? ??3? ? 3 ?? ?2 ? 16× ? 2 -3×2+9? =108,故| PA +3 PC |的最小值为 ?? ? ?

108=6 3.

[答案] D

利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌 握此类问题的处理方法: (1)|a|2=a2=a· a; (2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a· b+b2;
(3)若a=(x,y)则|a|= x2+y2.

3.(1)已知向量a,b满足:|a|=2,|b|=3,|a-2b|=5,则|a +2b|=
A. 55 C. 15 B.7 D.2 5

(

)

(2)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则 |2α+β|的值是________.

解析:(1)∵|a-2b|=5,∴a2+4b2-4a· b=25,∵|a|=2,|b| =3,∴4a· b=15,∴|a+2b|= = 4+36+15= 55. (2)由于α⊥(α-2β),所以α· (α-2β)=|α|2-2α· β=0,故2α· β =1,所以|2α+β|= 4|α|2+4α· β+|β|2= 4+2+4= 10. ?a+2b?2 = a2+4b2+4a· b

答案:(1)A

(2) 10

平面向量数量积的综合应用

[例4]

(2013· 太原模拟)已知f(x)=a· b,其中a=(2cos

x,- 3sin 2x),b=(cos x,1)(x∈R).

(1)求f(x)的周期和单调递减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, ? ??? ? ??? f(A)=-1,a= 7 , AB · AC =3,求边长b和c的值 (b>c).

[自主解答] (1)由题意知,f(x)=2cos2x- 3 sin 2x =1+cos 2x- 3sin
? π? 2x=1+2cos?2x+3 ?, ? ?

∴f(x)的最小正周期T=π, ∵y=cos x在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π π π ∴令2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,得kπ- ≤x≤kπ+ . 3 6 3
? π π? ∴f(x)的单调递减区间?kπ-6,kπ+3 ?,k∈Z. ? ?

? π? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+ ?=-1, 3? ? ? π? ∴cos?2A+ ?=-1. 3? ?

π π 7π π π 又 <2A+ < ,∴2A+ =π.∴A= . 3 3 3 3 3 ? ??? ??? ? AC ∵ AB · =3,即bc=6,由余弦定理得a2=b2+c2 -2bccos A=(b+c)2-3bc,7=(b+c)2-18,b+c=5, 又b>c,∴b=3,c=2.

向量与其它知识结合,题目新颖而精巧,既符合 考查知识的“交汇处”的命题要求,又加强了对双基覆盖 面的考查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决 平行、垂直、夹角和距离等问题的同时,把问题转化为 新的函数、三角或几何问题.

4.(1)(2012· 朔州调研)质点受到平面上的三个力F1,F2,
F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2 成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小


A.2 7 C.2 B.2 5 D.6

(

)

???? ???? ???? (2)若M为△ABC所在平面内一点,且满足( MB - MC )·MB ( ???? ???? + MC -2 MA)=0,则△ABC为 ( )
A.直角三角形 C.等边三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

解析:(1)由已知条件F1+F2+F3=0,则F3=-F1-F2, F32=F12+F22+2|F1||F2|cos 60° =28.
因此,|F3|=2 7.

???? ???? ???? ???? ???? ? ??? ??? ? (2)由( MB - MC )·MB + MC -2 MA)=0,可知 CB ·AB + ( ( ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC )=0,设BC的中点为D,则 AB + AC =2 AD ,故 ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? CB · =0.所以 CB ⊥ AD .又D为BC的中点,故△ABC为等 AD
腰三角形.

答案:(1)A (2) B

平面向量兼具形、数的双重性,一般可以从两个方面思 考,一是利用“数”的特征,我们可以从向量的线性运算、 数量积、基底分解及坐标运算等方面思考,将问题转化为 代数中的有关问题来解决;二是利用其“形”的特征,可以 通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面

几何中的问题,直接利用平面几何中的相关结论得到结果.

[典例]

(2012· 江西高考)在直角三角形ABC中,点D

|PA|2+|PB|2 是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 |PC|2 = ( )

A.2 C.5 1.特殊化法

B.4 D.10

该题是一道选择题,可以根据选项的特征选择方 法,很明显该题的四个选项都是定值,所以可以利用 最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果.

[解析] 设直角三角形ABC的 两腰长都为4,如图所示,以C为原 点建立平面直角坐标系,则A(4,0), B(0,4),因为D为AB的中点,所以D
??? ? (2,2).因为P为CD的中点,所以P(1,1), PC =(-1,- ??? ??? ? 1), PA=(3,-1), PB =(1,3).

故|PC|2=12+12=2,|PA|2=32+(-1)2=10, |PA|2+|PB|2 20 |PB|2=(-1)2+32=10,所以 = =10. |PC|2 2 [答案] D

[题后悟道]

该题中四个选项都是定值是选择特殊

化方法验证的前提,如果该题中出现“与两直角边的长 度有关”,则该题就不能采用特殊化法进行验证了.

2.向量基底法
在△ABC 中,CA,CB 是两直角边,可以先把两 ??? ??? ? 个向量 CA ,CB 作为一组基底,然后利用平面向量基本 定理表示目标向量,再进行运算即可.

[解析]如图所示,取相互垂直的两个 ??? ??? ? 向量 CA =a, CB =b作为平面向量的基向 量,显然a· b=0.

??? ? 则在△ABC中, BA =a-b,因为D为

AB的中点, ??? 1 ? 所以 CD = (a+b).因为P为CD的中点, 2 ? ??? ? 1 ??? 1 1 1 所以 PC =- CD =- × (a+b)=- (a+b). 2 2 2 4 ??? ??? ??? ? ? ? 1 1 在△CBP中, PB = PC + CB =- (a+b)+b=- a+ 4 4 3 b, 4

??? ??? ??? ? 1 3 1 在△CAP 中, PA= PC + CA =- (a+b)+a= a- b. 4 4 4
??? 2 ? 1 ? ? 1 2 2 所以| PC | =?-4?a+b?? = (a +b2+2a· b)= 16 ? ?

1 (|a|2+|b|2), 16

??? 2 ? 1 3 ?2 1 2 9 2 3 ? | PB | =?-4a+4b? = a + b - a· b= 16 16 8
? ?

1 2 9 2 |a| + |b| , 16 16

??? 2 ?3 1 ?2 9 2 1 2 3 9 2 1 2 | PA| =?4a-4b? = a + b - a· b= |a| + |b| . 16 16 8 16 16 ? ?
|PA|2+|PB|2 故 = |PC|2
?9 1 2? ? 1 2 9 2? 2 ? |a| + |b| ?+? |a| + |b| ? 16 ? ?16 16 ? ?16

1 ?|a|2+|b|2? 16
[答案] D

=10.

[题后悟道] 利用向量的线性运算和平面向量基本定 ??? ??? ? ??? ? 理,首先用a和b表示出 PC ,进而求出 PA和 PB .

3.坐标法 我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直 角坐标系,这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标, 再利用平面向量的坐标运算进行验证.

[解析]

如图所示,以 C 为坐标原点,

CA,CB 所在的直线分别作为 x 轴,y 轴建 立平面直角坐标系. 设|CA|=a,|CB|=b,则 A(a,0),B(0,b), 因为 D 为 AB 的中点,则 因为 P 为 CD 的中点,则
?a b? D?2,2?, ? ? ?a b? P?4,4?, ? ?

? ??? ? a ? b? ??? ? a 3b? ??? ?3a b? PC =?-4,-4?, PB =?-4, 4 ?, PA=? 4 ,-4?.
? ? ? ? ? ?

? a? ? b? a2 b2 所以|PC|2=?-4?2+?-4?2= + , 16 16 ? ? ? ? ? a? ?3b? a2 9b2 |PB|2=?-4?2+? 4 ?2= + , 16 16 ? ? ? ? ?3a? ? b? 9a2 b2 |PA|2=? 4 ?2+?-4?2= + . 16 16 ? ? ? ? ? a2 b2 ? a2 9b2 9a2 b2 所以|PA|2+|PB|2= + + + =10?16+16?= 16 16 16 16 ? ?

10|PC|2. |PA|2+|PB|2 所以 =10. |PC|2

[答案] D

[题后悟道]

利用坐标计算向量模的问题,是最常

用有效的方法,建立坐标系时,应注意利用图形特点.

以上根据向量数与形的基本特征,结合题目中的选
项以及直角三角形的条件,从三个方面提出了不同的解 法,涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识,在寻 找解题思路时,应牢牢把握向量的这两个基本特征.

?针对训练

(2012· 北京高考)已知正方形ABCD的边长为1,点E是

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? DC CB AB边上的动点,则 DE · 的值为________; DE · 的最
大值为________.

??? ? ??? ? ??? ? 解析:法一:以 AB , AD 为基向量,设AE=λ AB ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (0≤λ≤1),则DE=AE- AD =λ AB - AD , CB =- AD , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? CB 所以 DE · =?λ AB - AD ?· AD )=-λ AB · + AD = ?- AD
??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? -λ×0+1=1.又 DC = AB ,所以 DE ·DC =?λ AB -

??? ??? ? ? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ??? ? DC的 AD ?· =λ AB - AD · =λ×1-0=λ≤1,即 DE · AB AB
最大值为1.

法二:建立如图所示的平面直角坐标系,令E点坐标为

??? ??? ? ? CB ?t,0??0≤t≤1?可得 DE · =?t,-1?· ?0,-1?=1, ??? ??? ? ? DC ?1,0?=t≤1, DE · =?t,-1?· ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? DC CB 则 DE · =1, DE · 最大值为1.

答案:1

1

教师备选题(给有能力的学生加餐) ??? ? 1.△ABC中,AB边的高为CD,若 CB =a, ??? CA =b,a· b=0, ??? ? |a|=1,|b|=2,则 AD =
1 1 A. a- b 3 3 3 3 C. a- b 5 5 2 2 B. a- b 3 3 4 4 D. a- b 5 5

(

)

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(二十八)”

解析:如图,∵a· b=0,∴a⊥b, ∴∠ACB=90° , ∴AB= AC2+BC2= 5. 又CD⊥AB, 4 5 ∴AC =AD· AB,∴AD= . 5
2

??? 4 ??? 4 ? ? 4 4 ∴ AD = AB = (a-b)= a- b. 5 5 5 5
答案:D

2.(2012· 郑州质检)若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂 直,则9x+3y的最小值为
A.12 C.3 2 B.2 3 D.6

(

)

解析:依题意得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2,9x+3y= 32x+3y≥2 32x×3y =2 32x+y =2 32 =6,当且仅当2x =y=1时取等号,因此9x+3y的最小值是6.

答案:D

??? ? 3.(2012· 山西省四校联考)在△OAB(O为原点)中, OA = ??? ? ??? ??? ? ? OB (2cos α,2sin α), OB =(5cos β,5sin β),若OA · =

-5,则△OAB的面积S= 3 A. 3 B. 2

(

)

5 3 C.5 3 D. ??? ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? OB 解析:设∠AOB=θ,由| OA |=2,| OB |=5, OA · =

-5 1 3 1 -5,得cos θ= =- ,sin θ= ,所以S= 2 2 2 2×5 ? ??? ??? ? 1 3 5 3 | OA |· |sin θ= ×2×5× = | OB . 答案:D 2 2 2

π 4.(2012· 上海高考)在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 3 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,CD ???? ??? ? ???? ???? ? | BM | | CN | ? ? 上的点,且满足 ??? = ??? ,则 AM · 的取值范围 AN | BC | | CD | 是________. ???? ??? ? | BM | | CN | ? ? 解析:设 ??? = ??? =x(0≤x≤1), | BC | | CD | ???? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ? 则 AM = AB + BM = AB +x AD , ???? ??? ???? ??? ? ? ??? ? AN = AD + DN = AD +(1-x) AB ,

???? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ∴ AM · =( AB +x AD )[ AD +(1-x) AB ] AN ??? 2 ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? 2 =x AD +(1-x) AB +(x-x +1) AB · AD

??? 2 ? ??? 2 ? 1 2 =x| AD | +(1-x)| AB | +(-x +x+1)× 1× 2× 2
=x+4(1-x)-x2+x+1=-(x+1)2+6. ∵0≤x≤1,∴-(x+1)2+6∈[2,5].

答案:[2,5]


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