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植树问题公式


植树问题公式
单边植树(两端都植) :距离÷间隔长 +1=棵数 单边植树(只植一端) :距离÷间隔长=棵数 单边植树(两端都不植) :距离÷间隔长- 1=棵数 双边植树(两端都植) : ( 距离÷间隔长+1)×2=棵数 双边植树(只植一端) : ( 距离÷间隔长)×2=棵数 双边植树(两端都不植) : ( 距离÷间隔长-1)×2=棵数 循环植树: 距离÷间隔数=棵数 解释:1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴ 在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+1=全长÷株距+1 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×(株数-1) 株距=全长÷(株数-1) 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 ⑵ 在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: ⑶ 在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=株距×(株数+1) 株距=全长÷(株数+1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 3、如果植树路线的两边与两端都植树,那么植树的棵数应比要分的段数多 1,再 乘二,即:棵树=(段数+1)×2。 二、在封闭线路上植树,棵数与段数相等,即:棵数=间隔数。 三、在正方形线路上植树,如果每个顶点都要植树。则棵数=(每边的棵数-1) ×边数。 例1 长方形场地:一个长 84 米,宽 54 米的长方形苹果园中,苹果树的株距是 2 米,行 距是 3 米.这个苹果园共种苹果树多少棵? 解: 解法一: ①一行能种多少棵?84÷2=42(棵).| ②这块地能种苹果树多 少行?54÷3=18(行). ③这块地共种苹果树多少棵?42×18=756(棵). 如果株 距、行距的方向互换,结果相同: (84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵). 解法二: ①这块地的面积是多少平方米呢? 84×54=4536(平方米). ② 一棵苹果树占地多少平方米呢? 2×3=6(平方米). ③这块地能种苹果树多少棵

呢? 4536÷6=756(棵). 当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时,可用上述两种方法中 的任意一种来解;当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时,就只能用第 二种解法来解. 但有些问题从表面上看,并没有出现“植树”二字,但题目实质上是反映封 闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。 锯木头问题就是典型的不封闭线段上,两头不植树问题。所锯的段数总比锯 的次数多一。 上楼梯问题,就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔,那么: 上 楼所需总时间 =(终点层—起始层)×每层所需时间。

例2

例3

例4

例5

而方阵队列问题,看似与植树问题毫不相干,实质上都是植树问题 直线场地:在一条公路的两旁植树,每隔 3 米植一棵,植到头还剩 3 棵;每隔 2.5 米植一棵,植到头 还缺少 37 棵,求这条公路的长度。 解法一: (代数解法) 设一共有 x 棵树 【 (x-3)/2-1】X3=【 (x+37)/2-1】X2.5 x=205 公路长: 【 (205-3)/2-1】X3=300 得:公路长度为 300 米 解法二: (算术解法) 这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑:首先,我们在两边起点处各栽下一 棵树,这两棵树与路长没有关系,以后每栽下一棵树,不论栽在哪一侧,植树的路线(不是路)就增 加一个间距,为了简单起见,我们按单侧植树来考虑。当按 3 米的间距植树时,最后剩下 3 棵,也就 是说植树的路线要比路长出 3 个间距,3×3=9 米,当按 2.5 米的间距植树时,最后还缺 37 棵树,也就 是说植树的路线比路短了 37 个间距,2.5×37=92.5 米,两次相差 9+92.5=101.5 米,两次植树的间距相 差是 3-2.5=0.5 米,据此可以求出树的棵数: (不包括起点的 2 棵) 101.5÷0.5=203(个) 知道了 树的棵数, 就可以求出植树路线的长度了: 3× (203-3) =600 (米) 或 2.5× (203+37) =600 (米) 因为是双侧植树,所以路长为: 600÷2=300(米) 综合算式为: 3× 〔 (3×3+2.5×37)÷(3 -2.5)-3 〕÷2=300(米) 或 2.5× 〔 (3×3+2.5×37)÷(3-2.5)+37 〕÷2=300(米) 答: (略) 圆形场地(难题) :有一个圆形花坛,绕它走一圈是 120 米。如果在花坛周围每隔 6 米栽一株丁香花, 再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花。可栽丁香花多少株?可栽月季花多少株?每 2 株紧相邻的月季花相距多少米 解: 解: 根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数: 120÷6=20 (株) 由于是在每相邻的 2 株丁香花之间栽 2 株月季花, 丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等, 因此,可栽月季花: 2×20=40(株) 由于 2 株丁香花之间的 2 株月季花是紧相邻的,而 2 株丁香 花之间的距离被 2 株月季花分为 3 等份,因此紧相邻 2 株月季花之间距离为: 6÷3=2(米) 答: 可栽丁香花 20 株,可栽月季花 40 株,2 株紧相邻月季花之间相距 2 米。 例 4 在圆形水池边植树,把树植在距离岸边均为 3 米的圆周上,按弧长计算,每隔 2 米植一棵树, 共植了 314 棵。水池的周长是多少米?(适于六年级程度) 解:先求出植树线路的长。植树线路是 一个圆的周长,这个圆的周长是: 2×314=628(米) 这个圆的直径是: 628÷3.14=200(米) 由 于树是植在距离岸边均为 3 米的圆周上,所以圆形水池的直径是: 200-3×2=194(米) 圆形水池 的周长是: 194×3.14=609.16(米) 综合算式: (2×314÷3.14-3×2)×3.14 =(200-6)×3.14 =194×3.14 =609.16(米) 小明家门前有一条 10 米长的水沟,在沟的一侧每隔 2 米栽一棵树,一共可栽几棵?(两端都植树) 按常规解法,答案应该是 6(10÷2+1)棵,同理,如果小光家门前也有一段 10 米长的水沟,同样可

以栽 6 棵,也就是两家一共可以栽 12 棵,这并看不出有什么不妥。但是,当小明与小光家是邻居时, 我们再计算一下:两家的水沟总长是 20 米,20÷2+1=11(棵),也就是两家一共可以栽 11 棵树,结果比 上次计算少了一棵(本人称之为“邻里冲突” ) ,这是因为在端点处有两棵树“重合”了,这两棵树的 间距为 0,与题中要求间距 2 米不符,因此,可以看出两端植树是不妥当的。但如果两端都不植树, 又会出现公共点没有树邻近的两棵树间距 4 米的情况,仍与题意不符。那么一端植树又会怎样呢?这 种要求是无法实现的, 因为当一方在与邻家相接的端点上植上树后, 就会使邻家地段两端都有树存在, 还是不合题意。因此,要求在端点上植树(或不植树)都会出现矛盾,这样的计算方法也不能正确的 反映出各个数量间的关系。数学是一门严谨的科学,出题者固然可以任意给定条件,但用不同的计算 方法得出的结果应该是相同的, 当计算结果出现矛盾时, 应该找出问题的原因所在, 不能简单的用 “两 树重合”来解释解释。 再按照“棵树=段数”的方法计算一下: 小明家可栽树:10÷2=5(棵) 小 光家可栽树: 10÷2=5 (棵) 两家一共可栽树 10 棵。 当两家是邻居时, 可栽树: (10+10) ÷2=10(棵) 两次计算结果相同,因此可以说这种计算方法才能正确的反映出各个数量之间的关系。 为什么说常 规的解法不够正确呢?那是因为在常规解法中,只考虑了植树路段为一家独有的情况,多栽或少栽一 棵都不会出现“争议” ,也就无法判定栽法是否妥当。然而当植树路段为多家共有时就会出现一方或双 方将树栽到了公共端点上的情况,从理论上讲这是不正确的。相对于“路边加一” , “楼间减一”也无 道理,因为完全可以按“间距 2 米”栽下 5 棵而不是 4 棵树,至于端点处的两棵树与楼相距只有 1 米 的情况,与题意并不矛盾: 1、要求“间距 2 米”可以认为每棵树需要 2 米的生长空间,端点的树和 中间的树同样都具有 2 米的空间; 2、如果把“楼”也看做“树”而使间距不足,那么则是因为“他” 将树栽倒了公共端点上而侵占了“我”的空间, “我”并没有栽错。 (点击图片可放大)


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