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吕军(学生版)(教师版) 高一数学培优讲义1三角函数


红安国际育才实验学校高一数学培优讲义

高一数学培优辅导专题(一) :三角函数
第一讲: 三角函数的图像与性质

一、教学目标:1、了解任意角的概念、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义;会利用单位圆 中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。2、掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质; 会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,理解 A、?、 ? 的物理意义。 二、高考要求:三角部分的知识是每年高考中必考的内容,近几年的高考对这部分知识的命题有 如下特点:1.降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数图象和性质的考查.尤其 是三角函数的最大值与最小值、周期。 2.以小题为主.一般以选择题、填空题的形式出现,多 数为基础题,难度属中档偏易.其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形,如运用三角公式 进行化简、求值解决简单的综合题等。 3.更加强调三角函数的工具性,加强了三角函数与其它 知识的综合,如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识. 三、考点回顾分析: (一) 、角的概念的推广 1、与角 ? 终边相同的角的集合为 为 . ,终边在 y 轴上的角的集 . 2、与角 ? 终边互为反向延长线的角的集合

3、轴线角(终边在坐标轴上的角) :终边在 x 轴上的角的集合为 合为 ,终边在坐标轴上的角的集合为 .

4、象限角是指: (二) 、任意角的三角函数

. 5.区间角是指:



5、 定义: 设 P(x, y)是角 ? 终边上任意一点, 且 |PO| =r, 则 sin ? = tan ? = ;

; cos ? =



6、三角函数的符号与角所在象限的关系: y y y + - - + + + - sinx, O - x - O + x + O - x

y

?
O ? x

cosx, tanx, 7、正弦、余弦、正切、 (余切函数 略讲)的定义域和值域: 解析式 定义域 值 域 8、三角函数线:在图中作出角 ? 的正弦线、余弦线、正切线.
勤学勤问 1 脚踏实地

y=sinx

y=cosx

y=tanx

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 (三) 、三角函数的图象与性质 9、用“五点法”作正弦、余弦函数的图象. “五点法”作图实质上是选取函数的一个 ,将其四等分,分别找到图象的 点,

点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状. 10、y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

注:⑴ 正弦函数的对称中心为 ⑵ 余弦函数的对称中心为 为 .

,对称轴为 ,对称轴为

. .⑶ 正切函数的对称中心

11、“五点法”作 y=Asin(ω x+ ? )(ω >0)的图象.令 x'=ω x+ ? 转化为 y=sinx',作图象用 五点法,通过列表、描点后作图象. 12、函数 y=Asin(ω x+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象关系. 振幅变换:y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标 都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍(横坐标不变)而得到的.

周期变换:y=sinω x(ω >0,ω ≠1)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点的横坐标 (ω >1)或 (0<ω <1)到原来的 . ( ? >0) 倍(纵坐标不变)而得到的. 由于 y=sinx 周期为

2π ,故 y=sinω x(ω >0)的周期为

相位变换: y=sin(x+ ? )( ? ≠0)的图象, 可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向 或向 ( ? <0)平移 个单位而得到的.

13、列表综合三个三角函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象与性质,并挖掘: ⑴最值的情况; ⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的周期,或者经过简单的恒等变形 可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况 ; ............. ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;

y ? sin x 的对称轴是 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,对称中心是 (k? ,0) (k ? Z ) ;

勤学勤问

2

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义

y ? cos x 的对称轴是 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心是 (k? ?
y ? tan x 的对称中心是 (
⑷写单调区间注意 ? ? 0 .

?
2

, 0) (k ? Z )

k? , 0)(k ? Z ) 2

14、了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,并能由图象写出解析式.
⑴“五点法”作图的列表方式; ⑵求解析式 y ? A sin(? x ? ? ) 时处相 ? 的确定方法:代(最高、低)点法、公式 x1 ? ? 四、高考真题分析: 题型一:考查三角函数的概念的题 例 1、 (北京)若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为 .

? . ?

题型二:考查三角函数的图象和性质题 例 2、(天津)把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 A. y ? sin ? 2 x ?

? 个单位长度,再把所得 3


1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( 2
? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ?? ? ?,x ? R 3 ?

? ? ? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?

B. y ? sin ?

C. y ? sin ? 2 x ?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? ) 2 的部分图 例 3、 (重庆理数)已知函数

?

象如题(6)图所示,则(

? ? )A. ? =1 = 6 ? D. ? =2 ? = - 6

B.

? =1

? ? =- 6

? C. ? =2 ? = 6

勤学勤问

3

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 例 4、 (福建理数)已知函数 f(x)=3sin( ?x全相同。若 x ? [0,

?
6

)( ?>0) 和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完

?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是

例 5、(广东理类题)已知函数 f ( x) ? A sin( ?x ? ? ), ( A ? 0,? ? 0, ? ?

?
2

) 的图象在 y 轴上

(x0, 2)和(x0 ? 3? , ? 2) 的截距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f (? x) 的单调递增区间.

五:随堂练习 1、若点 P 在

2? 的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐标( 3
B. ( 3 ,?1)

) C. (?1, 3 )

A. (1, 3 )

D. (?1,? 3 )

2、 (陕西理)对于函数 f ( x) ? 2sin x cos x ,下列选项中正确的是 ( (A) f ( x) f(x)在(



? ? , )上是递增的 4 2

(B) f ( x) 的图像关于原点对称 (D) f ( x) 的最大值为 2

(C) f ( x) 的最小正周期为 2 ?

勤学勤问

4

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 3、 (全国卷 2 理数) 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

只需把函数 y ? sin 2 x 的图像 ( ) 的 图像,



? 个长度单位 6 ? C.向左平移 个长度单位 3
A .向左平移

B.向右平移

? 个长度单位 6 ? D.向右平移 个长度单位 3

4、函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
2

5? ) 的图象的一条对称轴方程是 ( 2
B. x ? ?

) D. x ?

?

4

C. x ?

?

8

5? 4

5、函数 y ? 2 sin( A. [0,

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是(

) D. [

?
3

]

B. [

?

12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

5? , ?] 6

6、 (海南宁夏卷)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,



3 2

D. -2,

3 2

7、函数 f ?x ? ? sin??x ? ? ? ? cos??x ? ? ? 值,则 ? 的一个值是 A. ? ( B. ? )

?? ? 0? 以 2 为最小正周期,且能在 x ? 2 时取得最大
C. ?

3 ? 4

5 ? 4

7 4

D.

? 2

8、 (全国Ⅱ卷理)若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两 点,则 MN 的最大值为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

勤学勤问

5

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 六、课后巩固卷 1、下列命题正确的是 ( ) A.y=sinx 在第一象限是增函数 B.在第二象限内,y=sinx 是减函数,y=cosx 也是减函数 C.y=cosx 的增区间是 ?0, ? ? 2、函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ? D.y=sinx 在 ?

?? ? , ? ? 上是减函数 ?2 ?
) D. x ?

?
2

5? ) 的图象的一条对称轴方程是 ( 2
B. x ? ?

?

4

C. x ?

?

8

5? 4


3、 (2010 陕西理)对于函数 f ( x) ? 2sin x cos x ,下列选项中正确的是 ( A. f ( x) 在(

? ? , )上是递增的 4 2

B. f ( x) 的图像关于原点对称 D. f ( x) 的最大值为 2 ) D. (?1,? 3 ) )

C. f ( x) 的最小正周期为 2 ? 4、若点 P 在 A. (1, 3 )

2? 的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐标( 3
B. ( 3 ,?1) C. (?1, 3 )

5、为了得到函数 y ? sin(2 x ? A .向左平移

?
3

) 的 图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像(
B.向右平移

? 个长度单位 6 ? C.向左平移 个长度单位 3

? 个长度单位 6 ? D.向右平移 个长度单位 3


6、 (海南宁夏卷 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 7、函数 y ? 2 sin( A. [0, B. -2,2 C. -3,

?
6

3 2

D. -2, ) D. [

3 2

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是(

?
3

]

B. [

?

12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

5? , ?] 6

8、 (全国Ⅱ卷理 8) 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两 点,则 MN 的最大值为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

勤学勤问

6

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 (二)、填空题(每小题 6 分,共计 30 分) 9、 函数 y ? sin(?x ? ? )( x ? R,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图, 则 ?与? 的值分别为 。

10、 (湖南卷理 6)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是 , ?4 2? ?



11、函数 y ?

sin x ? ? tan x 有意义,则 x 的取值范围为



12、函数 f ?x ? ? sin??x ? ? ? ? cos??x ? ? ?

?? ? 0?


( -? ? ? ? 0 )以 2 为最小正周期,且能在

x ? 2 时取得最大值,则 ? 的值是

13、 (辽宁卷理 16)已知 f ( x) ? sin ? ? x ? 有最小值,无最大值,则 ? =______。

? ?

?? ? (? ? 0),f 3?

? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? ?6? ?3? ?6 3?

(三) 、解答题 14、 (陕西卷理 17)已知函数 f ( x) ? 2sin 正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

x x x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小 cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由。 3?

勤学勤问

7

脚踏实地

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高一数学培优辅导专题(一) :三角函数
第二讲:三角的恒等变换
一、基础知识梳理: 1、三角的恒等变化: (解题切入点:角度、名称、次数)要注意公式间的内在联系和特点,审题 时要善于观察差异,寻找联系,实现转化;要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函 数式可以采用“切化弦”来减少函数种类,采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数, 并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 1 ? ? 2、 常见的变形公式: sin ? cos ? ? sin 2? 1 ? cos? ? 2cos2 1 ? cos ? ? 2sin 2 2 2 2
1 ? sin ? ? (sin
tan ? ? t a? n?

?
2

? cos )2 ? 2sin 2 ( ? ) 2 2 4

?

? ?

1 ? sin ? ? (sin

?
2

? cos ) 2 ? 2sin 2 ( ? ) 2 2 4

?

? ?

a sin ? x ? b cos ? x ? a 2 ? b 2 sin(? x ? ? ) t? an ? (? ? ) [ 1? t a n ?(合并公式) tan ]

3、 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。如常见的角的拆并有 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? ? , ? ? (? ? ) ? , ? ? ? ? (? ? ) 等 2 2 6 6 4 2 4 二、高考真题分析: 例 1: (1) 、已知角 ? 的终边上一点 P(2sin 3 , ? 2cos3) ,则 ? 的弧度数为_____________

(2)、已知

3? 2 3? ? ,则 cot ? ? ? 2? , cot ? ? ? ? cot ? _________________ 2 2 2 2

(3) 、函数 y ? sin x cos x ?

3 2 sin x ( x ? R) 的最大值是____________________ 3

1 2 ? ____________________________ (4) 、化简 ? 2 ? 2 tan( ? x) sin ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

例 2:已知 sin ? cos ? ?

1 ,求 cos? sin ? 的取值范围。 4

勤学多问

8

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 例 3:求 sin 2 20? ? cos2 50? ? sin 20? cos50? 的值。

例 4:已知 f (? ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? ), 其中 ? , ? 是适合 0 ? ? ? ? ? ? 的常数,试问 ? , ? 取 何值时, f (? ) 的值恒为定值?

例 5:求值: cot15? cot 25? cot 35? cot 85?

? sin ? cos ? 例 6:已知 ? , ? ? (0, ),sin ? ?csc ? ? cos( ? ? ?) ; (1)求证: tan ? ? ; 2 1 ? sin 2 ? (2)求 tan ? 的最大值,并求当 tan ? 取得最大值时 tan(? ? ? ) 的值。

例 7:已知 0 ? ? , ? ?

?
2

,且 sin(? ? ? ) ? 2sin ? ,求证: ? ? ?

勤学多问

9

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 例 8:已知当 x ?[0,1] 时,不等式 x2 cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin ? ? 0 恒成立,求 ? 的取值范围。

三、 随堂练习: 1.若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0 , cos? ? sin ? ? 0 ,则 ? 在( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限

D 第四象限

2.以下命题正确的是( ) (A) ?,? 都是第一象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin? ? sin ? (B) ?,? 都是第二象限角,若 sin? ? sin ? ,则 tan? ? tan ? (C) ?,? 都是第三象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin? ? sin ? (D) ?,? 都是第四象限角,若 sin? ? sin ? ,则 tan? ? tan ?

3.若 3? ? x ? 4? ,则
?

1 ? cos x 1 ? cos x 等于 ( ? 2 2

) (C) 2 sin( ? )
4

(A) 2 cos( ? ) (B) ? 2 cos( ? )
4 4

x 2

?

x 2

?

x 2

(D) ? 2 sin( ? )
4

?

x 2

4.在(0, 2? )内,使 cos x ? sin x ? tan x 成立的 x 的取值范围是( (A) (
? 3? , ) 4 4

) (D) (
3? 7? , ) 2 4

(B) (

5? 3? , ) 4 2

(C) (

3? , 2? ) 2

5.设 ?,? 是一个钝角三角形的两个锐角,则下列四个不等式中不正确的是( (A)tan? tan ? ? 1 (B)sin? ? sin ? ? 2
1 2


? ??
2

(C)cos? ? cos ? ? 1 (D) tan(? ? ? ) ? tan

6.已知 cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? ? sin 2 ? ,则 sin(2? ? ? ) ? sin ? 的值为( ) A.0 B.1 C. 2sin ? D.以上都不对
勤学多问 10 脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 7.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan
A 2 ? tan C 2 ? 3 tan A 2 tan C 2

? __________

8.已知点 P( sin ? ? cos ? ,tan ? )在第一象限,则在[0,2 ? )内 ? 的取值范围是____________

9. cot10? ? 4cos10? 的值为

? 10.已知 sin 2 2? ? sin 2? cos ? ?cos 2? ?1, ? ?(0, ) ,求 sin ? , tan ? 的值。 2

11.已知 cos(α -

?
2

)= ? ,sin(
9

1

?
2

-β )=

2 3

,

?
2

<α <π ,0<β <

?
2

,求 cos(α +β )之值.

12.求值: cos

?
11

cos

2? 3? 4? 5? cos cos cos 11 11 11 11

13.是否存在锐角 ? , ? ,使得① ? ? 2 ? ? 值;若不存在,说明理由。

? 2? ;② ta n t a n 2 3

?2? 3 ?

同时成立?若存在, 求出 ? , ? 的

勤学多问

11

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 四、课后巩固: 1.【高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象( (A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 (B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移 )

1 个单位 2

1 个单位 2

2.【高考新课标文 9】已知 ω>0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 两条相邻的对称轴,则 φ=( π (A) 4 π (B) 3 ) π (C) 2 3π (D) 4

?
4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的 4

??x ? ? 3.高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( ? 6 3?

)

(A) 2 ? 3

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

4.【高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

? 2

(B)

2? 3

x ?? (? ?[0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? ( ) 3 3? 5? (C) (D) 2 3

5.【高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

3 ,则 sin 2? ? ( ) 5 12 24 (C) (D) 25 25

6.【高考重庆文 5】

sin 47? ? sin17? cos 30? cos17? (

)

(A) ?

3 3 1 1 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

勤学多问

12

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 7.【高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? (A) ? 1 (B) ?

2 , ? ? (0,π ),则 sin 2? =(
(C)

)

2 2

2 2

(D) 1

8.【高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin 2 ( x ? A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1

?

1 , b ? f (lg ) 则( ) 若 a=f(lg5) 4 5

)

D.a-b=1

9.【高考全国文 15】当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________.

? ?? 4 ? 10.【高考江苏 11】设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin(2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?



11.【高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=

? 4

B.x=

? 2

? )的图像的一条对称轴是( 4 ? ? C.x=D.x=4 2

)

12.【高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ?x (其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长度,所得图像
4

?

经过点(

3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是(

)(A)

1 3

(B)1

C)

5 3

(D)2

勤学多问

13

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 13.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

14【高考四川文 18】 已知函数 f ( x) ? cos 2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2
3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

勤学多问

14

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 15.【高考广东文 16】已知函数 f ( x) ? A cos ? (1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ?0,

?x ?? ? ? , x ? R ,且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2 ?3?

4 ? 30 ? ?? ? , f ? 4? ? ? ? ? ? , ? 3 ? 17 ? ? 2?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 ? 5 ?

16. 【高考重庆文 19】 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? ) 在x? 取得最大值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为

?
6



? (I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函数 2

g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

勤学多问

15

脚踏实地

红安国际育才实验学校高一数学培优讲义 17.【高考北京文 15】已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。

18.【2012 高考陕西文 17】 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 图像相邻两条对称轴之间的距离为

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

勤学多问

16

脚踏实地


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