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广东省深圳市翠园中学2012—2013学年第二学期高二数学理科试卷


广东省深圳市翠园中学 2012—2013 学年第二学期高二数学理科试卷
(时间 120分钟 满分 150分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.复数

(1 - i )2 ( i 是虚数单位)= ( i
B. -2

/>) C. 2i D. -2i

A. 2 2.若 f (n) = 1 + (A) 1

1 1 1 。 + +L+ ( n ? N * ) ,则 n = 1 时, f (n ) 是( ) 2 3 2n + 1 1 1 1 (C) 1 + + (D)非以上答案 (B) 3 2 3
) D. ±1

3. f ( x) = x3 , f '( x0 ) = 6 ,则 x0 = ( A. 2
k

B. - 2

C. ± 2 )

4.若 ò (2 x - 3 x 2 )dx = 0 ,则 k = (
0

A. 1

B.0

C.0 或 1

D.以上都不对 ) D.不确定

5.设 y = x - ln x ,则此函数在区间 (0,1) 内为( A.单调递增 B. 有增有减

C.单调递减 ) C.

6. 已知 f ( x ) = 3 x × sin x ,则 f '(1) =( A.

1 +cos1 3

B.

1 sin1+cos1 3

1 sin1-cos1 3

D.sin1+cos1

7.星期三上午需要安排语文、数学、英语、物理、化学五节课,其中语文和数学必须排在一 起,而物理和化学不能排在一起,则不同的排法共有( ) 。 (A)12 种 (B)20 种 (C)24 种 (D)48 种 8.已知函数 y = f ( x ) , y = g (x ) 的导函数图象如下图,则 y = f ( x ), y = g ( x ) 的图象可能 是( )

二.填空题(每小题 5 分, 共.30 分.)

1

9.若复数 (1 - i )(a + i ) 是实数 ( i 是虚数单位 ) ,则实数 a 的值为 10.



ò

2

0

4 - x 2 dx = _______________.

11.设 P 为曲线 C: y = x 2 + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

é pù ê 0, ú ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? 4?
12. 在 (1 + 2 x) 的展开式中, x 的系数等于________。 (用数字作答)
5
2

13. 若 函 数 f ( x) = x 3 + mx 2 + x + 1 在 R 上 没 有 极 值 点 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 。 14.将正整数排成下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ………………………………… 行和第 列。 则数表中的 2013 出现的行数和列数分别是第 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分 12 分) 学校组织 4 名同学甲、乙、丙、丁去 3 个工厂 A、B、C 进行社会实践活动,每个同学只 能去一个工厂。 (1)问有多少种不同分配方案? (2)若每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案? (3)若同学甲、乙不能去工厂 A,且每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案? 【结果全部用数字作答】

16、(本小题满分 13 分) 已知 a, b, m ? R ,并且 a < b ,用分析法证明:
+

a+m a > b+m b

17、(本小题满分 13 分)
2

(1)已知曲线 f ( x ) = ax 2 在 x = 1 处的切线与 x + 2 y = 0 垂直,求 f (x )的解析式; (2)求 f (x ) 与 g ( x ) =

x 围成的平面图形的面积。

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 + (a - 1) x 2 + 48( a - 2) x + b 的图象关于原点成中心对称, (1)求 a 与 b 的值。 (2)求函数 f (x ) 的单调区间。 (3)求 f (x ) 在 [- 5,0] 上的最大值和最小值。

19.(本小题满分 14 分)
3

求函数 f ( x ) = x +

a + ln x , (a ? R ) 的单调区间; x

20.(本小题满分 14 分)
x (其中 e 为自然对数的底数) , 已知函数 f ( x ) = e + ax ,

(1)设曲线 y = f ( x ) 在 x = 1 处的切线与直线 (e - 1)x - y = 1 平行,求 a 的值; (2)若对于任意实数 x ? 0 , f (x ) > 0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围。

翠园中学 2012—2013 学年第二学期高二数学理科试卷参考答案
4

1、B 2、C 3、C 4、A
.9。 a = 1 10。 p
4

5、C 6、B 7、C 8、B
12. 40 13. [- 3 , 3 ] 14. 45 ;77

11. ê- 1,- ú 2

é ?

1ù ?

15.解(1) 3 = 81 …………………………………………………………………3 分 (2) C4 A3 = 36 【式子正确给 3 分满分 4 分】 …………………………………7 分
2 3

(3)分两类:①两个同学去工厂 A 有 2 种情况。…………………………………9 分 ②一个同学去工厂 A 有 C2 C3 A2 = 12 ,所以共有 14 种情况………………………12 分
1 2 2

16、(本小题满分 13 分) 证明: ∵ a, b, m ? R + ,∴ b, b + m ? R + 要证

a+m a > b+m b
……5 分

只需证 b( a + m) > a (b + m) 只需证 ba + bm > ab + am 只需证 bm > am 又m?R
+

∴只需证 b > a

……11 分

由题设可知 b > a 显然成立,所以 17.解: (1)由已知得:

a+m a > 得证 b+m b

……13 分

f ' (1) = 2 ,求得 a = 1 ---------------2 分

f ( x ) = x 2 -----------------------------------------4 分
(2)解:解方程组 í

ì y = x2 ?y = x



ìx = 0 ìx = 1 或í í ?y = 0 ?y = 1

……8 分

∴曲线 y = x 2 与 y =
1 2

x 围成的平面图形的面积为:
3 1

2 1 2 1 1 S = ò ( x - x )dx = ( x 2 - x 3 ) = - = 0 3 3 3 3 3 0
18.解: (1)∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称,

……13 分

则 f ( x ) 是奇函数,所以 a = 1, b = 0 ------------------------------------------5 分 (2) f ( x ) = x - 48 x \ f ?( x) = 3 x - 48, -- ------------------------6 分
3 2

令f

'

( x ) = 0 得 x = ±4 ;

---------------------------------------------7 分
5

f ( x ) 的递增区间是 (- ?,-4 ) 和 (4,+? ) ---------------------------------9 分 f ( x ) 的递增区间是 (- 4,+4 ) ------------------------------------------------10 分
(3) f (- 5) = 165 , f (- 4 ) = 128 , f (0 ) = 0 ----------------------12 分

\ f ( x )max = f (- 5) = 165 ---------------------------------------------------13 分 f ( x )min = f (0 ) = 0
解: 函数 f ( x ) = x + ∴f
'

-----------------------------------------------------------14 分

a + ln x 的定义域为 ( 0, +? ) .-------------------2 分 x

(x ) = x

2

+ x-a .---------------------------------------4 分 x2 1 2 时, 得 x + x - a ? 0 ,则 f ' ( x ) ? 0 . 4
----------------------------6 分 得x + x - a = 0,
2

① 当 D = 1 + 4a ? 0 , 即 a ? -

∴函数 f ( x ) 在 ( 0, +? ) 上单调递增. ② 当 D = 1 + 4a > 0 , 即 a > 解得 x1 =

1 时, 令 f ' ( x ) = 0 4

-1 - 1 + 4a -1 + 1 + 4 a < 0, x2 = .----------------8 分 2 2

(ⅰ) 若 -

1 -1 + 1 + 4a < a ? 0 , 则 x2 = ? 0. 4 2
'

∵ x ? ( 0, +? ) , ∴ f

(x ) > 0 ,

∴函数 f ( x ) 在 ( 0, +? ) 上单调递增. -------------------------10 分 (ⅱ)若 a > 0 ,则 x ? ? 0,

? ? è

-1 + 1 + 4 a ? ' ÷ 时, f ( x ) < 0 ; ÷ 2 ?

? -1 + 1 + 4 a ? x ?? , +? ÷ 时, f ' ( x ) > 0 , ? ÷ 2 è ?
∴函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ? è

? -1 + 1 + 4 a ? -1 + 1 + 4 a ? , +? ÷ 上单调递增. ÷ 上单调递减, 在区间 ? ÷ ? ÷ 2 2 ? è ?
------------------------------12 分

综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +? ) ;

6

当 a > 0 时 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 0,

? ? è

-1 + 1 + 4 a ? ÷ , 单调递增区间为 ÷ 2 ?

? -1 + 1 + 4 a ? , +? ÷ . ---------------------------------------14 分 ? ? ÷ 2 è ?
20.解: (Ⅰ) f ?( x) = e x + a , 因此 y = f ( x) 在 (1, f (1) ) 处的切线 l 的斜率为 e + a , 又直线 x + (e - 1) y = 1 的斜率为 e - 1 , ∴ e + a = e -1, ∴ a =-1. (Ⅱ)∵当 x ≥0 时, f ( x) = e x + ax > 0 恒成立, ∴ 先考虑 x =0,此时, f ( x) = e , a 可为任意实数;
x

………………………2 分 ………………………3 分 ………………………4 分

………………………6 分

………………………8 分

又当 x >0 时, f ( x) = e x + ax > 0 恒成立, 则a > -

ex 恒成立, x ex (1 - x)e x , ,则 h?( x) = x x2

…………………………………………10 分

设 h( x) = -

当 x ∈(0,1)时, h?( x) >0, h( x) 在(0,1)上单调递增, 当 x ∈(1,+∞)时, h?( x) <0, h( x) 在(1,+∞)上单调递减, 故当 x =1 时, h( x) 取得极大值,

h( x) max = h(1) = -e ,

…………………………………………12 分

∴ 要使 x ≥0, f ( x) > 0 恒成立, a >- e , ∴ 实数 a 的取值范围为 ( -e, +? ) . …………………………………………14 分

7


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