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高三文科数学数列知识和测试题


数列总复习
等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 1. ⑴等差、等比数列: 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 前 n 项 和
a n ?1 ? a n ? d a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m? n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d

项 项数 通项

数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和 等比数列
a n ?1 ? q ( q ? 0) an
a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n?m

等差数列

等比数列

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q 1? q ?

Sn ?

n (a1 ? a n ) 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?

?

中项公 式

A=

a?b 2

推 广 :

G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
2

2 a n = an ?m ? an ? m

性 质

1

若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq

若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。

3

. sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数 列。

sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。

4

d?

a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

q n?1 ?

an , a1

q n?m ?

an (m ? n) am

1 看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1 a n?1 ? 0 )


③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ⑷数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶 ? S 奇 ?

?

?

nd,

S奇 S偶

?

an a n ?1 ;
S偶 ? n n ?1

③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ,则 S 2 n ?1? ?2n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ?a n , S 奇
? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .

?

?

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 ?am?1 ? 0

m 使得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解 am?1 ? 0 ?

含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4、数列通项公式的求法 (1)观察法:(2)迭加法(3)迭积法(4)递推法(5)待定系数法

5、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部 ? an an?1 ?

分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列,bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 ? 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5、公式法 6、.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n
3 3 3

?1 ? 3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2


一、选择题 1.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是( A.5 B.4 C.3 D.2 2.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于( A.40 B.42 C.43 ) D.45

3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 、 a3 、 a4 成等比数列,则 a2 等于( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 )

4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a2 ? a5 ? 4, an ? 33, 则n为 ( 3

A.48 B.49 C.50 D.51 5.在等比数列{ an }中, a2 =8, a6 =64,,则公比 q 为( ) 6、数列 ?an ? 满足 a1 , an ? an?1 ? n(n ? 2), 则an ? ( A.
n ( n?1) 2

A.2

B.3

C.4

D.8

) D.
( n?1)( n?1) 2

B.

n ( n?1) 2

C.

7、已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于(

( n?2)( n?1) 2 2

A.3

B.2

C.1

D. ?2

二、填空题 8、设数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2 9、设数列 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,求 S7 10、若等比数列{an}满足,a2a4=1,则 a1a3a5= 11.已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 Sn ? .

12.已知数列 ?an ? 对于任意 p,q ?N* ,有 a p ? aq ? a p ?q ,若 a1 ? 14.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,将 数列 ?an ? 中的各项排成如图所示的一个三角形数表,记 A(i,j)表示第 i 行从左至右的第 j 个数,例如 A(4,3) = a9 ,则 A(10,2)= 三、解答题 15 已知数列{an}满足:a1=2,且 an+1=2(1)设 bn=

1 ,则 a36 ? 9
.

13.数列{an}中,若 a1=1,2an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=

1 * ,n∈N . an

1 ,求证:{bn}是等差数列; an ? 1
1 +1, * ,求证:2n<c1+c2+…+cn<2n n∈N . an

(2)求数列{an}的通项公式; (3)设 cn=an+

16、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1?

(1)求 ?an ? 的通项公式;(2)求 Sn

17、已知实数列 {a n }是 等比数列,其中 a 7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , 证明: Sn <128 (n ? 1,2,3, …).

, 3, 18、数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? ),且 a1,a2,a3 成
公比不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式.

19、设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13

(1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn ? bn ?

20、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2

n ?1

an ?

(1)求数列 ?an ? 的通项; (2)设 bn ?

n * ,a?N . 3

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

高三文科数学数列测试题答案

1~5 CBBCA 6~10 BABCD 11. ? 15.略解(1)略(2)由 ?

n(5n ? 1) 2

12.4

13. an ? 3 n ? 1 2 2

14. 93

? an ? 0 ? 得 n ? 10 , s10 ? 10 ? (?17) ? 102 9 ? 2 ? ?260 an ?1 ? 0 ?

16.解:(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) , 由 a7 ? a1q6 ? 1,得 a1 ? q?6 ,从而 a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 . 因为 a4,a5 ? 1 a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) , , 即 q?3 ? q?1 ? 2(q?2 ? 1) , q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) .

1 ?1? 所以 q ? .故 an ? a1q n?1 ? q ?6 ? n?1 ? 64 ? ? q 2 ?2?

n ?1



? ? 1 ?n ? 64 ?1 ? ? ? ? n a1 (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? ? 128 ?1 ? ? 1 ? ? ? 128 (2) Sn ? ? ? ? ? ? 1 1? q ? ?2? ? ? ? 1? 2
17. (1) an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn ?1 ? 1? n ? 2? , 由 两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 (2)
? Sn ? 1?(1?33 ) ? 32 ? 1 1 2
n n

故{an}是首项为 1,公比为 3 得等比数列

∴ an ? 3n ?1 .

18.解:(1) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,所以 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (2)当 n ≥ 2 时,由于 a2 ? a1 ? c ,

a3 ? a2 ? 2c , ?? an ? an?1 ? (n ?1)c ,
n(n ? 1) c. 2 2 又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n ? n ? 2(n ? 2,?) . 3,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ? 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 an ? n ? n ? 2(n ? 1 2, ) . ,?
2

19.解: (1) ?an ? 的公差为 d , bn ? 的公比为 q , 设 则依题意有 q ? 0 且 ? ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13, ?

解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,

bn ? qn?1 ? 2n?1 . a 2n ? 1 (2) n ? n ?1 . bn 2 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2 n 2 n ?1 20.(1) a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3 an ? , 3 n ?1 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 n n ?1 1 1 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). an ? n (n ? 2). 3 3 3 3 1 * 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N ). 3 (2) bn ? n ? 3n ,
Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n ……….(1)
3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1
(1)-(2)得: ?2Sn ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? n ? 3
2 3 n n?1

………………..(2)

所以 ?2 S n ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

Sn ?

n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? ? 2 4 4


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