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2016版高考数学 第八章 解析几何专题演练 理(含两年高考一年模拟)


第八章

解析几何

考点 26 直线与圆 两年高考真题演练 1.(2015?广东)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是(
2 2

)

A.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0

或 2x-y-5=0 D.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 2.(2015?新课标全国Ⅱ)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M、N 两 点,则|MN|=( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 2 2 3.(2015?山东)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) 5 3 3 2 A.- 或- B.- 或- 3 5 2 3 5 4 4 3 C.- 或- D.- 或- 4 5 3 4 4.(2015?重庆)已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对 称轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B.4 2 C.6 D.2 10 2 2 5.(2014?福建)已知直线 l 过圆 x +(y-3) =4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 2 2 6.(2014?浙江)已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4, 则实数 a 的值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 7.(2014?江西)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为 直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) A. 4π 5 3π B. 4 5π D. 4
2 2

C.(6-2 5)π

8.(2014?四川)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m +3=0 交于点 P(x,y),则|PA|?|PB|的最大值是________. 9. (2014?山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得 弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________. 10.(2014?陕西)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为________. 2 2 11.(2014?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2) +(y+1)
1

=4 截得的弦长为________. 2 2 12.(2014?大纲全国)直线 l1 和 l2 是圆 x +y =2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1, 3),则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. 2 2 13.(2014?湖北)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相 2 2 等的四段弧,则 a +b =________. 2 2 14. (2014?重庆)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-a) =4 相交于 A, B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________.

2

考点 26 直线与圆 一年模拟试题精练 1.(2015?北京海淀模拟)已知直线 l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若 l1⊥ l2,则实数 a 的值是( ) A.0 B.2 或-1 C.0 或-3 D.-3 2.(2015?山东省实验中学期末)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行, 则 tan 2α 的值为( ) A. 4 5 4 B. 3 C. 3 4
2

2 D. 3
2 2 2

3.(2015?河南天一大联考)已知圆 C:(x+1) +y =r 与抛物线 D:y =16x 的准线交 于 A,B 两点,且|AB|=8,则圆 C 的面积为( ) A.5π B.9π C.16π D.25π 4.(2015?四川遂宁模拟)圆心在原点且与直线 y=2-x 相切的圆的方程为________. 5.(2015?德州模拟)已知直线 3x-y+2=0 及直线 3x-y-10=0 截圆 C 所得的弦 长均为 8,则圆 C 的面积是________. 2 2 6.(2015?浙江金丽模拟)设直线 ax+2y+6=0 与圆 x +y -2x+4y=0 相交于点 P,Q 两点,O 为坐标原点,且 OP⊥OQ,则实数 a 的值为________. 2 2 7.(2015?山师大附中模拟)已知直线 l:3x+y-6=0 和圆心为 C 的圆 x +y -2y-4 =0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的长度等于________. 2 2 8.(2015?山东烟台模拟)已知圆 C:(x-4) +(y-3) =1 和两点 A(-m,0),B(m, 0)(m>0),若圆 C 上至少存在一点 P,使得∠APB=90°,则 m 的取值范围是________. 2 2 9.(2015?湖北荆门模拟)由直线 y=x+1 上的点向圆(x-3) +(y+2) =1 引切线,则 切线长的最小值为________. 10.(2015?山东济南模拟)已知圆 C 过点(-1,0),且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:

y=x-1 被该圆所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线方程为________.

11.(2015?山东日照模拟)圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形(实线所示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周逆时针滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为________. 12.(2015?四川遂宁模拟)已知定点 A(-2,0),F(1,0),定直线 l:x=4,动点 P 1 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 .设点 P 的轨迹为 C,过点 F 的直线交 C 于 D、E 两点, 2 直线 AD、AE 与直线 l 分别相交于 M、N 两点. (1)求 C 的方程; (2)以 MN 为直径的圆是否恒过一定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 考点 27 椭 圆 两年高考真题演练
3

x2 y2 3 1.(2014?大纲全国)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左, 右焦点为 F1, F2, 离心率为 , a b 3
过 F2 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则椭圆 C 的方程为( A. + =1 3 2 C. + =1 12 8 )

x

2

y

2

B. +y =1 3 D. + =1 12 4
2 2

x

2 2

x2

y2

x2

y2

2.(2014?福建)设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P,Q 10 两点间的最大距离是( A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 3.(2014?辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点 9 4 的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. 4.(2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. 1 x y 5.(2014?江西)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 2 a b
2 2 2

x2

2

)

x2 y2

y2 b

A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________.
6.(2015?浙江)

1 2 已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2 (1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).

x2

4

7.(2014?新课标全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,

x2 y2 a b

M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

5

考点 27 椭 圆 一年模拟试题精练 1.(2015?山东省聊城模拟)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( A. 2 2 B. 3 3 1 C. 2 1 D. 3 )

x2 y2 a b

2.(2015?江西师大模拟)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),右焦点 F(c,0)(c>0),方 程 ax +bx-c=0 的两实根分别为 x1,x2,则 P(x1,x2)必在( ) 2 2 A.圆 x +y =2 内 2 2 B.圆 x +y =2 外 2 2 C.圆 x +y =1 上 2 2 2 2 D.圆 x +y =1 与圆 x +y =2 形成的圆环之间 3.(2015?湖北黄冈模拟)在等腰梯形 ABCD 中,E,F 分别是底边 AB,CD 的中点,把四 边形 AEFD 沿直线 EF 折起后所在的平面记为 α , P∈α , 设 PB, PC 与 α 所成的角分别为 θ 1, θ 2(θ 1,θ 2 均不为 0).若 θ 1=θ 2,则点 P 的轨迹为( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 4.(2015?江西重点联盟模拟)已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 + 2 =1,随着 a 4a a -1 的增大该椭圆的形状( ) A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆 5.(2015?河北唐山模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程
2

x2 y2 a b

x2

y2

x2 y2 3 + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为( a2 b2 2
A. 1 15 B. 2 32 17 31 C. D. 32 32

)

6. (2015?安徽江南十校模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点 P 到两焦点的距离之和 1 为 6,且椭圆的离心率为 ,则椭圆方程为________. 3 7.(2015?江苏淮安模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0), 点 A,B1,B2, F 依次为其左顶点、 下顶点、上顶点和右焦点,若直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在直线 x= 上,则椭圆的离心率 为________. 8.(2015?河南信阳模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其长轴长和短轴 长之比为 3∶1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为 0 的任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值.
6

x2 y2 a b

x2 y2 a b

a2 c

x2 y2 a b

考点 28 双曲线 两年高考真题演练 1.(2015?福建)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 9 16 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 2.(2015?安徽)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C. -x =1 4
2

x

2

y2

)

y
2

2

B. -y =1 4 D.y - =1 4
2 2

x

2 2

y2

x2

3. (2015?四川)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两条 3 渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( A. 4 3 3 B.2 3 )

y2

C.6 D.4 3
2 2

x y 5 4.(2015?广东)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则 a b 4
双曲线 C 的方程为( A. - =1 4 3 C. - =1 9 16 )

x

2

y

2

B. - =1 16 9 D. - =1 3 4

x

2

y2

x2

y2

x2 y2

5.(2015?新课标Ⅰ全国)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 2 → → 的两个焦点,若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( 3 3? ? , ? 3? ? 3 ? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3 A.?- 3 3? ? , ? 6? ? 6 ? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3 B.?- )

x2

2

x2 y 2 6.(2014?天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x a b
+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. - =1 5 20 C. 3x 3y - =1 25 100
2 2

)

x

2

y

2

B. - =1 20 5 3x 3y D. - =1 100 25
2 2

x

2

y

2

7.(2014?湖北)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 π ∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3 A. 4 3 3 2 3 B. 3 C.3 D.2 )

7

8.(2014?广东)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的 25 9-k 25-k 9 ( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 2 2 9.(2014?新课标全国Ⅰ)已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C. 3m D.3m 2 10.(2014?湖北)设 a,b 是关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则 过 A(a,a ),B(b,b )两点的直线与双曲线 2 - =1 的公共点的个数为( 2 cos θ sin θ A.0 B.1 C.2 D.3 11.(2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与 抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 ________. 12.(2014?北京)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x =1 具有相同渐近线,则 C 的 4 方程为________;渐近线方程为________.
2 2 2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

)

x2 y2 a b

y2

2

x2 y2 13.(2014?浙江)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐 a b
近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

8

考点 28 双曲线 一年模拟试题精练 1.(2015?山东潍坊模拟)如果双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 3x-y + 3=0 平行,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 2 2.(2015?山东日照模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距 离为 5,双曲线 -y =1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( A. ) 1 C. 5 1 D. 3

x2 y2 a b

x2 a

2

1 1 B. 9 25

3.(2015?山东青岛模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:

x2 y2 a b

x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x2 y2 x 2 y2
A. C. - =1 20 5
2 2

)

B. - =1 5 20

3x 3y - =1 25 100

D. - =1 100 25

x2

y2

4.(2015?河南开封模拟)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程 为 2- 2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 1 2 6 A. ,3 B. , 2 2 2 C.

x2 y2 a b

x2 y2 a b

3 , 则 C1,C2 的离心率分别为( 2

)

6 1 ,2 D. ,2 3 4 4

5.(2015?山东菏泽一模)设双曲线 + =1 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x = 8y 的焦点相同,则此双曲线的方程为( A. -y =1 B. - =1 3 4 12 C.y - =1 D. - =1 3 12 4 6.(2015?山东济南一模)点 A 是抛物线 C1:y =2px(p>0)与双曲线 C2: 2- 2=1(a>0,
2 2

x2 y2 m n
)

2

x

2 2

x

2

y

2

x2

x2

y2

x2 y2 a b

b>0)的一条渐近线的交点, 若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p, 则双曲线 C2 的离心率等于
( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

7.(2015?甘肃河西五地模拟)已知 F2,F1 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的上,下焦 点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心 率为( ) A.3 B. 3 C.2 D. 2 2 8.(2015?江西师大模拟)双曲线 C 的左,右焦点分别为 F1,F2,且 F2 恰为抛物线 y =
9

y2 x2 a b

4x 的焦点, 设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A, 若△AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形, 则双曲线 C 的离心率为( ) A. 2 B.1+ 2 C.1+ 3 D.2+ 3

9.(2015?山东淄博模拟)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F1,作圆 x +y =a 的切线交双曲线右支于点 P, 切点为 T, PF1 的中点 M 在第一象限, 则以下结论正确的是( A.b-a<|MO|-|MT| B.b-a>|MO|-|MT| C.b-a=|MO|-|MT| D.b-a=|MO|+|MT|

x2 y2 a b

2

2

2

)

x2 y2 2 2 10.(2015?湖南一模)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)作圆 x +y = a b a2 的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P,O 为坐标原点,若OE= (OF+OP),
则双曲线的离心率为( A. 1+ 5 2 B. 5 2 ) 1+ 3 C. D. 5 2 → 1 → → 2

11.(2015?山东日照模拟)若双曲线 2- 2=1(a>0)的离心率为 2,则 a=________. a 3

x2 y2

x2 y2 12. (2015?河北唐山模拟)若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点到一条渐近线的距 a b
1 离等于焦距的 ,则该双曲线的离心率为________. 4

13.(2015?山东青岛模拟)如图:正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点,其余四 个顶点都在该双曲线上,则该双曲线的离心率为________.

10

考点 29 抛物线 两年高考真题演练 1.(2015?浙江)如图,

设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A, B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) |BF|-1 A. |AF|-1 C. |BF|+1 |AF|+1 |BF| -1 B. 2 |AF| -1 |BF| +1 D. 2 |AF| +1
2 2

2

2.(2015?天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3) ,且双 曲线的一个焦点在抛物线 y =4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( A. - =1 21 28
2

x2 y 2 a b y
2

)

x

2

y

2

B. - =1 28 21 D. - =1 4 3
2 2 2 2

x

2

C. - =1 3 4

x2 y2

x2 y2

3.(2015?四川)设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5) +y =r (r >0)相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点, 若这样的直线 l 恰有 4 条, 则 r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 2 4.(2014?新课标全国Ⅰ)已知抛物线 C:y =x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF| 5 = x0,则 x0=( 4 )

A.1 B.2 C.4 D.8 1 2 5.(2014?安徽)抛物线 y= x 的准线方程是( 4 )

A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 2 6.(2014?新课标全国Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直 线交 C 于 A,B 两点,则|AB|=( ) 30 B.6 C.12 D.7 3 3 2 7.(2014?辽宁)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) A. A. 1 2 3 B. C. 2 3 4 4 D. 3
2 2 2

8.(2015?陕西)若抛物线 y =2px(p>0)的准线经过双曲线 x -y =1 的一个焦点,则 p=________
11

9. (2014?大纲全国)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交 5 点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M, N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程.

2

考点 29 抛物线 一年模拟试题精练 1.(2015 ?河北唐山一模 )已知抛物线的焦点 F(a,0)(a<0) ,则抛物线的标准方程是 ( ) 2 2 A.y =2ax B.y =4ax 2 2 C.y =-2ax D.y =-4ax 2 2.(2015?北京石景山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x =2py(p>0)上纵坐标 为 1 的点到焦点的距离为 3,则焦点到准线的距离为( ) A.2 B.8 C. 3 D.4

3.(2015?山东莱芜模拟)已知双曲线 2- 2=1 的焦点到其渐近线的距离等于 2,抛物 线 y =2px 的焦点为双曲线的右焦点,双曲线截抛物线的准线所得的线段长为 4,则抛物线 方程为( ) A.y =4x 2 C.y =8 2x
2 2

x2 y2 a b

B.y =4 2x 2 D.y =8x

2

1 2 4 .(2015?山东青岛模拟 ) 已知抛物线 y = ax 的准线方程为 y =- ,则实数 a = 2 ________. 2 5.(2015?北京西城模拟)若抛物线 C:y =2px 的焦点在直线 x+2y-4=0 上,则 p= ________;C 的准线方程为________. 3 5 x y 6.(2015?山东实验中学模拟)已知离心率为 的双曲线 C: 2- =1(a>0)的左焦点 5 a 4 2 与抛物线 y =mx 的焦点重合,则实数 m=________. 2 7.(2015?湖北黄冈模拟)过抛物线 C:x =2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两 点,若抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1,则线段|AF|=________. 2 8.(2015?安徽江南十校模拟)已知抛物线 C:x =2y 的焦点为 F. (1)设抛物线上任一点 P(m,n),求证:以 P 为切点与抛物线相切的切线方程是 mx=y +n; (2)若过动点 M(x0,0)(x0≠0)的直线 l 与抛物线 C 相切,试判断直线 MF 与直线 l 的位 置关系,并予以证明.
2 2

12

9.(2015?江西重点中学模拟)已知

抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A,B,当直线 l 的 倾斜角是 45°时,AB 的中垂线交 y 轴于点 Q(0,5). (1)求 p 的值; ︵ (2)以 AB 为直径的圆交 x 轴于点 M,N,记劣弧MN的长度为 S,当直线 l 绕 F 旋转时,求 的最大值. |AB|

2

S

考点 30 圆锥曲线的综合问题 两年高考真题演练 1.(2015?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 3 ,左、右焦点分别是 F1,F2.以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆 2 相交,且交点在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; 为

x2 y2 a b

x2 y2 (2)设椭圆 E: 2+ 2=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 4a 4b
于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. |OQ| (ⅰ)求 的值; |OP|
13

(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.

2. (2015?新课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C: y= 与直线 l: y=kx+a(a>0) 4 交于 M,N 两点, (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

x2

x2 y2 3 3. (2014?新课标全国Ⅰ)已知点 A(0, -2), 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为
2 3 ,O 为坐标原点. 3

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

4.(2014?山东)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一 点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横 坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

2

14

考点 30 圆锥曲线的综合问题 一年模拟试题精练 1.(2015?四川宜宾模拟)已知点 P,Q 的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线 PM,QM 1 相交于点 M,且它们的斜率之积是- . 4 (1)求点 M 的轨迹方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与点 M 的轨迹交于 A,B 两点.试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由.

1 2 2.(2015?河北唐山模拟)已知抛物线 y =4x,直线 l:y=- x+b 与抛物线交于 A,B 2 两点. (1)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (2)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求△AOB 面积的最大值.

3. (2015?山东烟台一模)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F(1,0),过点 F 且 与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P, Q 两点, 当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰 好为 60°. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 T(t,0),使得OP?TP=PQ?TQ?若存在, 求出实数 t 的取值范围;若不存在,说明理由.
15

x2 y2 a b

4.(2015?湖北七市模拟)已知椭圆 C: 2+ =1,F1、F2 为椭圆的左、右焦点,A、B a 4 1 为椭圆的左、右顶点,点 P 为椭圆上异于 A、B 的动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为- . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两个定点,使 得这两个定点到直线 l 的距离之积为 4?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明 理由.

x2 y2

16

第八章 解析几何 考点 26 直线与圆 【两年高考真题演练】 |0+0+c| 1.D [设所求切线方程为 2x+y+c=0,依题有 = 5,解得 c=±5,所以 2 2 2 +1 所求切线的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0,故选 D.] → → → → 2.C [由已知,得AB=(3,-1),BC=(-3,-9),则AB?BC=3?(-3)+(-1)?(- → → 2 9)=0,所以AB⊥BC,即 AB⊥BC,故过三点 A、B、C 的圆以 AC 为直径,得其方程为(x-1) +(y+2) =25,令 x=0 得(y+2) =24,解得 y1=-2-2 6,y2=-2+2 6,所以|MN|= |y1-y2|=4 6,选 C.] 3.D [圆
2 2

(x+3) +(y-2) =1 的圆心为(-3, 2), 半径 r=1.(-2, -3)关于 y 轴的对称点为(2, -3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率 k 存在,∴反射光线所在直线方程为 y +3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0. |-3k-2-2k-3| 2 ∵反射光线与已知圆相切,∴ =1,整理得 12k +25k+12=0,解得 k2+(-1)2

2

2

k=- 或 k=- .]
4.C [圆 C 的标准方程为(x-2) +(y-1) =4,圆心为 C(2,1),半径为 r=2,因此 2 + a?1 - 1 = 0 , a = - 1 , 即 A( - 4 , - 1) , |AB| = (-4-2) +(-1-1) -4=6,选 C.] 5.D [直线过圆心(0,3),与直线 x+y+1=0 垂直,故其斜率 k=1.所以直线的方程 为 y-3=1?(x-0),即 x-y+3=0.故选 D.] 6. B [圆的方程可化为(x+1) +(y-1) =2-a, 因此圆心为(-1, 1), 半径 r= 2-a. |-1+1+2| 圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d= = 2,又弦长为 4,因此由勾股定理可得 2 2 ?4? 2 2 ( 2) +? ? =( 2-a) ,解得 a=-4.故选 B.] ?2? 7.A
2 2 2 2 2 2

3 4

4 3

|AC| -r =

2

2

17

1 8.5 [由题意可知点 A 为(0,0),点 B 为(1,3).又∵直线 x+my=0 的斜率 k1=- ,

m

直线 mx-y-m+3=0 的斜率 k2=m,∴k1k2=-1.∴两条动直线互相垂直.又由圆的性质可 知,动点 P(x,y)的轨迹是圆,∴圆的直径为|AB|= 1 +3 = 10. ∴ |PA| ? |PB| ≤ |PA| +|PB| |AB| = = 5. 当 且 仅 当 |PA| = |PB| = 5 时 , 等 号 成 2 2
2 2 2 2 2

立.∴|PA|?|PB|的最大值是 5.] 9.(x-2) +(y-1) =4 [∵圆心在直线 x-2y=0 上,∴可设圆心为(2a,a).∵圆 C 与 y 轴正半轴相切, ∴a>0, 半径 r=2a.又∵圆 C 截 x 轴的弦长为 2 3, ∴a +( 3) =(2a) , 解得 a=1(a=-1 舍去).∴圆 C 的圆心为(2,1),半径 r=2.∴圆的方程为(x-2) +(y- 1) =4.] 10.x +(y-1) =1 [因为(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1),所以圆 C 是以(0,1) 为圆心,以 1 为半径的圆,其方程为 x +(y-1) =1.] 2 55 11. 5 [圆(x-2) +(y+1) =4 的圆心为 C(2,-1),半径 r=2,圆心 C 到直线 x 9 4- = 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|2+2?(-1)-3| 3 2 2 +2y-3=0 的距离为 d= = ,所求弦长 l=2 r -d =2 2 2 1 +2 5 2 55 .] 5 4 12. 3

[如图所示,设 l1 与圆 O:x +y =2 相切于点 B,l2 与圆 O:x +y =2 相切于点 C, 则 OB= 2,OA= 10,AB=2 2. 1 2? 2 4 OB 2 1 2tan α ∴tan α = = = .∴tan∠BAC=tan 2α = = = .] 2 AB 2 2 2 1-tan α 1 3 1- 4 1 13.2 [由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的 , 4 |a| |b| |a| 2 2 2 2 2 即 = , =cos 45°= ,所以 a =b =1,故 a +b =2.] 2 2 2 2

2

2

2

2

18

14.4± 15

[由△ABC 为等边三角形可得,C 到 AB 的距离为 3,即(1,a)到直线 ax

|a+a-2| 2 +y-2=0 的距离 d= = 3,即 a -8a+1=0,可求得 a=4± 15.] 2 1+a 【一年模拟试题精练】 1.C [因为 l1⊥l2,所以 a+a(a+2)=0,则 a=0 或 a=-3,故选 C.] 1 1 2tan α 2.B [直线的斜率为 ,即直线 l 的斜率为 k=tan α = ,所以 tan 2α = = 2 2 2 1-tan α 1 2? 2 2 ?1? 1-? ? ?2? 1 4 = = ,选 B.] 3 3 4

3.D [抛物线的准线方程为 x=-4,而圆心坐标为(-1,0),所以圆心到直线的距离 为 3,所以圆的半径为 5,故圆面积为 25π .] 4.x +y =2
2 2 2 2

[由题意知利用点到直线的距离公式得到圆的半径 r= 2,所以所求圆

的方程为 x +y =2.] 5.25π [∵直线 3x-y+2=0 与直线 3x-y-10=0 平行,且截圆 C 所得的弦长均 |-10-2|
2

为 8,∴圆心到两直线的距离相等,两平行直线的距离 d=
2 2

12 = =6,即圆心到 ( 3) +1 2

直线 3x-y+2=0 的距离为 d=3,则圆的半径 R= 4 +3 =5,故圆 C 的面积是 25π .]

? ? 2 2 6.-2 [因为圆 x +y -2x+4y=0,所以圆经过原点,圆的圆心坐标为?- ,- ?即 2? ? 2
D E
(1,-2),因为直线 ax+2y+6=0 与圆 x +y -2x+4y=0 相交于点 P,Q,O 为坐标原点, 且 OP⊥OQ,所以圆的圆心在直线 ax+2y+6=0 上,所以 a-4+6=0,所以 a=-2.] 7. 离 d= 4 30 5 2 [圆心 C 的坐标为(0,1),半径为 5,所以圆心到直线 l:3x+y-6=0 的距
2 2

4 30 ,利用勾股定理得到|AB|= .] 5 10 [根据题意可以得到以 AB 为直径的圆与圆 C 至少有一个公共点,即|m-

8.[4,6]

1|≤|OC|≤m+1,而|OC|=5,所有 4≤m≤6.] 9.

17

[根据题意画出图形,当 AC 垂直与直线 y=x+1 时,|AC|最短,此时|BC|=

19

|AC| -|AB| 最小,由圆的方程得:圆心 A(3,-2),半径|AB|=1,圆心 A 到直线 y=x +1 的距离|AC|=
2

2

2

6 2

=3 2,则切线长的最小值|BC|
2

= |AC| -|AB| = 17.] 10.x+y+1=0 [设圆心坐标为(a,0),则由直线 l:x-y-1=0 被圆 C 所截得的弦 长为 2 2,得?

?|a-1|?2 2 ? +2=(a-1) ,解得 a=3 或-1,∵圆心在 x 轴的负半轴上,∴a= 2 ? ?

-1,故圆心坐标为(-1,0),∵直线 l 的斜率为 1,∴过圆心且与直线 l 垂直的直线的方 程为 y-0=-(x+1),即 x+y+1=0,故答案为:x+y+1=0.] (2+ 2)π 11. 2 [每次转动一个边长时,圆心角转过 60°,正方形有 4

边,所以需要转动 12 次,回到起点,在这 11 次中,半径为 1 的 6 次,半径为 2的 3 次,半径为 0 的 2 次,点 A 走过的路径的长度= (2+ 2)π .] 2 12.解 + =1. 3 (2)易知直线 DE 斜率不为 0,设直线 DE 方程为 x=ty+1, (1)F(1,0),设 P(x,y)为 C 上任意一点,依题意有 (x-1) +y 1 x = ,∴ |x-4| 2 4
2 2 2

1 1 ? 2 π ? 1? 6+ ? 2 π ? 2 ? 3= 12 12

y2

x=ty+1 ? ? 2 2 2 2 由?x y ,得(3t +4)y +6ty-9=0, + = 1 ? ?4 3
-6t -9 设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , 3t +4 3t +4 由 A(-2,0),知 AD 方程为 y-0= 同理,点 N 坐标为?4, 在以 MN 为直径的圆上, 6y1 ? ? 6y2 ? → → ? 则GM?GN=?4-n, ??4-n, ? x1+2? ? x2+2? ? ? 36y1y2 2 =(4-n) + =0, (x1+2)(x2+2) 36y1y2 2 ∴(4-n) + (ty1+3)(ty2+3) 6y1 ? y1-0 ? (x+2),点 M 坐标为?4, ?, x1+2 ? x1+2?

? ?

6y2 ? ,由对称性,若定点存在,则定点在 x 轴上,设 G(n,0) x2+2? ?

20

=(4-n) +

2

36y1y2 =0, t y1y2+3t(y1+y2)+9
2

36?(-9) 2 2 即(4-n) + =0,(4-n) -9=0,n=1 或 n=7, 2 2 -9t +3t(-6t)+9(3t +4) ∴以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上两定点(1,0)和(7,0).

考点 27 椭 圆 【两年高考真题演练】 1.A

[∵ 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ∴ =

x2 y2 a b

3 , 3

c a

3 .又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,△AF1B 的周长为 4 3, 3

∴4a=4 3,∴a= 3,∴b= 2,∴椭圆方程为 + =1,选 A.] 3 2 2.D [设 Q(x,y),则该点到圆心的距离

x2 y2

d= (x-0)2+(y-6)2= x2+(y-6)2
= 10(1-y )+(y-6) = -9y -12y+46,
2 2 2

y∈[-1,1],
-12 2 ∴当 y=- =- 时, 2?(-9) 3

dmax=

2 ? 2? ? 2? -9??- ? -12??- ?+46= 50=5 2. 3 ? ? ? 3?

∴圆上点 P 和椭圆上点 Q 的距离的最大值为 dmax+r=5 2+ 2=6 2.故选 D.] 3.12

[如图,设 MN 的中点为 P,则由 F1 是 AM 的中点,可知|AN|=2|PF1|.
21

同理可得|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|). 根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.] 3 2 2 4.x + y =1 2 5. 2 2 [由题意可设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 1 2 2 1 2

x y ? ?a +b =1(a>b>0),① x +x y -y 则可得? ①-②,并整理得 = .(*) a (y +y ) b (x -x ) x y ? ?a +b =1(a>b>0).②
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

1 ∵M 是线段 AB 的中点,且过点 M(1,1)的直线斜率为- , 2 ∴x1+x2=2,y1+y2=2,k=

y1-y2 1 1 1 2 2 2 =- ,∴(*)式可化为 2= 2,即 a =2b =2(a - x1-x2 2 a 2b

c2 1 c 2 c2),整理得 a2=2c2,即 2= .∴e= = .] a 2 a 2
1 6.解 (1)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为 y=- x+b.

m

? ? 2 +y =1, 由? 1 ? ?y=-mx+b,
2

x2

?1 1 ? 2 2b 2 消去 y,得? + 2?x - x+b -1=0. m ?2 m ?
1 x 4 2 2 因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点,所以 Δ =-2b +2+ 2>0, m 2 m ① 将 AB 中点 M?
2

mb mb 1 m +2 ?2 , 2 ? 代入直线方程 y=mx+ 解得 b=- 2 ② 2 ? 2 2m ?m +2 m +2?
6 6 或 m> . 3 3

2

2

由①②得 m<-

1 ? 6 ? ? 6? (2)令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?,则 m ? 2 2 ? ? ? 3 4 2 -2t +2t + 2 . 1 t2+ 2

|AB|= t +1?

2

22

t2+
且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t), 1 1 所以 S(t)= |AB|?d= 2 2

1 2

t2+1

.

2 2 ? 2 1? -2?t - ? +2≤ . 2? 2 ?

1 2 当且仅当 t = 时,等号成立. 2 故△AOB 面积的最大值为
2

2 . 2
2

7.解 (1)根据 c= a -b 及题设知 M?c, ?,2b =3ac. a

? ?

b2?

?

2

将 b =a -c 代入 2b =3ac,

2

2

2

2

c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a
1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线 段 MF1 的中点,故 =4, 即 b =4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|, 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,
?2(-c-x1)=c, ? ?x1=- c, ? 2 则? 即? ? ?-2y1=2. ?
2

b2 a

3

?y1=-1,

9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a -4a) 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 2 4a 4a 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7. 【一年模拟试题精练】
2 2

2

b? b? 2c ? ? 1.B [由题意知点 P 的坐标为?-c, ?,或?-c,- ?,因为∠F1PF2=60°,那么 2 a a

2

2

?

?

?

?

b a

= 3,∴2ac= 3b ,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为

2

3 ,选 B.] 3

23

2.D [∵x1+x2=- ,x1x2=- , ∴x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=
2 2 2

b a

c a

a2+2ac-c2 2 =-(e-1) +2∈(1,2),选 D.] a2

3.B [如图,过 B 作 BM⊥AE 于 M,过 C 作 CN⊥DF 于 N,易知 BM⊥平面 AEFD,CN⊥平 面 AEFD,则∠BPM=θ 1,∠CPN=θ 2,由 θ 1=θ 2,可得 tan θ 1=tan θ 2,故 = ?

BM CN BN = PM PN PM

CN =定值,且此定值不为 1,故 P 点的轨迹为圆.] BM
2 4a-a +1 1? 1 ? 2 4.A [由题意得到 a>1,所以椭圆的离心率 e = =1+ ? -a?(a>1)递减,则 4a 4? a ?

随着 a 的增大,离心率 e 越小,所以椭圆越接近于圆,故选 A.] 5.B [∵ 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 ∴a>b>0,a<2b, 它对应的平面区域如图中阴影部分所示:

x2 y2 a b

3 , 2

x2 y2 3 S阴影 则方程 2+ 2= 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 P= = 1- a b 2 S矩形
1 1 1 ?(1+3)?2+ ? ?1 2 2 2 15 = ,故选 B.] 2?4 32 6. + =1 9 8

x2 y2

c 1 2 2 2 [由题意得 2a=6,故 a=3,又离心率 e= = ,所以 c=1,b =a -c a 3 x2 y2

=8,故椭圆方程为 + =1.] 9 8 7. 1 x y b 2ac [根据题意可得直线 AB2: + =1,直线 B1F:y= (x-c),联立解得 x= , 2 -a b c a-c

24

又因为直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上,所以有

2ac a 2 = ,整理得 a -ac- a-c c

2

1 1 1 2 2 2c =0,即 2e +e-1=0,解得 e=-1 或 ,而椭圆的离心率 0<e<1,故 e= ,故答案为 .] 2 2 2

?2c=2 a -b =4, 2 2 8.解 (1)由已知可得? 解得 a =6,b =2. ?a= 3b,
2 2

∴椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)由(1)可得,F 点的坐标是(2,0). 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,

x2 y2

x=my+2, ? ? 2 2 2 2 2 2 得?x y 消去 x,得(m +3)y +4my-2=0,其判别式 Δ =16m +8(m +3)>0. + = 1. ? ?6 2
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 12 . m +3
2

-4m -2 ,y1y2= 2 . 2 m +3 m +3

设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为?

2m ? ? 26 ,- 2 ?. m + 3 m + 3? ?

∵TF⊥PQ,所以直线 FT 的斜率为-m,其方程为 y=-m(x-2). 当 x=t 时,y=-m(t-2),所以点 T 的坐标为(t,-m(t-2)), -m(t-2) m(2-t) 此时直线 OT 的斜率为 ,其方程为 y= x,

t

t

将 M 点的坐标?

2m ? -2m m(2-t) 6 ? 26 ,- ? 2 .解得 t=3. 2 ?代入上式,得m2+3= t m +3 ?m +3 m +3? 考点 28 双曲线

【两年高考真题演练】 1. B [由双曲线定义||PF2|-|PF1||=2a, ∵|PF1|=3, ∴P 在左支上, ∵a=3, ∴|PF2| -|PF1|=6,∴|PF2|=9,故选 B.] 2.C [由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点 1 均在 y 轴上,但 D 项渐近线为 y=± x,只有 C 符合,故选 C.] 2 3.D [焦点 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐近线方程为 x - =0,将 x 3 =2 代入渐近线方程得 y =12,y=±2 3,∴|AB|=2 3-(-2 3)=4 3.选 D.]
2 2

y2

c 5 4.B [因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4, a 4

25

x2 y2 b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为 - =1,故选 B.]
16 9

x ? ? -y2=1, 2 2 2 5.A [由题意知 M 在双曲线 C: -y =1 上,又在 x +y =3 内部,由? 2 得 2 2 2 ? ?x +y =3, x2 y=±
3 3 3 ,所以- <y0< .] 3 3 3

2

6.A [由于双曲线焦点在 x 轴上,且其中一个焦点在直线 y=2x+10 上,所以 c=5. 又因为一条渐近线与 l 平行,因此 =2,可解得 a =5,b =20,故双曲线方程为 - =1, a 5 20 故选 A.] 7.A [设椭圆长半轴为 a1,双曲线实半轴长为 a2,|F1F2|=2c, 由余弦定理 4c = |PF1| + |PF2| - 2|PF1||PF2|cos |PF2||=2a2 可得 a1+3a2=4c . 令 a1=2cos θ ,a2= 2c 3 2 sin θ ,
2 2 2 2 2 2

b

2

2

x2

y2

π ,而 |PF1| + |PF2| = 2a1 , ||PF1 - 3

即 + =2cos θ +

a1 a2 c c

1 ? ? sin θ =2?cos θ + sin θ ? 3 ? ? 3



π? 4 3? 3 4 3 1 ? 4 3 ? sin?θ + ?.故最大值为 ,故选 A.] ? cos θ + sin θ ?= 3? 3 ?2 3 ? 2 ? 3

8.A 9.A [由题意,可得双曲线 C 为 - =1,则双曲线的半焦距 c= 3m+3.不妨取右 3m 3 焦点( 3m+3,0),其渐近线方程为 y=± 3m+3 = 3.故选 A.] 1+m 1

x2

y2

m

x,即 x± my=0.所以由点到直线的距离公式

得 d=

sin θ 2 10.A [可解方程 t cos θ +tsin θ =0,得两根 0,- .由题意可知不管 a=0 cos θ 还是 b = 0 ,所得两个点的坐标是一样的.不妨设 a = 0 , b =- sin θ ,则 A(0 , 0) , cos θ

2 sin θ sin θ ? sin θ ? , 2 ? ,可求得直线方程 y =- B ?- x ,因为双曲线渐近线方程为 y = cos θ ? cos θ cos θ ?

sin θ ± x,故过 A,B 的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选 A.] cos θ 11. 3 2 [ 由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y = x ,直线 OB 的方程为 y =- x. 由

b a

b a

26

b ? ?y= x, b 2 得 x =2p ? x, ? a a ? ?x2=2py,
2 2pb 2pb ?2pb,2pb ? ∴x= ,y= 2 ,∴A? 2 ?. 2

a

a

? a

a ? p?

设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F?0, ?, ? 2? 2pb ∴kAF=
2

?

a

2

2pb

- 2 .

p

a
∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF?kOB=-1, - a 2 ? b? b2 5 ∴ ??- ?=-1,∴ 2= . 2pb a 4 ? a?
2

2pb

2

p

a
设 C1 的离心率为 e,则 e = 2= 3 ∴e= .] 2 12. - =1 y=±2x [双曲线 -x =1 的渐近线方程为 y=±2x.设与双曲线 - 3 12 4 4
2

c2 a2+b2 5 9 =1+ = . 2 a a 4 4

x2

y2

y2

2

y2

y2 x2=1 有共同渐近线的方程为 -x2=λ ,
4 2 2 又(2,2)在双曲线上,故 -2 =λ ,解得 λ =-3. 4 故所求双曲线方程为 -x =-3,即 - =1.所求双曲线的渐近线方程为 y=±2x.] 4 3 12 13. 5 2 [由双曲线方程可知,它的渐近线方程为 y= x 与 y=- x,它们分别与 x-3y
2

y2

2

x2

y2

b a

b a

+m=0 联立方程组,解得 A?

? -am , -bm ?,B? -am , bm ?. ? ? ? ?a-3b a-3b? ?a+3b a+3b?

由|PA|=|PB|知,可设 AB 的中点为 Q,

? -am + -am -bm + bm ? 则 Q?a-3b a+3b a-3b a+3b?, ? ? , 2 2 ? ?
由 PQ⊥AB,得 kPQ?kAB=-1,
2

c 5 c 5 2 2 2 2 解得 2a =8b =8(c -a ),即 2= .故 = .] a 4 a 2
【一年模拟试题精练】
27

1.C [因为双曲线的渐近线与直线 3x-y+ 3=0 平行,所以 = 3,所以离心率 e =2,故选 C.] 2. A [由抛物线定义可得 M 点到准线的距离为 5, 因此 p=8, 故抛物线方程为 y =16x, 4 1 1 所以 M(1,4),点 A(- a,0),由 AM 的斜率等于渐近线的斜率得 = ,解得 a= , 9 1+ a a 故答案为 A.]
2

b a

b 1 x y 2 2 3.A [由题意知: = ,c=5,所以 a =20,b =5,则双曲线的方程为 - =1,故 a 2 20 5
选 A.]

2

2

a2-b2 a2+b2 3 2 2 4.B [由题意知, ? = ,所以 a =2b ,则 C1,C2 的离心率分别为 e1 a a 2
= 2 6 ,e2= ,故选 B.] 2 2 5.C [由题意知双曲线的一个焦点为(0,2),所以焦点在 y 轴上,故选 C.] 6.C

? ? [因为点 A 到抛物线 C1 的准线距离为 p,所以 A? ,±p?,则双曲线的渐近线的方 2 ? ?
p b a

程为 y=±2x,所以 =2,则离心率 e= 5,故选 C.] 7.C 为 [由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近方程为 y= x,则 F2 到渐近线的距离

a b

bc =b.设 F2 关于渐近线的对称点为 M,F2M 与渐近线交于 A,∴|MF2|=2b,A 为 F2M a2+b2

的中点,又 O 是 F1F2 的中点, ∴OA∥F1M,∴∠F1MF2 为直角,∴△MF1F2 为直角三角形,∴由勾股定理得 4c =c +4b , ∴3c =4(c -a ),∴c =4a ,∴c=2a,∴e=2.故选 C.] 8.B [∵c=1,|AF2|=|F1F2|=2= +xA=1+xA, 2 ∴xA=1,∴A(1,2). 由|AF1|= (1+1) +2 =2 2,即 2a=2 2-2? a= 2-1, ∴e= 2+1,选 B.]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

p

28

9.C [连 OT,则 OT⊥F1T, 在直角三角形 OTF1 中,|F1T|= OF1-OT = c -a =b, 1 连接 PF2,M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,∴OM= PF2, 2 1 ∴|MO|-|MT|= PF2- 2
2 2 2 2

?1PF1-F1T?=1(PF -PF )+b=1?(-2a)+b=b-a.故选 C.] ?2 ? 2 2 1 2 ? ?
10.A [∵|OF|=c,|OE|=a,OE⊥EF,∴|EF|= c -a =b, → 1 → → ∵OE= (OF+OP), 2 ∴E 为 PF 的中点,|OP|=|OF|=c,|PF|=2b, 设 F′(c,0)为双曲线的右焦点,也为抛物线的焦点, 则 EO 为三角形 PFF′的中位线, 则|PF′|=2|OE|=2a,可令 P 的坐标为(m,n), 则有 n =4 cm, 由抛物线的定义可得|PF′|=m+c=2a,
2 2 2

m=2a-c,n2=4c(2a-c),
又|OP|=c,即有 c =(2a-c) +4c(2a-c), 化简可得, c -ac-a =0, 由于 e= , 则有 e -e-1=0, 由于 e>1, 解得, e= 故选 A.] 11. 3 2 3 12. 3 [由题意知 e=
2 2 2 2

c a

2

5+1 . 2

a2+9 =2,(a>0),由此可以求出 a 的值 3.] a

[双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(c,0),(-c,0),渐近线方程

x2 y2 a b

为 y=± x,则(c,0)到 y= x 的距离 d=

b a

b a

|bc|

a +b

2

2



bc =b, c2

1 又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 , 4

29

1 2 2 2 2 2 ∴b= ?2c,两边平方,得 4b =c ,即 4(c -a )=c , 4

c 4 4 2 3 2 2 2 ∴3c =4a , 2= ,即 e = ,e= .] a 3 3 3
13.1+ 3 [设正六边形 ABCDEF 的边长为 1,中心为 O,以 AD 所在直线为 x 轴,以 O

2

为原点,建立直角坐标系,则 c=1,

? 1? 2 2 2 在△AEF 中,由余弦定理得 AE =AF +EF -2AF?EFcos 120°=1+1-2?1?1??- ? ? 2?
=3, ∴AE= 3,2a=AE-DE= 3-1, ∴a= 3-1 , 2 1 3-1 2 = 3+1.]

∴e= =

c a

考点 29 抛物线 【两年高考真题演练】 1.A [由图象知

S△BCF |BC| xB = = ,由抛物线的性质知|BF|=xB+1,|AF|=xA+1,∴xB S△ACF |AC| xA S△BCF |BF|-1 = .故选 A.] S△ACF |AF|-1 a a

=|BF|-1,xA=|AF|-1,∴
2 2

x y b 2b 2. D [双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, 又渐近线过点(2, 3), 所以 = 3, a b
即 2b= 3a,① 抛物线 y =4 7x 的准线方程为 x=- 7,由已知,得 a +b = 7,即 a +b =7②, 联立①②解得 a =4,b =3,所求双曲线的方程为 - =1,选 D.] 4 3 3.D [
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

?y1=4x1, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则? 2 相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), ?y2=4x2, ? 30

2

当 l 的斜率不存在时,符合条件的直线 l 必有两条;当直线 l 的斜率 k 存在时,如图

y1+y2 y1-y2 x1≠x2,则有 ? =2,即 y0?k=2, 2 x1-x2
由 CM⊥AB 得,k?

y0-0 =-1,y0?k=5-x0,2=5-x0,x0=3, x0-5
2 2

即 M 必在直线 x=3 上,将 x=3 代入 y =4x,得 y =12, ∴-2 3<y0<2 3,因为点 M 在圆上,∴(x0-5) +y0=r ,r =y0+4<12+4=16,又
2 y2 0+4>4,∴4<r <16,∴2<r<4.故选 D.] 2 2 2 2 2

p 1 1 2 4.A [由抛物线方程 y =x 知,2p=1, = ,即其准线方程为 x=- .因为点 A 在抛 2 4 4 p 1 5 1 物线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+ =x0+ ,于是 x0=x0+ ,解得 x0=1,故选 A.] 2 4 4 4
5.A [抛物线 x =4y 的准线方程为 y=-1.]
2

?3 ? 6.C [由已知得焦点 F 为? ,0?, ?4 ?
则过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y= 3? ? ?y= 3? ?x-4?, 3 ? ? 联立方程? 2 ? ?y =3x, 21 9 2 消去 y 得 x - x+ =0. 2 16 21 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= . 2 又直线 AB 过焦点 F, 3 21 3 ∴|AB|=x1+x2+ = + =12.故选 C.] 2 2 2 7.D [由题意可知准线方程 x=- =-2,∴p=4,∴抛物线方程 y =8x.由已知易得 2 过点 A 与抛物线 y =8x 相切的直线斜率存在,设为 k,且 k>0,则可得切线方程为 y-3=
?y-3=k(x+2), ? 2 k(x+2).联立方程? 2 消去 x 得 ky -8y+24+16k=0.(*) ? ?y =8x,
2

3? 3? ?x-4?. 3? ?

p

2

1 由相切得 Δ =64-4k(24+16k)=0,解得 k= 或 k=-2(舍去),代入(*)解得 y=8, 2 把 y=8 代入 y =8x,得 x=8,即切点 B 的坐标为(8,8),又焦点 F 为(2,0),故直线 BF 4 的斜率为 .] 3
2

31

8.2 2

[由于双曲线 x -y =1 的焦点为(± 2,0),故应有 = 2,p=2 2.] 2

2

2

p

8 2 9.解 (1)设 Q(x0,4),代入 y =2px 得 x0= .

p

8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p

p 8 5 8 由题设得 + = ? ,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 2 p 4 p
所以 C 的方程为 y =4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y =4x 得 y -4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m +1,2m), |AB|= m +1|y1-y2|=4(m +1). 1 2 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m +3.
2 2 2 2 2 2

m

4 2 2 2 将上式代入 y =4x,并整理得 y + y-4(2m +3)=0.

m

4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,

m

y3y4=-4(2m2+3).
2? 2 ?2 故 MN 的中点为 E? 2+2m +3,- ?,

?m

m?

|MN|=

1 4(m +1) 2m +1 1+ 2|y3-y4|= . 2

2

2

m

m

1 由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 2 2 2 从而 |AB| +|DE| = |MN| ,即 4 4 2 2?2 ? 2 ? ? 2 2 4(m +1) +?2m+ ? +? 2+2?

?

m?
2

?m

?



4(m +1) (2m +1) . 4

2

2

m

化简得 m -1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 【一年模拟试题精练】 1.B [因为抛物线的焦点 F(a,0)(a<0),开口向左,所以抛物线的标准方程为 y =
2

2

32

4ax,故选 B.] 2.D [由题意知 1+ =3,∴p=4,所以焦点到准线的距离为 4,故选 D.] 2

p

3.C

? ?c=p [根据题意得:? 2 c 4 ?a -b =1 ?a +b =c
2 2 2 2 2

bc =2 a2+b2
解得:c=2 2,则 2p=8 2 ,所以抛物线方程为

2

y2=8 2x,故选 C.]
4. 1 1 1 1 1 2 [抛物线的标准方程为 x = y,则准线方程为 y=- =- ,∴a= .] 2 a 4a 2 2

? ? 2 5.8 x=-4 [抛物线 C:y =2px 的焦点为? ,0?在直线 x+2y-4=0 上,则 p=8, ?2 ?
p C 的准线方程为 x=-4.]
6. -12 [由题意可得 =

c a

a2+4 3 5 = , ∴a= 5, ∴c=3, 所以双曲线的左焦点为(- a 5 m

3,0),再根据抛物线的概念可知 =-3,∴m=-12.] 4 1 2 ? 1? 7.1 [设 B(x1,y1),因为 y= x ,所以 y′=x,y′|x=x1=x1=1,可得 B?1, ?, 2 ? 2? 1 1 ? 1? ? 1? 因为 F?0, ?,所以直线 l 的方程为 y= ,故|AF|=|BF|= -?- ?=1.] 2 2 2 ? 2? ? ? 8.证明 1 2 (1)由抛物线 C:x =2y 得,
2

y= x2,则 y′=x,
∴在点 P(m,n)处切线的斜率 k=m, ∴切线方程是 y-n=m(x-m),即 y-n=mx-m . 又点 P(m,n)是抛物线上一点∴m =2n, ∴切线方程是 mx-2n=y-n,即 mx=y+n(也可联立方程证得) (2)直线 MF 与直线 l 位置关系是垂直. 由(1)得,设切点为 P(m,n),则切线 l 的方程为 mx=y+n,
2 2

? ? ∴切线 l 的斜率 k=m,点 M? ,0?,
n ?m

?

? 1? 又点 F?0, ?, ? 2?

33

1 -0 2 m m 1 此时,kMF= =- =- =- , n 2n 1 2 m 0- 2? m m 2

? 1? ∴k?kMF=m??- ?=-1, ? m?
p?
∴直线 MF⊥直线 l. 9.解 (1)F?0, ?,当 l 的倾斜角为 45°时,l 的方程为 y=x+ , 2 ? 2?

?

p

p ? ?y=x+ , 2 得 x2-2px-p2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),? ? ?x2=2py x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p

? 3 ? 得 AB 中点为 D?p, p?, ? 2 ?
AB 中垂线为 y- p=-(x-p),x=0 代入得 y= p=5,∴p=2.
(2)设 l 的方程为 y=kx+1,代入 x =4y 得 x -4kx-4=0, |AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k +4,AB 中点为 D(2k,2k +1), 1 S 令∠MDN=2α ,S=2α ? |AB|=α ?|AB|,∴ =α , 2 |AB|
2 2 2 2

3 2

5 2

D 到 x 轴的距离|DE|=2k2+1,
|DE| 2k +1 1 cos α = = 2 =1- 2 . 1 2k +2 2k +2 |AB| 2 1 π 2 当 k =0 时 cos α 取最小值 ,此时 α 取最大值 . 2 3 故
2

S π 的最大值为 . |AB| 3
考点 30 圆锥曲线的综合问题

【两年高考真题演练】 1.解 (1)由题意知 2a=4,则 a=2, 又 =

c a

3 2 2 2 ,a -c =b , 2

可得 b=1,所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 + =1. 16 4

x2

2

x2

y2

34

|OQ| (ⅰ)设 P(x0,y0), =λ ,由题意知 Q(-λ x0,-λ y0). |OP| 因为 +y0=1, 4 (-λ x0) (-λ y0) λ ?x0 2? 又 + =1,即 ? +y0?=1, 16 4 4 ?4 ? |OQ| 所以 λ =2,即 =2. |OP| (ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m -16=0, 由 Δ >0,可得 m <4+16k ,① 8km 4m -16 则有 x1+x2=- 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k 4 16k +4-m 所以|x1-x2|= . 2 1+4k 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 1 所以△OAB 的面积 S= |m||x1-x2| 2 = 2 16k +4-m |m| 2 1+4k 2 (16k +4-m )m =2 2 1+4k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 0

2

= 设

?4- m 2? m . ? 1+4k ?1+4k2 ? ?

2

2

m2
1+4k

2

=t,

将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, 由 Δ ≥0,可得 m ≤1+4k .② 由①②可知 0<t≤1, 因此 S=2 (4-t)t=2 -t +4t,故 S≤2 3, 当且仅当 t=1,即 m =1+4k 时取得最大值 2 3. 由(ⅰ)知,△ABQ 面积为 3S, 所在△ABQ 面积的最大值为 6 3. 2.解 (1)由题设可得 M(2 a,a),N(-2 a,a),或 M(-2 a,a),N(2 a,a). 又 y′= ,故 y= 在 x=2 a处的导数值为 a,C 在点(2 a,a)处的切线方程为 y-a 2 4 = a(x-2 a),即 ax-y-a=0.
2 2 2 2 2 2 2 2

x

x2

35

x2 y= 在 x=-2 a处的导数值为- a,C 在点(-2 a,a)处的切线方程为 y-a=- a
4 (x+2 a),即 ax+y+a=0. 故所求切线方程为 ax-y-a=0 和 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x -4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k1+k2=
2

y1-b y2-b + x1 x2 x1x2

2kx1x2+(a-b)(x1+x2) = =

k(a+b) . a

当 b=-a 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点 p(0,-a)符合题意. 2 2 3 3.解 (1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3 . c 3 又 =

c a

3 2 2 2 ,所以 a=2,b =a -c =1. 2

故 E 的方程为

x2
4

+y =1.

2

(2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=kx-2 代入 +y =1,得(1+4k )x -16kx+12=0. 4 3 8k±2 4k -3 当 Δ =16(4k -3)>0,即 k > 时,x1,2= . 2 4 4k +1
2 2 2

x2

2

2

2

4 k +1? 4k -3 从而|PQ|= k +1|x1-x2|= . 2 4k +1
2

2

2

又点 O 到直线 PQ 的距离 d=

2

k2+1


2

1 4 4k -3 所以△OPQ 的面积 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 2 4k +1 设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ=
2

4t 4 = . t +4 4 t+
2

t

36

4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,且满足 Δ >0. t 2 所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为

y=

7 7 x-2 或 y=- x-2. 2 2

? ? 4.解 (1)由题意知 F? ,0?, ?2 ?
p
设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|, 由抛物线的定义知 3+ =?t- ?, 2? 2 ? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由

?p+2t,0?. ? ? 4 ?

p ?

p?

p+2t
4

=3,解得 p=2.
2

所以抛物线 C 的方程为 y =4x. (2)①由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1. 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行,设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 2 代入抛物线方程得 y + y- =0,

y0

y0

y0

y0

64 32b 2 由题意 Δ = 2 + =0,得 b=- .

y0

y0

y0

4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2.

y0

y0

+y0 y0 yE-y0 4y0 当 y ≠4 时,kAE= =- , 2= 2 xE-x0 4 y0 y0-4 - y2 4 0
2 0

4

可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y0=4x0,整理可得 y=
2

4y0 (x-x0), y2 0-4

4y0 (x-1), y2 0-4

37

直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 ?1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? +1?=x0+ +2.
2

? x0

?

x0

设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,故 m= 设 B(x1,y1), 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由于 y0≠0,可得 x=- y+2+x0,

x0-1 . y0

y0

y0

8 2 代入抛物线方程得 y + y-8-4x0=0.

y0

8 所以 y0+y1=- ,

y0

8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4.

y0

x0

所以点 B 到直线 AE 的距离为

d=


? 4 +x +4+m?y0+ 8 ?-1? ? ? x0 0 y0? ? ? ? ? ?
1+ m
2

1 ? 4(x0+1) ? =4? x0+ ?.

x0

?

x0?

1 ? ? 1 1 ? ? 则△ABE 的面积 S= ?4? x0+ ??x0+ +2?≥16, ? x0 ? 2 ? x0? ? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成立.

x0

所以△ABE 的面积的最小值为 16. 【一年模拟试题精练】 1.解 (1)设 M(x,y),由题可得

y 1 x 2 ? =- , +y =1, x+2 x-2 4 4

y

2

所以点 M 的轨迹方程为 +y =1(x≠±2). 4 (2)点 O 到直线 AB 的距离为定值 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2), ① 当直线 AB 的斜率不存在时,则△AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA:y=x,
38

x2

2

x 2 2 将 y=x 代入 +y =1,解得 x=± 5, 4 5
2 所以点 O 到直线 AB 的距离为 d= 5; 5 ② 当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx +m 与 +y =1(x≠±2), 4 联立消去 y 得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, 8km 4m -4 x1+x2=- 2,x1x2= 2 , 1+4k 1+4k 因为 OA⊥OB,所以 x1x2+y1y2=0,x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, 即(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m =0, 4m -4 8k m 2 2 2 所以(1+k ) 2- 2+m =0,整理得 5m =4(1+k ), 1+4k 1+4k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

x

2 2

所以点 O 到直线 AB 的距离 d=

|m|

2 5 = , 5 1+k
2

2 综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值 5. 5 1 ? ?y=- x+b, 2 2 2. 解 (1)联立? ,消 x 并化简整理得 y +8y-8b=0. ? ?y2=4x, 依题意应有 Δ =64+32b>0,解得 b>-2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=-8,y1y2=-8b, 设圆心 Q(x0,y0),则应有 x0=

x1+x2
2

,y0=

y1+y2
2

=-4.

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r=|y0|=4, 又|AB|= (x1-x2) +(y1-y2) = (1+4)(y1-y2) = 5[(y1+y2) -4y1y2]= 5(64+32b). 8 所以|AB|=2r= 5(64+32b)=8,解得 b=- . 5 48 ?24 ? 所以 x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16= ,所以圆心为? ,-4?. 5 ?5 ? 2 ? 24? 2 故所求圆的方程为?x- ? +(y+4) =16. 5? ? (2)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b<0, 又 l 与抛物线交于两点,由(1)知 b>-2,所以-2<b<0,
2 2 2 2

39

1 |-2b| -2b 直线 l:y=- x+b 整理得 x+2y-2b=0,点 O 到直线 l 的距离 d= = , 2 5 5 1 3 2 所以 S△AOB= |AB|d=-4b 2 2+b=4 2 b +2b . 2

? 4? 3 2 2 令 g(b)=b +2b ,-2<b<0,g′(b)=3b +4b=3b?b+ ?, ? 3?
b g′(b) g(b)

?-2,-4? ? 3? ? ?
+ ?

- 0

4 3

?-4,0? ? 3 ? ? ?
- ?

极大

4 ? 4? 32 由上表可得 g(b)的最大值为 g?- ?= .所以当 b=- 时,△AOB 的面积取得最大值 3 ? 3? 27 32 3 . 9 3.解 (1)由题意知 c=1, 又 =tan 60°= 3,所以 b =3,

b c

2

x2 y2 a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为: + =1.
4 3 (2)设直线 PQ 的方程为:y=k(x-1)(k≠0),代入 + =1,得:(3+4k )x -8k x 4 3 +4k -12=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点为 R(x0,y0), 则 x0=
2

x2 y2

2

2

2

x1+x2

4k 3k = 2,y0=k(x0-1)=- 2 , 2 3+4k 3+4k

2

→ → → → → → → → → 由QP?TP=PQ?TP得:PQ?(TQ+TP)=PQ?(2TR)=0, 所以直线 TR 为直线 PQ 的垂直平分线, 3k 1 4k 直线 TR 的方程为:y+ 2=- (x- 2), 3+4k k 3+4k 令 y=0 得:T 点的横坐标 t= 2= 3+4k 3
2

k2

1 +4



k2

3 ? 1? 2 因为 k ∈(0,+∞),所以 2+4∈(4,+∞),所以 t∈?0, ?. k ? 4? 所以线段 OF 上存在点 T(t,0), → → → → ? 1? 使得QP?TP=PQ?TQ,其中 t∈?0, ?. ? 4?

40

4.解 (1)A(-a,0),B(a,0),设 P(x0,y0),则 2+ =1, a 4 依题意

x2 y2 0 0

y0 y0 1 2 ? =- ,得 a =8, x0+a x0-a 2 x2 y2

∴椭圆标准方程为 + =1. 8 4 (2)①当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y =kx+p,代入椭圆方程得 (1 +2k )x +4kpx+2p -8=0 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以Δ =16k p -4(1+ 2k )(2p -8)=8(4+8k -p )=0,即 4+8k =p . 设 x 轴上存在两个定点(s,0),(t,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为 4, 则 |ks+p| |kt+p| |k st+kp(s+t)+p | ? 2 = =4. k2+1 k2+1 k +1 即 (st + 4)k+p(s+t)=0(*),或(st + 12)k +(s+t)kp+8=0 (**) 由(*)恒成立,得?
? ?st+4=0 ?s+t=0 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,解得?

? ?s=2

? ?s=-2 或? (**)不恒成立. ?t=-2 ? ?t=2 ?

②当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 的方程为 x=±2 2时, 定点(-2,0)、F2(2,0)到直线 l 的距离之积(2 2-2)(2 2+2)=4. 综上,存在两个定点(2,0)、(-2,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为定值 4.

41


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