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2015届高考数学(理)一轮总复习讲义:1.1集合(人教A版)


第一节





考纲传真

1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系;能用自然语言、图

形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含 与相等的含义, 能识别给定集合的子集; 在具体情境中, 了解全集与空集的含义.3. 理解两个集合的并集与交集的

含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给 定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表 达集合间的关系及运算.

(见学生用书第 1 页)

1.集合的基本概念 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:若对? x∈A,都有 x∈B,则 A? B 或 B? A. (2)真子集:若 A? B,但? x∈B,且 x?A,则 (3)相等:若 A? B,且 B? A,则 A=B. (4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算及其性质 并集 图形 表示 符号 表示 性质 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} A∪?=A A∪A=A A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A∩?=? A∩A=A ?UA={x|x∈U,且 x? A} A∪(?UA)=U A∩(?UA)=? 交集 补集 或

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A∪B=B∪A A∪B=A ?B? A

A∩B=B∩A A∩B=A ?A? B

?U(?UA)=A

1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意实数 x,集合{x2+x,0}中都有两个元素( (2)任何集合都有两个子集( ) ) )

(3)集合{x|y= x-1}与集合{y|y= x-1}是同一个集合( (4)若 A∪B=A∩B,则 A=B( )

【解析】 (1)集合中的元素具有互异性, 故 x2+x≠0, 即 x≠-1, 且 x≠0. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(人教 A 版教材习题改编)若集合 M={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下面 结论中正确的是( A.{a}? M C.{a}∈M 【解析】 【答案】 ) B.a? M D.a?M ∵M={x∈N|x≤ 10}={0,1,2,3},∴a?M. D

3.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A}, 则 A∩B=( A.{1,4} C.{9,16} 【解析】 ) B.{2,3} D.{1,2} ∵A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},

∴B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}. 【答案】 A

4.(2011·安徽高考)集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4}, 则 S∩(?UT)等于( A.{1,4,5,6} C.{4} 【解析】 ∵?UT={1,5,6}, ) B.{1,5} D.{1,2,3,4,5}

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∴S∩(?UT)={1,5}. 【答案】 B

5.若集合 A={x|x<1},B={x|x≥a},且 A∩B=?,则实数 a 的取值范围 为( ) A.{a|a≤1} C.{a|a≥1} 【解析】 【答案】 B.{a|a<1} D.{a|a>1}

∵A∩B=?,∴a≥1,故选 C. C

(见学生用书第 1 页)

考向 1

集合的基本概念

【例 1】 (1)(2013·江西高考改编)若集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只 有一个元素,则 a=( A. 9 2 B. 9 8 ) C.0 D.0 或 9 8

(2)(2013·山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A} 中元素的个数是( A.1 C.5 【思路点拨】 ) B.3 D. 9 (1)分 a=0,a≠0 两种情况讨论;(2)用列举法把集合 B 中

的元素一一列举出来,注意元素的互异性. 【尝试解答】 (1)若集合 A 中只有一个元素,

则方程 ax2-3x+2=0 只有一个实根或有两个相等实根. 2 当 a=0 时,x= ,符合题意; 3 9 当 a≠0 时,由 Δ =(-3)2-8a=0 得 a= , 8 9 所以 a 的值为 0 或 . 8 (2)当 x=0,y=0,1,2 时,x-y=0,-1,-2;
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当 x=1,y=0,1,2 时,x-y=1,0,-1; 当 x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知,B 的元素为-2,-1,0,1,2.共 5 个. 【答案】 (1)D (2)C,规律方法 1 1.第(1)题集合 A 中只有一个元素,要

分 a=0 与 a≠0 两种情况进行讨论,此题易忽视 a=0 的情形;第(2)题易忽视集 合元素的互异性而误选 D. 2.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限 制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其它的集合. 变式训练 1 (2014·黄山质检)已知集合 A={x∈R|ax -3x+2=0},若 A
2

=?,则实数 a 的取值范围为________. 【解析】 ∵A=?,∴方程 ax2-3x+2=0 无实根,

2 当 a=0 时,x= 不合题意, 3 9 当 a≠0 时,Δ =9-8a<0,∴a> . 8 【答案】 【例 2】 ?9 ? ? ,+∞?考向 2 ?8 ? 集合间的基本关系

(2014·淮南模拟)已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+

1≤x≤2m-1},若 B? A,求实数 m 的取值范围. 【思路点拨】 【尝试解答】 分 B=?和 B≠?两种情况求解.

A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},

∵B? A,∴①若 B=?,则 2m-1<m+1,此时 m<2.

?2m-1≥m+1, ②若 B≠?,则?m+1≥-2, ?2m-1≤5.
应分 B=?和 B≠?两种情况讨论.

解得 2≤m≤3.

由①、 ②可得, 符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.,规律方法 2

1.B? A,

2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或 区间端点间的关系, 进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数 轴、Venn 图化抽象为直观. 变式训练 2
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若集合 M={x|x2+x-6=0}, N={x|ax+2=0, a∈R}, 且 M∩N

=N,求实数 a 的取值集合. 【解】 ∵M∩N=N,∴N? M,又 M={-3,2},

若 N=?,则 a=0. 若 N≠?,则 N={-3}或 N={2}, 2 所以-3a+2=0 或 2a+2=0,解得 a= 或 a=-1, 3 2 所以 a 的取值集合是{-1,0, }. 3 考向 3 集合的基本运算 (1)(2013·浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x- ) B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

【例 3】

4≤0},则(?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1]

(2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?
U

A)∩B=?,则 m 的值是________.
【思路点拨】 (1)先求?RS,化简集合 T,再借助数轴求(?RS)∪T.

(2)由(?UA)∩B=?,得 B? A,用判别式考查集合 B,再根据 B? A 分类求解. 【尝试解答】 4≤x≤1}, ∴(?RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. (2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B? A, 由方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ =(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,知 B≠ ?. ①若 Δ =0,则 m=1,B={-1},满足 B? A. ②若 Δ >0,B 中有两个元素,由 B? A 知,B={-1,-2}, ?- m+ ∴? ?m=2, =-3, 解得 m=2. (1) ∵ S= {x|x>-2} ,∴ ? RS ={x|x≤- 2} ,而 T = {x| -

综合①②知 m=1 或 m=2. 【答案】 (1)C (2)1 或 2,规律方法 3 1.在进行集合的运算时要尽可能

地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表

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示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 2.在解决有关 A∩B=?,A? B 等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定 先考虑?是否成立,以防漏解. 变式训练 3 ? ? x ?x? ? ?x+1 (2014·皖北协作区高三联考 ) 已知全集 U = R ,集合 A = )

? <0?,B={x|x2<1},则(?RA)∩B=( ?

A.(-1,0) C.(0,1) 【解析】 因为

B.[-1,0) D.[0,1)

x x+1

<0, 即 x(x+1)<0, 解得-1<x<0, 所以 A={x|-1<x<0},

所以?RA={x|x≤-1 或 x≥0}.由 x2<1,解得-1<x<1,B={x|-1<x<1},所以 (?RA)∩B={x|x≤-1 或 x≥0}∩{x|-1<x<1}={x|0≤x<1}. 【答案】 D

一种方法 Venn 图是研究集合的工具,借助 Venn 图和数轴即数形结合能使抽象问题 直观化,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. 两个防范 1.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集 的讨论,防止漏解. 2.在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性,否则很可能 会因为不满足“互异性”而导致结论错误. 两个结论 1.集合 A 中元素的个数记为 n,则它的子集的个数为 2n,真子集的个数为 2n-1,非空真子集的个数为 2n-2. 2.要注意五个关系式 A? B、A∩B=A、A∪B=B、?UA? ?UB、A∩(?UB)=?的 等 性 价 .

(见学生用书第 2 页)
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从近两年课标区高考试题看,集合间的关系与集合的运算是高考命题的重 点,常与函数、方程、不等式等知识结合命题,而以集合为背景的新定义题,则 是高考命题的热点. 创新探究之一 以集合为背景的新定义题

(2013·广东高考)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n}.令集合 S ={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若 (x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 【解析】 (特殊值法)因为(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,不妨令 x=2, )

y=3,z=4,w=1,
则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S, 故(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 的说法均错误,可以排除选项 A、C、D,故选 B. 【答案】 B

创新点拨:(1)本题以元素与集合的关系为载体,用附加条件“x,y,z∈X, 且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立”定义以三元实数组(x,y,

z)为元素的集合 S,通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力和知识迁移
能力. (2)考查集合的概念与表示,推理论证能力、数据处理能力和创新意识. 应对措施:(1)准确理解集合 S 是解决本题的关键,由 x,y,z∈X,x<y<

z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立说明 x,y,z 是互不相等的三个正实数.
(2)这是一道信息题,我们要充分利用题干与选择支提供的信息,用特殊值
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法求解,可化复杂为简单.

1.(2013·广东高考)设集合 M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,

x∈R},则 M∪N=(
A.{0} C.{-2,0} 【解析】 【答案】

) B.{0,2} D.{-2,0,2}

集合 M={0,-2},N={0,2},故 M∪N={-2,0,2},选 D. D ?x ? ? ≤1?,B={x|x2- ? ?

? ??1 2.(2013·湖北高考)已知全集为 R,集合 A= ?x?? ? ??2 6x+8≤0},则 A∩?RB=( A.{x|x≤0} C.{x|0≤x<2 或 x>4} 【解析】 ) B.{x|2≤x≤4}

D.{x|0<x≤2 或 x≥4} ?x ? ? ≤1? = {x|x≥0} , B = {x|x2 - 6x + 8≤0} = ? ?

A = ?x??

? ??1 ? ??2

{x|2≤x≤4},所以?RB={x|x<2 或 x>4},于是 A∩?RB={x|0≤x<2 或 x>4}. 【答案】 C

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