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高二必修五数学试题解三角形考卷2014


高二必修五数学试题解三角形考卷 2014-2015 学年度
一、选择题 1.在△ABC 中,三内角 A,B,C 成等差数列,b=6,则△ABC 的外接圆半径为 ( ) A.6 B.12 C.2 3 D.4 3 2.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a sin B cos C ? csin Bcos A ? b , 且 a ? b

,则 B ? ( A. ) B.

1 2

? 6

? 3

C.

2? 3

D. ?

5 6

3.要测量底部不能到达的珠江电视塔的高度,在珠江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙 两点分别测得塔顶的仰角分别为 45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙 两地连线所成的角为 120°,甲、乙两地相距 500 m,则电视塔在这次测量中的高度是( ).

A.100 2 m

B.400 m

C.200 3 m

D.500 m

4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? ( 3, ?1) , n ? (cos A,sin A) , 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A , B 的大小为( ). A.

? ? , 6 3

B.

2? ? , 3 6

C.

? ? , 3 6

D.

? ? , 3 3

2 5.在 ?ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则三角形一定是( ).

A.直角三角形 C.等腰直角三角形

B.等边三角形 D.钝角三角形 )

6.在 ?ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10, A ? 300 ,则角 B 等于( A. 105
0

B. 60

0

C. 15

0

0 0 D. 105 或15

7.已知 tan ? ? 2 , tan ? ? 3 ,且 ? 、 ? 都是锐角,则 ? + ? ? ( A、



? 4

B、

3? 4

C、

? 3? 或 4 4

D、 )

3? 5? 或 4 4

8.若锐角 ?ABC 中, C ? 2 B ,则 (A) ?0,2? (B)

?

3,2

?

c 的取值范围是( b
(C)

?

2, 3

?

(D)

?

2 ,2

?

9.若 ?ABC 为钝角三角形,三边长分别为 2,3, x ,则 x 的取值范围是 (A) (1,





5)

(B) ( 13,5 ) (D) (1, 5) ? ( 13,5) )

(C) ( 5, 13 )

10.在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? 1,则 ?ABC 是( (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法确定

11.已知 ?ABC 中, sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? ? sin B sin C ,则 A= (A) 60? (B) 90? (C) 150? (D) 120? ) (D)





12.在 ?ABC 中, a ? (A)

3 , b ? 1, B ?

?
6

, 则A ? (
2? 3

? 3

(B)

? 5? 或 6 6

( C)

? 2? 或 3 3
2

C 所对的边分别为 a , b, a sin A sin B ? b cos A ? 13. △ABC 的三个内角 A , c, B,


2a ,

b ?( a

) B. 2 2 C. 3 D. 2 3

A. 2

14. ?ABC 各角的对应边分别为 a , b, c ,满足 A. (0,

?
3

]

B. (0,

?
6

]

C. [

?
3

b c ? ? 1 ,则角 A 的范围是( a?c a?b
D. [



,? )

?

6

,? )

15.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2 sin C B. 2 cos B C. 2 sin B D. 2 cos C

c 为( b



16..在 ?ABC 中,已知 a ? 5 2, c ? 10, A ? 30? ,则角 C ? A. 30 17.在锐角 B. 45 C. 135 中,角 ,则 A. B. 、 、

135 D. 45 或
所对的边分别为 、 、 ,若 , 且

的面积为( ) C. D.

18. 设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a,b,c, 若 b cosC? ccosB ? asinA , 则 ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
0 19.在 ?ABC 中,若 b ? 2, A ? 120 ,三角形的面积 S ? 3 ,则三角形外接圆的半径为

A. 3

B.2

C. 2 3

D.4
2 2

20. 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c , 若 b ? c ? 3ac, sin A ? 2 3sin C , 则 B=( A.30° ) B.60° C.120° D.150°

21.在锐角 三角形 ABC 中,a , b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,若 ..

A ? 2B ,给出下列命题:



π π a ? B ? ;② ? ( 2, 3] ;③ a 2 ? b 2 ? bc .其中正确的个数是( ) . 6 4 b
B. 1
0

A. 0

C. 2

D. 3

22.在 ?ABC中,A ? 60 ,b ? 1, S ?ABC ? 3, 则

a?b?c ?( sin A ? sin B ? sin C



A.

8 3 3

B.

2 39 3

C.

26 3 3

D. 2 3

23.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上, 测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D,测得∠BDC=45°,则 塔 AB 的高是( )

A.10m

B.10

m

C.10

m

D.10 )

m

24.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 300 或600 C. 1200 或600 B. 450 或600 D. 300 或1500

25.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.



1 tan A

26.△ABC 中,若

a b ? ,则该三角形一定是( ) cos B cos A
B.直角三角形但不是等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

A.等腰三角形但不是直角三角形 C.等腰直角三角形

27. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a , b , c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? ( )

A. 2 3

B. 2

C. 2

D. 1

28.在 ?ABC 中, “ sin A ? A.充分不必要条件 C.充要条件

? 3 ”是“ A ? ”的( 3 2



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

29.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 3 , AC ? 4, ?B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积是( A. 4 3 B. 8 3 C. 4 3 或 8 3 D. 3

0 30.在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 3 , A ? 30 ,则 B 等于( )

A. 60 31.若

B. 60 或 120

C. 30 )
?

D. 30 或 150

sin A cos B cos C ? ? ,则 ? ABC 是( a b c

A.等边三角形 C.等腰直角三角形

B.有一个内角是 30 的直角三角形 D.有一个内角是 30 的等腰三角形
?

32.一个三角形的两个内角为 45°和 30°,如果 45°角所对的边长是 4,则 30°角所对的 边长为( ) A.2 6 B.3 6 C. 2 2 D. 3 2

33.△ ABC 的三个内角为 A , B , C ,若 大值为( ) B. 1 C.

sin A ? 3cos A 5 π sin C 的最 ,则 sin B ? ? tan 6 cos A ? 3sin A

3 A. 4

1 2

D. 2

二、填空题 34.△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=8,c=6,a=4,D 为边 BC 的中点,则|AD|=___________. 35.△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=8,c=6,A= ? ,∠BAC 的角 3 平分线交边 BC 于点 D,则|AD|=___________. 36 . 已 知 ?ABC 的 三 边 长 a , b, c 满 足 b ? c ? 2 a , c ? a ? 2b , 则 是 。

b 的取值范围 a

37.已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4 , CA ? 3 ,则角 C 的大小为 38.已知 a, b, c 为 ?ABC 的三边, B ? 120 ,则

a 2 ? c 2 ? a c? b 2 ?

39.如图,在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为 30°的斜坡走 1 000 米至 S 点, 又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高 BC 为 米.

40. ?ABC 中,已知 sin A ?

5 4 , cos B ? ,则 cos C ? 13 5



41.在 ?ABC 中, a cos B ? b cos A ? 2c cos A , tan B ? 3 tan C ,则 42.在 ? ABC 中, ?A ? 60 , BC ? 10 ,D 是 AB 边上的一点, CD ? 1,则 AC 边的长为_______.

AC = AB

.

2 ,△CBD 的面积为

43.锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a , b ,若 2a sin B ? b ,则角 A 等于 44.在△ ABC 中, ?A ?



? , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? _________. 3

45.在 ?ABC中,a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? 3ab, 则角C ? A. 150 B. 60 C. 30

135 D. 45 或

46.若在△ ABC 中,

sin A cos B cos C ? ? ,则△ ABC 的形状为_________ a b c

47.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 C ?

?

6

, a ?1,b ?

3 ,则

B ? ____________.
48.若满足 ?ABC ?

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围

是 . 49.在△ABC 中,a=2,则 b·cosC+c·cosB 的值为__________. 50.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ?
2 2 2 0 0

. )

51.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 中 , C. 2 3 D. ? 2 3

52 . ?ABC

A ? 60? , b ? 1 , 三 角 形 ABC 面 积 S ? 3 ,


a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

53.在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? 54.等腰△ABC 顶角的余弦为

. .

1 ,则底角的正弦值为 3

三、解答题 55. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。已

2 ,sin B ? 5 cos C 3 (1)求 tan C 的值;
知 cos A ? (2)若 a ?

2 ,求 ?ABC 的面积

56. (12 分)在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A 。 (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求 c 的值。 57 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

B ? C, 2b ? 3a.
(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ) cos(2 A ?

?
4

) 的值.

58. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边。

(1)若△ ABC 面积为

3 , c ? 2 , A ? 60 ,求 b, a 的值; 2
B 5 ? ,三边 a, b, c 成等比数列, 2 2
1 . 5

(2)若 a cos A ? b cos B ,试确定△ ABC 的形状,并证明你的结论。 59. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,cos ? A ? C ? ? 2 cos 求B 60.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边, AB ? 5 , cos ?ABC ? (1)若 BC ? 4 ,求△ABC 的面积 S△ABC; (2)若 D 是边 AC 中点,且 BD ? A D B C
2

7 ,求边 BC 的长. 2

61.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边, AB ? 5 , cos ?ABC ? (1)若 BC ? 2 ,求 sin ?ACB 的值; (2)若 D 是边 AC 中点,且 BD ? A D B C

1 . 5

7 ,求边 AC 的长. 2

62.已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3cos ? x sin ? x(? 0), f ( x) 的图象的两条相邻 对称轴间的距离等于

? , 在 ? ABC 中, 角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c, 若 a ? 3 , b+c=3, 2

f ( A) ? 1 ,求 ? ABC 的面积.
63.在 ? ABC 中,记角 A,B,C 的对边为 a,b,c,角 A 为锐角,设向量 m ? (cos A,sin A)

n(cos A,sin A) ,且 m ? n ?

1 . 2

(1)求角 A 的大小及向量 m 与 n 的夹角; (2)若 a ? 5 ,求 ? ABC 面积的最大值. 64 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 所 示 , 在 四 边 形 ABCD 中 , ?D ? 2?B , 且

AD ? 1, CD ? 3, cos B ?

3 . 3

(1)求△ ACD 的面积; (2)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长. 65. (1)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,其中 h 是边 AB 上的高,请同学们 利用所学知识给出这个不等式: a ? b ≥ c ? 4h 的证明.
2 2

(2) 在 ?ABC 中,h 是边 AB 上的高, 已知 ①求证: c ? 2h ; ②求此三角形面积的最大值.

cos B cos A 并且该三角形的周长是 12 ; ? ? 2, sin B sin A

66. (1)已知 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,a ? 4, b ? 4 3, A ? 30 ,则 B 等 于多少? (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 a ? 2, b ? 3, C ? 60 ,求边 AB 上
0

的高 h 是多少? 67.已知△ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c,若 cosA= 4 ,cosC= 8 . (1)求 cos B 的值; (2)若| AC + BC |= 46 ,求 BC 边上中线的长. 68.已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边份别为 a, b, c ,且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 69.设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 b ? 3, c ? 2, S?ABC ? (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)当角 A 钝角时,求 BC 边上的高. 70.在△A BC,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cos A cos C (tan A tan C ? 1) ? 1 . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ?
3 1

1 c ? b. 2

3 3 2

3 3 , b ? 3 ,求△A BC 的面积. 2

71.已知△ABC 的三顶点是 A(-1,-1) ,B(3,1) ,C(1,6) .直线 l 平行于 AB,交 AC, 1 BC 分别于 E,F,△CEF 的面积是△CAB 面积的 .求直线 l 的方程. 4

72.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (1)求 cos B 的值; (2)设函数 f ( x) ? sin ? 2x ? B ? ,求 f ?

3 b,B ?C . 2

?? ? ? 的值. ?6?

73.在 ?ABC 中,角 B 为锐角,已知内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量

B ? ? m ? 2 sin( A ? C ), 3 , n ? ? cos2 B,2 cos2 ? 1? 且向量 m, n 共线. 2 ? ?
(1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 1 ,且 S?ABC ?

?

?

3 ,求 a ? c 的值. 2

74.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=C, 2b= 3a . (Ⅰ)求 cos A 得值. (Ⅱ)求 cos ? 2 A ?

? ?

??

? 的值. 4? 3bc b ? c2 ? a2
2

75.已知锐角 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 tan A ? (1)求角 A 的大小: (2)求 cos B ? cos C 的取值范围. 76 . 在 △

ABC

中 , 角

A, B, C

所 对 的 边 分 别 为

a , b, c , 已

知. cosC ? (cos A ? 3 sin A) cos B ? 0 (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围. 77.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 C ? (1)求 sin B 的值; (2)若 c ? a ? 5 ? 10 ,求 ?ABC 的面积. 78.已知 ?ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边, 3bcos A ? ccosA+acos C . (1)求 cos A 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 2 2,a ? 3 ,求 b ,c 的长. 79.已知 ?ABC 中, a,b, c 为角 A,B,C 所对的边, 3bcos A ? ccosA+acos C . (1)求 cos A 的值;

3 5 . ? , sin A ? 4 5

(2)若 ?ABC 的面积为 2 2,a ? 3 ,求 b , c 的长. 80.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, a cosc ? (1)求 A; (2)若△ABC 的面积为

a sin C 3

?b ? 0 .

,求 bsinB+csinC 的最小值.

81.如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ?

1 10 ,cos ?ADC ? ? . 4 8

(1)求 sin ?BAD 的值; (2)求 AC 边的长. 82.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A, B, C 成等差数列 (1)若 b ? 2 3, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积 (2)若 sin A,sin B,sin C 成等比数列,试判断 ?ABC 的形状 83.叙述并证明余弦定理。 84.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积;
? ? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

,求a 、 sin B 的值. (2)若 c ? 1
85.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac .. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

(2)若 b ? 2,求?ABC 面积的最大值. 86.?ABC 中, 设 a 、b 、c 分别为角 A 、B 、C 的对边, 角 A 的平分线 AD 交 BC 边于 D , A ? 60? . (1)求证: AD ?

3bc ; b?c

(2)若 BD ? 2DC , AD ? 4 3 ,求其三边 a 、 b 、 c 的值.

87. 上.

OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 如图,在等腰直角三角 形?OPQ中, ?POQ ? 90? ,

(1)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 面积最小?并求出面积的最小值. 88.在 △ ABC 中, tan A ? (1)求角 C 的大小; (2)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长及 △ ABC 的面积. 89.已知△ABC 的三内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c, 设向量 m ? (a ? c, a ? b) , n ? (a ? b, c) , 且m / / n . (1)求∠B; (2)若 a ? 1, b ? 3, 求? ABC 的面积. 90 .已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,向量 m ? (a ? c, b ? a) , n ? (a ? c, b) ,且 m ? n . (1)求角 C 的大小; B 2 A ? 2 sin 2 ? 1 ,判断△ ABC 的形状. (2)若 2 sin 2 2 91.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 7 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 92.设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 取何值时, ?OMN 的

1 3 , tan B ? . 4 5

1 c?b. 2

?B ? 93. 如图, 在 △ ABC 中,

? 1 ,AB ? 8 , cos ?ADC ? . 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2 , 3 7

A

B

D

C

(1)求 sin ?BAD ; (2)求 BD,AC 的长. 94.已知向量 m ? (cos

x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n 2 2 2

(1)求 f ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上的零点;
2 (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 b ? ac ,求 f ( B ) 的取值范

围. 95.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 面积 S ? (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f ( x) ? 3 sin

3 ab cosC 2

x x x cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值,及取得最大值时角 B 的值. 2 2 2
o o

96.△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60 ,∠ADC=150 ,求 AC 的长及△ABC 的面积. A

B

2

D 1 C

97. 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得 塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为多少?

98.已知在△ABC 中,a= 5 ,b= 15 ,A=30°,求 c

99 . 已 知 向 量 a ? ? sin ? x, cos ? x ? , b ? cos ? x, 3 cos ? x ?? ? 0 ? , 函 数

r

r

?

?

r r 3 的最小正周期为 ? . f ? x? ? a ?b ? 2
(1)求函数 f ? x ? 的单调增区间; ( 2 ) 如 果 △ ABC 的 三 边 a、b、c 所 对 的 角 分 别 为 A, B, C , 且 满 足

b2 ? c2 ? a2 ? 3bc,求f ? A? 的值.
100.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ? 16 (1)若 a ? 4, b ? 5 ,求 cos C 的值; (2)若 sin A cos
2

B A ? sin B cos 2 ? 2sin C ,且 ?ABC 的面积 S ? 18sin C ,求 a 和 b 的 2 2
参考答案

1.C 【解析】 试题分析:因为 A、B、C 成等差数列,可知 B=60°,又 b=6 由正弦定理,2R=

b ? 6 ? 4 3 ,故 R=2 3 .选 C sin B 3 2

考点:等差数列,正弦定理 2.A 【解析】 试 题 分 析 : 由

1 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b 2



1 sin A sin B cos C ? sin C sin B cos A ? sin B, 因 为 s B 所 , 以 i ?n 0 2 1 ? 1 1 s A i n ? Cc o s A? c C sin o ? As? C ? ? s ,sin i n B ? , 又 a>b,则∠B= ,故选 A. ,即 6 2 2 2
考点:解三角形. 3.D 【解析】 试题分析:依题意设 AB ? x ,则 BC ? x, BD ? 3x ,在 ?BCD 中由余弦定理得方程

( 3x)2 ? x2 ? 5002 ? 2 ? x ? 500 ? cos120 ,解得 x ? 500 .
考点:余弦定理的应用 【答案】C 【解析】

试题分析:依题意 m ? n ,得 m ? n ? 0 ∴ tan A ? 利 用 正 弦 定 理 得

3, A ?

?
3

.由 a cos B ? b cos A ? c sin C , 即

sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2 C

sin( A ? B) ? sin 2 C ?sin C ? sin 2 C ?sin C ? 1 ∴ C ?
考点:向量基本概念及正弦定理的应用 5.B 【解析】

?
2

,B ?

? 4 16
63 7

.

试题分析:由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos B ? a2 ? c2 ? ac∴ (a ? c)2 ? 0 ? a ? c 故 选 B. 考点:余弦定理的应用 【答案】D 【解析】 试题分析:由正弦定理得 sinC= 考点:正弦定理的应用 7.B 【解析】
2 2

,故 C= 45 或 135 ∴B= 1050 或150 .

? ? ?) ? 试题分析: tan(
考点:两角和的正切公式 8.C 【解析】

3? tan? ? tan ? ? ?1 ,所以 ? ? ? ? ,答案选 B. 4 1 ? tan? ? tan ?

试题分析:因为 C ? 2 B ,所以 sin C ? sin 2 B ? 2 sin B cos B,? 由正弦定理

sin C ? 2 cos B sin B

c sin C ? ? 2 cos B b sin B

在锐角 ?ABC 中,

?

?
6

?B?

?
4

2

? C ? B ? 3B ? ? ,2 B ? C ?

?
2

所以 cos B ? ?

? 2 3? ? ? 2 , 2 ?,2 cos B ? ? ?

?

2, 3

?

所以

c 的取值范围是 b

?

2, 3 .

?

考点:倍角公式,正弦定理,余弦函数的单调性. 9.D 【解析】 试题分析:当 x 为最大边时, ?

?3 ? x ? 5
2 2 2 ?x ? 3 ? 2

,? 13 ? x ? 5

当 3 为最大边时, ?

?1 ? x ? 3
2 2 2 ?3 ? x ? 2

解得 1 ? x ?

5

综上: x 的取值范围 1 ? x ? 考点:余弦定理应用. 10.A 【解析】

5 或 13 ? x ? 5 ,所以答案 D.

试题分析:因为 tan A tan B ? 1,所以 1 ? tan A tan B ? 0 且 tan A ? 0, tan B ? 0 ,即 A, B 是锐角 所以 tan( A ? B ) ?

tan A ? tgB ?? ? ? 0 ,则 A ? B ? ? , ? ?, 即 C 都为锐角, 1 ? tan A tan B ?2 ?

所以 ?ABC 是锐角三角形. 考点:三角形形状的判断. 11.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc , 由 余 弦 定 理 变 形 得

cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 1 ? ?? 2bc 2bc 2

0 0 0 又因为 0 ? A ? 180 ,所以 A ? 120 .

考点:正余弦定理应用. 12.D 【解析】 试题分析:因为 a ? 3, b ? 1, a ? b ,所以 A ? B ,排除答案(C),由选项该三角形不可 能无解或一解,只能两解,答案为(D) ;当然也可用正弦定理,求出 sin A 再判断三角形解 得个数 考点:三角形解得个数 13.A 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 △ABC , a sin A sin B ? b cos A ?
2

2a , 由 正 弦 定 理 得

sin 2 A sin B ? sin B cos2 A ? 2 sin A , sin A(sin 2 A ? cos2 A) ? 2 sin A , 又 因 为
s i 2nA ? c o2 s A ? 1 ,所以 sin B ? 2 sin A ,得 b ? 2a ,所以
考点:正弦定理及同角三角函数的基本关系. 14.A 【解析】

b ? 2. a

试题分析:由

b c ? ? 1 , 得 b?a ? b? ? c?a ? c ? ? ?a ? c ??a ? b? , 整 理 得 a?c a?b

b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,由余弦定理得 cos A ?
考点:余弦定理的应用. 15.B 【解析】

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ?? ? ? ,? A ? ? 0, ? . 2bc 2bc 2 ? 3?

试题分析:由正弦定理,得 sin C ? sin 2 B ? 2 sin B cos B ,? 案为 B. 考点:正弦定理的应用. 16.D 【解析】

c sin C ? ? 2 cos B ,故答 b sin B

0 试题分析:因为 a ? 5 2, c ? 10, A ? 30? , a ? c, 所以 A ? C , C ? 30 , 根据正弦定理

a c 5 2 10 2 ? 135 得, ,解得 sin C ? ,所以 C ? 45 或 ? 0 sin A sin C 2 sin C sin 30
考点:三角形解得个数及正弦定理 17.A 【解析】 试题分析:在锐角 ?ABC 中, c sin A ?

3a cosC ,由正弦定理得,

所以 C ? sin C sin A ? 3 sin A cosC, 解得tanC ? 3,
又因为 B ?

?
3

?
3

,所以 ?ABC 是等边三角形, s ?ABC ?

1 ? ? 2 ? 2 sin ? 3 2 3

考点:正弦定理与三角形面积公式 18.A 【解析】 试题分析:因为 bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理可得:sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,所以 sin (B+C)=sin2A,即 sinA=sin2A,A 为三角形内角,所以 sinA=1,A= 角形.故选 A. 考点:正弦定理. 19.B 【解析】 试题分析:由面积公式,得 S?

? ,所以三角形是直角三 2

1 bc sin A , 代 入 得 c ? 2 , 由 余 弦 定 理 得 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 cos1200 ? 12,故 a ? 2 3 ,由正弦定理,得 2 R ?

a 2 3 ,解 ? sin A 3 2

得 R ? 2, 故答案为 B. 考点:1、三角形的面积公式应用;2、余弦定理的应用;3、正弦定理的应用. 20.A 【解析】 试 题 分 析 : ∵ sin A ? 2 3sin C , ∴ a= 2 3 c , ∵ b ? c ? 3ac , ∴
2 2

a ?c ?b 2 3ac ? 3ac cosB= ? 2ac 2ac
? 3 ,∴B=30°,故选 A. 2

2

2

2

考点:余弦定理的应用. 21.C 【解析】 试题分析:在锐角 三角形 ABC 中, ? A ? B ? ? ,又因为 A ? 2 B .所以 ? 3B ? ? 即 .. 2 2

?

?

π π ?B? , 6 4


π π a sin A 2 3 ? ? 2 cos B , ? B ? ,所以 , 2 ? 2 cos B ? 3 ? cos B ? 6 4 b sin B 2 2

∵a2=b2+c2-2bccosA, ∵b2+c2-2bccosA-(b2+bc) =c2-2bccosA-bc =c(c-2bcosA-b) =c2R(sinC-2sinBcosA-sinB) =2Rc(sin3B-2sinBcos2B-sinB) =2Rc(sinBcos2B+cosBsin2B-2sinBcos2B-sinB) =2Rc(cosBsin2B-sinBcos2B-sinB) =0 ∴a2=b2+bc. ∴①③对. 故选:C. 考点:锐角三角形的特点;考查三角形的正弦定理、余弦定理 22.B 【解析】 试题分析:根据三角形的面积公式,求出 c,然后利用余弦定理即可得到 a 的值.

解答:解:∵A=60°,b=1,△ABC 的面积为 3

∴S△=

1 1 3 bcsinA , 3 ? ? 1 ? c ? ,解得 c=4, 2 2 2 1 =13, 2

则由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos60°=1+16-2×4× 即 a= 13 所以

a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2

考点:正弦定理和余弦定理的应用,合比性质. 23.D 【解析】 试题分析:设塔高为 x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x, 从而有 BC =

3 2 3 x ,AC = x 3 3
BC CD ? sin ?BDC sin ?CBD

在△BCD 中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30° 由正弦定理可得,

可得,BC =

10sin 450 3 ? 10 2 = x 0 3 sin 30

解 得 x ? 10 6 考点:正弦定理在实际问题中的应用,把实际问题转化为数学问题 24.D 【解析】 试题分析:由 b=2asinB,运用正弦定理,得 sinB=2sinAsinB,因为 sinB≠0, 得 sinA=

1 0 0 ,所以 A= 30 或150 .故选 D. 2

考点:正弦定理. 25.A 【解析】 试题分析:若 A 为△ABC 的内角,则 0 ? A ? ? ,所以可知,只有 s 考点:三角函数值的象限符号. 26.D 【解析】 试 题 分 析 : 由

A i >0 n .故选 A.

a b ? cos B cos A





a c ? b c

o Bs ? o As



sA i n 得 sB i n

sin A ? cos A ? sin B ? cos B ? sin 2 A ? sin 2 B ? A ? B 或 A ? B =
考点:正弦定理和余弦定理的应用 27.B. 【解析】

?
2

,选 D.

2sin A cos 试题分析:∵ B ? 2 A ,∴ sin B ?sin2 A ?
又∵ A ? (0, ? ) ,∴ A ?

A ,∴ cos A ?

sin B b 3 , ? ? 2sin A 2 a 2
2 2

?
6

, B ? 2A ?

?
3

,C ? ? ? A? B ?

?
2

,∴ c ? a ? b ? 2 .

考点:正余弦定理解三角形. 28.A. 【解析】 试题分析:在 ?ABC 中,∵ A ? (0, ? ) ,∴若 sin A ? 必要条件. 考点:正弦定理的运用. 29.C 【 解 析 】 试

? 5? 3 ,则 ? A ? ,因此是充分不 3 6 2





















AB AC AB sin B ? ,sin C ? ? sin C sin B AC

4 3?

1 2 ? 3 , C ? 600 或1200 4 2



B ? 1800 ? (A? C) ? 900 或300 ,故选 C .
考点:1.正弦定理;2.三角形的面积. 30.B 【解析】 试题分析: 由正弦定理得

2 2 3 3 , 解得 sin B ? , 又b ? a , 则 B 等 60 或 120 。 ? ? sin 30 sin B 2

考点:正弦定理的应用。 31.C 【解析】 试题分析:由正弦定理 sinA:a=sinB:b=sinC:c,由已知 sinA:a=cosB:b=cosC:c, 得 sinB=cosB,sinC=cosC,因为 A+B+C=180 度,所以 B=C=45 度,A=90 度,所以△ABC 的形 状是等腰直角三角形.故选 C. 考点:正余弦定理 32.C 【解析】 试题分析:设所求边长为 x,由 考点:正弦定理. 33.C

4 x ? ,解得 x=2 2 .故选 C. sin 45 sin 30

【解析】 试题分析: 因为 tan

sin A ? 3 cos A 3 5? ? 3 c s , 所以 , 故o ? tan(? ? ) ? ? ?? 6 6 3 3 cos A ? 3 sin A

A 0? ,

又因为 0 ? A ? ? ,则 A ?

?
2

,故 sin B ? sin C = sin B cos B =

1 1 sin 2 B ? . 2 2

考点:1、诱导公式;2、正弦二倍角公式. 34. 46 【解析】 试题分析:由余弦定理,cosB=
2 2

6 2 ? 4 2 ? 82 1 ?? 2?6? 4 4
2

于是,在△ABD 中,|AD| =6 +2 -2×6×2cosB=46 即|AD|= 46 考点:余弦定理,解三角形 35. 24 3 7 【解析】 试题分析:法一:由余弦定理,|BC| =8 +6 -2×8×6×cos ? =52,即|BC|=2 13 3
2 2 2

在△ABC 中,根据角平分线性质,有 AB:AC=BD:CD 故|BD|= 6 13 , 7 再由|AC| =|AB| +|BC| -2|AB||BC|cos∠ABC 可得 cos∠ABC= 1 13 于是 | AD |? | AB |2 ? | BD | 2 ?2| AB || BD |cos ?ABC ? 24 3 7 法二:在 AC 上取|AE|=|AB|=6,连结 BE,则△ABE 为等边三角形 A
2 2 2

B

F D

E C

记 AD 与 BE 的交点为 F 在△BEC 中,由余弦定理可得|BC|=2 13 再由正弦定理: 可得 sin∠EBC=
EC BC ? sin ?EBC sin ?BEC

3 ,进而 tan∠EBC= 3 7 3 13

所以,在 Rt△BFD 中,|FD|=3× 3 = 3 3 7 7 又|AF|=3 3 ,故|AD|= 3 3 ? 3 3 ? 24 3 7 7 考点:余弦定理,解三角形,三角形角平分线性质 36.

2 b 3 ? ? 3 a 2

【解析】 试题分析:由三角形三边之间的关系结合题设条件消去 c 得到 a 和 b 的不等关系式, a ? b ? b ? 2a ,且

a ? b ? 2b ? a ,从而得到
考点: 不等式的综合应用 37. 60 ; 【解析】 试 题 分 析 :

2 b 3 ? ? . 3 a 2







?ABC









3

3



1 3 ?C ? 60 . BC ? AC ? sin C ? 3 3 ? sin C ? 2 2
考点:三角形面积公式的应用 38.0 【解析】
2 2 2 2 2 试 题 分 析 : 由 余 弦 定 理 的 b ? a ? c ? 2a ccos120 ? a ? c ? a c 故

a 2 ? c 2 ? a c? b2 ? 0.
考点:余弦定理的应用 【答案】1000 米 【解析】 试题分析:由图知 ?BAS ? 45 ? 30 ? 15 , ?ABC ? 45 ?15 ? 30
1000 AB ? sin135 ? AB ? 1000 2 ? BC ? ??ASB ? 135 ,由正弦定理得 , sin 30 AB 2

? 1000 .

考点:解三角形和正弦定理 40. ?

33 65 5 4 , cos B ? , 13 5

【解析】 试题分析:在 ?ABC 中,已知 sin A ?

3 ,且 B 为锐角; 5 则有 sin B ? sin A ,则 B ? A ;
则 sin B ?

故 A、B 都是锐角,且 cos A ?

12 3 , sin B ? 13 5

则 cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? 考点:同角三角函数的基本关系,两角和差的余弦公式. 41.

12 4 5 3 33 ? ? ? ?? . 13 5 13 5 65

? 1 ? 13 2

【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 得 sin A cos B ? sin B cos A ? 2 sin C cos A , 得

sin? A ? B? ? sin C ? 2 sin C cos A ,
? cos A ? 1 2


? A ? 600

















3 1 cos C ? sin C AC sin B sin 120 ? C 1 3 2 ? ? ? 2 ? ? ,由 tan B ? 3 tan C 得 AB sin C sin C sin C 2 2 tan C

?

0

?

tan?1200 ? C ? ? 3 tanC , ?
?

? 3 ? tanC 2 ? 13 , ? 3 tanC ,由 tan C ? 0 ,解得 tanC ? 1 ? 3 tanC 3 3

? 1 ? 13 AC 1 3 ?3 3 . ? ? ? 2 AB 2 2 2 ? 13

?

?

考点:1、正弦定理的应用;2、两角和正切公式. 42.

2 3 3
1 DC ? BC sin ?BCD ? 1 ,所以 2

【解析】 试题分析:在 ?BDC 中,由三角形面积公式得 S?BDC ?

sin ?BCD ?

5 1 2 5 . ? ,故 ?BCD ? 300 , cos ?BCD ? 5 2 5
定 理 得







BC DC ? sin ?BDC sin B



10 2 ? sin(?B ? ?BCD) sin B



5 sin B ? sin B cos ?BCD ? cos B sin ?BCD , 所 以 sin B ?
AC BC 2 3 ? ,故 AC ? . sin B sin A 3
考点:1、正弦定理;2、三角形面积.

10 ,由正弦定理得 10

43.

? 6

【解析】 试题分析:由正弦定理得, 2a sin B ? b 可化为 2 sin A sin B ? sin B ,又 sin B ? 0 ,所以

sin A ?

? 1 ,又 ?ABC 为锐角三角形,得 A ? . 6 2

考点:正弦定理,解三角形. 44.

? 4
? AB BC ? , BC ? 3 , AB ? 6 ,由正弦定理得: ,所以 3 sin C sinA

【解析】 试题分析:因为 ?A ?

sinC ?

? sin A 2 ,而 AB ? BC ,所以 ?C ? ?A ,所以 ?C ? . ? AB ? 4 BC 2

考点:解三角形,正弦定理. 45.A 【解析】 试题分析: cosC ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3ab 3 , ? ?? 2ab 2ab 2

因为 0 0 ? C ? 1800 ,所以 C ? 1500 考点:余弦定理的变形 46.等腰直角三角形 【解析】 试题分析:由正弦定理得

sin B sin C sin A cos B cos C ? ? 1 ,即 ? ? ,整理得 cos B cos C 2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C

tan B ? tan C ? 1 ,? B ? C ? 450 ,由内角和定理得 A ? 900 ,故三角形为等腰直角三角
形. 考点:判断三角形的形状. 47.120° 【解析】 试题分析:由余弦定理可知, c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 3 ? 2 3 ?
2 2 2

3 =1,所以 c=1,所 2



a c a sin C 1 b c b sin C 3 ? ? sin A ? ? , ,又因为 ? ? sin B ? ? sin A sin C c 2 sin B sin C c 2

b>a=c,所以 B=120°. 考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 48. ?0,3? ? 2 3

? ?

【解析】 试题分析:根据在三角形中大边对大角小边对小角,当 0 ? m ? 3 一定有一解,当 m ? 3 时 若有一解,则 sin A ? 1 由正弦定理

AC BC ? , sin B sin A

3 sin

? 3

?

m 解得 m ? 2 3 1

考点:三角形解得个数的判断,正弦定理 49.2 【解析】 试题分析:由余弦定理可得 b·cosC+c·cosB= b

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ? a2 ? c2 ? b2 ?c ? ?a?2 2ab 2ac 2a

考点:余弦定理公式的变形 50.A=120° 【解析】
2 2 2 试题分析:已知, a ? b ? bc ? c 得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 ?bc 1 ? ? ? ,所以得 A=120°. 2bc 2bc 2

考点:余弦定理. 51.C 【解析】 试题分析:在△ABC 中,由 C=90°,B=30°,得 A=60°,又 a=6, 得c ?

a 6 ? ? 4 3, b ? c ? cos A ? 4 3 ? cos 60 ? 2 3. sin A sin 60

则 c ? b = 2 3 ,故选 C. 考点:直角三角形的边角关系. 52.

2 39 . 3
1 bc sin A ,即 2

【解析】 试题分析:首先在 ?ABC 中,因为三角形 ABC 面积 S ? 3 ,所以 S ?

3?

1 ? 1 ? c sin 60 0 , 所 以 c ? 4 ; 然 后 在 ?A B C中 , 应 用 余 弦 定 理 知 , 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 13 , 所 以 a ? 13 ; 再 在 ?ABC 中 , 应 用 正 弦 定 理 得 ,

a?b?c a b c 13 2 39 ? ;最后由分式性质知, ? ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C 3 3 2

2 39 a 2 39 .故应填 . ? 3 sin A 3

考点:正弦定理;余弦定理. 53. ? 【解析】 试题分析: 由余弦定理得 cos A ? 则A ?

2 3

b 2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? b 2 ? bc ? c 2 1 又0 ? A ? ? , ? ?? , 2bc 2bc 2

2 ?。 3

考点:余弦定理的应用。 54.

6 3
1 ,得 3

【解析】 试题分析:设底角为 ? ,则顶角为 ? ? 2? ,所以由顶角的余弦为

cos ?? ? 2? ? ? ? cos 2? ? 2sin 2 ? ? 1 ?
考点:二倍角公式. 55. (1) tanC ? 5 ; (2) 【解析】

1 2 6 ? sin 2 ? ? ,所以 sin ? ? 3 3 3

5 . 2

试题分析: (1)先利用同角函数基本关系式求出 sin A ,再结合三角形的内角和定理用角 A,C 表示 B,利用两角和差的正弦公式展开,求出 tan C 的值; (2)先利用正弦定理求出边 c,结 合 sin B ? 5 cosC 求出 sin B ,再求三角形的面积.

试题解析: (1)∵cosA= >0,∴sinA= 又 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA

, 2分



cosC+ sinC.

整理得:tanC=



6分

(2) :由 tanC= 故 . (1)

得 sinC=

. 又由正弦定理知: 8分



sin B ? 5 ?


1 5 ? 6 6,

S?
所以三角形的面积

1 5 ac sin B ? 2 2

考点:1.同角三角函数基本关系式;2.正弦定理;3.三角形的面积公式 56. (Ⅰ) cos A ?

6 ;(Ⅱ) c ? 5 . 3

【解析】 (Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理

6 a b 3 2 6 ∴cos A= . ? ? ? 3 sin A sin B sin A 2sin A cos A
(Ⅱ)由余弦定理, a 2=b2+c 2-2bc cos A ? 32=(2 6)2+c 2-2 ? 2 6c ?

6 , 3

15=0.? c=5 或 c=3 则 c 2-8c+
当 c=3 时,a=c,∴A=C. 由 A+B+C=π ,知 B=

.

? 2 2 2 ,与 a +c ? b 矛盾. 2

∴c=3 舍去.故 c 的值为 5. 考点:1.正弦定理;2. 余弦定理. 57. (Ⅰ) cos A ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题设 b ? c , 2b ? 3a ,代入余弦定理可得 cos A ? 得 A 为锐角∴

1 ? 8?7 2 ; (Ⅱ) cos(2 A ? ) ? ? . 3 4 18 1 .(Ⅱ)由(Ⅰ) 3

sin A ?

2 2 4 2 7 ,由倍角公式得 sinA 2? , co As?2 ? ,由和角公式代入得 3 3 9

c o s (A 2?

?

8? 7 2 . ?) ? 4 18

试题解析:解: (1)在 ABC 中,由 B ? C 可得, b ? c ,又 2b ? 3a

4 2b2 ? b2 b ?c ?a 3 ?1 由余弦定理可得 cos A ? ? 2 2bc 2b 3
2 2 2

(2)因为 A ? (0, ? ) ,由(1)可得, sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 2 3

sin 2 A ? 2sin A cos A ?

1 7 4 2 2 , cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? 9 9 3

所以 cos(2 A ?

?
4

)?

2 2 7 4 2 (cos 2 A ? sin 2 A) ? (? ? ) 2 9 9 2

??

8?7 2 18

考点:余弦定理、和角公式、倍角公式的应用 58. (1) b ? 1 , a ? 3 ; (2) ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 . 【解析】 试题分析: (1)由面积公式及 A 可得 b=1,再由余弦定理可得 a.(2)由正弦定理等式两边的 边换为角的正弦可得 s in 2 A ? sin 2 B , 从而 A ? B 或 A ? B ? 即可. 试题解析: (1)依题意,由 S 解得 b ? 1 再由余弦定理可得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3
2 2

?
2

.也可由余弦定理代入化简

ABC

?

1 1 3 bc sin A 可得, b ? 2sin 60 ? 2 2 2

(2)方法一:由正弦定理可得 sin A cos A ? sin B cos B 所以 s in 2 A ? sin 2 B 因为 A, B ? (0, ? ) ,所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? 即 A ? B 或 A? B ?

?
2

所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二:由余弦定理可得

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a? ? b? ,整理得: (a2 ? b2 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 0 2bc 2ac
2 2 2 所以 a ? b 或 a ? b ? c

所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形 考点:正弦定理和余弦定理的应用 59. B ? 60
?

【解析】 试题分析: (1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的 关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用 正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;(2)在 三角形中,注意隐含条件 A ? B ? C ? ? (3)解决三角形问题时,根据边角关系灵活的选 用定理和公式; (3)如出现两个解时,注意检验一下,看是否都成立. 试题解析:由已知得:

cos( A ? C ) ? cos B ? ? sin A sin C ? 3 , 4

3 , 2

cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ?

3 , 2

又? a, b, c 成等比数列, ? b 2 ? ac , 又由正弦定理得 sin 2 B ? sin A ? sin C ,

? sin 2 B ?

3 3 3 , sin B ? , (? 舍去) , 4 2 2

? B ? 60? 或 120? ,
但若 B ? 120? 则 b ? a, b ? c, b ? ac 这与已知 b 2 ? ac 矛盾,
2

? B ? 60? .
考点:在三角形中,正弦定理和余弦定理的应用. 60. (1) 4 6 ; (2)4. 【解析】 试题分析: (1)先利用余弦定理求出 AC,再利用正弦定理求出 sin∠ACB; (2)构造平行四 边形,利用余弦定理求解 AC. 试题解析: (1) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 4 , 5
2 6 , 5
6分

2 又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ?

∴ S ?ABC ?

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ?4 6 . 2 2 5
A D E

B

C

(2)以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE,如图, 则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? ,BE=2BD=7,CE=AB=5, 在△BCE 中,由余弦定理:

1 5

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE .
即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) ,

1 5

解得:CB=4. 考点:正弦定理,余弦定理,解三角形. 61. (1) 2 6 ; (2) 33 . 5

10 分

【解析】 试题分析: (1)先利用余弦定理求出 AC,再利用正弦定理求出 sin∠ACB; (2)构造平行四 边形,利用余弦定理求解 AC. 试题解析: (1) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 2 , 5
2 2

由余弦定理: AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC ? cos ?ABC =5 +2 -2×5×2×

1 =25, 5

? AC ? 5 .
又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ?

2 6 , 5

AB AC , ? sin ?ACB sin ?ABC AB ? sin ?ABC 2 6 ? 得 sin ?ACB ? . AC 5
由正弦定理: A D B C E

(2)以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE,如图, 则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? ,BE=2BD=7,CE=AB=5, 在△BCE 中,由余弦定理:

1 5

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE .
即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) , 解得: CB ? 4 . 在△ABC 中, AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC ? cos ?ABC ? 52 ? 42 ? 2 ? 5 ? 4 ? ? 33 , 即 AC ? 33 . 考点:正弦定理,余弦定理,解三角形. 62.

1 5

1 5

3 2

【解析】 试题分析:由余弦二倍角公式和正弦二倍角公式以及辅助角公式,将 f ( x) 的解析式化为

f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

) ,利用两条相邻对称轴间的距离等于

2? ? ,得 T =? ? ,得 ? ,进 2 ?

而可求得 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,由 f ( A) ?1 ,可求内角 A ,其次利用余弦定理求得 b, c 的 1 bc sin A 求面积. 2

等式,与已知 b ? c ? 3 联立,求得 bc ? 2 ,进而利用 S ? 试题解析:

π f ( x) ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin(2? x ? ), 6
3分

? ? 0, ∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得:

2π π ? , 2? ?

T π π = ,即 T ? =π, 解得: ? =1 5分 2 2 ? π ? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) , 6 π 1 π π 13π ? 5? 2A ? ?( , ), ? 2 A ? ? f ( A) ? 1 , ? sin(2 A ? ) ? , 6 2 6 6 6 6 6 ? A= . 7分 3

, 即

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 即 b2 ? c2 ? bc ? 3 a ? 3, ∴由余弦定理得:


①,

9

b ? c ? 3,?(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 9
则 S△ABC ?

②,联立①②,解得: bc ? 2 ,

1 3 bc sin A ? . 2 2

12 分

考点:1、二倍角公式和辅助角公式;2、余弦定理;3、三角形面积公式. 63. (1) A ? 【解析】
2 2 试题分析: ( 1 ) 由 数 量 积 的 坐 标 表 示 得 m ? n ? cos A ? sin A ? cos 2 A ?

?
6

, ? m, n ??

?
3

; (2)

5(2 ? 3) 4
1 ,根据 2

0? A?

?
2

,求 A; (2)三角形 ABC 中,知道一边 a ? 5 和对角 A ?

?
6

,利用余弦定理得

关于 b, c 的等式,利用基本不等式和三角形面积公式 S ?
2 2 试题解析: (1) m ? n ? cos A ? sin A ? cos 2 A ?

1 bc sin A 得 ? ABC 面积的最大值. 2

因为角 A 为锐角,所以 2 A ?

?
3

,A?

?
6

1 2

根据 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ? m,n ? ?

? m, n ??

?
3

1 2

(2)因为 a ? 5 , A ?
2 2 2

?
6

5 ? b ? c ? 2bc cos

?
6

得: bc ? 5(2 ? 3)

1 5(2 ? 3) S ? bc sin A ? 2 4
即 ?ABC 面积的最大值为

5(2 ? 3) 4

考点:1、平面向量数量积运算;2、余弦定理和三角形面积公式. 64. (1) 2 ;(2) AB ? 4 【解析】 试题分析: ( 1)由余弦二倍角公式可求得 cos D 的值 ,再根据同角三角函数关系式可求得

sin D .由三角形面积公式 S ?

1 AD ? CD ? sin D 可求得其面积. (2)在△ ACD 中用余弦 2

定理可求得 AC ? 2 3 . 故 AC ? BC , 则 ?B ? ?BAC . 则 ?ACB ? ? ? 2 B . 则在 ?ABC 中用正弦定理可得 AB 的长. 试题解析:解: (1)因为 ?D ? 2?B , cos B ?
2 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?

3 , 3
3分

1 . 3

因为 ?D ? (0, π) ,

所以 sin D ? 1 ? cos 2 D ? 因为 AD ? 1, CD ? 3 ,

2 2 . 3

5分

所以 △ ACD 的面积 S ?

1 1 2 2 AD ? CD ? sin D ? ?1? 3 ? ? 2. 2 2 3

7分

2 2 2 (2)在△ ACD 中, AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 .

所以 AC ? 2 3 .

9分

因为 BC ? 2 3 ,

AC AB ? , sin B sin ?ACB

11 分

所以

2 3 AB AB AB AB . ? ? ? ? sin B sin( π ? 2 B) sin 2 B 2sin B cos B 2 3 sin B 3
13 分

所以 AB ? 4 . 考点:1 正弦定理;2 余弦定理. 65. (1)见解析; (2) 108 ? 72 2 . 【解析】

试题分析: (1)首先利用分析法证明可以得到 a 2 ? 2ab ? b 2 ≥ c 2 ? 4h 2 ,然后再利用正余 弦定理和面积公式可得 2ab ? 2ab cos C ≥ 4h ? 4
2

a 2b 2 sin 2 C 进而整理即可; c2

(2)利用(1)的结论及三角的和与差的正弦公式转换得到 c ? 2a sin B ? 2h ,即可证明, 最后利用三角形的面积公式求得结果. 试题解析:要证明: a ? b ?

c 2 ? 4h 2 ,即证明: a 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 ? 4h 2 ,利用余弦定
2

理和正弦定理即证明: 2ab ? 2ab cos C ? 4h ? 4

a 2b 2 sin 2 C ,即证明: c2

1 ? cos C ?

2ab sin 2 C 2ab(1 ? cos 2C) 2ab(1 ? cosC)(1 ? cosC) ,因为 1 ? cos C ? 0 , ? ? c2 c2 c2
2 2 2

即证明: c 2 ? 2ab(1 ? cosC) ? 2ab ? a ? b ? c ,完全平方式得证. (2) 、

cos B cos A sin C ? ? ? 2 ,使用正弦定理, c ? 2a sin B ? 2h . sin B sin A sinBsinA

12 ? 2h ? c 2 ? 4h 2 ? 2 2h ,解得: h ? 6 2 ? 6 ,
于是: S ? h 2 ? 108 ? 72 2 ,最大值 108 ? 72 2 考点:正、余弦定理的应用. 66. (1) B ? 600 或 1200 ; (2) h ? 【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理列出关系式,把 a, b, sin A 的值代入公式求出 sin B 的值,即 可确定 B 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,把 a, b, cosC 的值代入公式求出 C 的值, 利用三角形的面积公式即可求出 AB 边上的高.

3 21 7

试题解析: (1)由正弦定理:

4 4 3 a b ,则: , ? ? 0 sin 30 sin B sin A sin B

解得: sin B ?

3 2

又由于 B 是三角形中的角,且由于 a ? b, A ? B ,于是: B ? 600 或 1200 (2)由余弦定理: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 4 ? 9 ? 6 ? 7 ,所以 c ? 由面积公式 S ?

7

1 1 3 21 ab sinC ? ch ,解得: h ? 2 2 7
9 ; (2) 16
106 2

考点:正、余弦定理的应用. 67. (1) cos B ? 【解析】 试题分析: ( 1 ) A, C 为三角形内角,由 cos A, cos C 的值,可求出 sin A,sin C ,由三角形 内角和定理可得:cos B ? cos ? ?? ? ? A ? C ? ? ? ? ? cos ? A ? C ? ,利用三角函数两角和的余弦 函数公式展开即可求出 cos B 的值; (2)由| AC + BC |= 46 ,可两边平方得,| AC |
2 2



+| BC | +2| AC || BC | cos C =46,由( 1 )知 sin A,sin C 的值,先求出 sin B ,由正弦 定理和上式可求出 a, b, c 的值,再由余弦定理可求 BC 边上中线的长.
7 2 2 试题解析: (1) 依题设: sinA= 1 ? cos 2 A = 1 ? ( 3 sinC= 1 ? cos 2 C = 1 ? ( 1 8) 4) = 4 ,

= 8 , 故 cosB=cos[π - (A+C) ]=-cos (A+C) =- (cosAcosC+sinAsinC) =- ( 32 - 32 ) = 16 .
a b 5 7 9 )2 (2) 由(1)知:sinB= 1 ? cos 2 B = 1 ? (16 = 16 ,再由正弦定理易得: 4 = 5 =
c 6 ,
9
3 21

3 7

不妨设:a=4k,b=5k,c=6k,k>0.故知:| AC |=b=5k,| BC |=a=4k. 依题设知:| AC | +| BC | +2| AC || BC |cosC=46 ? 46k =46,又 k>0 ? k=1.
2 2 2

故△ABC 的三条边长依次为:a=4,b=5,c=6.

若设 BC 的中点为 D,由余弦定理得:AD =6 +2 -2×6×2cos B=40-2×6×2× 16 = 2 . 故 BC 边上的中线长为:
106 2

2

2

2

9

53

. 【注】本小题还可通过求| AB + AC |来解答.

考点: 两角和与差的余弦函数, 同角三角函数间的基本关系, 正弦定理余弦定理的综合应用. 68. (1) A ?

?
3

; (2) ? 2,3? .

【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理、三角形内角和定理及同角三角函数关系,将条件

1 a cos C ? c ? b. 化为 2
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,再利用两角和与差的三角函数公式化简,求得 1 cosA= ,从而确定角 A 的大小; 2 (2)由题设利用正弦定理将 ?ABC 的周长 l 表示民关于角 B 的三角函数,然后利用三角函 数的性质求周长 l 的取值范围. 试题解析:解: (1)由 acosC+ sinAcosC+

1 c=b 和正弦定理得, 2

1 sinC=sinB, 2

又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

1 sinC=cosAsinC, 2 1 ∵sinC≠0,∴cosA= , 2
∴ ∵0<A<π ,∴A=

? . 3

(2)由正弦定理得,b=

2 2 a sin B a sin C = sinB,c= = sinC,[来源:Zxxk.Com] sin A sin A 3 3

则 l=a+b+c=1+

2 (sinB+sinC) 3

=1+

2 [sinB+sin(A+B)] 3
1 ? 3 sinB+ cosB)=1+2sin(B+ ) . 2 6 2

=1+2(

? 2? ? ? 5? ,∴B∈(0, ) ,∴B+ ∈( , ) , 3 3 6 6 6 ? 1 ∴sin(B+ )∈( ,1], 6 2
∵A= ∴△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3].

考点:1、正弦定理;2、三角函数的性质;3、同角三角函数的基本关系;4、两角和与差的 三角函数. 69. (Ⅰ) A ? 60 或 A ? 120 ;(Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用三角形面积公式列出关系式,把 b,c 以及已知面积代入求出 sinA 的 值,即可确定出角 A 的值; (Ⅱ)由 A 的度数确定出 cosA 的值,再由 b 与 c 的值,利用余 弦定理求出 a 的值,利用三角形面积公式求出 BC 边上的高 h 即可. 试题解析:解: ( Ⅰ ) 由 题 设 b ? 3, c ? 2, S?ABC ?

3 57 . 19

1 3 3 和 S ?ABC ? bc sin A 得 , 2 2

1 3 3 3 ,∴ sin A ? ? 3? 2 s iA n? 2 2 2
∴ A ? 60 或 A ? 120 (Ⅱ)由已知 A ? 120 . 6分 7分

4分

2 由余弦定理得, a ? 9 ? 4 ? 12cos120 ? 19 ,∴ a ? 19

10 分

设 BC 边上的高为 h ,由三角形面积相等得,

1 3 3 3 57 19h ? ?h? 2 2 19
考点:1.余弦定理;2.三角形的面积公式. 70. (Ⅰ) B ? 【解析】

12 分.

?
3

;(Ⅱ)

5 3 . 16
1 ,求得 2
,可得

? 1? 2 s i nAs i , nC 试题分析: ( Ⅰ ) 由 2co s Aco s C 化 简 求 得 cos ( A ? C )= ?
cosB = 1 2
,可得 B 的值. ( Ⅱ ) 由 余 弦 定 理 cosB=

a 2 ? c2 ? b2 1 = 2ac 2

? a ? c?
S
ABC

2

?2 a? c 2b 1 = 2ac 2

, 把 a?c ?

3 3 ,b ? 3 2

代 入 求 得 ac 的 值 , 再 根 据

1 = acsinB 计算求得结果. 2
2 c Ao s C c o A s ? (? Ct a得n : t a n

试 题 解 析 : 解 : ( Ⅰ ) 由

1 )

2 cos A cos C (

sin A sin C ? 1) ? 1 cos A cos C

? 2(sin A sin C ? cos A cos C ) ? 1 ? cos B ?
1 ,又 0 ? B ? ? 2

1 ? cos( A ? C ) ? ? , 2 ? ?B ? ?????6 分 3
2

a 2 ? c ? b2 1 (Ⅱ)由余弦定理得: cos B ? ? 2ac 2
又a?c ?

?

(a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 1 ? , 2ac 2

27 5 3 3 ? 2ac ? 3 ? ac , ac ? ,b ? 3 ? 4 4 2

? S?ABC ?

1 1 5 3 5 3 ????12 分. ac sin B ? ? ? ? 2 2 4 2 16

考点:1.正弦定理; 2.三角函数中的恒等变换应用;3.余弦定理. 71.x-2y+5=0. 【解析】 试题分析:求直线方程的一般方法(1)直接法:根据已知条件,选择恰当的直线方程形式, 直接求出方程中的系数,写出直线方程; (2)待定系数法:待定系数法是求直线方程最常用 的方法,设出直线方程的某种形式,据已知条件建立方程或方程组求得参数,进而求出直线 方程 试题解析:由已知,直线 AB 的斜率 k= 因为△CEF 的面积是△CAB 面积的 直线 EF 的方程是 y- 考点:求直线方程 72. (1) cos B ?
1?1 1 1 = .因为 EF∥AB,所以直线 EF 的斜率为 . 3 ?1 2 2

1 5 ,所以 E 是 CA 的中点.点 E 的坐标是(0, ) . 4 2

1 5 = x,即 x-2y+5=0. 2 2

3 ? 13 3 ; (2) 8 4

【解析】 试题分析: (1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的 关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用 正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;(2)在 三角形中,注意隐含条件 A ? B ? C ? ? (3)解决三角形问题时,根据边角关系灵活的选 用定理和公式,掌握两角和的正弦公式,注意熟记公式,不要把符合搞错,计算正确. 试题解析:解法 1: (1)因为 B ? C ,所以 c ? b , 又a ?

3 b, 2

所以 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 , 2ac

3 2 b 4 ? 3b2
? 3 4

解法 2:∵ a ?

3 3 b ,∴ sin A ? sin B 2 2 3 sin B 2

∵ B ? C ,且 A ? B ? C ? ? ,所以 sin 2 B ?

又 2sin B cos B ?

3 sin B 2
3 . 4

∵ sin B ? 0 , ∴ cos B ?

(2)由(1)得 sin B ? 1 ? cos 2 B ?

13 , 4

(注:直接得到 sin B ?

13 不扣分) 4

所以 f ?

?? ? ?? ? ? ? sin ? ? B ? ?6? ?3 ?
cos B ? cos

? sin

?
3

?
3

sin B

?

3 3 1 13 ? ? ? 2 4 2 4 3 ? 13 . 8

?

考点:1、三角形中求角的余弦值;2、利用两角和的正弦公式求值.

B?
73. (1)

?
6 (2) a ? c ? 2 ? 3

【解析】 试题分析:1)先用数量积的概念转化为三角函数的形式,寻求角与角之间的关系,化非特殊 角为特殊角;正确灵活运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值,注 意 题 中 角 的 范 围 ; (2 ) 在 解 决 三 角 形 的 问 题 中 , 面 积 公 式

S?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定 2 2 2

理、余弦定理联系起来.

B ? ? 2sin( A ? C ) ? 2cos 2 ? 1? ? 3 cos 2 B, 2 ? ? 试题解析: (1)由向量 m, n 共线有:
? ?

2分

即 tan 2B ? 3 ,

3分

0?B?


?

? ? B? 6 2 ,所以 0 ? 2 B ? ? ,则 2 B = 3 ,即

5分

1 ? 3 S?ABC ? ac sin ? 2 6 2 ,得 ac ? 2 3 (2)由
由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B,
2 2 2

7分 8分 10 分

?a ? c?2 ? 7 ? 4

3 a?c ? 2? 3

考点:(1)求化简三角函数并求值; (2)求三角形的边长. 74. (Ⅰ)

1 8?7 2 ; (Ⅱ) ? . 3 18

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系;利用三角形的余弦定 理求出角 A 的余弦.(Ⅱ)利用三角函数的平方关系求出角 A 的正弦,利用二倍角公式求 出角 2A 的正弦,余弦;利用两个角的和的余弦公式求出 cos ? 2 A ? 试题解析:解析: (Ⅰ)因为 B=C,所以 b=c,

? ?

??

? 的值. 4?

? 2b ? b ?b ?? ? 2 2 2 b ?c ?a ? 3? ?1; 又因为 2b ? 3a ,所以 cosA= ? 2bc 2b2 3
2 2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cosA=

1 7 2 2 4 2 ,所以 sⅠnA= ,所以 cos2A= ? ,sⅠn2A= , 3 9 3 9

所以 cos(2A+

? 8?7 2 )= ? . 4 18

考点:1.余弦定理;2.同角三角函数基本关系的运用;3.两角和与差的余弦函数;4.二倍角的 余弦. 75. (1)

? 3 ? ? ,1? . ; (2) ? 3 ? 2 ?

【解析】 试题分析: (1)由余弦定理表示出 b ? c ? a ? 2bccosA ,代入 tan A ?
2 2 2

3bc 即可 b ? c2 ? a2
2

得到 s1nA 的值,然后根据 A 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的大小; (2)由三角形为锐角三角形且由(1)得到 A 的度数可知 B+C 的度数,利用 C 表示出 B 并 求出 B 的范围, 代入所求的式子中, 利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简 后,再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为 s1n

? ? ) ,然后根据求出的 B 的范围求出 B+ 的范围,根据角的范围,利用正弦函数的图 6 6 ? 象即可求出 s1n(B+ )的范围即为 cosB+cosC 的取值范围. 6
(B+ 试题解析:解: (1) tan A ?

3bc 3bc 3 ? ? tan A ? ? sin A ? ?A? 2 2 b ?c ?a 2bc cos A 2 3
2

(2) cos B ? cos B ? cos B ? cos ?

? 1 ? 3 ? 2? ? ? B ? ? cos B ? ? ? cos B ? sin B ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ?

1 3 ?? ? ? cos B ? sin B ? sin ? B ? ? 2 2 6? ?
?B ?

B?C ?

2? ? ? ? ?B? 3 6 2

?

? 3 ? ?? ? 3 ? ? ? 2? ? ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? ? cos B ? cos C ? ? ,1? 6 ?3 3 ? 6? ? 2 ? ? ? 2 ?

考点:1.余弦定理;2.同角三角函数基本关系的运用;3.正弦函数的定义域和值域. 76. (1) B ?

?
3

; (2)

1 ? b ?1 2

【解析】 试题分析: (1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的 关系,根据题意灵活的取转化.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式 一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注 意角的限制范围;(2)在解三角形中角的时候,注意隐含条件 A ? B ? C ? ? (3)解决三角 形问题时,根据边角关系灵活的选用定理和公式,在求边 b 的取值范围是,注意 a 的取值. 试题解析:解:(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin A cos B ? 0 即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 , 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

?
3

.
2 2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B .

1 1 2 1 2 ,有 b ? 3( a ? ) ? . 2 2 4 1 1 2 又 0 ? a ? 1 ,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 . 2 4
因为 a ? c ? 1, cos B ? 考点:1、三角形中求角的大小;2、三角形中边的取值范围. 77. (1) 【解析】 试题分析: (1) 先根据 sin A ?

5 10 ; (2) . 2 10

? ? 5 求得 cosA 的值, 再由 B= ? A 得到 sinB=sin( ? A) , 4 4 5
3 ? 可求得 sinC 的值,进而根据 4

然后根据两角和与差的公式可求得 sinB 的值.(2)由 C ?

正弦定理可求得 a,c 的关系,再由 c ? a ? 5 ? 10 可求出 a,c 的值,最后根据三角形的面 积公式可求得答案. 试题解析:解: (1)因为 C ?

3 5 ? , sin A ? 4 5

所以 cos A ? 1 ? sin 2 A ? 由已知得 B ?

2 5 5

?
4

? A.

所以 sin B ? sin(

?
4

? A) ? sin

?
4

cos A ? cos

?
4

sin A

?

2 2 5 2 5 10 ? ? ? ? 2 2 2 5 10
3? 4
所以 sin C ?

(2)由(1)知 C ?

2 10 且 sin B ? . 2 10

由正弦定理得

a sin A 10 . ? ? c sin C 5

又因为 c ? a ? 5 ? 10 ,所以 c ? 5, a ? 10 . 所以 S ?ABC ?

1 1 10 5 ac sin B ? 10 ? 5 ? ? 2 2 10 2

考点:1.正弦定理;2.同角三角函数基本关系的运用. 78. (1)

1 ; (2) b ? 2, c ? 3 或 b ? 3, c ? 2 . 3

【解析】 试题分析:(1)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公 式变形,由 sinB 不为 0 求出 cosA 的值即可;(2)由 cosA 的值求出 sinA 的值,利用三角形 面积公式列出关系式,把已知面积与 sinA 的值代入求出 bc=6,再利用余弦定理列出关系式, 把 a,cosA 的值代入,利用完全平方公式变形,把 bc 的值代入求出 b+c=5,联立求出 b 与 c 的值即可. 试题解析:解: (1)由正弦定理得: 3 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ? sin B ? 0

? cos A ?

1 3 1 bc sin A ? 2 2 ,即: bc ? 6 2

(2)由题意得: S ?ABC ?

2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A,9 ? (b ? c ) ? 2bc ?

2 bc, b ? c ? 5 3

联立上述两式,解得: b ? 2, c ? 3 或 b ? 3, c ? 2 . 考点:正弦定理. 79. (1)

1 ;(2) b ? 2, c ? 3 或 b ? 3, c ? 2 . 3

【解析】 试题分析:(1)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公 式变形,由 sinB 不为 0 求出 cosA 的值即可;(2)由 cosA 的值求出 sinA 的值,利用三角形 面积公式列出关系式,把已知面积与 sinA 的值代入求出 bc=6,再利用余弦定理列出关系式, 把 a,cosA 的值代入,利用完全平方公式变形,把 bc 的值代入求出 b+c=5,联立求出 b 与 c 的值即可. 试题解析:解: (1)由正弦定理得: 3 sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ? sin B ? 0

? cos A ?

1 3 1 bc sin A ? 2 2 ,即: bc ? 6 2

(2)由题意得: S ?ABC ?

2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A,9 ? (b ? c ) ? 2bc ?

2 bc, b ? c ? 5 3

联立上述两式,解得: b ? 2, c ? 3 或 b ? 3, c ? 2 . 考点:正弦定理. 80. (1) ; (2)2

【解析】 试题分析: (1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的 关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用 正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围; (2)再 利用基本不等式解题时,注意使用条件“一正,二定,三相等”.

试题解析: (1)? a cosC ?

a sin C 3

?b ? 0

? a cosC ?

a sin c 3

?b

? sin A cosC ?

sin A sin C 3 sin A sin C 3

? sin B ? sin( A ? C )

? sin A cosC ?
解得 tan A ? 3

? sin A cosC ? cos A sin C ,

?A?

?
3 1 bc sin A ? 3 2

(2) S ?ABC ?

? bc ? 4

3 b2 ? c2 ? b sin B ? c sin C ? ? 2 a
=

3 a2 ? 4 ? ?2 3 2 a

当却仅当 a=b=c=2 取最小值. 考点:三角函数恒等变换的应用,基本不等式的应用,正弦定理的应用 81. 【解析】 试题分析: (1) 在三角形中,两角和一边知道,该三角形是确定的,其解是唯一的,利用 正弦定理求第三边. (2)解决三角形问题时,根据边角关系灵活的选用定理和公式,同时注 意把所求的角转化成已知角的和或差,利用两角和与差的公式解决。 . 试题解析:(1)因为 cos B

?

10 8

所以 sinB=

3 6 8
1 15 ,所以 sin∠ADC= 4 4 1 3 6 15 10 × ? ( ? )× 4 8 8 4

又 cos∠ADC= ?

所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=

=

6 4
AD BD 3 BD ? ,即 ,解得 BD=2…(10 ? sin B sin BAD 3 3 6 8 4 1 4

(2)在△ABD 中,由正弦定理,得

分) 故 DC=2,从而在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2=9+4-2×3×2×( ? ) =16,所以 AC=4 考点:差角的正弦公式,正弦定理及余弦定理的运用 82. 【解析】 试题分析: (1)在解决三角形的问题中,面积公式 S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来;在求面积时注意 角优先; (2)在判断三角形的形状时,一般将将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦 定理转化为角角关系或边边关系,再利用三角变换或代数式恒等变形(因式分解,配方等) 求解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提公因式,否者会漏解 试题解析: (1)由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C(1) 因为 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 A+B+C=π.(2) 得 B=

? 3

b2=a2+c2-2accosB
2 2 所以( (2 3 ) ? a ? 4 ? 4a cos

?
3

解得 a ? 4 或 a ? ?2 (舍去)

所以 s ?ABC ?

1 1 ? ac sin B ? ? 4 ? 2 sin ? 2 3 2 2 3

(2)由 a,b,c 成等比数列,有 b2=ac(4) 由余弦定理及(3),可得 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac 再由(4),得 a2+c2-ac=ac, 即(a-c)2=0 因此 a=c 从而 A=C(5) 由(2)(3)(5),得 A=B=C=

? 3

所以△ABC 为等边三角形. 考点:等差数列和等比数列的性质,三角形形状的判断,余弦定理的应用. 83.见解析. 【解析】 试题分析: 根据余弦定理 “三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们 夹角的余弦之积的两倍. ”的描述,可知需要在三角形内构造边角的等式关系,然后整理运 算化简得出相应的结论,考察了学生数形结合思想的运用能力. 试题解析:余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他

们夹角的余弦之积的两倍. 或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法一 如图

a 2 ? BC ? BC
? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? AC ? 2 AC ? AB ? AB
2

2

2

? AC ? 2 AC ? AB COSA ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2
即 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 同理可证 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B

2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴, 建立直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,

? a 2 ? BC 2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A
2 2 2 所以 a ? b ? c ? 2bc cos A

同理可证

b2 ? c2 ? a 2 ? 2ca cos B, c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C.
考点:向量的运算,数形结合思想. 84. (1)2; (2) a ? 2 5 , sin B ?

2 5 . 5

【解析】 试题分析: (1)首先利用倍角公式可求得 cos A 的值,由同角三角函数的基本关系可求出

sin A 的值;然后运用数量积的定义化简 AB ? AC ? 3 得出 bc ? 5 ;最后运用三角形的面积
1 bc sin A 即可求出三角形 ABC 的面积; (2)由(1)知 bc ? 5 ,因为已知 c ? 1 , 2 可求出 b ? 5 ,利用余弦定理可计算出 a 的值,再由正弦定理即可求出 sin B 的值,即为所
公式 S ? 求. 试题解析: (1) cos A ? 2 ? (

?

?

2 5 2 3 ) ?1 ? , 5 5

3 bc ? 3, ? bc ? 5 5 4 1 1 4 又 A ? (0, ? ) ,? sin A ? , ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 5 2 2 5
而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? (2)

bc ? 5, 而 c ? 1 ,? b ? 5

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 , a ? 2 5.

4 b sin A a b 5 ? 2 5. ? ? 又 ,? sin B ? a 5 sin A sin B 2 5 5?
考点:向量的数量积;余弦定理;正弦定理. 85. (1) ? 【解析】 试题分析: (1)在△ABC 中,首先运用余弦定理公式 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ,并结合已 知条件 a ? c ? b ?
2 2 2

15 1 ; (2) . 4 3

1 ac 即可求出 cos B ;然后根据三角形的内角和等于 ? 和倍角公式, 2

将所求式子 sin

2

A?C ? cos 2 B 化简为只关于 cos B 的式子,最后将 cos B 的值代入即可; 2
2 2 2

(2)将已知 b=2 代入 a ? c ? b ?

1 1 ac ,即可得到式子 a 2 ? c 2 ? 4 ? ac ; 2 2

试题解析: ( 1 )在△ ABC 中,由余弦定理可知, a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ,由题意知

1 1 ac ,∴ cos B ? ;又在△ABC 中 A ? B ? C ? ? , 2 4 A ? C ? ? B B 1 ? cos B ∴ sin 2 ? cos 2 B ? sin 2 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 2 2 2 a2 ? c2 ? b2 ?

? 2 cos 2 B ?

cos B 1 1 A?C 1 ? ,又 cos B ? ,∴ sin 2 ? cos 2 B ? ? . 2 2 4 2 4
1 1 1 ac 可知, a 2 ? c 2 ? 4 ? ac ,即 ac ? 2ac ? 4 ,∴ 2 2 2

2 2 2 (2)∵b=2 ,∴由 a ? c ? b ?

8 ac ? . 3
∵ cos B ?

15 1 ,∴ sin B ? 4 4
15 . 3

∴ S ?ABC ?

1 1 8 15 15 . ac ? sin B ? ? ? ? 2 2 3 4 3

∴△ABC 面积的最大值为

考点:余弦定理;均值不等式. 86. (1) AD ? 【解析】 试题分析: (1)将 ?ABC 分成 ?ABD 和 ?ACD ,可得 S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD .由三角形 的面积公式建立等式并化简整理,即可得到所求证的等式成立; (2)根据三角形的内角平分线定理,结合题意得到 c ? 2b .由(1)中证出的等式,可得
2 2 2 两式联立求解得到 b ? 6, c ? 12 . 最后由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos B bc ? 4(b ? c) ,

3bc ; (2) a ? 6 3 . b?c

的式子算出边 a 的长,即可得到三边 a 、 b 、 c 的值. 试题解析: (1) S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD , 即

1 1 1 ? b ? c sin 60 0 ? ? c ? AD sin 30 0 ? ? b ? AD sin 30 0 2 2 2

? AD ?

3bc . b?c

(2) BD ? 2DC 又4 3 ?

c BD ? ? ?2 b DC

? c ? 2b ①

3bc b?c

? bc ? 4 ? b ? c ? ②

由①②解得 b ? 6, c ? 12 又在 ?ABC 中

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos B ? 62 ? 122 ? 2 ? 6 ?12 ?

1 2

?a ? 6 3 .
考点:余弦定理;三角形的面积公式. 87. (1) MP ? 1或 MP ? 3 (2) ?POM ? 30 ,S= 8 ? 4 3 【解析】 试题分析: (1) 由余弦定理得, OM 2 ? OP2 ? MP2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1或 MP ? 3 . (2)由正弦定理构造 OM ?

OP sin 45? OP sin 45? , 同理 ON ? sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?
1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2
进而求得 S 的最小值为

将 OM,ON 的表达式代入 S 得 S ?

8?4 3



试题解析: (1)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 ,
2 2 2 由余弦定理得, OM ? OP ? MP ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 2 得 MP ? 4MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1或 MP ? 3 .

(2)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ?

OM OP ? , sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? OP sin 45 ? , 同理 ON ? sin ? 45? ? ? ? sin ? 75 ? ? ? ?
1 OP2 sin 2 45? ? OM ? ON ? sin ?MON ? 1 ? 2 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

故 S ?OMN ?

?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1

?

1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ?? 2 ? 2 ?

?

3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2

?

1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4
1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4

?

?

1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? , 所以当 ? ? 30? 时, sin ? 2? ? 30?? 的最大值为 1,此时 ?OMN 的面积取到最小值. 即 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 . 考点:1.正弦定理和余弦定理的综合应用;2.面积公式及三角函数性质的综合应用. 88. (1) C ? 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 由

3 3 2 π (2) BC ? 2 . S?ABC ? 4 4
Ca? n? A t ?B a 得n? ( ?

t

)

1 3 ? 3 tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . C ? π . 1 3 4 1? 4 5
(2) AB 边最大,即 AB ? 17 . 又

? ?? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? , ? 角 A 最小, BC 边为最小边. ? ??

sin A 1 ? ? , 17 3 34 ? tan A ? ? π? 由? , 同理得sinB ? . cos A 4 且 A ? ? 0, ? ,得 sin A ? 17 34 ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?


AB BC sin A ? ? 2 .所以,最小边 BC ? 2 . 得: BC ? AB sin C sin A sin C

1 1 3 34 3 2 . ? S?ABC ? AB ? BC ? sinB ? ? 17 ? ? 2 2 34 4

1 3 ? 试题解析: (1) C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . 1 3 1? 4 5 3 3 又 0 ? C ? π ,? C ? π . (2) C ? ? , ? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4 4


? ?? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? , ? 角 A 最小, BC 边为最小边. ? ??

sin A 1 ? ? , 17 3 34 ? tan A ? ? π? 由? , 同理得sinB ? . cos A 4 且 A ? ? 0, ? ,得 sin A ? 17 34 2 ? ? 2 2 ?sin A ? cos A ? 1, ?


AB BC sin A ? ? 2 .所以,最小边 BC ? 2 . 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C

1 1 3 34 3 2 . ? S?ABC ? AB ? BC ? sinB ? ? 17 ? ? 2 2 34 4
考点:1.两角和的正切公;2.正弦定理和余弦定理的应用;3.面积公式的应用. 89. (1)B= 【解析】 试题分析: (1)由向量共线条件可得 (a ? c)c ? (a ? b)(a ? b) ? 0,? a ? c ? b ? ac ,再
2 2 2

? 3 . (2) 3 2

由余弦定理得: cos B ?

a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,又 0 ? B ? ? ? B ? . (2)由正弦定理 3 2ac 2
1 1 3 ab ? ? 1? 3 ? 2 2 2


得 A= ? ,C= ? 进而可求面积 S?ABC ? 6 2 试题解析: (1)

m ? (a ? c, a ? b), n ? (a ? b, c)且m / / n

?(a ? c)c ? (a ? b)(a ? b) ? 0,? a2 ? c2 ? b2 ? ac
由余弦定理得: cos B ? (2)

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ? ,又 0 ? B ? ? ? B ? 3 2ac 2
a b ? sin A sin B
8分

6分

a ? 1, b ? 3,由正弦定理得 :
? sin A ?

?

1 3 ? sin A sin ? 3

1 ?a ? b ? A ? B 2

?A?

?
6

? c ? ? ? ( A ? B) ? ? ? (

?
3

?

?
6

)?

?
2

10 分

1 1 3 ? S?ABC ? ab ? ? 1? 3 ? 2 2 2

12 分

考点:1.向量共线条件;2.正弦定理和余弦定理的综合应用. 90. (1) 【解析】 试题分析: (1)通过向量的垂直可知 m ? n ? 0 ,由坐标运算并化简得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab , 结合余弦定理可 求得 C=

? ; (2)等边三角形. 3
? ?

? ; (2)利用倍角公式将条件变形化简得 cos A ? cos B ? 1 ,利用三角形内角和定 3

理和(1)可变形 为

? 1 sin A ? cos A ? 1 ,求得 A= ,因此三角形为等边三角形. 3 2 2
3

试题解析: (1)由题意得 m ? n ? (a ? c, b ? a)(a ? c, b) ? a 2 ? c2 ? b2 ? ab ? 0 , 即 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab

a 2 ? b2 ? c2 1 π ? , 0 ? C ? π,?C ? 2ab 2 3 B 2 A ? 2 sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos A ? 1 ? cos B ? 1 (2)∵ 2 sin 2 2 2π ? A) ? 1 , ∴ cos A ? cos B ? 1, cos A ? cos( 3
由余弦定理得

cos C ?

∴ cos A ? cos

2π 3

cos A ? sin

2π 3

sin A ? 1 ,∴

3 2

sin A ?

1 2

cos A ? 1 ,

π π π ∴ sin( A ? ) ? 1 ,∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? , B ? 6 3 3 ∴△ ABC 为等边三角形. 考点:1.向量的坐标运算;2.倍角公式;3.辅助角公式
91. (1) A ? 【解析】 试题分析: (1)条件中的等式 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 给出了边角满足的关系式,利 用 正 弦 定 理 , 统 一 为 边 之 间 的 关 系 :

?
3

; (2) (14, 21] .

ac


o?C s

a 3?

C s ? i bn ?

c?

0

A s? i C n

,进一步化 c A o ? s

C ?

3

B s

i

? sin A cos C ? 3sin Asin C ? sin( A ? C) ? sin C

? 1 ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? ) ? 6 2
3 围,首先显然有 b ? c ? a ? 7 ,再由余弦定理结合基本不等式可知 ? 3 1 49 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 3 4 4 ? A?

?

6

?

?

6

? A?

?

; (2)根据题意可知,欲求周长的取值范围,即求 b ? c 的取值范







7?b?c ?

1 4 ,即有周长的取值范围是 (14, 21] .

试题解析: (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3sin Asin C ? sin( A ? C) ? sin C

? ? ? ? 1 ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? ) ? ? A ? ? ? A ? ; 6 6 3 6 2 (2)由已知: b ? 0 , c ? 0 , b ? c ? a ? 7 , ? 3 1 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 49 ? b ? c ? 2bc cos ? (b ? c) ? 3bc ? (b ? c) ? (b ? c) ? (b ? c) 3 4 4
当且仅当 b ? c ? 7 时等号成立,∴ (b ? c)2 ? 4 ? 49 ,又∵ b ? c ? 7 ,∴ 7 ? b ? c ? 14 , 从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (14, 21] . 考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理;3.基本不等式. 92. (1) A ? 【解析】 试题分析: (1)首先利用正弦定理将条件中给出的等式 a cos C ? 的 关 系 式 :

2? 2 3 ; (2) (2, ? 1] . 3 3 1 c ? b 转化为角之间满足 2 oC s , B 再 s 由 i n
s

s
n

Ai
A(

1 ? nC 2 1 2

? c

s

s B? i

n

A?

s C ? i

n? ? 可 ? 知 C ) s iC sA

s 从 ic n 而 o , i cAo C ns C

c

2 1 2? cos A ? ? , A ? (sin B ? sin C ) ,利用 ; (2)由正弦定理可知 l ? a ? b ? c ? 1 ? 2 3 3
(1)将其转化为关于 B 的三角表达式,从而求得其取值范围:.

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3

? 1?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) 2 3 3 2 3





B?

?
3

?(

?2
3

,

?
3

) 可



? 3 2 3 s iB ? n (? ) ,从而 ( ?ABC , 的周长的取值范围为 1 ] (2, ? 1] . 3 2 3
1 1 c ? b ,∴ sin A cos C ? sin C ? sin B , 2 2 1 又∵ sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ,∴ sin C ? ? cos A sin C , 2 1 2 ? ∵ sin C ? 0 ,∴ cos A ? ? ,∵ A ? (0, ? ) ,∴ A ? ;........4 分 2 3
试题解析: (1)∵ a cos C ? (3)由正弦定理得: b ?

sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C , sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3

? 1?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) , 2 3 3 2 3
2? ? ? 3 ,∴ B ? (0, ) ,∴ sin( B ? ) ? ( ,1] , 3 3 3 2

∵A?

故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

2 3 ? 1] .??12 分 3

考点:1.三角恒等变形;2.正弦定理的运用. 93. (1) sin ?BAD ? 3

4 3 ; (2) BD ? 3 , AC ? 7 . 14

【解析】 试题分析: (1)条件中给出了 B 的值与 ? BAD 的三角函数值,结合三角形外角的性质由

?BAD ? ?ADC ? ?B ? ?ADC ?
s i ?B n A D ?

?

3
1 ? 7





? 4 3 1 s ?i A n D ( ?C ? ) 3 7 2

3 3 3 (?2)由( ? ; ?1 )可知,在 ?ABD 中 2 1 4

利用正弦定理即可求得 BD 的长度: BD ?
2 ? 理,即可求得 AC 的长度: A C

A ?B s i? n B A D ?ABC ? 3 ,再在 中利用余弦定 s i?ADB n
22 B ? C ? c Ao B ?s


2 A ?B

B C 4 ? 9. ? B

7 ?

A C

试 题 解 析 : ( 1 ) ∵

cos ?ADC ?

4 3 7

?A D? ( C? 0 , , )∴

sin ?ADC ? 1 ? cos2 ?ADC ?
又 ∵

4 3 , 7
A ? D
A

?B
A ?n

?
; ? i

?
3
n

A

? ,

D

? ∴
3 ? 2

C

?
3 )? 1

s ?B

i

?
3

D

4

?

3 s 7

1 D 2

1 ? C ( 7

(2)在 ?ABD 中,由正弦定理得: BD ?

AB ? sin ?BAD ? 3 ,在 ?ABC 中,由余弦定理 sin ?ADB

2 2 2 得: AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 49 ,∴ AC ? 7

考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形. 94. (1) 【解析】 试题分析: (1)利用平面向量的数量积的坐标运算写出 f ( x) 的表达式,再利用三角恒等变换化简 函数式; (2)在 ?ABC 中,由条件 b 2 ? ac ,利用余弦定理求出角 B 的取值范围,再由(1)的结果求 出 f ( B ) 的取值范围. 试题解析:解:因为向量 m ? (cos 所以 f ( x) ? 3 sin

? 、? ; (2) (?1, 0] . 3

x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? m n . 2 2 2

x x x 3 1 ? cos x cos ? cos 2 ? sin x ? 2 2 2 2 2
3分

?

3 1 1 ? 1 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? 2 2 2 6 2

(1)由 f ( x) ? 0 ,得 sin( x ?

?
6

)?

∴x? ∴ x=

?
?
6

=

?
6

+2k? , 或x ?

?

6

=

5? +2k? ,k ? Z 6

1 . 2

3

+2k? , 或x=? +2k?,k ? Z

又 x ??0, ? ? ,? x ?

?
3

或? .

所以 f ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上的零点是

? 、? . 3

6分

2 (2)在 ?ABC 中, b ? ac ,所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac ac 1 ? ? ? . 2ac 2ac 2ac 2

由 cos B ?

? 1 ? ? ? ?? 且 B ? (0, ? ) ,得 B ? (0, ], 从而B- ? ? - , ? 3 2 6 ? 6 6?

10 分

? 1 1 ? 1 ∴ sin( B ? ) ? ( ? , ] , ∴ f ( B) ? sin( B ? ) ? ? (?1, 0] 6 2 2 6 2
考点:1、平面向量的数量积;2、余弦定理;3、三角恒等变换. 95. (1) C ? 【解析】 试题分析: (1) 由 S= 根据 0< C < ? ,即得 C ?

12 分

? ? 3 ; (2) B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 2 3 3
3 1 1 abs1nC 及题设条件得 abs1nC= abcosC,即 s1nC= 3 cosC,tanC= 3 , 2 2 2

? 1 x x x cos ? cos 2 ? sin( x ? ) ? , 6 2 2 2 2 ? ? 5? ? 根据 C= 得到 ? B ? ? , 6 6 6 3 ? ? ? 3 当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 6 2 2 3
(2)首先化简 f ( x) ?

? . 3

3 sin

试题解析: (1)由 S=

3 1 1 abs1n C 及题设条件得 abs1n C = abcos C 2 2 2
2分 4分

1分

即 s1n C = 3 cos C ,? tan C = 3 ,

? 0< C < ? ,? C ?
(2) f ( x) ?

? 3

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2
9分

7分

2? ? ? 5? ? ) ∴ B ? (0, ∴ ? B? ? (没讨论,扣 1 分) 3 6 6 6 3 ? ? ? 3 当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 12 分 6 2 2 3
∵C = 96.AC= 7 , S△ABC= 【解析】

? 1 ? sin( x ? ) ? , 6 2

10 分

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角形的面积;3.三角函数的图象和性质.

3 3。 4

o o ? 试题分析:由∠B=60 ,∠ADC=150 知角 BAC 为 90 ,则 AD= 3 .在△ACD 中,利用余弦

定理结合已知可求出 AC,再利用三角形面积公式 S△ABC= 的面积.

1 ? AB ? BC ? sin 60 ? 可求△ABC 2
o

试题解析:在△ABC 中,∠BAD=150 -60 =90 ,∴AD=2sin60 = 3 .
2 2 2 o 在△ACD 中,AC =( 3 ) +1 -2× 3 ×1×cos150 =7,∴AC= 7 .

o

o

o

∴AB=2cos60 =1.S△ABC=

o

1 3 o ×1×3×sin60 = 3. 2 4

考点: (1)余弦定理的应用; (2)三角形面积公式 S△ABC=

1 ab sin C 。 2

97.40m. 【解析】 试题分析:本题是解三角形的实际应用题,根据题意分析出图中的数据, 即∠ADB=30°,∠ACB=45°, 所以,可以得出在 Rt△ABD 中,BD= 3 AB,在 Rt△ABC 中,∴BC=AB. 在△BCD 中,由余弦定理,得 2 2 2 BD =BC +CD -2BC·CDcos∠BCD, 代入数据,运算即可得出结果. 试题解析:根据题意得,在 Rt△ABD 中,∠ADB=30°,∴BD= 3 AB, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=45°,∴BC=AB. 在△BCD 中,由余弦定理,得 2 2 2 BD =BC +CD -2BC·CDcos∠BCD, 2 2 2 ∴3AB =AB +CD -2AB·CDcos120° 2 整理得 AB -20AB-800=0, 解得,AB=40 或 AB=-20(舍) . 即电视塔的高度为 40 m 考点:解三角形. 98.c= 5 或 2 5 . 【解析】 试题分析:根据题意,运用正弦定理得

sinB ?

bsinA 15sin30? 3 ? ? , a 2 5

又∵b>a,∴B>A,所以 B=60°或 120°, 然后两种情况具体计算即可. 试题解析:由正弦定理得

sinB ?

bsinA 15sin30? 3 ? ? , a 2 5

又∵b>a,∴B>A,所以 B=60°或 120°,

当 B=60°时,C=90°,∴c= a ? b =2 5 ,
2 2

当 B=120°时,C=A=30°,∴c=a= 5 , 综上可知 c= 5 或 2 5 . 考点:正弦定理. 99. (1) ?? 【解析】 试题分析: (1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简,得到 y ? A sin ??x ? ? ? 的形式,利 用公式 T ?

3 ? ? 5 ? (2) f ? A? ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? ; 2 12 ? 12 ?

2?

?

计算周期; (2)求解较复杂三角函数的单调区间时,首先化成

??x ? ? ? 形式,再 y ? A sin??x ? ? ? 的单调区间,只需把 ?x ? ? 看作一个整体代 y ? As i n
入 y ? sin x 相应的单调区间,注意先把 ? 化为正数,这是容易出错的地方; (3)在三角形中 处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次 式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公 式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围. 试题解析: (1) f ?x ? ? a ? b ?

3 3 ? sin ?x cos?x ? 3 cos2 ?x ? 2 2
3分

1 3 ?? ? ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin ? 2?x ? ? 3? 2 2 ?
∵ f ?x ? 的最小正周期为 ? ,且 ? >0 ∴

2? ? ? , ∴ ? ? 1, 2?

4分

∴ f ? x ? ? sin ? 2 x ? 由?

? ?

??

?. 3?

?
2

? 2 k? ≤ 2 x ?

?
3



?
2

? 2 k? , k ? Z

5分

得 f ?x ? 的增区间为 ??

? ? 5 ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? 12 ? 12 ?

6分

(2)由 b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, ∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc,

b2 ? c2 ? a 2 3bc 3 又由 cos A ? ? ? 2bc 2bc 2
∴在 ?ABC 中, A ? ∴ f ? A? ? sin? 2 ?

8分

?
6

9分

? ?

?
6

?

??

3 2? ? ? ? sin 2 3? 3

12 分

考点:1、求正弦型函数的单调区间;2、三角形中余弦定理的应用. 100. (1) ? 【解析】 试题分析: (1)由已知求 c ,进而利用余弦定理求 cos C ; (2)三角恒等变形往往用到的技 巧为统一角、尽可能减少函数名称或统一函数名称,涉及三角形问题时,往往利用正弦定理

1 ; (2) a ? b ? 6 5

A B , 化为 A, B ,再利用两角和的正 2 2 弦公式变形为 sin A ? sin B ? 3 sin C ,再利用正弦定理角化边为 a ? b ? 3c ,结合已知条件
和余弦定理实现边角转化.本题先利用降幂公式,将 得 a ? b ? 12 ,再利用三角形面积公式得 ab ? 36 ,进而联立求 a , b . 试题解析: (1)由题意可知 C ? 16 ? (a ? b) ? 7 由余弦定理得 cosC ? (2)由 sin A cos
2

(2 分)

a 2 ? b 2 ? c 2 4 2 ? 52 ? 7 2 1 ? ?? 2ab 2? 4?5 5

(5 分)

B A ? sin B cos 2 ? 2sin C 可得 2 2 1 ? cos B 1 ? cos A sin A ? ? sin B ? ? 2 sin C 7分 2 2 化简得 sin A ? sin A cos B ? sin B ? sin B ? cos A ? 4 sin C
即:∴ sin A ? sin B ? sin( A ? B) ? 4 sin C 8分

sin A ? sin B ? 3 sin C 9分 即 a ? b ? 3c 10 分 又 a ? b ? c ? 16 ∴ a ? b ? 12 1 由于 S ? ab sin C ? 18 sin C 2
∴?

11 分

?ab ? 36 ?a ? b ? 12

即a ? b ? 6

12 分

考点:1、正弦定理和余弦定理;2、三角形面积公式. 值.


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