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2016年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学word


2016 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 高三数学检测试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.设集合 A ? x | x2 ? 2x ? 0 , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,则 ? ?R A? ? B ? A. ?x | ?1 ? x ? 0? C. ?x | ?1 ? x ? 0? B. ?x | 0 ?

x ? 2? D. ?x | ?1 ? x ? 0?

?

?

2.若 sin x ? 2cos x ? 5 ,则 tan x ? 1 1 A. ? B. C. 2 D. ?2 2 2 3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体 的侧面 PAB 的面积是 A. 3 B. 2 C. 5 D. 7 2 4.命题:“ ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 或 x0 ? sin x0 ”的否定是 A. ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 且 x ? sin x B. ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 或 x ? sin x C. ?x0 ? R , x0 2 ? 1 ? 0 且 x0 ? sin x0 D. ?x0 ? R , x0 2 ? 1 ? 0 或 x0 ? sin x0 5.设 f ( x) ? 2 x ? log 1 x ,满足 f (a) f (b) f (c) ? 0(0 ? a ? b ? c) .若函数 f ( x) 存在零点 x0 ,则
2

D. x0 ? c 3 6.设点 P 为有公共焦点 F1 , F2 的椭圆 M 和双曲线 ? 的一个交点,且 cos ?F1 PF2 ? ,椭圆 M 5 的离心率为 e1 ,双曲线 ? 的离心率为 e2 .若 e2 ? 2e1 ,则 e1 ?
7 7 10 10 B. C. D. 5 4 5 4 7.在 Rt?ABC 中, ? C 是直角, CA ? 4 , CB ? 3 , ?ABC 的内切 圆交 CA , CB 于点 D,E,点 P 是图中阴影区域内的一点(不 ??? ? ??? ? ??? ? 包含边界).若 CP ? xCD ? yCE ,则 x ? y 的值可以是

A. x0 ? a

B. x0 ? a

C. x0 ? c

A.

A.1 B.2 C.4 D.8 8.记 Sn 是各项均为正数的等差数列 ?an ? 的前 n 项和.若 a1 ? 1 ,则
2 2 A. S2m S2n ? Sm ? n , ln S2 m ln S2 n ? ln Sm ? n

2 2 B. S2m S2n ? Sm ? n , ln S2 m ln S2 n ? ln Sm ? n 2 2 C. S2m S2n ? Sm ? n , ln S2 m ln S2 n ? ln Sm ? n
2 2 D. S2m S2n ? Sm ? n , ln S2 m ln S2 n ? ln Sm ? n 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

9.设 ln 2 ? a, ln 3 ? b ,则 ea ? eb ? ______________.(其中 e 为自然对数的底数)
? x 2, x ? 0, 10.设函数 f ( x) ? ? ln ? ? x ? 1?,g ? x ? ? ? 则 g ? ?2? ? ________;函数 y ? g ? x ? ? 1 ? f ( x),x ? 0.

的零点是___________.

? y ? x, ? 11.设实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1, 若 z ? 2 x ? y ,则 z 的最大值等于_______, z 的最小 ? y ? 0. ?

值等于____________. 12.设直线 l1 : ? m ? 1? x ? ? m ? 3? y ? 8 ? 0 ? m ? R ? , 则直线 l1 恒过定点______; 若过原点作直线
l2 ∥ l1 ,则当直线 l1 与 l2 的距离最大时,直线 l2 的方程为__________________.

13.如图, ?ABC 是等腰直角三角形, AB ? AC , ?BCD ? 90? , 且 BC ? 3CD ? 3 .将 ?ABC 沿 BC 的边翻折,设点 A 在 平面 BCD 上的射影为点 M ,若点 M 在 ?BCD 内部(含边界), 则点 M 的轨迹的最大长度等于_______;在翻折过程中, 当点 M 位于线段 BD 上时,直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值 等于______________.
1 16 y 1 1 14.设 x ? 0, y ? 0 ,且 ( x ? ) 2 ? ,则当 x ? 取最小值时, x 2 ? 2 ? ______. y x y y

??? ? ??? ? ???? ? ? 1 ??? r ??? 15.已知 OA , OB 是非零不共线的向量,设 OC ? OA ? OB ,定义点集 r ?1 r ?1

? ???? ??? ? ???? ? ? ??? ? KA ? KC KB ? KC ? M ? ? K ??? ? ? ??? ? ? .当 K1 , K 2 ? M 时,若对于任意的 r ? 2 , KA KB ? ? ? ? ?????? ??? ? 不等式 K1K2 ? c AB 恒成立,则实数 c 的最小值为_______________.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .若 A ? (Ⅰ)求 C ; ??? ? ??? ? (Ⅱ)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b, c .

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

17. (本题满分 15 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,平面 A1 BC ? 平面 A1 ABB1 . (Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ)设直线 AC 与平面 A1 BC 所成的角为 ? ,二面角 A1 ? BC ? A 的大小为 ? ,试比较 ? 和 ? 的大小关系, 并证明你的结论.

18. (本题满分 15 分)设数列 {an } 满足 a1 ? (Ⅰ)证明:
a n ?1 ? 3; an

1 2 , an?1 ? an ? an ? 1 ( n ? N* ). 2

1 (Ⅱ)设数列 { } 的前 n 项和为 Sn ,证明: S n ? 3 . an

???? ??? ? 19.(本题满分 15 分)设点 A, B 分别是 x, y 轴上的两个动点, AB ? 1 .若 AC ? ? BA (? ? 0) . (Ⅰ)求点 C 的轨迹 ? ; (Ⅱ)过点 D 作轨迹 ? 的两条切线,切点分别为 P, Q ,过点 D 作直线 m 交轨迹 ? 于不同 1 1 t ? ? 的两点 E , F ,交 P, Q 于点 K ,问是否存在实数 t ,使得 恒成立, | DE | | DF | | DK | 并说明理由.

20.(本题满分 14 分)设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c(c ? b ? a) ,其图象过点 (1,0) ,且与直线 y ? ?a 有交点. b (Ⅰ)求证: 0 ? ? 1 ; a (Ⅱ)若直线 y ? ?a 与函数 y ?| f ( x) | 的图象从左到右依次交于 A, B, C , D 四点.若线段 b AB , BC , CD 能构成钝角三角形,求 的取值范围. a

2016年杭州市第一次高考科目教学质量检测 理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A B C B B 二、填空题:本大题共7 小题,多空题每题6 分,单空题每题4 分,共36 分. 9. 5 10. ? ln 3 , 1 ? e 11. 2 , 0 12. (2, 2) , x ? y ? 0
3 6 4 , 14. 12 15. 2 6 3 三、解答题:本大题共5 小题,共74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分15 分) b c 证明:(Ⅰ)在 ?ABC 中,由正弦定理 ,得 (1 ? 3)sin C ? 2sin B , ? sin B sin C 5 又因为 2sin B=2sin( ? ? C ) ? cos C ? 3 sin C , 6

13.

所以 sin C ? cos C ,即 C ?

?

4



???7 分

??? ? ??? ? 2 ab ,所以 ab ? 2(1 ? 3) . (Ⅱ)因为 CB ? CA ? 2 由正弦定理得 2a ? c , 1 (1 ? 3) 2 2 c ? 2(1 ? 3) 由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? c 2 ? 2 4 3? 3 2 ? c ? 2(1 ? 3) , 2 解得 c ? 2 ,所以 a ? 2 , b ? 1 ? 3 . ???8 分 17.(本题满分15 分) (Ⅰ)证明:过点 A 在平面 A1 ABB1 内作 AD ? A1B 于 D ,

因为面 A1 BC ? 面 A1 ABB1 ,面 A1 BC ? 面 A1 ABB1 ? A1 B , 所以 AD ? 平面 A1 BC ,又因为 BC ? 平面 A1 BC , 所以 AD ? BC . 因为 AA1 ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? BC . 又因为 AA1 ? AD ? A ,所以 BC ? 侧面 A1 ABB1 , 又因为 AB ? 侧面 A1 ABB1 ,故 AB ? BC . ?8 分 (Ⅱ)连 CD , 由(Ⅰ)知 ?ACD 是直线 AC 与平面 A1 BC 所成的角, 又 ?ABA1 是二面角 A1 ? BC ? A 的平面角. 设 ?ACD ? ? , ?ABA1 ? ? . 在 Rt ?ADC 中, sin ? ?

AD AD ,在 Rt ?ADB 中, sin ? ? . AC AB

由 AB ? AC ,得 sin ? ? sin ? ,又 ? , ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? . 2 18.(本题满分15 分) 1 2 解:(Ⅰ)因为 a1 ? ,且 an?1 ? an ? an ? 1 ? 0 ,所以 an ? 0 , 2 a 1 由条件得: n ?1 ? an ? ? 1 ? 3 . an an

?

?7 分

?7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 所以 Sn ?
?

an 1 1 1 1 ? ,即 ? ? , an ?1 3 an ?1 3 an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? n ?1 ? a1 a2 an a1 3 a1 3 a1 3 a1
1 1 1 1 1 (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? 3(1 ? n ) ? 3 . a1 3 3 3 3

?8 分

19.(本题满分15 分)

??? ? ???? 解:(Ⅰ)设 A(a,0), B(0, b), C ( x, y) ,则 BA ? (a, ?b), AC ? ( x ? a, y) .
? x ? a ? ? a, 所以 ? 消去 a , b ,得点 C 的轨迹 ? 为: ? y ? ?? b, x2 y2 ? ?1. ?6 分 (? ? 1)2 ? 2 (Ⅱ)设点 E , F , K 的横坐标分别为 xE , xF , xK ,设点 D(s, t ) , s t x ? 2 y ? 1. 则直线 PQ 的方程为: 2 (? ? 1) ? 设直线 m 的方程: y ? kx ? b ,所以 t ? ks ? b . t 1? 2 b ? 计算得 xK ? . s t ? k (? ? 1)2 ? 2 k2 1 2kb b2 2 ) x ? x ? ?1 ? 0 , 将直线 m 代入椭圆方程,得 ( 2 ? ? (? ? 1)2 ?2 ?2

所以 xE ? xF ?
2

?2kb k ?

k ? (? ? 1) 2 (? ? 1)2 | DK | | DK | | xD ? xK | | xD ? xK | ? ? ? 所以 | DE | | DF | | x D ? x E | | x D ? x F |
2

?2

, xE xF ?

b2 ? ? 2

?2



? s?

1? t

t

s k? 2 ? (? ? 1)2

?2

b

?

2 xD ? ( xE ? xF ) xD ? xD ( xE ? xF ) ? xE xF
2

?2.

??9 分

20.(本题满分14 分) 解:(Ⅰ)因为 a ? 2b +c ? 0 , c ? b ? a ,所以 a ? 0 , c ? 0 . 1 b 又因为 ? a ? 2b ? b ? a ,所以 ? ? ? 1 ; 3 a 又因为函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? ?a 有交点, 所以方程 ax2 ? 2bx ? c ? a ? 0 有实根, 即 ? ? 4b2 ? 4a(c ? a) ? 4b2 ? 8ab ? 0 , b b b b 所以 4( )2 ? 8 ? ( ) ? 0 ,解得 ? ?2 或 ? 0 , a a a a b 综上可得 0 ? ? 1 . a (Ⅱ)因为点 A 与点 D 、点 B 与点 C 关于对称轴对称, 设 | AB |?| CD |? m , | BC |? n , 因为线段 AB, BC , CD 能构成钝角三角形,

??7 分

? m ? m ? n, 所以 ? 2 得 n ? 2m ? 2n , 2 2 ?m ? m ? n ,

故 2n ? 2m ? n ? ( 2 ? 1)n , 所以 2 | BC |?| AD |? ( 2 ? 1) | BC | . 设 x1 , x2 是方程 ax2 ? 2bx ? c ? a ? 0 的两根,
b b 则 | BC |? 4( ) 2 ? 8 ? ( ) . a a 2 设 x3 , x4 是方程 ax ? 2bx ? c ? a ? 0 的两根, b b 则 | AD |? 4( ) 2 ? 8 ? ( ) ? 8 . a a b b b b b b 所以 2 4( )2 ? 8 ? ( ) ? 4( ) 2 ? 8 ? ( ) ? 8 ? ( 2 ? 1) 4( ) 2 ? 8 ? ( ) , a a a a a a

解得 ?1+ 4 2 ?

b 15 ? ?1 ? . a 3

??7 分


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