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2017届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 计时双基练55 随机事件的概率 文


计时双基练五十五

随机事件的概率

A 组 基础必做 1.(2016·九江模拟)从 1,2,3,?,7 这 7 个数中任取两个数,其中: (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; (2)至少有一个是奇数和两个都是奇数; (3)至少有一个是奇数和两个都是偶数; (4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。 上述事件中,是对立事件的是( A.(1) C.(3) ) B.(2)(4) D.(1)(3)

解析 (3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”, 而从 1~7 中任取两个 数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件: “两个都是奇数”与“一奇一偶”“两个都是 偶数”, 故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件。 易知其余都不是对立事 件。 答案 C 2.(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米 内夹谷约为( A.134 石 C.338 石 ) B.169 石 D.1 365 石

28 14 解析 由条件知 254 粒内夹谷 28 粒,可估计米内夹谷的概率为 = ,所以 1 534 254 127 14 石米中夹谷约为 ×1 534≈169(石)。 127 答案 B 3.在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中任取 2 张,若事件“2 张全是 3 7 移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( 10 10 A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 ) B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡, 一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事 件,它是“2 张全是移动卡”的对立事件,故选 A。 答案 A 1 1 4.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率和甲不输的 2 3
1

概率分别为( 1 1 A. , 6 6 1 2 C. , 6 3 解析

) 1 2 B. , 2 3 2 1 D. , 3 2

1 1 1 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲胜”的概率为 1- - = 。 2 3 6

设“甲不输”为事件 A,则 A 可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件,所以

P(A)= + = 。(或设“甲不输”为事件 A,则 A 可看做是“乙胜”的对立事件,所以 P(A)
1 2 =1- = ) 3 3 答案 C 5.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图。 根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在 区间[10,15)和[30,35]上为三等品。用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取 1 件,则其 为二等品的概率是( )

1 1 2 6 2 3

A.0.09 C.0.25 解析

B.0.20 D.0.45

由频率分布直方图可知,一等品的频率为 0.06×5= 0.3 ,三等品的频率为

0.02×5+0.03×5=0.25,所以二等品的频率为 1-(0.3+0.25)=0.45,用频率估计概率 可得其为二等品的概率为 0.45。 答案 D 6.若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于零,且 P(A)=2-a,P(B)=4a-5, 则实数 a 的取值范围是( )

?5 ? A.? ,2? ?4 ? ?5 3? C.? , ? ?4 2?

?5 3? B.? , ? ?4 2? ?5 4? D.? , ? ?4 3?

2

解 析

0<P?A?<1, ? ? 由 题 意 可 知 ?0<P?B?<1, ? ?P?A?+P?B?≤1

0<2-a<1, ? ? ? ?0<4a-5<1, ? ?3a-3≤1

?

? 3 ?5 <a< , 4 2 ? 4 ? ?a≤3

1<a<2, 5 4 ? <a≤ 。 4 3

答案 D 7.一个袋子中有红球 5 个,黑球 4 个,现从中任取 5 个球,则至少有 1 个红球的概率 为________。 解析 “从中任取 5 个球,至少有 1 个红球”是必然事件,必然事件发生的概率为 1。 答案 1 8.给出下列命题: ①对立事件一定是互斥事件;②若 A,B 是两个事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B);③若 事件 A,B,C 两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)<1,则 事件 A,B 是互斥但不对立事件。 其中所有不正确命题的序号为________。 解析 对立一定互斥,但互斥未必对立,①正确;仅当 A,B 互斥时,②成立,故②不 正确;因为两两互斥的三个事件 A,B,C,其概率和不一定等于 1,也可能小于 1,③不正 确;对于④,两个事件 A,B,满足 P(A)+P(B)<1,不能推出 A,B 互斥,更不能说 A,B 对 立,所以④错误。 答案 ②③④ 9.某城市 2014 年的空气质量状况如下表所示: 污染指数 T 概率 P 30 1 10 60 1 6 100 1 3 110 7 30 130 2 15 140 1 30

其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50<T≤100 时,空气质量为良;100<T≤150 时,空气质量为轻微污染,则该城市 2014 年空气质量达到良或优的概率为________。 1 1 1 3 解析 由题意可知 2014 年空气质量达到良或优的概率为 P= + + = 。 10 6 3 5 答案 3 5

10.(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。 抽奖方法是:从装有 2 个红球 A1,A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1,a2 和 2 个白球
3

b1,b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果; (2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认 为正确吗?请说明理由。 解 (1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,

a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}。
(2)不正确。理由如下: 由(1)知,所有可能的摸出结果共 12 种,其中摸出的 2 个球都是红球的结果为{A1,a1}, 4 1 1 2 1 {A1, a2}, {A2, a1}, {A2, a2}, 共 4 种, 所以中奖的概率为 = , 不中奖的概率为 1- = > 。 12 3 3 3 3 故这种说法不正确。 11.对一批衬衣进行抽样检查,结果如表: 抽取件数 n 次品件数 m 次品率 50 0 100 2 200 12 500 27 600 27 700 35 800 40

m n

(1)求次品出现的频率(次品率); (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A,求 P(A); (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1 000 件衬衣,至少需进货多少件? 解 (1)次品率依次为 0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05。

(2)由(1)知,出现次品的频率 在 0.05 附近摆动,故 P(A)=0.05。 (3)设进衬衣 x 件,则 x(1-0.05)≥1 000, 解得 x≥1 053,故至少需进货 1 053 件。 B 组 培优演练 1.(2015·陕西质检二)若足球比赛的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负 一场得 0 分,则一个队打了 14 场比赛共得 19 分的情况种数为( A.4 C.6 B.5 D.7 两式相减 )

m n

?x+y+z=14, ? 解析 设胜的场数为 x,平的场数为 y,负的场数为 z,则? ? ?3x+y=19,

得 2x-z=5。当 z=1 时,x=3,y=10;当 z=3 时,x=4,y=7;当 z=5 时,x=5,y= 4;当 z=7 时,x=6,y=1。故选 A。 答案 A 2.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个
4

数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________。 解析 由题意得 an=(-3)
n-1

,易知前 10 项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于 8

6 3 的项为第一项和偶数项,共 6 项,即 6 个数,所以 P= = 。 10 5 答案 3 5

3.从一副混合后的扑克牌(52 张)中,随机抽取 1 张,事件 A 为“抽得 K”,事件 B 为 “抽得黑桃”,则概率 P(A+B)=________(结果用最简分数表示)。 解析 由于 A+B 为“抽得红桃 K”、“抽得方块 K”、“抽得梅花 K”、“抽得黑桃” 四个互斥事件。 记“抽得红桃 K”、“抽得方块 K”、“抽得梅花 K”分别为 A1,A2,A3。 1 1 1 13 故 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(B)= 52 52 52 52 ∴P(A+B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(B) = 1 1 1 13 4 + + + = 52 52 52 52 13 4 13

答案

4. 亚航 QZ8501 航班于北京时间 2014 年 12 月 28 日早上 7 时 17 分与地面塔台失去联系, 12 月 30 日印尼国家搜救部门派 3 架飞机和 3 架直升机在爪哇海进行搜救。 执行任务的人员 在相关海域发现疑似飞机紧急滑道和舱门的物件, 若 n 架飞行器同时搜索疑似残留物的概率 如下表所示: 飞行器同时搜索残留物 的架数 概率 以下 0.1 3架 0.46 4架 0.3 5架 0.1 6架 0.04

(1)求有 3 架或 5 架飞行器同时搜索疑似残留物的概率; (2)求至少有 4 架飞行器同时搜索疑似残留物的概率; (3)求至多有 5 架飞行器同时搜索疑似残留物的概率。 解 (1)设 2 架及以下飞行器同时搜索为事件 A,3 架为事件 B,4 架为事件 C,5 架为事件

D,6 架为事件 E,
所以有 3 架或 5 架的事件为 B+D,事件 B 或事件 D 为互斥事件,根据互斥事件概率的 加法公式可知 P(B+D)=P(B)+P(D)=0.46+0.1=0.56。 (2)解法一:至少有 4 架飞机器同时搜索疑似残留物的事件包括恰有 4 架、恰有 5 架、 恰有 6 架,根据互斥事件概率的加法公式可知 P(C+D+E)=P(C)+P(D)+P(E)=0.3+0.1 +0.04=0.44。

5

解法二: 至少有 4 架飞行器同时搜索疑似残留物的对立事件为 2 架及以下或 3 架飞行器 同时搜索疑似残留物,所以由对立事件的概率公式可知 P1=1-P(A)-P(B)=1-0.1-0.46 =0.44。 (3)至多有 5 架飞行器同时搜索疑似残留物的对立事件为恰有 6 架飞行器同时搜索疑似 残留物,根据对立事件的概率公式可知 P2=1-P(E)=1-0.04=0.96。

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