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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题四 第1讲 空间几何体中的计算问题课件 文


第1讲

空间几何体中的计算问题

高考定位

立体几何中的计算主要考查空间几何体与三视图

相结合的几何体的表面积和体积,是历年高考的必考内容,
在选择题、填空题或解答题中均有考查.

真题感悟 1.(2015· 陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表

面积为( )

A.3π

B.4π

C.2π+4

D.3π+4

解析

由三视图可知原几何体为半圆柱, 底面半径为 1, 高为 2,

则表面积为: 1 1 2 S=2×2π×1 +2×2π×1×2+2×2 =π+2π+4=4+3π.

答案 D

2.(2015· 浙江卷 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位: cm) ,则该几
何体的体积是( )

A.8 cm3 32 C. 3 cm3

B.12 cm3 40 D. 3 cm3a

解析 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边 长为 2 cm 正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成,V=V 正方体+V 四棱锥=83 8 32 +3= 3 (cm3).故选 C.

答案 C

3.(2015· 全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学 名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高

五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放
米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺, 米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1

斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约
有( )

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

16 1 1 2 解析 由题意知: 米堆的底面半径为 (尺), 体积 V= × πR · h 3 3 4 320 320 = (立方尺).所以堆放的米大约为 ≈22(斛). 9 9×1.62
答案 B

4.(2015· 江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和

底面半径为2、高为8的圆柱各一个 .若将它们重新制作成总体
积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一 个,则新的底面半径为________.

1 2 1 2 解析 设新的底面半径为 r,由题意得3πr · 4+πr · 8=3π×52×4 +π×22×8,解得 r= 7.

答案

7

考点整合 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行 六面体、长方体之间的关系.

2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形直观图的面积是原 2 图形面积的 4 倍. 3.几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正, 高平齐,宽相等. 4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式; ①S 柱侧=ch(c 为底面周长,h 为高); 1 ②S 锥侧=2ch′(c 为底面周长,h′为斜高);

1 ③S 台侧=2(c+c′)h′(c′,c 分别为上下底面的周长, h′为斜高); ④S 球表=4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 ②V 锥体=3Sh(S 为底面面积,h 为高); 4 3 ③V 球=3πR .

热点一 以三视图为载体的几何体的表面积与体积的计算 [微题型1] 以三视图为载体求几何体的表面积
【例 1-1】 (2015· 安徽卷)一个四面体的三视图如图所示, 则该四 面体的表面积是( )

A.1+ 3 C.2+ 3

B.1+2 2 D.2 2

解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示. 1 3 ∴其表面积 S 表=2×2×2×1+2× 4 ×( 2)2=2+ 3,故选 C.

答案 C

探究提高 (1)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出 的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系

及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.(2)多
面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意 重合部分的处理.

[微题型2] 以三视图为载体求几何体的体积
【例 1-2】 (1)(2015· 全国Ⅱ卷)一个正方体 被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三 视图如图, 则截去部分体积与剩余部分体 积的比值为( 1 A.8 1 C.6 ) 1 B.7 1 D.5

(2)(2015· 郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几 何体的体积为( (4+π) 3 A. 3 (4+π) 3 B. 2 (4+π) 3 C. 6 D.(4+π) 3 )

解析

(1)如图,由题意知,该几何体是正方体 ABCD- A1B1C1D1

被过三点 A、B1、D1 的平面所截剩余部分,截去的部分为三棱锥 A -A1B1D1,设正方体的棱长为 1,则截去部分体积与剩余部分体积
VA? A1B1D1

VA-A1B1D1


的比值为 VB1C1D1 ? ABCD 选 D.

VA1B1C1D1 ? ABCD ? VA? A1B1D1

1 1 2 × × 1 ×1 3 2 1 = = . 1 1 5 3 2 1 -3×2×1 ×1

(2)由该几何体的三视图, 可知该几何体是由底面半径为 1、 高为 3、 母线长为 2 的半圆锥, 和底面为等腰三角形(底边长为 2、 高为 2)、 1 1 高为 3 的三棱锥拼成的一个组合体 . 所以此组合体的体积为 3 × 2 (4+π) 3 1 1 ×π×1 × 3+3×2×2×2× 3= . 6
2

答案 (1)D (2)C 探究提高 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征,

判断是否为组合体,由哪些简单几何体构成,并准确判断这些几 何体之间的关系,将其切割为一些简单的几何体,再求出各个简

单几何体的体积,最后求出组合体的体积.

[微题型3] 与球有关的体积问题
【例 1-3】 (2015· 全国Ⅱ卷)已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB =90° ,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( )

A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

解析

如图,要使三棱锥 O-ABC 即 C-OAB 的体积最大,当且

仅当点 C 到平面 OAB 的距离, 即三棱锥 C-OAB 底面 OAB 上的高 最大,其最大值为球 O 的半径 R,则 VO-ABC 1 1 1 3 2 ×S△OAB×R=3×2×R ×R=6R =36, 所以 R=6, 得 S 球 O=4πR2=4π×62=144π.选 C.
最大

=VC-OAB

1 最大 = 3

答案 C

探究提高

(1) 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋

转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求
体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. (2) 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多 面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题 转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素

间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球
心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系, 列方程(组)求解.

【训练 1】 (1)(2015· 北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱 锥最长棱的棱长为( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

(2)(2015· 天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几 何体的体积为________m3.

解析 = 3.

(1)四棱锥的直观图如图所示,PC⊥平面 ABCD,PC=1,

底面四边形 ABCD 为正方形且边长为 1, 最长棱长 PA= 12+12+12 (2)由所给三视图可知,该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱 组成,底面半径为 1,圆锥的高为 1,圆柱的高为 2,因此该几何 1 8 2 2 体的体积 V=2×3×π×1 ×1+π×1 ×2=3π.

答案

(1)C

8 (2)3π

热点二 多面体与旋转体的体积计算
[微题型1] 多面体的体积计算
【例 2-1】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1. (1)求证:A1C⊥CC1; (2)若 AB=2,AC= 3,BC= 7,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC -A1B1C1 体积最大,并求此最大值.

(1)证明 由 AA1⊥BC 知 BB1⊥BC,又 BB1⊥A1B, 故 BB1⊥平面 BCA1,即 BB1⊥A1C, 又 BB1∥CC1,所以 A1C⊥CC1. (2)解 法一 设 AA1=x,

2 2 在 Rt△A1BB1 中,A1B= A1B2 - BB = 4 - x . 1 1 2 2 同理,A1C= A1C2 - CC = 3 - x .在△A1BC 中, 1 1

A1B2+A1C2-BC2 cos ∠BA1C= 2A1B· A1C x2 =- , 2 2 (4-x )(3-x )

sin ∠BA1C=

12-7x2 , (4-x2)(3-x2)

2 12 - 7 x 1 所以 S? A1BC = A1B· A1C· sin ∠BA1C= . 2 2

2 x 12 - 7 x 从而三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S 直· l= S? A1BC · AA1= , 2

因 x 12-7x = 12x -7x = 故当 x= 6 42 = , 7 7

2

2

4

6 2 36 -7(x -7) + 7 ,
2

42 3 7 即 AA1= 时,体积 V 取到最大值 . 7 7

法二

如图,过 A1 作 BC 的垂线,垂足为 D,连接 AD.

由 AA1⊥BC,A1D⊥BC,故 BC⊥平面 AA1D,BC⊥AD,又∠BAC =90° , 1 1 所以 S△ABC=2AD· BC=2AB· AC, 2 21 所以 AD= 7 . 设 AA1=x,在 Rt△AA1D 中, A1D= AD
2

-AA2 1=

12 2 7 -x ,

2 12 - 7 x 1 S? A1BC = A1D· BC= . 2 2

从 而 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 的 体 积 V = S x 12-7x2 . 2 因 x 12-7x = 12x -7x = 故当 x= 6 42 7= 7 ,
2 2 4



· l = S? A1BC · AA1 =

6 2 36 -7(x - ) + , 7 7
2

42 3 7 即 AA1= 7 时,体积 V 取到最大值 7 . 探究提高 有关多面体的体积计算首先要熟悉几何体的特征,其

次运用好公式,作好辅助线等.

[微题型2] 旋转体的体积计算
【例 2-2】 (2015· 山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2, 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体的体积为( 2 2π A. 3 ) C.2 2π D.4 2π

4 2π B. 3

解析

如图, 设等腰直角三角形为△ABC, C=90° , AC=CB=2,

则 AB=2 2. 设 D 为 AB 中点,则 BD=AD=CD= 2. ∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体, 1 4 2π 2 其体积 V=2×3×π×( 2) × 2= 3 .

答案 B 探究提高 有关旋转体的体积计算,首先要弄清楚旋转后的几何

体的特征,再运用公式求解.

【训练 2】

(1)一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六

边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________. (2)如图所示, ABCD 是正方形, PA⊥平面 ABCD, E, F 分别是 AC, PC 的中点,PA=2,AB=1,则三棱锥 C-PED 的体积为________.

解析

(1)设棱锥的高为 h,

1 1 3 则 V= ×S 底· h= ×6× ×22×h=2 3, 3 3 4 ∴h=1,由勾股定理知,侧棱长为 22+1= 5, ∵六棱锥六个侧面全等, 且侧面三角形的高为 ( 5)2-12=2, 1 ∴S 侧=2×2×2×6=12. (2)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA 是三棱锥 P-CED 的高,PA=2.

∵ABCD 是正方形,E 是 AC 的中点, ∴△CED 是等腰直角三角形. 2 AB=1,故 CE=ED= , 2 1 1 2 2 1 S△CED=2CE· ED=2× 2 × 2 =4. 1 1 1 1 故 VC-PED=VP-CED=3· S△CED· PA=3×4×2=6. 1 答案 (1)12 (2)6

1.求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算. (2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥, 有时可采用等体积转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,

圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.
(4)注意几何体的表面积与侧面积的区别,侧面积只是表面积的 一部分,不包括底面积,而表面积包括底面积和侧面积.

2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系,如棱长为 a 的正方体 3 a 2 的外接球、内切球、棱切球的半径分别为 2 a,2, 2 a. 1 1 3.锥体体积公式为 V=3Sh,在求解锥体体积中,不能漏掉3


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